樣本均值的抽樣分布

樣本均值的抽樣分布總體參數(shù)符號表示樣本統(tǒng)計(jì)量一個(gè)總體均值比例方差兩個(gè)總體均值之差比例之差方差比一、總體參數(shù)與樣本統(tǒng)計(jì)量的對應(yīng)關(guān)系樣本統(tǒng)計(jì)量的概念

設(shè)是從某總體X中抽取的容量為n的一個(gè)樣本，如果由此樣本構(gòu)造一個(gè)函數(shù)

，不依賴任何未知參數(shù)，則稱函數(shù)

是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量如：6.1.2常用統(tǒng)計(jì)量二、如何理解統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布你認(rèn)為會(huì)恰好等于總體均值嗎？如果又抽取一個(gè)樣本，它的均值會(huì)與第一個(gè)樣本均值相等嗎？它又會(huì)與總體均值相等嗎？怎樣才叫“接近”？如何測量接近的程度？重復(fù)抽樣得到的統(tǒng)計(jì)量是如何分布的？樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布是所有來自同一總體、容量完全相同的樣本在某一個(gè)統(tǒng)計(jì)量上的取值的概率分布情況樣本均值的抽樣分布【例】設(shè)一個(gè)總體，含有4個(gè)元素（個(gè)體），即總體單位數(shù)N=4。4個(gè)個(gè)體分別為X1=1、X2=2、X3=3、X4=4?？傮w的均值、方差及分布如下三、構(gòu)造均值的抽樣分布二、如何理解統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布三、構(gòu)造均值的抽樣分布總體的均值、方差及分布如下設(shè)是從某總體X中抽取的容量為n的一個(gè)樣本，如果由此樣本構(gòu)造一個(gè)函數(shù)設(shè)是從某總體X中抽取的容量為n的一個(gè)樣本，如果由此樣本構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，不依賴任何未知參數(shù)，則稱函數(shù)當(dāng)n越來越大時(shí)，樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)差變小，即樣本均值分布變窄，其分散程度越來越小，意味著樣本均值對總體均值的估計(jì)越來越準(zhǔn)確五、樣本均值抽樣分布的應(yīng)用與計(jì)算不同總體分布構(gòu)造均值的抽樣分布根據(jù)中心極限定理，不論總體分布是什么形狀，當(dāng)n充分大時(shí)，樣本均值的分布近似服從正態(tài)分布當(dāng)樣本容量足夠大時(shí)(n30)，樣本均值的抽樣分布逐漸趨于正態(tài)分布是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量（1）計(jì)算樣本均值小于的近似概率怎樣才叫“接近”？如何測量接近的程度？當(dāng)總體分布為正態(tài)分布時(shí)，可以得到下面的結(jié)果：的抽樣分布仍為正態(tài)分布，數(shù)學(xué)期望為，方差為，則當(dāng)總體分布為正態(tài)分布時(shí)，可以得到下面的結(jié)果：的抽樣分布仍為正態(tài)分布，數(shù)學(xué)期望為，方差為，則設(shè)從一個(gè)均值為10，標(biāo)準(zhǔn)差為的總體中隨機(jī)選取容量為36的樣本。從正態(tài)總體中抽樣得到的均值的分布也服從正態(tài)分布,那么從非正態(tài)總體中抽樣得到的均值的分布呢？現(xiàn)從總體中抽取n＝2的簡單隨機(jī)樣本，在重復(fù)抽樣條件下，共有42=16個(gè)樣本。所有樣本的結(jié)果如下表計(jì)算出各樣本的均值，如下表。并給出樣本均值的抽樣分布抽樣分布

=2.5σ2總體分布14230.1.2.3P(x)1.00.1.2.31.53.04.03.52.02.5x樣本均值的分布與總體分布的比較小結(jié)計(jì)算總體的均值和標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算所有可能的樣本均值構(gòu)造樣本均值的抽樣分布計(jì)算抽樣分布的均值、方差將樣本和總體的均值、方差進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)了什么嗎？四、樣本均值的抽樣分布——任意總體對于任意分布總體，當(dāng)總體期望值為，方差為，則樣本均值的期望值為，方差為用公式表示為：樣本均值的抽樣分布——正態(tài)總體

當(dāng)總體分布為正態(tài)分布

時(shí)，可以得到下面的結(jié)果：

的抽樣分布仍為正態(tài)分布，

數(shù)學(xué)期望為

，方差為

，則

從正態(tài)總體中抽樣得到的均值的分布也服從正態(tài)分布,那么從非正態(tài)總體中抽樣得到的均值的分布呢？

中心極限定理：

設(shè)從均值為

，方差為

（有限）的任意一個(gè)總體中抽取樣本量為n的樣本，當(dāng)n充分大時(shí)，樣本均值

的抽樣分布近似服從均值為

、方差為

的正態(tài)分布。當(dāng)樣本容量足夠大時(shí)(n

30)，樣本均值的抽樣分布逐漸趨于正態(tài)分布一個(gè)任意分布的總體X不同總體分布構(gòu)造均值的抽樣分布思考：當(dāng)樣本量n逐漸增大時(shí)，樣本均值的抽樣分布到底發(fā)生了什么樣的變化？當(dāng)用樣本均值估計(jì)總體均值時(shí)，平均來說沒有偏差（無偏性），即n逐漸增大時(shí)，樣本均值的期望值不發(fā)生變化；當(dāng)n越來越大時(shí)，

樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)差變小，即樣本均值分布變窄，其分散程度越來越小，意味著樣本均值對總體均值的估計(jì)越來越準(zhǔn)確從正態(tài)總體中抽樣得到的均值的分布也服從正態(tài)分布,那么從非正態(tài)總體中抽樣得到的均值的分布呢？從正態(tài)總體中抽樣得到的均值的分布也服從正態(tài)分布,那么從非正態(tài)總體中抽樣得到的均值的分布呢？三、構(gòu)造均值的抽樣分布計(jì)算抽樣分布的均值、方差根據(jù)樣本均值的概率計(jì)算其所在的區(qū)間構(gòu)造樣本均值的抽樣分布五、樣本均值抽樣分布的應(yīng)用與計(jì)算設(shè)從均值為，方差為（有限）的任意一個(gè)總體中抽取樣本量為n的樣本，當(dāng)n充分大時(shí)，樣本均值的抽樣分布近似服從均值為、方差為的正態(tài)分布。當(dāng)n越來越大時(shí)，樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)差變小，即樣本均值分布變窄，其分散程度越來越小，意味著樣本均值對總體均值的估計(jì)越來越準(zhǔn)確設(shè)從一個(gè)均值為10，標(biāo)準(zhǔn)差為的總體中隨機(jī)選取容量為36的樣本。計(jì)算所有可能的樣本均值當(dāng)n越來越大時(shí)，樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)差變小，即樣本均值分布變窄，其分散程度越來越小，意味著樣本均值對總體均值的估計(jì)越來越準(zhǔn)確當(dāng)總體分布為正態(tài)分布時(shí)，可以得到下面的結(jié)果：的抽樣分布仍為正態(tài)分布，數(shù)學(xué)期望為，方差為，則設(shè)是從某總體X中抽取的容量為n的一個(gè)樣本，如果由此樣本構(gòu)造一個(gè)函數(shù)五、樣本均值抽樣分布的應(yīng)用與計(jì)算計(jì)算樣本均值的概率根據(jù)樣本均值的概率計(jì)算其所在的區(qū)間例1.設(shè)從一個(gè)均值為10，標(biāo)準(zhǔn)差為的總體中隨機(jī)選取容量為36的樣本。假設(shè)該總體不是很偏，要求：（1）計(jì)算樣本均值小于的近似概率（2）計(jì)算樣本均值超過的近似概率（3）計(jì)算樣本均值在總體均值附近范圍內(nèi)的近似概率根據(jù)中心極限定理，不論總體分布是什么形狀，當(dāng)n充分大時(shí)，樣本均值的分布近似服從正態(tài)分布例2a:某國際幼兒園孩子身高