專題1-1 基本不等式歸類（原卷版）

專題1-1基本不等式歸類目錄TOC\o"1-1"\h\u題型01公式基礎(chǔ) 1題型02基礎(chǔ)模型：倒數(shù)型 2題型03常數(shù)代換型 3題型04積與和型 4題型05積與和互化解不等式型 4題型06構(gòu)造分母和定型 5題型07湊配系數(shù)構(gòu)造分母和定型 5題型08換元構(gòu)造分母和定型 6題型09分子與分母互消型 7題型10“1”代換綜合型 7題型11分子消去型 8題型12消元型 8題型13齊次化構(gòu)造型 9題型14三角換元構(gòu)造型 9題型15因式分解雙換元型 10題型16配方型 11高考練場 11題型01公式基礎(chǔ)【解題攻略】利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.【典例1-1】（2020·廣東·普寧市第二中學(xué)高三階段練習(xí)）下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【典例1-2】（2021秋·山東日照·高三山東省日照實驗高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）對于任意a，b∈R，下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．2【變式1-1】（2021·高三階段測試）下列說法不正確的是（

）A．x＋(x>0)的最小值是2 B．的最小值是2C．的最小值是 D．若x>0，則2－3x－的最大值是2－4【變式1-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列不等式證明過程正確的是（

）A．若，則B．若x＞0，y＞0，則C．若x＜0，則D．若x＜0，則【變式1-3】（2022秋·廣東·高三深圳市寶安中學(xué)（集團）校考）在下列函數(shù)中，最小值是的是（

）A． B．C． D．題型02基礎(chǔ)模型：倒數(shù)型【解題攻略】倒數(shù)型：，或者容易出問題的地方，在于能否“取等”,如，【典例1-1】（2022·浙江杭州·杭州高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2020下·浙江衢州·高三統(tǒng)考）已知的面積為，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式1-1】（2021上·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【變式1-2】（2020上·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．【變式1-3】（2022上·上海徐匯·高三上海市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若(x,)最大值記為,則的最小值為A．0 B． C． D．題型03常數(shù)代換型【解題攻略】利用常數(shù)代換法，可以代通過“分子分母相約和相乘”，相約去或者構(gòu)造出“倒數(shù)”關(guān)系。多稱之為“1”的代換條件和結(jié)論有“分子分母”特征；（2）可以乘積出現(xiàn)對構(gòu)型，再用均值不等式。注意取等條件結(jié)構(gòu)形式：（1）求（2）求【典例1-1】（2023·江西·校聯(lián)考一模）已知，，是正實數(shù)，且，則最小值為.【典例1-2】（2019上·山東濰坊·壽光現(xiàn)代中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正實數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．10 B．11 C．13 D．21【變式1-1】（2023上·上海徐匯·高三上海市第二中學(xué)?？计谥校┮阎?，，，則的最小值為．【變式1-2】（2023下·湖南株洲·統(tǒng)考）設(shè)正實數(shù)滿足，則的最小值為.【變式1-3】（2023上·上海松江·高三?？迹┮阎?，，且，則取得最小值時的值是.題型04積與和型【解題攻略】積與和型，如果滿足有和有積無常數(shù)，則可以轉(zhuǎn)化為常數(shù)代換型。形如，可以通過同除ab，化為構(gòu)造“1”的代換求解【典例1-1】（2021·全國·高三測試）已知，，且，則當(dāng)取得最小值時，（

）A．16 B．6 C．18 D．12【典例1-2】（2021·湖南岳陽·高三聯(lián)考）已知，，且，則的最小值是（

）A． B． C． D．【變式1-1】(2020·重慶市暨華中學(xué)校高三階段）已知，且，則的最小值為（）A． B． C． D．【變式1-2】（2021·山東威?！じ呷？迹┤?，且，則的最小值為（

）A．18 B．15 C．20 D．13【變式1-3】（2022·全國·高三一專題練習(xí)）已知，，，則的最小值為（

）A．2 B．3 C． D．題型05積與和互化解不等式型【解題攻略】積與和型，如果滿足有和有積有常數(shù)，則可以轉(zhuǎn)化為解不等式型。形形如求型，可以對“積pxy”部分用均值，再解不等式，注意湊配對應(yīng)的“和”的系數(shù)系數(shù)，如下：【典例1-1】（2022秋·云南·校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正數(shù)、滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2023春·貴州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則的最大值為（

）A．1 B．2 C． D．4【變式1-1】（2022秋·廣東深圳·高三深圳外國語學(xué)校校考期末）已知曲線，則的最大值為（

）A． B． C． D．【變式1-2】（2021·重慶市實驗中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)，，，則ab的最小值是（

）A．4 B．9 C．16 D．25【變式1-3】（2021·安徽·霍邱縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）若，且，則的取值范圍（

） B． C． D．題型06構(gòu)造分母和定型【解題攻略】對于分數(shù)型求最值，如果復(fù)合a+b=t，求型，則可以湊配（a+m）+（b+n）=t+m+n，再利用“1”的代換來求解?！镜淅?-1】（2022上·福建福州·高三福建省福州第一中學(xué)?？迹┤羧齻€正數(shù)滿足，則的最小值為.【典例1-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，且，那么的最小值為（

）A． B．2 C． D．4【變式1-1】（2022秋·安徽蕪湖·高三?？茧A段練習(xí)）已知實數(shù)，且，則的最小值是（

）A．0 B．1 C．2 D．4【變式1-2】（2023·浙江·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知正實數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式1-3】（2022上·山東·高三利津縣高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正實數(shù)，滿足，則的最小值為.題型07湊配系數(shù)構(gòu)造分母和定型【解題攻略】對于分數(shù)型求最值，如果復(fù)合pa+qb=t，求型，則可以湊配（a+m）+（b+n）=h，再利用“1”的代換來求解。其中結(jié)合所給與所求a、b的系數(shù)，可以任意調(diào)換，來進行變換湊配。【典例1-1】（2023·全國·高三題練習(xí)）已知，，且，則的最小值為.【典例1-2】（2023秋·全國·高三專題練習(xí)）已知且，若恒成立，則實數(shù)的范圍是．【變式1-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，且，若恒成立，則實數(shù)的范圍是．【變式1-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若三個正數(shù)滿足，則的最小值為.【變式1-3】（2021·三課時練習(xí)）已知，則的最小值為.題型08換元構(gòu)造分母和定型【解題攻略】換元型構(gòu)造分母和定型：形如型，則可以通過換元分母，再利用“1”的代換來求解?！镜淅?-1】（2023·吉林·長春十一高校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知正實數(shù)x，y滿足，則的小值為．【典例1-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知且，則的最小值為.【變式1-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，若，則的最小值是.【變式1-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正數(shù)滿足，則的最小值為.題型09分子與分母互消型【解題攻略】滿足一般情況下可以通過“萬能K法”轉(zhuǎn)化求解設(shè)K法的三個步驟：⑴、問誰設(shè)誰：求誰，誰就是K；⑵、代入整理：整理成某個變量的一元二次方程（或不等式）；⑶、確認最值：方程有解（或不等式用均值放縮），≥0確定最值【典例1-1】（2021秋·高三單元測試）已知正數(shù)，滿足，則的最小值是.【典例1-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知正數(shù)，滿足，則的最大值是.【變式1-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知為正數(shù)，且，則的最大值為．【變式1-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，若，則的最小值是（

）A．8 B．7 C．6 D．5【變式1-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正實數(shù)，滿足，則的最大值為（

）A． B．1 C．2 D．9題型10“1”代換綜合型【典例1-1】（2022上·遼寧大連·大連二十四中?？迹┮阎?，則的最小值等于.【典例1-2】（2021上·重慶沙坪壩·高三重慶市第七中學(xué)校?？迹┤魧崝?shù)，滿足等式，，，且不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為.【變式1-1】（2020上·上海徐匯·高三上海中學(xué)校考）已知實數(shù)滿足且，若，則的最小值是【變式1-2】（2020·江蘇蘇州·吳江盛澤中學(xué)模擬預(yù)測）已知，且，則的最小值為．題型11分子消去型【解題攻略】對于分式型不等式求最值，如果分子上有變量，可以通過常數(shù)代換或者分離常熟，消去分子上變量，轉(zhuǎn)化為分式型常數(shù)代換或者分式型分母和定來求解【典例1-1】（2020·江蘇省震澤中學(xué)高三階段練習(xí)）若，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2022秋·遼寧沈陽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，，則的最小值為（

）A．2 B．4 C． D．【變式1-1】（2022春·廣東韶關(guān)·高三?？茧A段練習(xí)）已知a，b為正實數(shù)，且，則的最小值為（

）A．1 B．6 C．7 D．【變式1-2】（2023春·重慶·高三校聯(lián)考期中）已知點在線段上（不含端點），是直線外一點，且，則的最小值是（

）A． B． C． D．【變式1-3】（2022春·湖北襄陽·高三襄陽五中校考期中）已知正實數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．10 B．11 C．13 D．21題型12消元型【解題攻略】消元型：對于雙變量型不等式求最值，如果不符合常見的轉(zhuǎn)化方法，可以通過反解代入消元，轉(zhuǎn)化為單變量型不等式求最值?！镜淅?-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若正實數(shù)x，y滿足x＋2y＋xy＝7，則x＋y的最小值為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【典例1-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則的最小值是（

）A．14 B． C．8 D．【變式1-1】（2023秋·海南?？凇じ呷？奸_學(xué)考試）已知正實數(shù)a，b滿足，則的最小值是（）A．2 B． C． D．6【變式1-2】（2023春·河北承德·高三河北省隆化存瑞中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若，且，則的最小值為．【變式1-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知正實數(shù)、滿足，則的最小值是.題型13齊次化構(gòu)造型【解題攻略】齊次化構(gòu)造型：一般情況下，分式分子分母含有等，滿足齊次型，則可以通過分子分母同除法，構(gòu)造單變量型來轉(zhuǎn)化計算求解【典例1-1】（2023春·天津河西·高二統(tǒng)考期末）已知，則的最小值是（

）A． B．C． D．【典例1-2】（2022秋·湖北黃石·高一期中）已知x，y為正實數(shù)，則的最小值為（

）A．4 B．5 C．6 D．8【變式1-1】若a，b均為正實數(shù)，則的最大值為A． B． C． D．2【變式1-2】函數(shù)的最大值為（）A. B. C. D.【變式1-3】已知，，則的最大值是．【變式1-4】若實數(shù)滿足，且，則的最大值為____.題型14三角換元構(gòu)造型【解題攻略】一般情況下，復(fù)合或者能轉(zhuǎn)化為型，則可以通過三角換元（圓的參數(shù)方程型）來轉(zhuǎn)化構(gòu)造，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)輔助角為主的恒等變形來計算求解最值【典例1-1】（2023春·四川宜賓·高二?？茧A段練習(xí)）已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，則的最大值是（

）A． B． C．0 D．【變式1-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知正實數(shù)滿足，則的最小值為．【變式1-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，，則的最小值為.【變式1-3】（2023·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測）已知實數(shù)a，b，c滿足a2＋b2＝c2，c≠0，則的取值范圍為．題型15因式分解雙換元型【解題攻略】如果條件（或者結(jié)論）可以因式分解，則可以通過對分解后因式雙換元來轉(zhuǎn)化求解1.特征：條件式子復(fù)雜，一般有一次和二次（因式分解展開就是一次和二次），可能就符合因式分解原理2.最常見的因式分解：a+b+ab+1=（a+1）（b+1）【典例1-1】（2022秋·浙江溫州·高三?？茧A段練習(xí)）已知，，且，則的最大值為（

）A．2 B． C． D．【典例1-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，且，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．【變式1-1】（2021江蘇高三月考）若a,b∈R，且a2+2ab?3【變式1-2】（2023春·四川宜賓·高二?？茧A段練習(xí)）已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式1-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知且滿足，則的最小值是.題型16配方型【典例1-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知a，，且，則的最大值為（

）A．2 B．3 C． D．【典例1-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正實數(shù)a，b滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．2【變式1-1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知實數(shù)x、y滿足，且不等式恒成立，則c的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式1-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知a，b為非負數(shù)，且滿足，則的最大值為（

）A．40 B． C．42 D．【變式1-3】（2022秋·河北保定·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)，，若，則的最大值為．高考練場1.（2020秋·浙江紹興·高三?？茧A段練習(xí)）給出下面四個推導(dǎo)過程：①∵a，b為正實數(shù)，∴；②∵x，y為正實數(shù)，∴；③∵，，∴；④∵，，∴．其中正確的推導(dǎo)為（