2021春人教版九年級數學下冊 第27章 教學設計

27.3.2平面直角坐標系中的位似

一、教學目標

1.鞏固位似圖形及其有關概念.

2.會用圖形的坐標的變化來表示圖形的位似變換，掌握把一個圖形按一定大小

比例.放大或縮小后，點的坐標變化的規(guī)律.

3.了解四種變換(平移、軸對稱、旋轉和位似)的異同，并"能在復雜.圖形中找

出這些變換.

二、重點、難點

1.重點：用圖形的坐標的變化來表示圖形的位似變換.

2.難點：把一個圖形按一定大小比例放大或縮小后，點的坐標變化的規(guī)律.

3.難點的.突破方法

(L)相似與軸對稱、平移、旋轉一樣.，也是圖形之間的一個基本變換，因此一

些特殊的相似(如位似)也可以用圖形坐標的變化來表示..

(2)帶領學生共同探究出位似變換中對應點的坐標的變化規(guī)律：在平面直角坐

標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k,那么位似圖形對應點

的坐標的比等于k或-k..

(3)在平面直角坐標系中，用圖形的座標的變化來表示圖形的位似變換的關鍵

是要確定位似圖形各個頂點的坐標，而不同方法得到的圖形坐標是不同的.如：

已知:AABC三個頂點坐標分別為A(1,3),B(2,0),C(6,2),以點0為位似中心，

相似比為2,揩Z\A13c放大，根據前面(2)總結的變化規(guī)律，點A的對應點A'

的坐標為(1X2,3X2),即A'(2,6),或點A的對應點A''的坐標為(IX(-2),

3X(-2)),即A''(-2,-6).類似地”可以確定其他頂點的坐標.

(,4)本節(jié)課的最后要給學生總恪吉(或讓學生自己總結)平移、軸對稱、旋轉和

位似四種變換的異同：圖形經過平移、旋轉或軸對稱的變換后，雖然對應位置改

變了，但大小和形狀沒有改變，即兩個圖形是全等的；而圖形放大或縮小(位似

變換)之后.是相似的.并讓學生練習在所給的圖案中，找出平移、軸寸稱、旋

轉和位似這些變換.

三、例題的意圖.

本節(jié)課安排了兩個例題，例1是教材P63的例題，它是在引導學生尋找出位.似變

換中對應點的坐標的變化規(guī)律后的一個用圖形的坐標的變化來表示圖形的位似

變換的題目，其目的是鞏固新知識，幫助學生加深理解用圖形。的坐標的變化來

表示圖形的位似變換知識，此題目應讓學生用不同方法作出圖形.例2是教材P64

的一.個問題，它是“平移、軸對稱、旋轉和位似”四種變換的一個綜合題目，

所給的圖案由于觀察的角度不同，答案就會不.同.，因此應讓學生自己來回答，

并在順利完成這個題目基礎上，讓學生自己總結出這四種變換的異同.

四、課堂引入

1.如圖“△ABC三個頂點坐標分別為A(2,3),B(2,1),C(6,2).,(1)將AABC

向左平移三個單位得到△ABC”寫出&、Bi、G三點的坐標；

(2)寫出AABC關于x軸對稱的Aft2的C2三個頂點A?、B?、C?的坐標；

(.3)將AABC繞點。旋轉180°得到AA363c3,寫出&、B：,、C三點的坐標.

2*.在前面幾冊教科書中，我們學.習了在平面直角坐標系.中，如何用坐標表示某

些平移、軸對稱、旋轉(中心對稱)等變換，相似也是一種圖形的變換，一些特

殊的相似(如位似)也可以用圖形坐標的變化來表示.

3.探究：

(1)如圖，在平面直角坐標系中，有.兩點A(6,3),B(6,0).以原點0為位似中

心，相似比為，把線段AB縮小.觀察對應點之間坐標的變化，你有什么發(fā)現(xiàn)？

(2)如圖,/XABC三個頂點坐標分別為A(2,3),B(2,1),C(6,2),以點①為位

似中心，相似比為2,將AABC放大，觀察對應頂點坐標的變化，你有什么發(fā)現(xiàn)？

【歸納】位似變換中對應點的坐標的.變化規(guī)律：在平面直角坐標系中，如果位

似變換是以原點為位似中心，相似此為k,那么位.似圖形對應點的坐標的比等

于k或-k.

五、例題講解

例1(教材P63的例題)

分析：略(見教材P63的例題分析)

解：略(.見教材P63的例題解答)

問：你還可以得到其他圖形嗎？請你自己試一試！

解法二：點A的對應點A''的坐標為(-6X,6X)，即A''(3,-3).類

似地，可以確定其他頂點的坐標.(具體解法與作圖略)

例2.(教材P64)在右圖所示的圖案中“你能找出,平移、軸對稱、旋轉和位似這

些變換嗎？.

分析：觀察的角度不同.，答案，就不同.如：它可以看作是一排魚順時針旋轉

45°角，連續(xù)旋轉八次得到的旋轉圖形；它還可以看作位似中心是圖形的正中心，

相似比是4：3：2：1的位似圖形，…….

解：答案不惟一，略.

六、課堂練習

1.教材

2.AABO的定點坐標分別為A(-1,4),B(3,2),0(0,0),試將△ABO放大為△EFO,

使△EFO與aABO的相似比為2.5：1,求點E和點F的坐標.

3.r如圖，^AOB縮小后得到觀察變化前后的三角形頂點，坐標發(fā)生了

什么變化，并求出其相似比和面積比.

七、課后練習

1.請用平移、軸對稱、旋轉和位似這四種變換設計.一種圖案（選擇的變換不限）.

2.如圖，將圖中的△ABC,以A為位似中心，放大到1.5倍，請畫出圖形，并指出

三個頂點的坐標所發(fā)生的變化.

27.3.1位似圖形

一、教學目標

1.了解位似圖形及其有關概念，了解位似與相似的聯(lián)系和區(qū)別，掌握位似圖形

的性質.

2.掌握位似圖形的畫法，能夠利用作位似圖形,的方法將一個.圖形放大或縮小.

二、重點、難點.

1.重點：位似圖形的有關概念、性質與作圖.

2.難點：利用位似將一個圖形放大或縮小.

3.難點的突破方法

（.1）位似圖形：如果兩個多邊形不僅相似，.而.且對應頂點的連線相交于一點，

.那么這樣.的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱

為位似比.

（2）掌握位似圖形概念，需注意：①位似是一種具有位置關系的相似”所以兩

個圖形是位似圖形，必。定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形；②兩個

位似圖形的位似中心只有一個；③兩個位似圖形可能位于位似中心的兩側，也可

能位于位似中心的一側；④位似比就是相似比?,利用位似圖形的定義可判斷兩

個圖形是否位似.

（3）位似圖形首先是相似圖形，所以它具有相似圖形的一切性質.位似圖形是

一種特殊的相■似圖形，它又具有特殊的性質，位似,圖形上任意一對對應點到位

似中心的距離等于位似比（相似比）.

（4）兩個位似圖形的主要特征.是：每對位似對應點與位似中心共線；不經過位

似中心“的對應線段平行.

（5）利用位似，可以將一個圖形放大或縮小，其步驟見下面例題乍圖時要注

意:①首先確定位似中心，位似中心的位置可隨意選擇；②確定原圖形的關鍵點,

如四邊形有四個關鍵點，即它的四個頂點；③確定位似比，根據位似比的取值，

可以判斷是將一個圖形放大還是縮小；④符合要求的圖形不惟一，因為所作的

圖形與所確定的位似中心的位置有關（如例2）,并且同一個位似中,心的兩側各

有一個符合要求的圖形（如例2中的圖2與圖3）.

三、例題的意圖

本節(jié)課安排了兩個例題，例1是補充的一個例題，通過辨別位似圖形，鞏固位

似圖形的概念，讓學生理解位似圖形必須滿足兩個條.件：（1）兩個圖形是相似

圖形；（2）兩個相似圖形每對對應點所在的直線都經過同一點，二者缺一不可.例

2是教材P61例題，通過例2的教學，使學生掌握位似圖形的畫法，能夠利用作

位似圖形的方法將一個圖形放大或縮小.講解例2時，要注意引導學生能夠用不

同的方法畫出所要求作的圖形，要讓.學生通過作.圖理解符合要求的圖形不惟一，

這和所作的圖形與所確定的位似中心的位置有關（如位似中心0可能選在四邊形

ABCD外，可能選在四邊形ABCD內，可能選在四邊形ABCD的一條邊上，可能選

在四邊形ABCD的一個頂點上）.并且同一個位似中心的兩側各,有一個符,合要求

的圖形（如例2中的圖2與圖3）,因此，位似中心的確定是作出圖形的關鍵.要

及時強調注意的問題（見難點的突破方法④），及時總結作圖的步驟（見例2）,

并讓學生練習找.所給圖形的位似中心的題目（如.課堂練習2）,以使學生真正掌

握位似圖形的概念與作圖.

四、課堂引入.

1.觀察：在日常生活中，我們經常見到下面所給的這樣一類相似的圖形，它們

有什么特征？

2.問：已知：如圖，多邊形ABCDE,把它放大為原來的2倍，即新圖與原圖的

相似比為2.應該怎樣做？你能.說出畫相似圖形的L種方法嗎？

五、例題講解

例1（,補充）如圖，指出下列各圖中的兩個圖形是否是位似圖形，如果是位似圖

形，請指出淇位似中心.

分析：位似圖形是特殊位置上的相似圖形，因此判斷兩個圖形是否為位似圖

形，首先要看這兩個圖形是否相似，再看對應點的連線是否都經過同一點，這兩

個方面缺一不可.

解：圖（1）、（2）和（4）三個圖形中的兩個圖形都是位似圖形，位似中心

分別是圖（1）中的點A,圖（2）中的點P和圖（4）中的點0.（圖（3）中的

點0不是對應點連線的交點，故圖.（3）不是位似圖形，圖（5）也不是位似圖

形）

例2（教材P61例題）把圖1中的四邊形ABCD縮小到原來的.

分析：把原圖形縮小到原來的，也就是使新圖形上各頂點到位似中心的距離

與原圖形各對應頂點到位似中心的距離之比為1：2.

作法一：(1)在四邊形ABCD外任取一點0；

(2)過點。分別作射線0A,OB,QC,0D；

(3)分別在射線0A,OB,0C,0D上取點A'、B'、C'、”,使得；

(4)順次連接A'B'、B'C'、CD，、D'A',得到所要畫的四邊形

A'B/CD',如圖2.

問：此題目還可以如何畫出圖形？

作法二：(1)在四邊形ABCD外任取一點0；

(2)過點。分別作射線0A,OB,0C,0D；

(3)分別在射線0A,OB,0C.,0D的反向延長線上取點A'、B，、C'、D',

使得；

(4)順次連接A'B，、B'C'、CD'、D'A',得到所要畫的四邊形

A'B'CD',如圖3.

作法三：(1)在四邊形ABCD內任取一點(X；

(2)過點。分別作射線0A,OB,0C,0D；

(3)分別在射線0A,OB,0C,0D上取點A'、B'、C'、D',

使得；

(4)順次連接A'B「、B'C'、CD'、D'A',得到所要畫的四邊形

A'B'CD',如圖4.

(當點0在四邊形ABCD的一條邊上或在四邊形ABCD的一個頂點上時，作法略

——可以讓學生自己完成)

六、課堂練習

1.教材P61.1、2

2.畫出所給圖中的位似中心.

3.把右圖中的五邊形ABCDE擴大到原來的2倍.

七、課后練習

1.已知：如圖，△ABC,畫aA'B'C,

"使AA'B'C-AABC,且使相似比為1.5,要求

(1)位似中心在aABC的外部；(2)位似中心在aABC的內部；(3)位似中

心在△ABC的一條邊上；

(4)以點C為位似中心.

27.1.2相似多邊形

一、教學目標

1.知道相似多邊形的主要特征，即：相似多邊形的對應角相等，對應邊的比相

等.

2.會根據相似多邊形的特征識別兩個多邊形是否相似，并會運用其性質進行相

關的計算.

二、重點、難點

1.重點：相似多邊形的主要特征與識別.

2.難點：運用相似多邊形的特征進行相關的計算.

3.難點的突破方法

（1）判別兩個多邊形是否相似，要看這兩個多邊形的對應角是否相等，且對應

邊的比是否也相等，這兩個條件缺一不可；可以以矩形、菱形為例說明：僅有對

應角相等，或僅有對應邊的比相等的兩個多邊形不一定相似（見例1）,也可以

借助電腦直觀演示，增加效果，從而糾正學生的錯誤認識.

（2）由相似多邊形的特征可知，如果已知兩個多邊形相似，就等于知道它們的

對應角相等，對應邊的比相等（對應邊成比例），在計算時要能靈活運用.

（3）相似比是一個很重要的概念，它實質是把一個圖形放大或縮小的倍數（即

相似多邊形的對應邊的長放大或縮小的倍數）.

三、例題的意圖

本節(jié)課安排了3個例題，例1與例3都是補充的題目，其中通過例1的學習，

要讓學生了解判別兩個多邊形是否相似，要看這兩個多邊形的對應角是否相等，

且對應邊的比是否也相等，這兩個條件缺一不可；而若說明兩個多邊形不相似，

則必須說明各角無法對應相等或各對應邊的比不相等，或舉出合適的反例，在解

決這個問題上，依靠直覺觀察是不可靠的；例2是教材P39的例題，它主要考查

的是相似多邊形的特征，運用相似多邊形的對應角相等，對應邊的比相等即可求

解；例3是相似多邊形特征的靈活運用（使用方程思想）的題目，在教學中還可

根據自己的學生學習的程度，適當增加一些題目用以鞏固相似多邊形的性質.

四、課堂引入

1.如圖的左邊格點圖中有一個

四邊形，請在右邊的格點圖中

畫出一個與該四邊形相似的圖形.

2.問題：對于圖中兩個相似的四邊形，它們的對應角，對應邊的比是否相等.

3.【結論】：

（1）相似多邊形的特征：相似多邊形的對應角相等，對應邊的比相等.

反之，如果兩個多邊形的對應角相等，對應邊的比相等，那么這兩個多邊形

相似.

（2）相似比：相似多邊形對應邊的比稱為相似比.

問題：相似比為1時，相似的兩個圖形有什么關系？

結論：相似比為1時，相似的兩個圖形全等，因此全等形是一種特殊的相似

形.

五、例題講解

例1（補充）（選擇題）下列說法正確的是（）

A.所有的平行四邊形都相似B.所有的矩形都相似

C.所有的菱形都相似D.所有的正方形都相似

分析：A中平行四邊形各角不一定對應相等，因此所有的平行四邊形不一定

都相似，故A錯；B中矩形雖然各角都相等，但是各對應邊的比不一定相等，因

此所有的矩形不一定都相似，故B錯；C中菱形雖然各對應邊的比相等，但是各

角不一定對應相等，因此所有的菱形不一定都相似，故C也錯；D中任兩個正方

形的各角都相等，且各邊都對應成比例，因此所有的正方形都相似，故D說法正

確，因此此題應選D.

例2（教材P39例題）.

分析：求相似多邊形中的某些角的度數和某些線段的長，可根據相似多邊形

的對應角相等，對應邊的比相等來解題，關鍵是找準對應角與對應邊，從而列出

正確的比例式.

解：略

例3（補充）

已知四邊形ABCD與四邊形ABCD相似，且A.B,:B.C,:CD:D,A,=7:8:11:14,

若四邊形ABCD的周長為40,求四邊形ABCD的各邊的長.

分析：因為兩個四邊形相似，因此可根據相似多邊形的對應邊的比相等來解

題.

解：???四邊形ABCD與四邊形ABCD相似，

AB:BC:CD:DA=AB:B￡:CD:DA?

AIBI：BICI：CIDI：DIAI=7:8:11:14,

AB:BC:CD:DA=7:8:11:14.

設AB=7m,則BC=8m,CD=llm,DA=14m.

,/四邊形ABCD的周長為40,

7m+8m+llm+14m=40.

/.m=l.

AB=7,則BC=8,CD=1LDA=14.

六、課堂練習

1.教材P40練習2、3.

2.教材P41習題4.

3.（選擇題）AABC與4DEF相似，且相似比是2,則^DEF與AABC與的相似

3

比是（）.

A.2-B.3-C.-2D.-4

3259

4.（選擇題）下列所給的條件中，能確定相似的有（）

（1）兩個半徑不相等的圓；（2）所有的正方形；（3）所有的等腰三角形；（4）

所有的等邊三角形；（5）所有的等腰梯形；（6）所有的正六邊形.

A.3個B.4個C.5個D.6個

5.已知四邊形ABCD和四邊形ABCD相似，四邊形ABCD的最長邊和最短邊的長

分別是10cm和4cm,如果四邊形ABCD的最短邊的長是6cm,那么四邊形A.B.C,D,

中最長的邊長是多少？

七、課后練習

1.教材P41習題3、5、6.

2.如圖，AB〃EF〃CD,CD=4,AB=9,若梯形CDEF與梯形

EFAB相似,求EF的長.

X3.如圖，一個矩形ABCD的長AD=acm,寬AB=bcm,E、

F分別是AD、BC的中點，連接E、F,所得新矩形ABFE與原

矩形ABCD相似，求a:b的值.（收：1）

B

教學反思

27.2.8相似三角形的性質

廣》教學目標

【知識與技能】

1.理解并掌握相似三角形及相似多邊形的周長和面積性質；

2.能夠運用相似三角形及相似多邊形的周長和面積性質解決相關問題.

【過程與方法】

經歷將多邊形問題轉化為三角形問題進行探究的過程，進一步增強學生領會

轉化的思想方法.

【情感態(tài)度】

通過對性質的發(fā)現(xiàn)和論證過程,感受數學活動中充滿著探索，提高學習熱情,

增強探究意識.

【教學重點】

理解并能運用相似三角形及相似多邊形的周長和面積性質.

【教學難點】

探索證明相似多邊形面積性質的過程.

"教學國程

一、情境導入，初步認識

問題（1）如果44?844￡。，則它們之間有哪些性質？

（2）如果兩個多邊形相似，那么這兩個多邊形又有怎樣的性質呢？不妨說說

看，并與同伴交流.

【教學說明】以上兩個問題可由學生口答，既是對前面學過知識的回顧，又

是學習相似三角形及相似多邊形的性質的鋪墊.教師在學生回答過程中，在黑板

ABBCAC,

上可寫出關系式：（1）_________________lh\-

AB'B'CA'C'

（2）Ak=Ak==2鼻=上A=々，為后面證明相似三角形及相似多

A-；A；44

邊形周長的比作準備.）

二、思考探究，獲取新知

問題1你能根據剛才的性質探索出相似三角形和相似多邊形周長之間各有

怎樣的特征？

【教學說明】讓學生依據黑板上所給出的兩個等式來探索新的結論，在學生

自主探索過程中，教師應在黑板上畫出能夠相似的aABC和aABC,及相似的多邊

BE

及B；

形44…“4,和多邊形444',如下圖(1)(2)所示:

最后師4(1)索出結論，并給出證明過才(2)

性質相似三角形周長之比等于相似比;

相似多邊形周長之比等于相似比.

問題2如圖，相似比為k且AD,AD分別是△ABC

與△A'8'C'對應邊長的高線，求半的值，并說明理由.

A'D'

問題3如圖，△ABCs△AB'C',相似比為k則△ABC與△AB'C'的面積

之間有什么關系，說說你的理由.

【教學說明】問題2為解決問題3作好了鋪墊.教師可讓學生自主探究問題

2的結論，得出相似三角形對應高線之比等于相似比的結論.這里既要用到相似

三角形性質又要用到相似三角形的判定，教師要作好誘導.由問題2的解決來探

索問題3就順理成章了.

1.相似三角形對應高線之比等于相似比.

2.相似三角形面積之比等于相似比的平方.

問題4如圖，四邊形A8C。與四邊形

A9CD,相似比為k那么它們的面積

之比又如何？談談你的看法.

【教學說明】可先讓學生在小組中進行交流,

盡量找出解決問題的方法，與此同時，教師可設置

以下問題來幫助學生：你能直接表示出圖中兩個四邊形的面積嗎？如果不能，是

否可連接對角線AC和AC,,用三角形的面積來表示四邊形的面積呢？這樣設問

起到畫龍點睛作用，問題便迎刃而解，最后教師可在黑板上展示說理過程，從而

得出：相似四邊形面積的比等于相似比的平方.

問題5類似地，相似多邊形面積之比是否也等于相似比的平方呢？

【教學說明】引導學生將兩個相似多邊形用類似于問題4的方法轉化成若干

個三角形，從而得出結論.

相似多邊形面積之比等于相似比的平方.

三、運用新知，深化理解

1.判斷：

(1)一個三角形的各邊長擴大為原來的5倍，這個三角形的周長也擴大為

原來的5倍.()

(2)一個四邊形的各邊長擴大為原來的9倍，它的面積擴大為原來的9倍.

()

2.△ABC△A'B'C,它們的周長分別為60和72,且AB=15,BT5=24,

試求BC,AC,A'B',AC的長.

3.在一張復印出來的紙上，一個多邊形的一條邊由原圖中2cm變成了6cm,

這次復印的放縮比例是多少？這個多邊形的面積發(fā)生了怎樣的變化？

4.如圖，在AABC和ADEF中，AB=2DE,AC=2DF,NA=ND,△ABC的周長

為24,面積為12百，求4DEF的周長和面積.

【教學說明】所選四道小題都可直接運用相似三角形和相似多邊形的周長與

面積性質進行判斷說明，難度不大，學生可自主完成，教師巡視，發(fā)現(xiàn)問題，及

時指導，讓每個學生都學有所得.在完成上述題目后，教師引導學生完成創(chuàng)優(yōu)作

業(yè)中本課時的“名師導學”部分.

【答案】1.(1)V(2)X2.BC=20,AC=25,A'B'=18,A'C'=30.

3.這次復印的放縮比例是1:3,這個多邊形的面積放大了9倍.

4.解：VAB=2DE,AC=2DF,

.M一絲_?

又???NA=/D????AABCcoADEF.

?S乙ABC_/ABy=4_AB__,

又；S△皿=12而,以謝=24.

S&I,EF=3V5，CADEF=12.

四、師生互動，課堂小結

1.在探索相似多邊形面積之比等于相似比的平方時，采用了怎樣的思想方

法，談談你的認識.

2.請總結一下相似三角形和相似多邊形的性質.

課后作業(yè)

1.布置作業(yè)：從教材P5-56習題27.2中選取.

2.課外思考：

(1)蛋糕店制作兩種圓形蛋糕，一種半徑是15cm,一種半徑是30cm,如果半

徑為15cm的蛋糕夠2個人吃，那么半徑為30cm的蛋糕，夠幾個人吃(假設兩種

蛋糕的高度相同)？八/

(2)如圖，在AABC中，DE〃FG〃BC,D、F在AB邊上，/\￡

E、G在AC邊上，且DE、FG將aABC的面積三等分，若

F/\G

AB=10,試求AD,DF的長.8/------V

(3)完成創(chuàng)優(yōu)作業(yè)中本課時的“課時作業(yè)”部分.

?教學反思

本課時的教學過程中，首先提出問題讓學生回答，這有助于學生回顧有關知

識，接著教師提出問題并讓學生自主探索形成初步認識，最后師生共同歸納結論.

在上述教學過程中，教師要充分調動學生的積極性，自主探究，體會發(fā)現(xiàn)和解決

問題的樂趣.

相似三角形及平行線分線段成比例

一、學生知識狀況分析

學生在本章前兩課時的學習中，通過對相似圖形的直觀感知，體會到可以

用對應線段長度的比來描述兩個形狀相同的平面圖形的大小關系。從而認識了線

段的比，成比例線段。通過對方格紙中成比例線段的探究，了解了合比性質與等

比性質，并在探究活動中積累了一定的合作交流的經驗，培養(yǎng)了提出問題與解決

問題的能力。同時學生通過對合比性質與等比性質的演繹證明，也進一步發(fā)展了

邏輯推理能力。

二、教學任務分析

本節(jié)課依舊采用前兩節(jié)在方格紙中探究的方式，引導學生得出平行線分線段

成比例及其推論。平行線分線段成比例定理是研究相似形的最重要和最基本的理

論，是《課程標準》圖形的性質及其證明中列出的九個基本事實之一。在知識技

能方面，要求學生理解并掌握平行線分線段成比例定理及其推論，并會靈活應用。

學生經歷運用平行線分線段成比例及其推論解決問題的過程，在觀察、計算、討

論、推理等活動獲取知識。讓學生經歷“觀察一猜想一歸納一驗證”的數學思想，

并體會數形結合和特殊到一般的思想方法。進一步發(fā)展學生的說理和簡單推理的

意識及能力；進一步體會數學與現(xiàn)實生活的緊密聯(lián)系。

教學目標：

（一）知識目標

理解并掌握平行線分線段成比例的基本事實及其推論，并會靈活應用。

（二）能力目標

通過應用，培養(yǎng)識圖能力和推理論證能力。

（三）情感與價值觀目標

（1）、培養(yǎng)學生積極的思考、動手、觀察的能力，使學生感悟幾何知識在生活中

的價值。

（2）、在進行探索的活動過程中發(fā)展學生的探索發(fā)現(xiàn)歸納意識并養(yǎng)成合作交流的

習慣。

教學重點：平行線分線段成比例定理和推論及其應用。

教學難點：平行線分線段成比例定理及推論的靈活應用，平行線分線段成比

例定理的變式。

三、教學過程分析

本節(jié)課設計了五個教學環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：復習設疑，引入新課；第二環(huán)節(jié)：

探索發(fā)現(xiàn)平行線分線段成比例定理及其推論；第三環(huán)節(jié)：平行線分線段成比例定

理及其推論的簡單應用；第四環(huán)節(jié)：課堂小結；第五環(huán)節(jié)：布置作業(yè).

第一環(huán)節(jié)：復習設疑，引入新課

內容：教師提問：

（1）什么是成比例線段？

（2）你能不通過測量快速將一根繩子分成兩部分，使得這兩部分的比是

2:3?

目的：（1）復習成比例線段的內容，回顧上節(jié)課通過方格紙?zhí)骄砍杀壤€

段性質的過程。（2）通過一個生活中的實例激發(fā)學生探究的欲望。

效果：學生對不通過測量快速將一根繩子分成兩部分，使得這兩部分的比是

2:3,這一問題很感興趣，急切想要知道解決辦法。

第二環(huán)節(jié)：小組活動，探究定理

1.探究活動一：

內容：如圖（1）小方格的邊長都是1,直線a〃b〃c，分別交直線m,n

于A,,A”A：”Bt，B2,B3

（1）計算?爭，爭察你有什么發(fā)現(xiàn)？

（2）將b向下平移到如下圖2的位置，直線m,n與直線b的交點分別為

A2,B2O你在問題（1）中發(fā)現(xiàn)的結論還成立嗎？如果將b平移到其他位置呢？

（圖2）

（3）在平面上任意作三條平行線，用它們截兩條直線，截得的線段成比例嗎？

歸納：平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對

應線段成比例；

目的：讓學生通過觀察、度量、計算、猜測、驗證、推理與交流等數學活動,

達到對平行線分線段成比例定理的意會、感悟。

效果：學生在以前的學習中，尤其是本章前兩節(jié)的探究也是通過表格中的多

邊形來完成的。所以學生有種熟悉感，并不感到困難。

2.議一議：

內容：教師提問：1.如何理解“對應線段”？

2.平行線分線段成比例定理的符號語言如何表示?

3.“對應線段”成比例都有哪些表達形式？

若a〃b〃c，則A4_

4A3B2B3

4a_B\B?aa_B?B3

由比例的性質還可以得到：Aa42,AaByB2

A?A3_B?B3

成比例線段時，感覺結論很多，老師這時可以引導總結出成比例線段的特點，那

就是都體現(xiàn)了“對應”二字。

2.探究活動二：

內容：如圖3,直線a〃b〃c,分別交直線m,n于A,,A2>A3,B”B2>

B3O過點&作直線n的平行線，分別交直線b,c于點Cz，C3o（如圖4）,圖

4中有哪些成比例線段?

（圖3）（圖4）

推論：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對應線段成比例。

目的：讓學生脫離表格，不通過計算，運用平行四邊形的性質推理得出平行線等

分線段定理的推論。

效果：學生已經學習過特殊四邊形的性質與證明，所以很容易得出AC=BA，

C2C3=B2B;i,進而得出推論。而且讓學生歸納表述結論，可培養(yǎng)學生的抽象概括能

力及語言表達能力。

進一步探究內容：熟悉該定理及推論的幾種基本圖形

目的：加深對平行線分線段成比例定理及其推論的理解，發(fā)展學生生曲g能/E

效果：經過這一環(huán)節(jié)的變式應用，學生能夠歸納出平行線分線段成比例

推論的本質特征。

3.探究活動三：/

內容:直線14、15、16被11、12、13所截且人13=點則圖中還

有哪些線段相等?

_4/、：\I—

思考：當平行平間的,嘮崎仃為中段匕是#?

2.如何不岫測量學知吼，前速N將凱力分成兩部分,使這兩部

分之比是2，B\

目的：讓步體會平行線*分線段定理可看作噌A背分線段成比例定理的特

例。解從六丁人刖掘山阜題。口，弋’

效果：/也很容易算中此時、對應線段的比值也、后面探究相似與全等的

關系做彳鋪墊。⑵\

第三環(huán)節(jié)：靈活應用

內容：例1、如圖，在aABC中，E、F分別是AB和AC上的點，且EF〃BC,

(1).如果AE=7,FC=4，那么AF的長是多少？

(2).如果AB=10,AE=6,AF=5,那么FC的長是多少？

課堂練習：

1、如圖，已知L〃k〃知

(1).在圖(1)中AB=5,BC=7,EF=4,求DE的長。

(2).在圖(2)中DE=6,EF=7,AB=5,求AC的長。

(1)(2)

2、如圖，在AABC中，D、E分別是AB和AC上的點，且DE〃BC,

(1).如果AD=3.2cm,DB=1.2cm,AE=2.4cm,那么EC的長是多少？

(2).如果AB=5cm,AD=3cm,AC=4cm,那么EC的長是多少？

目的：通過對平行線分線段成比例定理的簡單應用，規(guī)范書寫格式，培養(yǎng)學生嚴

謹的邏輯推理能力，深化對知識的理解。

效果：由學生直觀操作得出的結論與簡單推理進行有機結合，是對探索活動的自

然延續(xù)和必要發(fā)展，實現(xiàn)理性升華，培養(yǎng)語言表達能力。

第四環(huán)節(jié)：課堂小結：

內容：本節(jié)課你有哪些收獲？

目的：

通過師生反思評價，實理知識的系統(tǒng)歸納，對知識和方法進行總結，并通過作業(yè)

和考題全面鞏固平行線分線段成比例定理及其推論。

效果：

學生都能歸納出：1、兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例；

2、平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對應線段成比例。

第五環(huán)節(jié)：布置作業(yè)：

知識技能1、2、

問題解決3、4.

學法指導

本節(jié)的難點也是平行線分線段成比例定理.平行線分線段成比例定理變式較

多，學生在找對應線段時常常出現(xiàn)錯誤；另外在研究平行線分線段成比例時，常

用到代數中列方程的方法，利用已知比例式或等式列出關于未知數的方程，求出

未知數，這種運用代數方法研究幾何問題，學生接觸不多，也常常出現(xiàn)錯誤.

在授課過程中要根據學生的個體差異，注意因材施教、分層教學，在教學中結合

課本“想一想”、“議一議”、“做一做”等教學環(huán)節(jié)調動學生的潛能，為每一

位學生創(chuàng)設施展才能的空間，讓學生學得輕松、愉快，培養(yǎng)學生的成就感，使每

一位學生都能獲得不同程度的成功。同時把學生的活動貫穿于教學的整體過程

中，提供學生學習合作、交流、探索、歸納的機會，使學生最大限度的動手、動

口、動腦、同伴互助，讓學生通過實際感悟平行線分線段成比例定理及其推論的

區(qū)別與聯(lián)系。

27.1.1相似圖形及成比例線段

一、教學目標

1.通過實例知道相似圖形的意義.

2.經歷觀察、猜想和分析過程，知道相似多邊形對應角相等，對應邊的比相等，

反之亦然.

二、教學重點和難點

1.重點：相似圖形和相似多邊形的意義.

2.難點：探索相似多邊形對應角相等，對應邊的比相等.

三、教學過程

（一）創(chuàng)設情境，導入新課

師：（出示兩張全等的圖片）大家看這兩個圖形，（稍停）這兩個圖形形狀相同，

大小也相同，它們叫什么圖形？

生：（齊答）叫全等圖形.

師：（出示兩張相似的圖片）大家看這兩個圖形，（稍停）這兩個圖形只是形狀

相同，它們叫什么圖形？（稍停）它們叫相似圖形.也可以說，這兩個圖形相

似（板書：相似）.

師：和全等一樣，相似也是兩個圖形的一種關系.從今天開始我們要學習新的一

章，這一章要學的內容就是相似（在“相似”前板書：第二十七章）.

（二）嘗試指導，講授新課

師：相似圖形在我們的生活中是很常見的，大家把課本翻到第34頁，（稍停）

34頁上有幾個圖，左上方是用同一張底片洗出的不同尺寸的照片，它們是相

似圖形；還有大小不同的兩個足球，它們也是相似圖形；還有一輛汽車和它的

模型，它們也是相似圖形.

師：看了這些相似圖形，哪位同學能給相似圖形下一個定義？

生：……（讓幾名同學回答）

（師出示下面的板書）

形狀相同的兩個圖形叫做相似圖形.

師：請大家一起把相似圖形的概念讀兩遍.（生讀）

師：（出示兩張全等的圖片）全等圖形，它們不僅形狀相同，而且大小也相同；

（出示兩張相似的圖片）而相似圖形，它們只是形狀相同，它們的大小可能相

同，也可能不相同.

師：明確了相似圖形的概念，下面請同學們來舉幾個相似圖形的例子，誰先來說？

生：……（讓幾位同學說，如果學生說的題材不夠廣泛，師可以再舉幾個例子.

譬如，放電影時，屏幕上的畫面與膠片上的圖形是相似圖形；實際的建筑物與

它的模型是相似圖形；復印機把一個圖形放大，放大后的圖形和原來圖形是相

似圖形）

師：好了，下面請大家做一個練習.

（三）試探練習，回授調節(jié)

1.下列各組圖形哪些是相似圖形？

(6)

2.如圖，圖中是人們從平面鏡及哈哈鏡里看到的不同鏡像，它們相似嗎？

（四）嘗試指導，講授新課

（師出示下圖）

師：（指準圖）這個三角形和這個三角形形狀相同，所以它們是相似三角形.從

圖上看，這兩個相似三角形的角有什么關系？

生：ZA=ZA\ZB=ZB,,ZC=ZC,.（生答師板書：NA=NA',NB=NB',Z

C=ZC,）

師：（指圖）這兩個相似三角形的邊有什么關系？（讓生思考一會兒）

師：（指準圖）AB與A'B'的比是工匕（板書：工與），BC與B'C'的比是/（板

A0ABB0

書：,）‘CA與C，A，的比是黑（板書：黑）’這三個比相等嗎?

生：（齊答）相等.

師：為什么相等？（稍停后指準圖）△A'B'C可以看成是aABC縮小得到的，假

如AB是A'B'的2倍，那么可以想象，BC也是B'C'的2倍，CA也是C'A'的2

倍，所以這三個比相等（在式子中間寫上兩個等號）.

師：我們再來看一個例子.

（師出示下圖）

師：（指準圖）這個四邊形和這個四邊形形狀相同，所以它們是相似四邊形.從

圖上看，這兩個相似四邊形的角有什么關系？

生：ZA=ZA\NB=NB',NC=NC',ZD=ZDZ.（生答師板書：NA=NA',Z

B=NB',ZC=ZC\ND=ND'）

師：（指圖）這兩個相似四邊形的邊有什么關系？

生：膽=￡=0=磐.（生答師板書：膽:角=2.理）

ABBOCnDWABBOCHDW

師：（指式子）這四個比為什么相等？（稍停后指準圖）四邊形A'B'C'D'可以

看成是四邊形ABCD放大得到的，假如AB是A'B'的一半，那么可以想象，BC

也是B'C'的一半，CD也是C'D'的一半，DA也是D'A，的一半，所以這四個比

相等.

師：從這兩個例子，大家想一想，你能得出一個什么結論？（等到有一部分同學

舉手再叫學生）

生：……（多讓幾名學生發(fā)表看法）

（師出示下面的板書）

相似多邊形對應角相等，對應邊的比也相等.

師：請大家把這個結論一起來讀兩遍.（生讀）

師：相似多邊形對應角相等，對應邊的比也相等.實際上，這個結論反過來也是

成立的，反過來怎么說？

生：……（讓幾名學生說）

（師出示下面的板書）

對應角相等，對應邊的比也相等的多邊形是相似多邊形.

師：請大家把反過來的結論一起來讀兩遍.（生讀）

師：我們知道，形狀相同的多邊形是相似多邊形.但是，什么樣才算形狀相同呢？

（稍停）從這兩個結論我們可以看到，對多邊形來說，所謂形狀相同，實際上

指的就是對應角相等，對應邊的比也相等.對應角相等，對應邊的比也相等的

多邊形是相似多邊形.所以，現(xiàn)在我們可以給相似多邊形下一個更明確的定義.

（師出示下面的板書）

對應角相等，對應邊的比也相等的兩個多邊形叫做相似多邊形.

師：下面我們利用相似多邊形的概念來做兩個練習.

（五）試探練習，回授調節(jié)

3.如圖，AABC與△A'B'C'相似，則NC'=°,B'C'=.

4.判斷正誤：對的畫“J”，錯的畫“義”.

（1）兩個等邊三角形一定相似；（）

（2）兩個正方形一定相似；（）

（3）兩個矩形一定相似；（）

（4）兩個菱形一定相似.（）

（六）歸納小結，布置作業(yè)

師：（指準板書）本節(jié)課我們學習了相似圖形和相似多邊形的概念.什么叫做相

似圖形？形狀相同的兩個圖形叫做相似圖形.從這兩個結論，我們進一步發(fā)現(xiàn),

對多邊形來說，所謂形狀相同指的就是對應角相等，對應邊的比也相等.所以

我們又給相似多邊形下了一個更明確定義：對應角相等，對應邊也相等的兩個

多邊形叫做相似多邊形.

（作業(yè)：P35練習LP38習題1.4.）

四、板書設計

27.2.5用邊角關系判定三角形相似

產敦與目標

【知識與技能】

1.初步掌握“兩組對應邊的比相等且它們的夾角相等的兩個三角形相似”的判

定方法.

2.能運用它們解決具體問題.

【過程與方法】

經歷從實驗探究到歸納證明的過程，發(fā)展學生的合理推理能力.

【情感態(tài)度】

培養(yǎng)學生的觀察、動手探究、歸納總結能力，形成推理、說明的科學態(tài)度.

【教學重點】

兩個三角形相似的判定定理及其應用.

【教學難點】

準確運用判定定理來判定三角形是否相似.

,教學士旌

一、情境導入，初步認識

問題判定兩個三角形全等我們有SAS方法，類似地，判定兩個三角形相似

是否也有類似的簡單方法呢？

【教學說明】設置疑問，引導學生思考，嘗試用類似的思路來判定兩個三角形相

似，激發(fā)求知欲望.

二、思考探究，獲取新知

思考如圖，在AABC和AVB'C'中，若NA=NA',且空=芷，那么

A'B'A'C'

△ABC與AA'B'C'信相似？為｛十么？

【教學說明】通過“思考1”的學習，對于“思考2”教師可讓學生也嘗試著在

△A'8C中構造叢NDE,類似地得到AN優(yōu)?邱EC,

△A'DE之△ABC,從而△ABC?AA'EC.教師巡視，學生可相互交流，針對學生實際可

作適當的提示，幫助學生完成證明，獲得理性思考的體驗.

相似三角形的判定定理如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，并且相應

的夾角相等，那么這兩個三角形相似.

問題如果定理中的“夾角相等”換成“其中一邊的對角對應相等”，其他

條件不變，這樣的兩個三角形仍能相似嗎？若相似，請予以證明；若不相似，請

舉一反例.

【教學說明】教師可與學生一道回顧“兩邊對應相等，且其中一邊的對角也相

等的兩個三角形不一定全等”時所舉出的反例，使學生能輕松地過渡到判別它

們不一定能相似時可能存在的一種情形.加深對定理中“夾角相等”這一條件的

理解.

三、典例精析，掌握新知

例1教材P33中例

【教學說明】教師可讓學生自主完成，讓學生從中體驗成功的喜悅.對于題，還

可讓學生說出他們的相似比是多少；對于題，應引導學生用小邊比小邊，中邊比

中邊，大邊比大邊的比值進行說明，不能出現(xiàn)混亂.進一步地，若要使得兩個三

角形相似，可改變其中一條線段的長，讓學生試試看.

例2如圖，四邊形ABCD中，ZB=ZACD,AB=6,BC=4,AC=5,CD=7.5,

你能求出線段AD的長嗎？說說你的理由.

【教學說明】可讓學生獨立完成試試看，也可以相互交流，共同探討解題思路，

然后予以評析，鞏固本節(jié)所學知識.

四、運用新知，深化理解

根據下列條件，判斷AABC與MBC是否相似，并說明理由：

ZA=40°,AB=8cm,AC=15cm,NA'=40°,A,B,=16cm,

A'C'=30cm；

【教學說明】1、2題讓學生獨立完成，第3題可集體評講（在學生思考后），

注重于分類思想.在完成上述題目后，教師引導學生完成創(chuàng)優(yōu)作業(yè)中本課時的“名

師導學”部分.

五、師生互動，課堂小結

1.與同伴交流論證判定定理中的證明方法，談談你的認識；

2.判定定理中“夾角相等”這個條件是否可換成“一角對應相等”，

說說你的理由.

.＞課后作業(yè)

1.布置作業(yè)：從教材Pwi,習題27.2中選取.

2.完成創(chuàng)優(yōu)作業(yè)中本課時的“課時作業(yè)”部分.

敦學反思

本課時教學可采用類比的方法進行，一方面可類比兩個三角形全等的判定方法,

另一方面可類比上一課時中有關兩個三角形相似的判定方法.教學時應注意突出

學生的主體地位，讓學生獨立完成并相互交流,教師給予引導并同學生一起歸納,

以提高學生的推理能力.

27.2.6用兩角相等關系判定三角形相似

（教學目標）

1.掌握判定兩個三角形相似的方法：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形

的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似。

2.培養(yǎng)學生的觀察、發(fā)現(xiàn)、比較、歸納能力，感受兩個三角形相似的判定方法

3與全等三角形判定方法（AAS、ASA）的區(qū)別與聯(lián)系，體驗事物間特殊與

一般的關系。

3.讓學生經歷從實驗探究到歸納證明的過程，發(fā)展學生的合情推理能力。

（教學重點與難點）

重點：兩個三角形相似的判定方法3及其應用

難點：探究兩個三角形相似判定方法3的過程

（教學設計）

教學過程設計意圖說明

新課引入：

復習兩個三角形相似的判定方法1、2與全等

三角形判定方法（SSS、SAS）的區(qū)別與聯(lián)系：從復習兩個三角形相

SSS似的判定方法1與全等三角

1形判定方法（SSS）及兩個

如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么三角形相似的判定方法2與

這兩個三角形相似。（相似的判定方法1）全等三角形判定方法（SAS）

SAS的區(qū)別與聯(lián)系來以舊引新，

I幫助學生建立新舊知識間

如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，并且的聯(lián)系，體會事物間一般到

相應的夾角相等，那么這兩個三角形相似。（相似的特殊、特殊到一般的關系。

判定方法2）

提出問題：

觀察兩副三角尺，其中同樣角度（30°與60°,通過觀察同樣角度的

或45°與45°）的兩個三角尺大小可能不同，但它們兩副三角尺，可以發(fā)現(xiàn)：兩

看起來是相似的。個三角尺大小可能不同，但

1它們的形狀相同。學生從實

如果兩個三角形有兩組角對應相等，它們一定物的比較中容易直觀地得

相似嗎？至1」：如果兩個三角形有兩組

角對應相等，它們很可能相

似。

延伸問題：

作AABC與AAIBICI,使得NA=NAi,ZB=Z

Bi,這時它們的第三角滿足NC=NCi嗎？分別度量

這兩個三角形的邊長，計算絲、—<—,作圖并動手進行尺規(guī)

A\B\B\C\A\C\實驗來探索命題成立的可

你有什么發(fā)現(xiàn)？（學生獨立操作并判斷）

能性，讓學生經歷定理的重

1

發(fā)現(xiàn)過程，有助于對定理的

分析：學生通過度量，不難發(fā)現(xiàn)這兩個三角形

理解。

的第三角滿足

/廠“ABBCAC

ZC=ZCi,-----=------=------o

A\B\B\C\A\C\

l

分別改變這兩個三角形邊的大小，而不改變它

們的角的大小，再試一試，是否有同樣的結論？（利讓學生進行協(xié)同式小

用刻度尺和量角器，讓學生先進行小組合作再作出組合作可以提高實驗的效

具體判斷。）率，并培養(yǎng)學生的合作能

力。

探究方法：

探究3

分別改變這兩個三角形邊的大小，而不改變它

們的角的大小，再試一試，是否有同樣的結論？（教把學生利用刻度尺、量角器

師應用“幾何畫板”等計算機軟件作動態(tài)探究進行等作圖工具作靜態(tài)探究與

演示驗證，引導學生觀察在動態(tài)變化中存在的不變應用“幾何畫板”等計算機

因素。）軟件作動態(tài)探究結合起來