高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全程規(guī)劃(新高考地區(qū)專用)重難點(diǎn)05函數(shù)與方程中的零點(diǎn)問(wèn)題(2種考向6種考法)專項(xiàng)練習(xí)(原卷版+解析)

重難點(diǎn)05函數(shù)與方程中的零點(diǎn)問(wèn)題（2種考向6種考法）【目錄】考向一：函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷考法1：方程法判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)考法2：數(shù)形結(jié)合法判段函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)考法3：轉(zhuǎn)化法判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)考法4：零點(diǎn)存在定理與函數(shù)性質(zhì)結(jié)合判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)考向二：利用零點(diǎn)求參數(shù)的值（范圍）考法5：利用函數(shù)零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值或參數(shù)范圍考法6：利用函數(shù)的交點(diǎn)（交點(diǎn)個(gè)數(shù)）求參數(shù)二、命題規(guī)律與備考策略二、命題規(guī)律與備考策略一、函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：（1）直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．（2）零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)．（3）利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．二、利用零點(diǎn)求參數(shù)的值（范圍）常用的方法（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解已知函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問(wèn)題的本質(zhì)都是研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，求解此類問(wèn)題的一般步驟：（1）轉(zhuǎn)化，即通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題；（2）列式，即根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式；（3）得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍．三、題型三、題型方法考法1：方程法判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)一、單選題1．（2023秋·新疆喀什·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，，則在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5二、多選題3．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，下列說(shuō)法正確的有（

）A．若與圖象至多有2個(gè)公共點(diǎn)B．若與圖象至少有2個(gè)公共點(diǎn)C．若與圖象至多有2個(gè)公共點(diǎn)D．若與圖象至少有2個(gè)公共點(diǎn)三、填空題4．（2022秋·江蘇南通·高三江蘇省通州高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列3個(gè)條件的函數(shù)=__．①是上偶函數(shù)；②在上恰有三個(gè)零點(diǎn)；③在上單調(diào)遞增．5．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①若，恰有2個(gè)零點(diǎn)；②存在負(fù)數(shù)，使得恰有1個(gè)零點(diǎn)；③存在負(fù)數(shù)，使得恰有3個(gè)零點(diǎn)；④存在正數(shù)，使得恰有3個(gè)零點(diǎn)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_______．四、解答題6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是定義在R上的函數(shù)，，，，求在區(qū)間上至少有幾個(gè)根？7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，證明在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)在某一周期內(nèi)的圖像時(shí)，列表并填入的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：x0010-10000(1)請(qǐng)?zhí)顚懮媳淼目崭裉帲嫵龊瘮?shù)圖像(2)寫出函數(shù)的解析式，將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位，再所得圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像，求的解析式．(3)在（2）的條件下，若在上恰有奇數(shù)個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a與零點(diǎn)個(gè)數(shù)n的值．考法2：數(shù)形結(jié)合法判段函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)一、單選題1．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．2023 B．2025 C．2027 D．20292．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)在上滿足，，且在閉區(qū)間上只有，則方程在閉區(qū)間上的根的個(gè)數(shù)（

）．A．1348 B．1347 C．1346 D．13453．（2023春·貴州黔東南·高三?？茧A段練習(xí)）函數(shù)在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．64．（2023·山東日照·統(tǒng)考二模）對(duì)于給定的正整數(shù)﹐定義在區(qū)間上的函數(shù)滿足：當(dāng)時(shí)，且對(duì)任意的，都有．若與n有關(guān)的實(shí)數(shù)使得方程在區(qū)間上有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解，則關(guān)于x的方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為（

）A．n B． C． D．二、多選題5．（2023·山西晉中·統(tǒng)考三模）已知圓，則（

）A．存在兩個(gè)不同的a，使得圓C經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)B．存在兩個(gè)不同的a，使得圓C在x軸和y軸上截得的線段長(zhǎng)相等C．存在唯一的a，使得圓C的面積被直線平分D．存在三個(gè)不同的a，使得圓C與x軸或y軸相切三、填空題6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)滿足：當(dāng)時(shí)，，且對(duì)任意都成立，則方程的實(shí)根個(gè)數(shù)是______．7．（2023·四川·四川省金堂中學(xué)校校聯(lián)考三模）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_________.考法3：轉(zhuǎn)化法判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)一、單選題1．（2022秋·全國(guó)·高一專題練習(xí)）方程解的情況是（

）A．有且只有一個(gè)根 B．不僅有根還有其他根C．有根和另一個(gè)負(fù)根 D．有根和另一個(gè)正根2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則下列關(guān)于函數(shù)的描述中，其中正確的是（

）．①當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩不同零點(diǎn)，它們互為倒數(shù)；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)；④當(dāng)時(shí)，函數(shù)有四個(gè)不同零點(diǎn)，且這四個(gè)零點(diǎn)之積為1．A．①② B．②③ C．②④ D．③④3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．64．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)不可能是（

）A．1 B．2 C．3 D．45．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）對(duì)于任意正實(shí)數(shù)，關(guān)于的方程的解集不可能是（

）A． B． C． D．二、多選題6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，那么函數(shù)在定義域內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可能是（

）A．2 B．4 C．6 D．8三、填空題7．（2023·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考二模）若函數(shù)，，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_____．四、解答題8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）證明：函數(shù)的圖象與的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，（1）求，的值；（2）求的解析式并畫出函數(shù)的簡(jiǎn)圖；（3）討論方程的根的情況.考法4：零點(diǎn)存在定理與函數(shù)性質(zhì)結(jié)合判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)一、單選題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)定義在上的奇函數(shù)滿足在，則在上的零點(diǎn)至少有（

）個(gè)A．6 B．7C．12 D．132．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知四個(gè)函數(shù)：（1），（2），（3），（4），從中任選個(gè)，則事件“所選個(gè)函數(shù)的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”的概率為_(kāi)__________.三、解答題4．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)討論函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)證明：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn).考向二：利用零點(diǎn)求參數(shù)的值（范圍）考法5：利用函數(shù)零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值或參數(shù)范圍一、單選題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，若關(guān)于的方程在上有且僅有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023·山西陽(yáng)泉·統(tǒng)考三模）函數(shù)在區(qū)間存在零點(diǎn)．則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2023·陜西商洛·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，若函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．（2023·四川自貢·統(tǒng)考三模）設(shè)函數(shù)有唯一的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m為（

）A．2 B． C．3 D．5．（2023·陜西商洛·統(tǒng)考三模）記函數(shù)的最小正周期為，且，若在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，分別是函數(shù)和的零點(diǎn)，則（

）A． B． C．D．三、填空題7．（2023·四川涼山·三模）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_____．8．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)____________；若恰有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是______________.9．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.10．（2023·天津河西·統(tǒng)考一模）已知，且函數(shù)恰有個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．四、解答題11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是偶函數(shù)．(1)求實(shí)數(shù)k的值．(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．(3)函數(shù)（且），函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．12．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，．(1)求的單調(diào)性；(2)若函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．考法6：利用函數(shù)的交點(diǎn)（交點(diǎn)個(gè)數(shù)）求參數(shù)一、單選題1．（2023春·貴州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)，若，有，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)且有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、填空題3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于______.4．（2022春·上海閔行·高三閔行中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知，函數(shù)，若存在不相等的三個(gè)實(shí)數(shù)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.三、解答題5．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)在區(qū)間上恰有3個(gè)零點(diǎn)，其中為正整數(shù).(1)求函數(shù)的解析式；(2)將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.6．（2023·海南海口·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求的最值；(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像與的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．重難點(diǎn)05函數(shù)與方程中的零點(diǎn)問(wèn)題（2種考向6種考法）【目錄】考向一：函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷考法1：方程法判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)考法2：數(shù)形結(jié)合法判段函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)考法3：轉(zhuǎn)化法判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)考法4：零點(diǎn)存在定理與函數(shù)性質(zhì)結(jié)合判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)考向二：利用零點(diǎn)求參數(shù)的值（范圍）考法5：利用函數(shù)零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值或參數(shù)范圍考法6：利用函數(shù)的交點(diǎn)（交點(diǎn)個(gè)數(shù)）求參數(shù)二二、命題規(guī)律與備考策略一、函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：（1）直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．（2）零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)．（3）利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．二、利用零點(diǎn)求參數(shù)的值（范圍）常用的方法已知函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問(wèn)題的本質(zhì)都是研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，求解此類問(wèn)題的一般步驟：（1）轉(zhuǎn)化，即通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題；（2）列式，即根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式；（3）得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍．三、題型三、題型方法考法1：方程法判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)一、單選題1．（2023秋·新疆喀什·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，，則在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)三角恒等變換的化簡(jiǎn)可得，令2x-=kπ求得x=+，k∈Z，列舉k的值即可求解.【詳解】，當(dāng)2x-=kπ，k∈Z時(shí)，x=+，k∈Z，所以當(dāng)k=0時(shí)，x=，當(dāng)k=1時(shí)，x=，所以f(x)在區(qū)間(0,π)上有2個(gè)零點(diǎn).故選：B.2．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】利用輔助角公式可得，令，從而解得在的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】由，得，又，所以，所以或解得或.所以函數(shù)在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是2.故選：A.二、多選題3．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，下列說(shuō)法正確的有（

）A．若與圖象至多有2個(gè)公共點(diǎn)B．若與圖象至少有2個(gè)公共點(diǎn)C．若與圖象至多有2個(gè)公共點(diǎn)D．若與圖象至少有2個(gè)公共點(diǎn)【答案】ACD【分析】對(duì)于選項(xiàng)AC，聯(lián)立方程利用判別式判斷該選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)B,假設(shè)，可以判斷該選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，說(shuō)明有兩個(gè)解即可判斷該選項(xiàng)真假.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A.，所以與圖象至多有2個(gè)公共點(diǎn)，所以該選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)B,假設(shè)，則令，所以或，所以.所以此時(shí)與圖象只有1個(gè)公共點(diǎn)，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，，令，所以，此時(shí)與圖象至多有2個(gè)公共點(diǎn)，所以該選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)D,,令，假設(shè)或，所以和是的兩個(gè)解，所以與圖象至少有2個(gè)公共點(diǎn)，所以該選項(xiàng)正確.故選：ACD三、填空題4．（2022秋·江蘇南通·高三江蘇省通州高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列3個(gè)條件的函數(shù)=__．①是上偶函數(shù)；②在上恰有三個(gè)零點(diǎn)；③在上單調(diào)遞增．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)條件①②可令函數(shù)為兩個(gè)偶函數(shù)的積，其中一個(gè)有唯一零點(diǎn)0，另兩個(gè)零點(diǎn)互為相反數(shù)，再驗(yàn)證單調(diào)性作答.【詳解】因?yàn)槭巧吓己瘮?shù)，且在上恰有三個(gè)零點(diǎn)，于是的一個(gè)零點(diǎn)為0，另兩個(gè)零點(diǎn)互為相反數(shù)且不為0，不妨令，顯然是上偶函數(shù)，且有3個(gè)零點(diǎn)分別為，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，恒成立，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)符合題意.故答案為：5．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①若，恰有2個(gè)零點(diǎn)；②存在負(fù)數(shù)，使得恰有1個(gè)零點(diǎn)；③存在負(fù)數(shù)，使得恰有3個(gè)零點(diǎn)；④存在正數(shù)，使得恰有3個(gè)零點(diǎn)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_______．【答案】①②④【分析】由可得出，考查直線與曲線的左、右支分別相切的情形，利用方程思想以及數(shù)形結(jié)合可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，由，可得或，①正確；對(duì)于②，考查直線與曲線相切于點(diǎn)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可得，解得，所以，存在，使得只有一個(gè)零點(diǎn)，②正確；對(duì)于③，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，，解得，所以，當(dāng)時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，直線與曲線有一個(gè)交點(diǎn)，所以，，此不等式無(wú)解，因此，不存在，使得函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，考查直線與曲線相切于點(diǎn)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可得，解得，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，④正確.故答案為：①②④.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：已知函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問(wèn)題的本質(zhì)都是研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，求解此類問(wèn)題的一般步驟：（1）轉(zhuǎn)化，即通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題；（2）列式，即根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式；（3）得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍．四、解答題6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是定義在R上的函數(shù)，，，，求在區(qū)間上至少有幾個(gè)根？【答案】401【分析】依題意可求得，再求得在區(qū)間上，方程至少兩個(gè)根，結(jié)合周期函數(shù)性質(zhì)求解即可．【詳解】由，則，又，則，所以，則，又，所以在區(qū)間上，方程至少兩個(gè)根，又是周期為10的函數(shù)，則在每個(gè)周期上至少有兩個(gè)根，所以方程在區(qū)間上至少有1+個(gè)根．7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，證明在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).【分析】（1）求得，分、、三種情況討論，分析導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化，由此可得出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；（2）由可得出，由結(jié)合判別式可判斷出方程的根的個(gè)數(shù)，由此可證得結(jié)論成立.（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，則，由可得，由可得，此時(shí)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，由可得或.①當(dāng)時(shí)，，由可得或，由可得，此時(shí)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為、，單調(diào)遞增區(qū)間為；②當(dāng)時(shí)，，由可得，由可得或，此時(shí)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為、，單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）解：由可得，因?yàn)?，則，即關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，所以，當(dāng)時(shí)，在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：討論含參函數(shù)的單調(diào)性，通常注意以下幾個(gè)方面：（1）求導(dǎo)后看最高次項(xiàng)系數(shù)是否為，須需分類討論；（2）若最高次項(xiàng)系數(shù)不為，通常是二次函數(shù)，若二次函數(shù)開(kāi)口方向確定時(shí)，再根據(jù)判別式討論無(wú)根或兩根相等的情況；（3）再根據(jù)判別式討論兩根不等時(shí)，注意兩根大小比較，或與定義域比較.8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)在某一周期內(nèi)的圖像時(shí)，列表并填入的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：x0010-10000(1)請(qǐng)?zhí)顚懮媳淼目崭裉帲嫵龊瘮?shù)圖像(2)寫出函數(shù)的解析式，將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位，再所得圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像，求的解析式．(3)在（2）的條件下，若在上恰有奇數(shù)個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a與零點(diǎn)個(gè)數(shù)n的值．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)；(3)，在共有個(gè)不同的零點(diǎn)【分析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得關(guān)于的方程組，解出的值后再計(jì)算補(bǔ)全表中數(shù)據(jù)，再由表中數(shù)據(jù)可得，從而可得函數(shù)的解析式和圖象.（2）由（1）可得函數(shù)的解析式，伸縮和平移變換求出的解析式.（3）令，設(shè)方程的根為，分①；②；③三種情況討論在及上零點(diǎn)個(gè)數(shù)，再根據(jù)周期性得到的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，結(jié)合題設(shè)條件可得的值及相應(yīng)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可得，解得，故，所以，又，故.所以完善表如下：

0π2π010-100

0

0.函數(shù)圖像如圖：（2）由（1）知：，將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位，所得圖像的解析式為：，再將所得圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像，故.（3），的周期為，當(dāng)時(shí)，令，考慮方程的根情況，因?yàn)?，故在必有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，因?yàn)樵谟衅鏀?shù)個(gè)零點(diǎn)，故或.若，則方程、在共有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，在有0個(gè)實(shí)數(shù)根或2個(gè)實(shí)數(shù)根，故在有個(gè)根或個(gè)根，與有奇數(shù)個(gè)零點(diǎn)矛盾，舍去.若，則在共有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，在有0個(gè)實(shí)數(shù)根或2個(gè)實(shí)數(shù)根，故在有個(gè)根或，與有奇數(shù)個(gè)零點(diǎn)矛盾，舍去.同理也不成立，所以或，若，則，此時(shí)的根為，方程、在共有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，而在上，有兩個(gè)不同的根，無(wú)解，所以在有個(gè)根，與有奇數(shù)個(gè)零點(diǎn)矛盾，舍去；若，則，方程的根，方程、在共有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，而在上，無(wú)解，有一個(gè)根，所以故在有個(gè)根，符合題意.綜上，，在共有個(gè)不同的零點(diǎn).考法2：數(shù)形結(jié)合法判段函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)一、單選題1．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．2023 B．2025 C．2027 D．2029【答案】C【分析】因?yàn)?得出,進(jìn)而依此類推，可得，易知單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合函數(shù)的圖像與這一系列直線確定交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.【詳解】因?yàn)?所以當(dāng)時(shí),,得或,得或,由得或，由得，進(jìn)而可得,故由可得，或或.依此類推，可得，其中k=0,1.2....,2023.易知,,可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，可得在上單調(diào)遞減，畫出函數(shù)的圖像，如圖所示．結(jié)合圖像易知，函數(shù)的圖像與這一系列直線,,共有2027個(gè)交點(diǎn).故選:C2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)在上滿足，，且在閉區(qū)間上只有，則方程在閉區(qū)間上的根的個(gè)數(shù)（

）．A．1348 B．1347 C．1346 D．1345【答案】B【分析】根據(jù)周期函數(shù)性質(zhì)可知，只需求出一個(gè)周期里的根的個(gè)數(shù)，可求得在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，再分區(qū)間和討論即可.【詳解】在上滿足，，關(guān)于直線和直線對(duì)稱，，，，，所以的周期為6，又在閉區(qū)間上只有，則，，且當(dāng)時(shí)，通過(guò)其關(guān)于直線對(duì)稱，得其值對(duì)應(yīng)著的值，則在閉區(qū)間上只有，同理可推得在也只有兩個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)?，則在共有個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)椋以诘膱D象與的圖象相同，則在上有個(gè)零點(diǎn)，則方程在閉區(qū)間上的根的個(gè)數(shù)為1347個(gè).故選：B.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用零點(diǎn)存在性定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)．3．（2023春·貴州黔東南·高三?？茧A段練習(xí)）函數(shù)在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】將問(wèn)題化為函數(shù)在上與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.【詳解】由題設(shè)，令，則，對(duì)于函數(shù)在上與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即為原函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，如下圖示：由上圖，共有5個(gè)交點(diǎn)，即原函數(shù)共有5個(gè)零點(diǎn).故選：C4．（2023·山東日照·統(tǒng)考二模）對(duì)于給定的正整數(shù)﹐定義在區(qū)間上的函數(shù)滿足：當(dāng)時(shí)，且對(duì)任意的，都有．若與n有關(guān)的實(shí)數(shù)使得方程在區(qū)間上有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解，則關(guān)于x的方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為（

）A．n B． C． D．【答案】B【分析】數(shù)形結(jié)合，畫出在區(qū)間上圖象，根據(jù)與的圖象交點(diǎn)分析即可.【詳解】由題意，畫出在之間的圖象，又對(duì)任意的，都有，可理解為區(qū)間的圖象由區(qū)間的圖象往右平移一個(gè)單位，再往上平移一個(gè)單位所得，即可畫出在上的圖象.故若與有關(guān)的實(shí)數(shù)使得方程在區(qū)間上有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解，則與在區(qū)間上的圖象相切，且易得的圖象在與區(qū)間，，，上的公切線之間.故與在區(qū)間，，上均有2個(gè)交點(diǎn)，故關(guān)于的方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為個(gè).故選：B二、多選題5．（2023·山西晉中·統(tǒng)考三模）已知圓，則（

）A．存在兩個(gè)不同的a，使得圓C經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)B．存在兩個(gè)不同的a，使得圓C在x軸和y軸上截得的線段長(zhǎng)相等C．存在唯一的a，使得圓C的面積被直線平分D．存在三個(gè)不同的a，使得圓C與x軸或y軸相切【答案】ACD【分析】對(duì)于A，等價(jià)于判斷方程的解的個(gè)數(shù)，等價(jià)于判斷與交點(diǎn)個(gè)數(shù)，結(jié)合圖象判斷即可，對(duì)于B，由弦長(zhǎng)公式可得等價(jià)于判斷方程的解的個(gè)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)判斷即可，對(duì)于C，等價(jià)于判斷方程的解，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)即可判斷，對(duì)于D，等價(jià)于判斷或的解的個(gè)數(shù)，解方程即可判斷.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，對(duì)于A：設(shè)圓過(guò)原點(diǎn)，則，方程的解的個(gè)數(shù)等價(jià)于函數(shù)的圖象與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作函數(shù)與圓的圖象可得：所以函數(shù)的圖象與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為，所以存在兩個(gè)不同的a，使得圓C經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，A正確；對(duì)于B：圓C在x軸和y軸上截得的線段長(zhǎng)相等等價(jià)于，即，即，方程的解的個(gè)數(shù)函數(shù)和的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)和相等，因?yàn)?，又，，所以函?shù)在區(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)存在一個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，所以，故函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，所以方程的解的個(gè)數(shù)為，即存在一個(gè)a，使得圓C在x軸和y軸上截得的線段長(zhǎng)相等，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：圓C的面積被直線平分等價(jià)于過(guò)圓心，所以，令，求導(dǎo)可得，令，可得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，所以函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，即方程只有一解，所以存在唯一的a，使得圓C的面積被直線平分，C正確；對(duì)于D：圓C與x軸或y軸相切等價(jià)于或，則或a=0，共3解，所以存在三個(gè)不同的a，使得圓C與x軸或y軸相切，D正確；故選：ACD.【點(diǎn)睛】知識(shí)點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，方程與函數(shù)的綜合問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合，邏輯推理的能力.三、填空題6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)滿足：當(dāng)時(shí)，，且對(duì)任意都成立，則方程的實(shí)根個(gè)數(shù)是______．【答案】4【分析】根據(jù)給定條件，探討函數(shù)的性質(zhì)，變形給定方程，轉(zhuǎn)化成求兩個(gè)函數(shù)圖象的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)作答【詳解】依題意，函數(shù)是以4為周期的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，方程，因此原方程的實(shí)根就是函數(shù)與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)與的圖象，如圖，觀察圖象知，當(dāng)時(shí)，兩函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由得，即當(dāng)時(shí)，兩函數(shù)圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，于是當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象有2個(gè)公共點(diǎn)，又函數(shù)與均為偶函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖象有2個(gè)公共點(diǎn)，所以函數(shù)與的圖象有4個(gè)公共點(diǎn)，即原方程有4個(gè)根．故答案為：4【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)圖象法：作出函數(shù)f(x)的圖象，觀察與x軸公共點(diǎn)個(gè)數(shù)或者將函數(shù)變形為易于作圖的兩個(gè)函數(shù)，作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，觀察它們的公共點(diǎn)個(gè)數(shù).7．（2023·四川·四川省金堂中學(xué)校校聯(lián)考三模）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_________.【答案】1【分析】在同一坐標(biāo)系中作出與的圖象，由圖即可得出答案.【詳解】解：注意到，在同一坐標(biāo)系中作出與的圖象，易知零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.故答案為：1.考法3：轉(zhuǎn)化法判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)一、單選題1．（2022秋·全國(guó)·高一專題練習(xí)）方程解的情況是（

）A．有且只有一個(gè)根 B．不僅有根還有其他根C．有根和另一個(gè)負(fù)根 D．有根和另一個(gè)正根【答案】A【分析】化簡(jiǎn)有，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與特值求解即可【詳解】方程等價(jià)為設(shè)，則函數(shù)在上為減函數(shù)，方程有且只有一個(gè)根故選：A2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則下列關(guān)于函數(shù)的描述中，其中正確的是（

）．①當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩不同零點(diǎn)，它們互為倒數(shù)；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)；④當(dāng)時(shí)，函數(shù)有四個(gè)不同零點(diǎn)，且這四個(gè)零點(diǎn)之積為1．A．①② B．②③ C．②④ D．③④【答案】C【分析】畫出函數(shù)圖象即可判斷①，令解方程即可判斷③，將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)圖象交點(diǎn)的問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合即可判斷②和④.【詳解】當(dāng)時(shí)，，函數(shù)圖象如下圖所示，由此可知該函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，故①不正確；當(dāng)時(shí)，則函數(shù)的零點(diǎn)為和，∵函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)，∴由函數(shù)的圖象可知，解得，當(dāng)時(shí)，則函數(shù)的零點(diǎn)為和，此情況不存在有兩不同零點(diǎn)，則函數(shù)有兩不同零點(diǎn)時(shí)的取值范圍是，設(shè)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)零點(diǎn)為，，即或，解得，，則，所以它們互為倒數(shù)，故②正確；當(dāng)時(shí)，函數(shù)解析式為，令，解得，令，解得或，由此可知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，故③不正確；當(dāng)時(shí)，則函數(shù)的零點(diǎn)為和，∵函數(shù)有四個(gè)不同零點(diǎn)，∴由函數(shù)的圖象可知，解得，當(dāng)時(shí)，則函數(shù)的零點(diǎn)為和，此情況不存在有兩不同零點(diǎn)；設(shè)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)零點(diǎn)為，，，，即或，解得，，當(dāng)時(shí)，整理得，當(dāng)時(shí)，，則該方程存在兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根和，由韋達(dá)定理得，所以，則故④正確；故選：.3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】由的性質(zhì)求出對(duì)應(yīng)區(qū)間的值域及單調(diào)性，令并將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與交點(diǎn)橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)值的個(gè)數(shù)，結(jié)合數(shù)形結(jié)合法求零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.【詳解】令，當(dāng)時(shí)，且遞增，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，且遞減，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，且遞增，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，且遞增，此時(shí)，所以，的零點(diǎn)等價(jià)于與交點(diǎn)橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的值，如下圖示：由圖知：與有兩個(gè)交點(diǎn)，橫坐標(biāo)、：當(dāng)，即時(shí)，在、、上各有一個(gè)解；當(dāng)，即時(shí)，在有一個(gè)解.綜上，的零點(diǎn)共有4個(gè).故選：B4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)不可能是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】作出函數(shù)的圖象，換元，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解得個(gè)數(shù)，分類討論，結(jié)合二次方程根個(gè)數(shù)的判斷及數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】函數(shù)的圖象如圖，令，則函數(shù)的零點(diǎn)即方程組的解．設(shè)，則．若，則，有兩個(gè)零點(diǎn)，且由知，此時(shí)方程組有2個(gè)解；若，則，有一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)方程組有1個(gè)解；若，則，沒(méi)有零點(diǎn)，此時(shí)方程組無(wú)解；若，則，有一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)方程組有2個(gè)解；若，則，有兩個(gè)零點(diǎn)，且由知，此時(shí)方程組有4個(gè)解，故選：C5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）對(duì)于任意正實(shí)數(shù)，關(guān)于的方程的解集不可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別將等式左側(cè)和右側(cè)看做函數(shù)的形式，可得函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)稱軸，并求得左右兩側(cè)函數(shù)的最值；通過(guò)單調(diào)性和最值的大小關(guān)系可得解的個(gè)數(shù)有個(gè)，個(gè)或個(gè)的情況，由此可得結(jié)果.【詳解】函數(shù)是開(kāi)口向上且關(guān)于直線對(duì)稱的二次函數(shù)，；函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，；若，則方程無(wú)解；若，則方程有唯一解；若，則方程有兩解，且兩解關(guān)于對(duì)稱；綜上所述：方程的解集不可能是.故選：C.二、多選題6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，那么函數(shù)在定義域內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可能是（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】BC【分析】函數(shù)在定義域的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化成的根的個(gè)數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，只需考慮時(shí)的根的個(gè)數(shù)，從而可得結(jié)論.【詳解】當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，令，解得或2共有兩個(gè)解；當(dāng)時(shí)，令，即，當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解；當(dāng)時(shí)，，符合題意，方程有1解；當(dāng)時(shí)，，不符合題意，方程無(wú)解；所以當(dāng)時(shí)，有2個(gè)或3個(gè)根，而函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，所以函數(shù)在定義域內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可能是4或6.故選：BC三、填空題7．（2023·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考二模）若函數(shù)，，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_____．【答案】5【分析】令，則有,即有，再分，和三種情況，利用圖象求解的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.【詳解】解：令，則有，所以，當(dāng)時(shí)，則有，即,在同一坐標(biāo)系中作出與的圖象，如圖所示：由圖可得此時(shí)兩函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，則有，即，在同一坐標(biāo)系中作出與的圖象，如圖所示：由圖可得此時(shí)兩函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)為，綜上所述，共有5個(gè)零點(diǎn).故答案為：5四、解答題8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）證明：函數(shù)的圖象與的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】把要證兩函數(shù)的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)轉(zhuǎn)化為證明方程有且僅有一個(gè)實(shí)根.易觀察出為其一根，再假設(shè)是函數(shù)圖象的另一個(gè)公共點(diǎn)，然后得出矛盾即可.【詳解】要證明兩函數(shù)和的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，只需證明方程有且僅有一個(gè)實(shí)根，觀察上述方程，顯然有，則兩函數(shù)的圖象必有交點(diǎn)．設(shè)是函數(shù)圖象的另一個(gè)公共點(diǎn)．則，，，∴，即，令，易知函數(shù)為指數(shù)型函數(shù)．顯然在內(nèi)是減函數(shù)，且，故方程有唯一解，從而，與矛盾，從而知兩函數(shù)圖象僅有一個(gè)公共點(diǎn)．9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，（1）求，的值；（2）求的解析式并畫出函數(shù)的簡(jiǎn)圖；（3）討論方程的根的情況.【答案】（1）；（2），圖像見(jiàn)解析；（3）當(dāng)，方程無(wú)實(shí)根、當(dāng)或，有2個(gè)根、當(dāng)，有3個(gè)根、當(dāng)，有4個(gè)根；【分析】（1）函數(shù)求值只需將自變量值代入函數(shù)式計(jì)算即可；（2）求時(shí)的解析式時(shí)，轉(zhuǎn)化為，將其代入已知關(guān)系式，再借助于偶函數(shù)得到函數(shù)解析式，最后將解析式化成分段函數(shù)形式；（3）結(jié)合做出的函數(shù)圖像可知函數(shù)值取不同值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量個(gè)數(shù)是不同的，本題求解主要利用數(shù)形結(jié)合法【詳解】解：（1）是定義在R上的偶函數(shù)，（2）當(dāng)時(shí)，于是是定義在上的偶函數(shù)，，圖像如圖所示：（3）數(shù)形結(jié)合易知：當(dāng)，方程無(wú)實(shí)根；當(dāng)或，有2個(gè)根；當(dāng)，有3個(gè)根；當(dāng)，有4個(gè)根；【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)奇偶函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)解析式，數(shù)形結(jié)合解決方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題，考查運(yùn)算求解能力，數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于利用數(shù)形結(jié)合思想求解.考法4：零點(diǎn)存在定理與函數(shù)性質(zhì)結(jié)合判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)一、單選題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)定義在上的奇函數(shù)滿足在，則在上的零點(diǎn)至少有（

）個(gè)A．6 B．7C．12 D．13【答案】D【分析】根據(jù)奇函數(shù)可得，然后利用周期性和奇偶性結(jié)合可得函數(shù)，進(jìn)而可得所有可能的零點(diǎn).【詳解】是奇函數(shù)，故，又由得周期為1，故，又，，因此，再由周期為1，總之，有，共13個(gè)零點(diǎn)，故選:D．2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性、極值，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷區(qū)間零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可確定答案.【詳解】由題設(shè)，且定義域?yàn)椋栽谏?，在上，即在上遞減，在上遞增，所以的極小值為，又，，則在、上各有一個(gè)零點(diǎn)，共有2個(gè)零點(diǎn).故選：B二、填空題3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知四個(gè)函數(shù)：（1），（2），（3），（4），從中任選個(gè)，則事件“所選個(gè)函數(shù)的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”的概率為_(kāi)__________.【答案】【分析】由四個(gè)函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象進(jìn)行求解即可.【詳解】如圖所示，與，與，與，與均有多個(gè)公共點(diǎn)，令，則，∴在上單調(diào)遞增，又∵，∴有唯一零點(diǎn)，∴與的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)；令，則，∴在上單調(diào)遞增，又∵，∴存在，使，且是的唯一零點(diǎn)，∴與的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).∴從四個(gè)函數(shù)中任選個(gè)，共有種可能，“所選個(gè)函數(shù)的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的有與和與共種可能，∴“所選個(gè)函數(shù)的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”的概率為.故答案為：.三、解答題4．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)討論函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)證明：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn).【答案】(1)在上有且僅有3個(gè)極值點(diǎn).(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求導(dǎo)并利用，得到或，根據(jù)根的個(gè)數(shù)可得極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性并利用零點(diǎn)存在定理求出根的個(gè)數(shù)即可.（2）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，分析的單調(diào)性，可得在區(qū)間內(nèi)的極大值為，極小值為，再利用零點(diǎn)存在定理分析可證.【詳解】（1），令或.設(shè)，則，令，且時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，因?yàn)?，則，此時(shí)在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，記為，因?yàn)?，，時(shí)，所以，所以在上有且僅有3個(gè)極值點(diǎn).（2），當(dāng)時(shí)，在上有3個(gè)極值點(diǎn)：，，，其中，且，當(dāng)時(shí)，，則，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則，單調(diào)遞增.所以在區(qū)間內(nèi)的極大值為，極小值為，且.所以同理，而當(dāng)時(shí)，因此函數(shù)在區(qū)間內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn).綜上所述，時(shí)，在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).考向二：利用零點(diǎn)求參數(shù)的值（范圍）考法5：利用函數(shù)零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值或參數(shù)范圍一、單選題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，若關(guān)于的方程在上有且僅有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象平移的原則得的表達(dá)式，根據(jù)的范圍得出的范圍，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)列出不等式即可得結(jié)果.【詳解】將函數(shù)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)，即，∵，∴，∵在上有且僅有兩個(gè)不相等的實(shí)根，∴，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：B.2．（2023·山西陽(yáng)泉·統(tǒng)考三模）函數(shù)在區(qū)間存在零點(diǎn)．則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)及函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理即可求解.【詳解】由在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間存在零點(diǎn)，所以，即，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故選：B.3．（2023·陜西商洛·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，若函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性和最值，由此可得圖象，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)可直接構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【詳解】定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；，可得圖象如下圖所示，有個(gè)零點(diǎn)，，解得：，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D.4．（2023·四川自貢·統(tǒng)考三模）設(shè)函數(shù)有唯一的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m為（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【分析】令，通過(guò)換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為,易得函數(shù)是偶函數(shù)，再根據(jù)題意可得，即可求解.【詳解】令，則，因?yàn)椋院瘮?shù)是偶函數(shù).因?yàn)楹瘮?shù)有唯一的零點(diǎn)，所以函數(shù)有唯一的零點(diǎn).則，即，解得.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：這道題的關(guān)鍵能通過(guò)換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為，從而利用偶函數(shù)有唯一零點(diǎn)得到，從而求解.5．（2023·陜西商洛·統(tǒng)考三模）記函數(shù)的最小正周期為，且，若在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由求得，使用整體換元法求得的范圍，根據(jù)在上恰有3個(gè)零點(diǎn)列出滿足的不等式關(guān)系求解即可.【詳解】因?yàn)榈淖钚≌芷跒門，所以．又，所以，當(dāng)時(shí)，，由在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，得，解得．故選：A二、多選題6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，分別是函數(shù)和的零點(diǎn)，則（

）A． B． C．D．【答案】BCD【分析】利用函數(shù)與方程思想，得到兩根滿足的方程關(guān)系，然后根據(jù)結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，研究單調(diào)性，得到及，結(jié)合指對(duì)互化即可判斷選項(xiàng)A、B、C，最后再通過(guò)對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性求解范圍即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】令，得，即，，令，得，即，即，，記函數(shù)，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以，故A錯(cuò)誤；又，所以，，所以，故B正確；所以，故C正確；又，所以，結(jié)合，得，因?yàn)椋?，且，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即，故D正確；故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，解題方法是把函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的根，通過(guò)結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性及指對(duì)互化找到根的關(guān)系得出結(jié)論.三、填空題7．（2023·四川涼山·三模）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【分析】由函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于則函數(shù)圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，如圖，當(dāng)直線在之間平移時(shí)滿足題意，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線的切線方程，即可.【詳解】由題意得，令，則函數(shù)圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn).由，得，左頂點(diǎn)為B，即曲線表示焦點(diǎn)在y軸的橢圓的上半部分，如圖，當(dāng)直線在之間平移時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn).當(dāng)直線為直線時(shí)，，解得；當(dāng)直線為直線時(shí)，與橢圓相切，設(shè)切點(diǎn)為，則，得切線的斜率為，解得，代入得，所以切線的方程為，令，得，則，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故答案為：.8．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)____________；若恰有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是______________.【答案】1【分析】第一空：當(dāng)時(shí)、時(shí)可得答案；第二空：至多有2個(gè)零點(diǎn)，故在上至少有2個(gè)零點(diǎn)，所以；分、、討論結(jié)合圖象可得答案.【詳解】第一空：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，無(wú)零點(diǎn)，故此時(shí)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1；第二空：顯然，至多有2個(gè)零點(diǎn)，故在上至少有2個(gè)零點(diǎn)，所以；①若恰有2個(gè)零點(diǎn)，則，此時(shí)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，所以，解得，此時(shí)；②若恰有3個(gè)零點(diǎn)，則，此時(shí)，所以恰有1個(gè)零點(diǎn)，符合要求；③當(dāng)時(shí)，，所以恰有1個(gè)零點(diǎn)，而至少有4個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)至少有5個(gè)零點(diǎn)，不符合要求，舍去.綜上，或.故答案為：1；.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求零點(diǎn)的常用方法：①解方程；②數(shù)形結(jié)合；③零點(diǎn)存在定理；④單調(diào)+存在求零點(diǎn)個(gè)數(shù)，復(fù)雜的函數(shù)求零點(diǎn)，先將復(fù)雜零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題.9．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.【答案】或或【分析】借助導(dǎo)數(shù)求得的取值范圍，再換元，數(shù)形結(jié)合求a的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，如圖，設(shè)，則，顯然不是方程的解，則（且），如下圖所示，（1）當(dāng)時(shí)，直線與曲線（且）無(wú)交點(diǎn)，則方程無(wú)實(shí)數(shù)解，（2）當(dāng)時(shí)，直線與曲線（且）有唯一交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為，此時(shí)直線與曲線有唯一交點(diǎn)，即方程有唯一實(shí)數(shù)解（3）當(dāng)時(shí)，直線與曲線（且）有唯一交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為，此時(shí)直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，（4）當(dāng)，直線與曲線（且）有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)其橫坐標(biāo)分別為，（），此時(shí)直線和直線與曲線各有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程有四個(gè)實(shí)數(shù)解，（5）當(dāng)時(shí)，直線與曲線（且）有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)其橫坐標(biāo)分別為（），，此時(shí)直線與曲線各有兩個(gè)交點(diǎn)，直線與曲線有唯一的交點(diǎn)，即方程有三個(gè)實(shí)數(shù)解，（6）當(dāng)時(shí)，直線與曲線（且）有唯一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)其橫坐標(biāo)分別為（），此時(shí)直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，（7）當(dāng)時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的t有兩個(gè)負(fù)值，設(shè)為，此時(shí)直線和直線與曲線各有一個(gè)交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，綜上，當(dāng)或或時(shí)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：復(fù)合方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題的解題策略為：首先要能觀察出復(fù)合的形式，分清內(nèi)外層；其次要能根據(jù)復(fù)合的特點(diǎn)進(jìn)行分析，將方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題；最后通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式解決問(wèn)題.10．（2023·天津河西·統(tǒng)考一模）已知，且函數(shù)恰有個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【分析】當(dāng)時(shí)，由得，可轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，恰有個(gè)不同的零點(diǎn)，利用根的分布可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以由得，所以當(dāng)時(shí)，恰有個(gè)不同的零點(diǎn)，令，則在時(shí)恰有個(gè)不同的零點(diǎn)，可得，解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.四、解答題11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是偶函數(shù)．(1)求實(shí)數(shù)k的值．(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．(3)函數(shù)（且），函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）函數(shù)是偶函數(shù)，所以，計(jì)算可得；（2）依題意問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上有實(shí)數(shù)解，求出的值域即可得解；（3）因?yàn)楹瘮?shù)與的圖像有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以關(guān)于的方程有兩個(gè)解，所以，換元，研究二次函數(shù)圖像及性質(zhì)即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以，即，所以，即，所以，得（2）由（1）可知，則，當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在零點(diǎn)，即關(guān)于x的方程在上有實(shí)數(shù)解，即關(guān)于x的方程在上有實(shí)數(shù)解．令，，因?yàn)?，則，所以，則，所以，即，所以，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為．（3）函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，即關(guān)于x的方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，化簡(jiǎn)上述方程得，即，所以，所以．令，得關(guān)于t的方程．記．①當(dāng)時(shí)，函數(shù)p（t）的圖像開(kāi)口向上，圖像恒過(guò)點(diǎn)，方程（*）只有一個(gè)正實(shí)根，不符合題意．②當(dāng)時(shí)，函數(shù)p（t）的圖像開(kāi)口向下，圖像恒過(guò)點(diǎn)，因?yàn)?，要滿足題意，則方程（*）應(yīng)有兩個(gè)正實(shí)根，即，解得或，又，所以．綜上，m的取值范圍是．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:（1）構(gòu)造新函數(shù)法：求函數(shù)F（x）的零點(diǎn)，考慮將函數(shù)F（x）變形成兩個(gè)新函數(shù)的差，即，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）與g（x）圖像的交點(diǎn)問(wèn)題