高考數(shù)學第一輪復習導學案(新高考)第36講平面向量的數(shù)量積(原卷版+解析)

第36講平面向量的數(shù)量積1、向量的夾角(1)定義：已知兩個非零向量a和b，如圖所示，作eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，則∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a與b的夾角，記作〈a，b〉．(2)范圍：夾角θ的范圍是[0，π]．當θ＝0時，兩向量a，b共線且同向；當θ＝eq\f(π,2)時，兩向量a，b相互垂直，記作a⊥b；當θ＝π時，兩向量a，b共線但反向．2、平面向量數(shù)量積的定義已知兩個非零向量a與b，我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|·cosθ，其中θ是a與b的夾角．規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為零．3、平面向量數(shù)量積的幾何意義(1)一個向量在另一個向量方向上的投影設(shè)θ是a，b的夾角，則|b|cosθ叫做向量b在向量a的方向上的投影，|a|cosθ叫做向量a在向量b的方向上的投影．(2)a·b的幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．4、向量數(shù)量積的運算律(1)交換律：a·b＝b·a.(2)數(shù)乘結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.向量數(shù)量積的運算不滿足乘法結(jié)合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，這是由于(a·b)·c表示一個與c共線的向量，a·(b·c)表示一個與a共線的向量，而c與a不一定共線．5、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a，b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量，θ是a與e的夾角，則(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ.(2)a⊥b?a·b＝0.(3)當a與b同向時，a·b＝|a||b|；當a與b反向時，a·b＝－|a||b|.特別地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).(4)cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(5)|a·b|≤|a||b|.6、平面向量數(shù)量積的坐標表示已知兩個非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為a與b的夾角，則(1)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))；(2)a·b＝x1x2＋y1y2；(3)a⊥b?x1x2＋y1y2＝0;_(4)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).1、（2023年高考數(shù)學真題完全解讀（新高考I卷））已知向量，若，則（

）A． B．C． D．2、（2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（全國甲卷））已知向量，則（）A. B. C. D.3、（2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（全國乙卷））正方形的邊長是2，是的中點，則（）A. B.3 C. D.54、（2023年全國新高考Ⅱ卷）已知向量，滿足，，則______．5、22年全國乙卷】已知向量a,b滿足|a|=1,|bA．?2 B．?1 C．1 D．26、【2020年新課標2卷文科】已知單位向量，的夾角為60°，則在下列向量中，與垂直的是（

）A． B． C． D．7、【2020年新課標3卷理科】已知向量，滿足，，，則（）A． B． C． D．1、已知a·b＝－12eq\r(2)，|a|＝4，a和b的夾角為135°，則|b|的值為()A.12B.6C.3eq\r(3)D.32、（多選）（2022·廣州三模）已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，則下列結(jié)論中正確的是()A.a·b＝5B.|a－b|＝eq\r(5)C.〈a，b〉＝eq\f(π,4)D.a∥b3、（2022·廣州三模）已知a，b為單位向量，若|a－2b|＝eq\r(5)，則|a＋2b|＝．4、已知a＝(－2,1)，b＝(k，－3)，c＝(1,2)，若(a－2b)⊥c，則與b共線的單位向量為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)，－\f(\r(5),5)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)，－\f(\r(5),5)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)))考向一平面向量的夾角及模的問題例1、（1）（屆山東省德州市高三上期末）已知向量，滿足，，，則與的夾角為（）A． B． C． D．（2）（2021·山東日照市·高三二模）已知，當時，向量與的夾角為（）A． B． C． D．（3）（2022·河北深州市中學高三期末）若向量，滿足，且，則______．變式1、已知|a|＝1，|b|＝2，a＋b＝（1，eq\r(2)），則向量a，b的夾角為．變式2、若非零向量a，b滿足|a|＝eq\f(2\r(2),3)|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，則a與b的夾角為.變式3、已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，若2a－3b與c的夾角為鈍角，則k的取值范圍是．.變式4、（2019春?泉州期末）（多選題）中，，，，在下列命題中，是真命題的有A．若，則為銳角三角形 B．若．則為直角三角形 C．若，則為等腰三角形 D．若，則為直角三角形方法總結(jié)：求向量的夾角，有兩種方法：(1)定義法：當a，b是非坐標形式時，求a與b的夾角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它們之間的關(guān)系，由cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)求得．(2)公式法：若已知a＝(x1，y1)與b＝(x2，y2)，則cos〈a，b〉＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))，〈a，b〉∈[0，π]．考向二平面向量中的垂直例2、（2021·山東日照市·高三其他模擬）已知向量，，，且，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．變式1、(2021·宜昌二模)已知△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，且eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，則實數(shù)λ的值為()A.eq\f(22,15) B.eq\f(10,3) C.6 D.eq\f(12,7)變式2、已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|的值．方法總結(jié)：平面向量的垂直問題，有兩個類型：(1)利用坐標運算證明兩個向量的垂直問題若證明兩個向量垂直，先根據(jù)共線、夾角等條件計算出這兩個向量的坐標；然后根據(jù)數(shù)量積的坐標運算公式，計算出這兩個向量的數(shù)量積為0即可。(2)已知兩個向量的垂直關(guān)系，求解相關(guān)參數(shù)的值?？枷蛉矫嫦蛄康臄?shù)量積的運算例3、（2022·湖北襄陽·高三期末）在中，，，其中，，，，，則（）A．當時， B．當時，C．當時， D．當時，變式1、（2022·湖北·高三期末）在中，，點E滿足，則（）A． B． C．3 D．6變式2、如圖，在△ABC中，AD⊥AB，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\r(3)eq\o(BD,\s\up6(→))，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝1，則eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝．變式3、在△ABC中，∠BAD＝60°，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\r(3)eq\o(BD,\s\up6(→))，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝1，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝1，則|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝．方法總結(jié)：1.求向量的模的方法：(1)公式法，利用|a|＝eq\r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的運算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運算；(2)幾何法，利用向量的幾何意義.2.求向量模的最值(范圍)的方法：(1)代數(shù)法，把所求的模表示成某個變量的函數(shù)，再用求最值的方法求解；(2)幾何法(數(shù)形結(jié)合法)，弄清所求的模表示的幾何意義，結(jié)合動點表示的圖形求解.1、（2022·湖北·黃石市有色第一中學高三期末）已知，為單位向量，且，則，的夾角為（）A． B． C． D．2、（2022·山東淄博·高三期末）已知向量、滿足，且在上的投影的數(shù)量為，則（）A． B． C． D．3、（2022·山東青島·高三期末）已知非零向量滿足：，則夾角的值為（）A． B． C． D．4、（2022·山東日照·高三期末）已知△是邊長為1的等邊三角形，點分別是邊的中點，且，則的值為（）A． B． C．1 D．5、（2022·山東濟南·高三期末）（多選題）已知平面向量，，則下列說法正確的是（）A． B．C．向量與的夾角為30° D．向量在上的投影向量為6、（2022·湖北江岸·高三期末）（多選題）若是所在的平面內(nèi)的點，且下面給出的四個命題中，其中正確的是（）A． B．C．點??…一定在一條直線上 D．?在向量方向上的投影一定相等

第36講平面向量的數(shù)量積1、向量的夾角(1)定義：已知兩個非零向量a和b，如圖所示，作eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，則∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a與b的夾角，記作〈a，b〉．(2)范圍：夾角θ的范圍是[0，π]．當θ＝0時，兩向量a，b共線且同向；當θ＝eq\f(π,2)時，兩向量a，b相互垂直，記作a⊥b；當θ＝π時，兩向量a，b共線但反向．2、平面向量數(shù)量積的定義已知兩個非零向量a與b，我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|·cosθ，其中θ是a與b的夾角．規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為零．3、平面向量數(shù)量積的幾何意義(1)一個向量在另一個向量方向上的投影設(shè)θ是a，b的夾角，則|b|cosθ叫做向量b在向量a的方向上的投影，|a|cosθ叫做向量a在向量b的方向上的投影．(2)a·b的幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．4、向量數(shù)量積的運算律(1)交換律：a·b＝b·a.(2)數(shù)乘結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.向量數(shù)量積的運算不滿足乘法結(jié)合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，這是由于(a·b)·c表示一個與c共線的向量，a·(b·c)表示一個與a共線的向量，而c與a不一定共線．5、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a，b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量，θ是a與e的夾角，則(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ.(2)a⊥b?a·b＝0.(3)當a與b同向時，a·b＝|a||b|；當a與b反向時，a·b＝－|a||b|.特別地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).(4)cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(5)|a·b|≤|a||b|.6、平面向量數(shù)量積的坐標表示已知兩個非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為a與b的夾角，則(1)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))；(2)a·b＝x1x2＋y1y2；(3)a⊥b?x1x2＋y1y2＝0;_(4)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).1、（2023年高考數(shù)學真題完全解讀（新高考I卷））已知向量，若，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為，所以，，由可得，，即，整理得：．故選：D2、（2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（全國甲卷））已知向量，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以，則，，所以.故選：B.3、（2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（全國乙卷））正方形的邊長是2，是的中點，則（）A. B.3 C. D.5【答案】B【解析】方法一：以為基底向量，可知，則，所以；方法二：如圖，以為坐標原點建立平面直角坐標系，則，可得，所以；方法三：由題意可得：，在中，由余弦定理可得，所以.故選：B.4、（2023年全國新高考Ⅱ卷）已知向量，滿足，，則______．【答案】【解析】法一：因為，即，則，整理得，又因為，即，則，所以.法二：設(shè)，則，由題意可得：，則，整理得：，即.故答案為：.5、22年全國乙卷】已知向量a,b滿足|a|=1,|bA．?2 B．?1 C．1 D．2【答案】C【解析】解：∵|a又∵|∴9=1?4a∴a故選：C.6、【2020年新課標2卷文科】已知單位向量，的夾角為60°，則在下列向量中，與垂直的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知可得：.A：因為，所以本選項不符合題意；B：因為，所以本選項不符合題意；C：因為，所以本選項不符合題意；D：因為，所以本選項符合題意.故選：D.7、【2020年新課標3卷理科】已知向量，滿足，，，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，.，因此，.故選：D.1、已知a·b＝－12eq\r(2)，|a|＝4，a和b的夾角為135°，則|b|的值為()A.12B.6C.3eq\r(3)D.3【答案】B【解析】因為a·b＝|a|·|b|cos135°＝－12eq\r(2)，所以|b|＝eq\f(a·b,|a|·cos135°)＝eq\f(－12\r(2),4×(－\f(\r(2),2)))＝6.2、（多選）（2022·廣州三模）已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，則下列結(jié)論中正確的是()A.a·b＝5B.|a－b|＝eq\r(5)C.〈a，b〉＝eq\f(π,4)D.a∥b【答案】ABC【解析】a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝5，故A正確；a－b＝(2，1)，|a－b|＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，故B正確；|a|＝eq\r(32＋(－1)2)＝eq\r(10)，|b|＝eq\r(12＋(－2)2)＝eq\r(5)，則cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(5,5\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，所以〈a，b〉＝eq\f(π,4)，故C正確；3×(－2)≠(－1)×1，故D錯誤．故選ABC.3、（2022·廣州三模）已知a，b為單位向量，若|a－2b|＝eq\r(5)，則|a＋2b|＝．【答案】eq\r(5)【解析】由|a－2b|＝eq\r(5)，得|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝5－4a·b＝5，則a·b＝0.又|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝5，所以|a＋2b|＝eq\r(5).4、已知a＝(－2,1)，b＝(k，－3)，c＝(1,2)，若(a－2b)⊥c，則與b共線的單位向量為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)，－\f(\r(5),5)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)，－\f(\r(5),5)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)))【答案】A【解析】由題意得a－2b＝(－2－2k,7)，∵(a－2b)⊥c，∴(a－2b)·c＝0，即(－2－2k,7)·(1,2)＝0，－2－2k＋14＝0，解得k＝6，∴b＝(6，－3)，∴e＝±eq\f(b,\r(62＋－32))＝±eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)，－\f(\r(5),5)))考向一平面向量的夾角及模的問題例1、（1）（屆山東省德州市高三上期末）已知向量，滿足，，，則與的夾角為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，即，得，則，，.故選：C.（2）（2021·山東日照市·高三二模）已知，當時，向量與的夾角為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，即，，，所以向量與的夾角為，故選：B.（3）（2022·河北深州市中學高三期末）若向量，滿足，且，則______．【答案】【分析】由，計算即可得出答案.【詳解】∵，∴．故答案為：.變式1、已知|a|＝1，|b|＝2，a＋b＝（1，eq\r(2)），則向量a，b的夾角為．【答案】eq\f(2π,3)【解析】因為a＋b＝（1，eq\r(2)），所以|a＋b|＝eq\r(3)，兩邊平方，得a2＋2a·b＋b2＝3.將|a|＝1，|b|＝2代入，得1＋2a·b＋4＝3，所以a·b＝－1.設(shè)a與b的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝－eq\f(1,2).又θ∈[0，π]，所以θ＝eq\f(2π,3)，即向量a，b的夾角為eq\f(2π,3).變式2、若非零向量a，b滿足|a|＝eq\f(2\r(2),3)|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，則a與b的夾角為.【答案】eq\f(π,4)【解析】設(shè)向量a，b的夾角為θ.由題意，得(a－b)·(3a＋2b)＝3|a|2－a·b－2|b|2＝3|a|2－|a||b|cosθ－2|b|2＝0.將|a|＝eq\f(2\r(2),3)|b|代入上式，解得cosθ＝eq\f(\r(2),2).因為θ∈[0，π]，所以θ＝eq\f(π,4).變式3、已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，若2a－3b與c的夾角為鈍角，則k的取值范圍是．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(9,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,2)，3))【解析】因為2a－3b與c的夾角為鈍角，所以(2a－3b)·c＜0，即(2k－3，－6)·(2，1)＜0，所以4k－6－6＜0，解得k＜3.又若(2a－3b)∥c，則2k－3＝－12，即k＝－eq\f(9,2).當k＝－eq\f(9,2)時，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c，即2a－3b與c反向，此時不滿足題意，所以k≠－eq\f(9,2).綜上所述，k的取值范圍為（－∞，－eq\f(9,2)）∪（－eq\f(9,2)，3）.變式4、（2019春?泉州期末）（多選題）中，，，，在下列命題中，是真命題的有A．若，則為銳角三角形 B．若．則為直角三角形 C．若，則為等腰三角形 D．若，則為直角三角形【答案】．【解析】如圖所示，中，，，，①若，則是鈍角，是鈍角三角形，錯誤；②若，則，為直角三角形，正確；③若，，，，取中點，則，所以，即為等腰三角形，正確，④若，則，即，即，由余弦定理可得：，即，即，即為直角三角形，即正確，綜合①②③④可得：真命題的有，方法總結(jié)：求向量的夾角，有兩種方法：(1)定義法：當a，b是非坐標形式時，求a與b的夾角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它們之間的關(guān)系，由cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)求得．(2)公式法：若已知a＝(x1，y1)與b＝(x2，y2)，則cos〈a，b〉＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))，〈a，b〉∈[0，π]．考向二平面向量中的垂直例2、（2021·山東日照市·高三其他模擬）已知向量，，，且，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知得，又，所以，解得，故選：C.變式1、(2021·宜昌二模)已知△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，且eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，則實數(shù)λ的值為()A.eq\f(22,15) B.eq\f(10,3) C.6 D.eq\f(12,7)【答案】A【解析】因為eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，且eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，所以有eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－λeq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AC,\s\up6(→))2－eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(λ－1)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－λeq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AC,\s\up6(→))2＝0，整理可得(λ－1)×3×4×cos120°－9λ＋16＝0，解得λ＝eq\f(22,15).變式2、已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|的值．【解析】(1)若a⊥b，則a·b＝2x＋3－x2＝0，解得x＝－1或x＝3.(2)若a∥b，則1×(－x)－x(2x＋3)＝0，解得x＝0或x＝－2.當x＝0時，a＝(1，0)，b＝(3，0)，所以a－b＝(－2，0)，|a－b|＝2；當x＝－2時，a＝(1，－2)，b＝(－1，2)，所以a－b＝(2，－4)，|a－b|＝eq\r(4＋16)＝2eq\r(5).綜上所述，|a－b|的值為2或2eq\r(5).方法總結(jié)：平面向量的垂直問題，有兩個類型：(1)利用坐標運算證明兩個向量的垂直問題若證明兩個向量垂直，先根據(jù)共線、夾角等條件計算出這兩個向量的坐標；然后根據(jù)數(shù)量積的坐標運算公式，計算出這兩個向量的數(shù)量積為0即可。(2)已知兩個向量的垂直關(guān)系，求解相關(guān)參數(shù)的值。考向三平面向量的數(shù)量積的運算例3、（2022·湖北襄陽·高三期末）在中，，，其中，，，，，則（）A．當時， B．當時，C．當時， D．當時，【答案】AD【解析】因為，所以與的夾角為，當時，，故A正確；當時，，所以是邊長為4的等邊三角形，，所以B錯誤；當時，，所以，所以，故C錯誤；當時，，，所以，，所以，因為，所以，故D正確.故選：AD.變式1、（2022·湖北·高三期末）在中，，點E滿足，則（）A． B． C．3 D．6【答案】B【解析】中，，所以，，故選：B.變式2、如圖，在△ABC中，AD⊥AB，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\r(3)eq\o(BD,\s\up6(→))，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝1，則eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝．【答案】eq\r(3)【解析】方法一：因為eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\r(3)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\r(3)（eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))）＝eq\r(3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋（1－eq\r(3)）eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\r(3)|eq\o(AD,\s\up6(→))|2＋（1－eq\r(3)）eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\r(3).方法二：以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，則D(0，1).設(shè)點B(a，0)，C(x，y)，則eq\o(BC,\s\up6(→))＝(x－a，y)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－a，1).因為eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\r(3)eq\o(BD,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\r(3)a＋a，,y＝\r(3)，))所以eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0·x＋1·y＝eq\r(3).方法三：設(shè)∠CAD＝θ，過點C作CE⊥AD，交AD的延長線于點E，所以eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|·cosθ＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|·|eq\o(AE,\s\up6(→))|.又△BAD∽△CED，所以eq\f(AD,ED)＝eq\f(BD,CD)＝eq\f(1,\r(3)－1)，所以DE＝eq\r(3)－1，AE＝eq\r(3)，所以eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|·|eq\o(AE,\s\up6(→))|＝1×eq\r(3)＝eq\r(3).變式3、在△ABC中，∠BAD＝60°，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\r(3)eq\o(BD,\s\up6(→))，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝1，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝1，則|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝．【答案】2【解析】eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\r(3)eq\o(BD,\s\up6(→))＝e