高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全程規(guī)劃(新高考地區(qū)專用)高三數(shù)學(xué)開學(xué)摸底考試卷(測(cè)試范圍：新高考數(shù)學(xué)全部?jī)?nèi)容)專項(xiàng)練習(xí)(原卷版+解析)

高三數(shù)學(xué)開學(xué)摸底考試卷考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分測(cè)試范圍：新高考數(shù)學(xué)全部?jī)?nèi)容一、單選題：本大題共8小題，每個(gè)小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（5分）已知i為虛數(shù)單位，則z＝在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（5分）設(shè)集合M＝{x|x＝2n，n∈Z}，N＝{x|x＝4n±2，n∈Z}，則（）A．M?N B．M?N C．M＝N D．以上都不正確3．（5分）A，B，C，D，E，F(xiàn)六人站成一排，滿足A，B相鄰，C，D不相鄰，E不站兩端的不同站法的種數(shù)為（）A．48 B．96 C．144 D．2884．（5分）已知偶函數(shù)f（x）＝ax2+bx+1的定義域[a﹣1，2]，則函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋ǎ〢．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．[﹣3，1] D．[1，+∞）5．（5分）設(shè)橢圓＝1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，P是橢圓上一點(diǎn)，∠F1PF2＝60°，|PF1|＝λ|PF2|（≤λ≤3），則橢圓的離心率的最小值為（）A． B． C． D．6．（5分）已知f（x）＝sinx，g（x）＝ln|x|+（ex）2，則f（x）?g（x）＞0的解集是（）A．{x|﹣＜x＜0或＜x＜π或2nπ＜x＜（2n+1）π，n∈Z，且n≠0} B．{x|﹣π＜x＜﹣或＜x＜π或2nπ＜x＜（2n+1）π，n∈Z，且n≠0} C．{x|﹣＜x＜0或0＜x＜或2nπ＜x＜（2n+1）π，n∈Z，且n≠0} D．{x|﹣＜x＜0或＜x＜π或（2n﹣1）π＜x＜2nπ，n∈Z，且n≠0}7．（5分）已知cosα＝，則sin＝（）A． B．﹣ C． D．8．（5分）設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若＝2，S4＝4，則S8等于（）A．12 B．24 C．16 D．32二、多選題：本大題共4小題，每個(gè)小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)或者多項(xiàng)是符合題目要求的.（多選）9．（5分）已知菱形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為2，且∠ABC＝60°，將△ABC繞AC旋轉(zhuǎn)180°，旋轉(zhuǎn)過程中記點(diǎn)B位置為點(diǎn)P，則（）A．直線AC與點(diǎn)P的軌跡所在平面始終垂直 B．PB+PD的最大值為 C．二面角A﹣PD﹣C的大小與點(diǎn)P的位置無關(guān) D．旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積為π（多選）10．（5分）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：從焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后，必過拋物線的焦點(diǎn)．已知平行于x軸的光線l1從點(diǎn)M射入，經(jīng)過拋物線C：y2＝8x上的點(diǎn)P反射，再經(jīng)過C上另一點(diǎn)Q反射后，沿直線l2射出，經(jīng)過點(diǎn)N，則（）A．若l1的方程為y＝2，則|PQ|＝8 B．若l1的方程為y＝2，且∠PQM＝∠MQN，則M（13，2） C．分別延長(zhǎng)PO，NQ交于點(diǎn)D，則點(diǎn)D在C的準(zhǔn)線上 D．拋物線C在點(diǎn)P處的切線分別與直線FP，l1所成角相等（多選）11．（5分）已知函數(shù)f（x）＝xcosx﹣sinx，下列結(jié)論中正確的是（）A．函數(shù)f（x）在x＝時(shí)取得極小值﹣1 B．?x∈[0，π]，f（x）≤0恒成立 C．若0＜x1＜x2＜π，則＜ D．若a＜＜b，?x∈（0，）恒成立，則a的最大值為，b的最小值為1（多選）12．（5分）某社團(tuán)開展“建黨100周年主題活動(dòng)﹣﹣學(xué)黨史知識(shí)競(jìng)賽“，甲、乙兩人能得滿分的概率分別為，，兩人能否獲得滿分相互獨(dú)立，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A．兩人均獲得滿分的概率為 B．兩人至少一人獲得滿分的概率為 C．兩人恰好只有甲獲得滿分的概率為 D．兩人至多一人獲得滿分的概率為三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）在平面直角坐標(biāo)系中，長(zhǎng)度為3的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)分別在x軸和y軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M是直線x+y﹣4＝0上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．14．（5分）四棱臺(tái)的上底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，下底面是邊長(zhǎng)為3的正方形，四條側(cè)棱的長(zhǎng)均為，則該四棱臺(tái)的體積為．15．（5分）已知圓x2+y2+4x﹣6y+a＝0關(guān)于直線y＝x+b成軸對(duì)稱圖形，則a﹣b的取值范圍是．16．（5分）已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）．若f（x）的圖象向左平移個(gè)單位所得的圖象與f（x）的圖象重合，則ω的最小值為．四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）在△ABC中，AB＝4，AC＝2，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，連接AD并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使AE＝3DE．（1）若DE＝1，求∠BAC的余弦值；（2）若∠ABC＝，求線段BE的長(zhǎng)．18．（12分）已知數(shù)列{an}滿足a1＝．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）證明：對(duì)?n∈N*，a1a2a3+a2a3a4+…+anan+1an+2＜．19．（12分）某公司為了解所開發(fā)APP使用情況，隨機(jī)調(diào)查了100名用戶．根據(jù)這100名用戶的評(píng)分，繪制出了如圖所示的頻率分布直方圖，其中樣本數(shù)據(jù)分組為[40，50），[50，60），?，[90，100]．（1）求頻率分布直方圖中a的值；（2）若采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法從評(píng)分在[40，60），[60，80），[80，100）的中抽取20人，則評(píng)分在[40，60）內(nèi)的顧客應(yīng)抽取多少人？（3）用每組數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值代替該組數(shù)據(jù)，試估計(jì)用戶對(duì)該APP評(píng)分的平均分．20．（12分）如圖，在三棱錐P﹣ABC中，△APC為等邊三角形，AC＝4，平面APC⊥底面ABC，AB＝BC＝2，O為AC的中點(diǎn)．（1）證明：PO⊥平面ABC；（2）若點(diǎn)M在棱BC上，BM＝λBC，且二面角M﹣PA﹣C為30°，求λ的值．21．（12分）已知雙曲線（其中a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1（﹣c，0）、F2（c，0）（其中c＞0）．（1）若雙曲線過點(diǎn)（2，1）且一條漸近線方程為；直線l的傾斜角為，在y軸上的截距為﹣2．直線l與該雙曲線交于兩點(diǎn)A、B，M為線段AB的中點(diǎn)，求△MF1F2的面積；（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，c為半徑作圓，該圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為P．過P作圓的切線，若切線的斜率為，求雙曲線的離心率．22．（12分）已知函數(shù)f（x）＝x2﹣axlnx+1+a，a∈R，f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)．（1）討論f′（x）的極值；（2）若存在t∈[2，e]，使得不等式f（t）＜0成立，求a的取值范圍．

高三數(shù)學(xué)開學(xué)摸底考試卷考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分測(cè)試范圍：新高考數(shù)學(xué)全部?jī)?nèi)容一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）已知i為虛數(shù)單位，則z＝在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】對(duì)復(fù)數(shù)z進(jìn)行化簡(jiǎn)，從而求出其所在的象限即可．【解答】解：z＝＝＝，故z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的幾何意義，是一道基礎(chǔ)題．2．（5分）設(shè)集合M＝{x|x＝2n，n∈Z}，N＝{x|x＝4n±2，n∈Z}，則（）A．M?N B．M?N C．M＝N D．以上都不正確【分析】對(duì)集合N進(jìn)行變形，可以看到集合M中的元素是2與整數(shù)的乘積的集合，集合N的元素是2與奇數(shù)的乘積的集合，再判斷即可．【解答】解：集合M＝{x|x＝2n，n∈Z}，故集合M中的元素是2與整數(shù)的乘積的集合，N＝{x|x＝4n±2，n∈Z}＝{x|x＝2（2n±1），n∈Z}，故集合N的元素是2與奇數(shù)的乘積的集合，故N?M，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合與集合，集合與元素的關(guān)系，基礎(chǔ)題．3．（5分）A，B，C，D，E，F(xiàn)六人站成一排，滿足A，B相鄰，C，D不相鄰，E不站兩端的不同站法的種數(shù)為（）A．48 B．96 C．144 D．288【分析】使用捆綁法，然后恰當(dāng)分類，結(jié)合間接法能求出結(jié)果．【解答】解：第一步，先排A，B，共有＝2種排法，將排好的A、B作為一個(gè)整體，記為G；第二步，（1）先將C，D，G，F(xiàn)排成一排，再在產(chǎn)生的3個(gè)空位中選擇一個(gè)排E，共有3＝72種排法，（2）先將C，D捆綁在一起，記為H，然后將H，G排成一排，最后在2個(gè)空位中選一個(gè)排共，共有＝24種排法，（3）將C，D，G，F(xiàn)，E排成一排，且C，D不相鄰，E不站兩端的排法有72﹣24＝48種，綜上，滿足條件的不同排法共有2×48＝96種．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列數(shù)的計(jì)算，考查捆綁法，恰當(dāng)分類、間接法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．4．（5分）已知偶函數(shù)f（x）＝ax2+bx+1的定義域[a﹣1，2]，則函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋ǎ〢．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．[﹣3，1] D．[1，+∞）【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義和性質(zhì)，建立方程求出a，b的值，結(jié)合一元二次函數(shù)值域的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵偶函數(shù)f（x）＝ax2+bx+1的定義域[a﹣1，2]，∴a﹣1+2＝0，得a＝﹣1，即函數(shù)的定義域?yàn)閇﹣2，2]，此時(shí)函數(shù)f（x）＝﹣x2+bx+1，則對(duì)稱軸為y軸，則﹣＝0，得b＝0，則f（x）＝﹣x2+1，∵﹣2≤x≤2，∴﹣3≤f（x）≤1，即函數(shù)的值域?yàn)閇﹣3，1]，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．5．（5分）設(shè)橢圓＝1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，P是橢圓上一點(diǎn)，∠F1PF2＝60°，|PF1|＝λ|PF2|（≤λ≤3），則橢圓的離心率的最小值為（）A． B． C． D．【分析】由，，在△PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|?|PF2|cos60°，即（2c）2＝（）2+（）2﹣2×××，求解即可求橢圓的離心率的最小值．【解答】解：由，∴，在△PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|?|PF2|cos60°即（2c）2＝（）2+（）2﹣2×××，上式兩邊同除以（2a）2，得e2＝（）2+（）2﹣＝＝1﹣＝1﹣≥1﹣＝，∴e≥，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)λ＝1時(shí)成立，故橢圓的離心率的最小值為．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的離心率和橢圓方程的求法，解題時(shí)要注意余弦定理的合理運(yùn)用，屬中檔題．6．（5分）已知f（x）＝sinx，g（x）＝ln|x|+（ex）2，則f（x）?g（x）＞0的解集是（）A．{x|﹣＜x＜0或＜x＜π或2nπ＜x＜（2n+1）π，n∈Z，且n≠0} B．{x|﹣π＜x＜﹣或＜x＜π或2nπ＜x＜（2n+1）π，n∈Z，且n≠0} C．{x|﹣＜x＜0或0＜x＜或2nπ＜x＜（2n+1）π，n∈Z，且n≠0} D．{x|﹣＜x＜0或＜x＜π或（2n﹣1）π＜x＜2nπ，n∈Z，且n≠0}【分析】不等式f（x）?g（x）＞0等價(jià)于或，由此能求出結(jié)果．【解答】解：∵g（x）＝ln|x|+（ex）2是偶函數(shù)，∴當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＝lnx+（ex）2，g′（x）＝＞0在x＞0恒成立，∴g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，且g（）＝0，∴當(dāng)x∈（﹣∞，﹣）∪（，+∞）時(shí)，g（x）＞0，當(dāng)x∈（﹣，0）∪（0，）時(shí)，g（x）＜0，當(dāng)x∈（2nπ，2nπ+π），n∈Z時(shí)，f（x）＞0，當(dāng)x∈（2nπ+π，2nπ+2π），n∈Z時(shí)，f（x）＜0，∵不等式f（x）?g（x）＞0等價(jià)于或，∴不等式f（x）?g（x）＞0的解集為：{x|﹣＜x＜0或＜x＜π或2nπ＜x＜（2n+1）π，n∈Z，且n≠0}．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式的解集的求法，考查函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．7．（5分）已知cosα＝，則sin＝（）A． B．﹣ C． D．【分析】由已知可求范圍∈（，π），則sin＞0，進(jìn)而根據(jù)二倍角公式即可計(jì)算得解sin的值．【解答】解：∵cosα＝，∴∈（，π），則sin＞0，∵cosα＝＝1﹣2sin2，可得sin2＝，∴sin＝．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二倍角公式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．8．（5分）設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若＝2，S4＝4，則S8等于（）A．12 B．24 C．16 D．32【分析】本題先設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，然后根據(jù)等比數(shù)列的定義及已知條件可計(jì)算出q4＝2，再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式寫出S4及S8的表達(dá)式，進(jìn)一步計(jì)算即可得到S8的結(jié)果．【解答】解：由題意，設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則＝q4＝2，S4＝＝﹣＝4，∴＝﹣4，S8＝＝＝?（1﹣4）＝（﹣4）×（﹣3）＝12．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等比數(shù)列的基本計(jì)算．考查了方程思想，定義法，整體思想，以及邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力．本題屬基礎(chǔ)題．二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）（多選）9．（5分）已知菱形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為2，且∠ABC＝60°，將△ABC繞AC旋轉(zhuǎn)180°，旋轉(zhuǎn)過程中記點(diǎn)B位置為點(diǎn)P，則（）A．直線AC與點(diǎn)P的軌跡所在平面始終垂直 B．PB+PD的最大值為 C．二面角A﹣PD﹣C的大小與點(diǎn)P的位置無關(guān) D．旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積為π【分析】由題知，點(diǎn)P的軌跡所在平面為平面BDP，再結(jié)合題意依次分析各選項(xiàng)即可得答案．【解答】解：如圖，點(diǎn)P的軌跡為以菱形對(duì)角線的交點(diǎn)為圓心的半圓弧，即點(diǎn)P的軌跡所在平面為平面BDP，由于在菱形ABCD中，AC⊥BD，所以在旋轉(zhuǎn)過程中，AC⊥OP，因?yàn)镺P∩BD＝O，OP，BD?平面BDP，所以AC⊥平面BDP，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)镻D2+PB2＝BD2＝12，所以由不等式，得，當(dāng)且僅當(dāng)PD＝PB時(shí)等號(hào)成立，故B正確；對(duì)于C，取PD中點(diǎn)E，連接AE，CE，OE，由AP＝AD＝PC＝PD得PD⊥AE，PD⊥CE，所以，∠AEC是二面角A﹣PD﹣C的平面角，所以，由對(duì)稱性可知∠AEC＝2∠AEO，，因?yàn)镺E的長(zhǎng)度隨著P的位置的變化而變化，所以，∠AEO隨著P的位置的變化而變化，即∠AEC的大小與點(diǎn)P的位置有關(guān)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，由題知旋轉(zhuǎn)形成的幾何體為兩個(gè)半圓錐，底面半徑為，高為1，故其體積為，故D正確．故選：ABD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征，二面角的求法，組合體的體積，考查運(yùn)算求解能力與邏輯推理能力，屬于中檔題．（多選）10．（5分）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：從焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后，必過拋物線的焦點(diǎn)．已知平行于x軸的光線l1從點(diǎn)M射入，經(jīng)過拋物線C：y2＝8x上的點(diǎn)P反射，再經(jīng)過C上另一點(diǎn)Q反射后，沿直線l2射出，經(jīng)過點(diǎn)N，則（）A．若l1的方程為y＝2，則|PQ|＝8 B．若l1的方程為y＝2，且∠PQM＝∠MQN，則M（13，2） C．分別延長(zhǎng)PO，NQ交于點(diǎn)D，則點(diǎn)D在C的準(zhǔn)線上 D．拋物線C在點(diǎn)P處的切線分別與直線FP，l1所成角相等【分析】分別求出P、Q的坐標(biāo)，利用焦點(diǎn)弦公式|PQ|＝x1+x2+p求出弦長(zhǎng)可得選項(xiàng)A錯(cuò)；求解角的平分線方程求解M的坐標(biāo)，可得選項(xiàng)B正誤；通過求解D的坐標(biāo)，即可判斷C正確；求出拋物線在P處的切線方程及其斜率，再求出切線與直線l1及直線FP所成角的正切值，可得選項(xiàng)D正確．【解答】解：由題意可得P（，2），又F（2，0），∴直線PF的斜率k＝＝?，∴直線PF的方程為：y＝?（x?2），聯(lián)立，得2x2﹣17x+8＝0，∴x1＝，x2＝8，∴Q（8，﹣8），∴|PQ|＝x1+x2+4＝，∴A選項(xiàng)錯(cuò)誤；直線PF的斜率k＝＝?，設(shè)MQ的斜率為k，k＞0，可得，可得2k2﹣3k﹣2＝0，可得k＝2，又直線MQ的斜率kMQ＝2，∴直線MQ的方程為：y+8＝2（x﹣8），即2x﹣y﹣24＝0，，則M（13，2），∴B選項(xiàng)正確；設(shè)P（，b），PO的方程為：y＝，PF的方程為：y＝，與y2＝8x聯(lián)立，可得by2﹣（b2﹣16）y﹣16b＝0，可得yQ＝﹣，，可得D（﹣2，），分別延長(zhǎng)PO，NQ交于點(diǎn)D，則點(diǎn)D在C的準(zhǔn)線上，所以C選項(xiàng)正確；設(shè)拋物線在P處的切線方程為：y?2＝k（x?）（k≠0），聯(lián)立，得ky2﹣8y+16﹣4k＝0，由Δ＝64﹣4k（16﹣4k）＝0，解得k＝2．∴拋物線在P處的切線方程為：y＝2x+1，∴該切線與直線l1所成角的正切值為2．設(shè)該切線與直線FP所成角為θ，則tanθ＝||＝||＝2，∴該切線與直線l1所成角的正切值與該切線與直線FP所成角的正切值相同，即拋物線C在點(diǎn)P處的切線分別與直線l1、FP所成角相等，∴D選項(xiàng)正確．故選：BCD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，設(shè)而不求法與韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬中檔題．（多選）11．（5分）已知函數(shù)f（x）＝xcosx﹣sinx，下列結(jié)論中正確的是（）A．函數(shù)f（x）在x＝時(shí)取得極小值﹣1 B．?x∈[0，π]，f（x）≤0恒成立 C．若0＜x1＜x2＜π，則＜ D．若a＜＜b，?x∈（0，）恒成立，則a的最大值為，b的最小值為1【分析】利用可導(dǎo)函數(shù)極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為零判斷A，通過f′（x）的符號(hào)確定f（x）在[0，π]上的單調(diào)性，判斷B，再構(gòu)造函數(shù)g（x）＝，研究其單調(diào)性判斷C，D選項(xiàng)．【解答】解：f′（x）＝﹣xsinx，對(duì)于A，＝﹣≠0，A錯(cuò)；對(duì)于B，當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，f′（x）≤0恒成立，f（x）單調(diào)遞減，所以f（x）max＝f（0）＝0，B對(duì)；對(duì)于CD，令g（x）＝，則g′（x）＝，由B知，g′（x）＜0在（0，π）上恒成立，所以g（x）在（0，π）上是減函數(shù)，所以由0＜x1＜x2＜π，則，結(jié)合sinx1＞0，sinx2＞0得＜，C對(duì)；顯然g（x）在（0，）上單調(diào)遞減，所以＝在（0，）上恒成立，再令h（x）＝x﹣sinx，0，h′（x）＝1﹣cosx≥0在（0，）上恒成立，h（x）是增函數(shù)，所以h（x）＝x﹣sinx＞0，即＜1在（0，）上恒成立，綜上＜1在（0，）上恒成立，D正確．故選：BCD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，側(cè)重考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值等，屬于難題．（多選）12．（5分）某社團(tuán)開展“建黨100周年主題活動(dòng)﹣﹣學(xué)黨史知識(shí)競(jìng)賽“，甲、乙兩人能得滿分的概率分別為，，兩人能否獲得滿分相互獨(dú)立，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A．兩人均獲得滿分的概率為 B．兩人至少一人獲得滿分的概率為 C．兩人恰好只有甲獲得滿分的概率為 D．兩人至多一人獲得滿分的概率為【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合獨(dú)立事件的概率乘法公式和對(duì)立事件的概率公式，即可求解．【解答】解：∵甲，乙兩人能得滿分的概率分別為，，兩人能否獲得滿分相互獨(dú)立，分別記甲，乙能得滿分的事件為M，N，P（M）＝，，M，N獨(dú)立，∴兩人均獲得滿分的概率為P（MN）＝P（M）P（N）＝，故A正確，兩人至少一人獲得滿分的概率為＝[1﹣P（M）][1﹣P（N）]＝，故B錯(cuò)誤，兩人恰好只有甲獲得滿分的概率為＝，故C錯(cuò)誤，兩人至多一人獲得滿分的概率為1﹣P（MN）＝1﹣，故D錯(cuò)誤．故選：BCD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查獨(dú)立事件的概率乘法公式和對(duì)立事件的概率公式，需要學(xué)生熟練掌握公式，屬于基礎(chǔ)題．三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）在平面直角坐標(biāo)系中，長(zhǎng)度為3的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)分別在x軸和y軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M是直線x+y﹣4＝0上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【分析】根據(jù)題意，設(shè)AB的中點(diǎn)為N，設(shè)N的坐標(biāo)為（x，y），分析可得x2+y2＝，即N的軌跡是以O(shè)為圓心，半徑為的圓，又由+＝2，則|+|＝2||，分析||的幾何意義，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)AB的中點(diǎn)為N（x，y），A在x軸上，B在y軸上，|AB|＝3，且的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)分別在x軸和y軸上運(yùn)動(dòng)，則設(shè)A（2x，0），B（0，2y），且（2x﹣0）2+（2y﹣0）2＝9，變形可得：x2+y2＝，即N的軌跡是以O(shè)為圓心，半徑為的圓，設(shè)該圓為圓O，又由+＝2，則|+|＝2||，||的幾何意義為圓O上任意的一點(diǎn)到直線x+y﹣4＝0上任意一點(diǎn)的距離，又由點(diǎn)O（0，0）到直線x+y﹣4＝0的距離d＝＝2，則||的最小值d′＝d﹣r＝2﹣，故的最小值為4﹣3；故答案為：4﹣3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓為位置關(guān)系，涉及向量加法的幾何意義以及向量的線性運(yùn)算，屬于中檔題．14．（5分）四棱臺(tái)的上底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，下底面是邊長(zhǎng)為3的正方形，四條側(cè)棱的長(zhǎng)均為，則該四棱臺(tái)的體積為．【分析】如圖，過B1作B1E⊥BD，垂足為E，求出|BE|、|B1E|，利用相似三角形的性質(zhì)求出|PQ1|，結(jié)合錐體的體積公式分別求出四棱錐P﹣A1B1C1D1和P﹣ABCD的體積即可．【解答】解：如圖，該四棱臺(tái)為ABCD﹣A1B1C1D1，四棱錐P﹣ABCD的高PO交BD于O，交B1D1于O1，由題意知，|BD|＝3，|B1D1|＝2，過B1作B1E⊥BD，垂足為E，則|BE|＝＝，又|BB1|＝，所以|B1E|＝＝，在四棱錐P﹣ABCD中，＝，＝，所以＝＝＝，而|OO1|＝|B1E|＝，解得|PO1|＝，所以四棱錐P﹣A1B1C1D1的體積為＝?|PO1|＝，四棱錐P﹣ABCD的體積為VP﹣ABCD＝SABCD?（|PO1|+|O1|O）＝，所以四棱臺(tái)ABCD﹣A1B1C1D1的體積為VP﹣ABCD﹣＝﹣＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查棱錐的體積公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．15．（5分）已知圓x2+y2+4x﹣6y+a＝0關(guān)于直線y＝x+b成軸對(duì)稱圖形，則a﹣b的取值范圍是（﹣∞，8）．【分析】首先將圓的方程整理為標(biāo)準(zhǔn)形式，然后利用直線過圓心確定b的值，利用圓的方程確定a的取值范圍即可求得a﹣b的取值范圍．【解答】解：圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+2）2+（y﹣3）2＝13﹣a，由題意知，直線y＝x+b過圓心，而圓心坐標(biāo)為（﹣2，3），代入直線方程，得b＝5，由圓的方程可知13﹣a＞0，即a＜13，由此，得a﹣b＜8，故答案為：（﹣∞，8）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，圓的方程的應(yīng)用，圓中的最值與范圍問題等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．16．（5分）已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）．若f（x）的圖象向左平移個(gè)單位所得的圖象與f（x）的圖象重合，則ω的最小值為6．【分析】由條件利用函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，終邊相同的角的特征，求得ω的最小值【解答】解：函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0），∵把f（x）的圖象向左平移個(gè)單位所得的圖象為y＝sin[ω（x+）+φ]＝sin（ωx++φ），∴φ＝++φ+2kπ．即ω＝﹣6k，k∈z，∵ω＞0，∴ω的最小值為：6故答案為：6【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，終邊相同的角，屬于基礎(chǔ)題四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）在△ABC中，AB＝4，AC＝2，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，連接AD并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使AE＝3DE．（1）若DE＝1，求∠BAC的余弦值；（2）若∠ABC＝，求線段BE的長(zhǎng)．【分析】（1）由題意得AD＝2，cos∠ADB+cos∠ADC＝0，由題意設(shè)BD＝DC＝x，利用余弦定理得cos∠ADB＝，cos∠ADC＝，求出x，可得BC，利用余弦定理，即可得出答案；（2）利用余弦定理可得BC＝2，結(jié)合題意，利用余弦定理可得AD＝，cos∠BAE＝，即可得出答案．【解答】解：（1）∵DE＝1，AE＝3DE，∴AD＝2，∵∠ADB+∠ADC＝π，∴cos∠ADB+cos∠ADC＝0，由題意設(shè)BD＝DC＝x，AB＝4，AC＝2，則在△ADB中，由余弦定理得cos∠ADB＝＝＝，在△ADC中，由余弦定理得cos∠ADC＝＝＝，∴+＝0，解得x＝2，∴BC＝2BD＝4，在△ABC中，由余弦定理得cos∠BAC＝＝＝﹣；（2）∵AB＝4，AC＝2，∠ABC＝，∴在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2+BC2﹣2AB?BCcos∠ABC，即8＝16+BC2﹣2×4×BC，解得BC＝2，∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∴BD＝BC＝，在△ABD中，由余弦定理得AD2＝AB2+BD2﹣2AB?BDcos∠ABC＝16+2﹣2××4×＝10，即AD＝，∵AE＝3DE，∴AE＝AD＝，在△ABD中，由余弦定理得cos∠BAE＝＝＝，在△ABE中，由余弦定理得BE2＝AB2+AE2﹣2AB?AEcos∠BAE＝16+（）2﹣2×4××＝，即BE＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形中的幾何計(jì)算和解三角形，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．18．（12分）已知數(shù)列{an}滿足a1＝．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）證明：對(duì)?n∈N*，a1a2a3+a2a3a4+…+anan+1an+2＜．【分析】（1）求得an+1＝，判斷an＞0，兩邊取倒數(shù)，結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，可得所求通項(xiàng)公式；（2）求得akak+1ak+2＝[﹣]，再由數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和和不等式的性質(zhì)，即可得證．【解答】解：（1）由a1＝，可得an+1＝，由a1＞0，可得an＞0，則＝1+，即﹣＝1，所以{}是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，則＝2+n﹣1＝n+1，即an＝；（2）證明：an＝，對(duì)k＝1，2，3，…，akak+1ak+2＝＝[﹣]，所以a1a2a3+a2a3a4+…+anan+1an+2＝[﹣+﹣+…+﹣]＝[﹣]＝﹣＜．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的遞推式的運(yùn)用，以及數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力、推理能力，屬于中檔題．19．（12分）某公司為了解所開發(fā)APP使用情況，隨機(jī)調(diào)查了100名用戶．根據(jù)這100名用戶的評(píng)分，繪制出了如圖所示的頻率分布直方圖，其中樣本數(shù)據(jù)分組為[40，50），[50，60），?，[90，100]．（1）求頻率分布直方圖中a的值；（2）若采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法從評(píng)分在[40，60），[60，80），[80，100）的中抽取20人，則評(píng)分在[40，60）內(nèi)的顧客應(yīng)抽取多少人？（3）用每組數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值代替該組數(shù)據(jù)，試估計(jì)用戶對(duì)該APP評(píng)分的平均分．【分析】（1）根據(jù)題意，由頻率值和等于1，可求頻率分布直方圖中a的值；（2）由頻率分布直方圖可知評(píng)分在[40，60），[60，80），[80，100]內(nèi)的顧客人數(shù)之比，進(jìn)而求出評(píng)分在[40，60）內(nèi)的顧客應(yīng)抽取多少人；（3）根據(jù)頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)，利用平均數(shù)的求法公式即可求出結(jié)果．【解答】解：（1）由（0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018）×10＝1，解得a＝0.006；（2）由頻率分布直方圖可知，評(píng)分在[40，60），[60，80），[80，100]內(nèi)的顧客人數(shù)之比為：（0.004+0.006）：（0.022+0.028）：（0.022+0.018）＝1：5：4，所以評(píng)分在[40，60）內(nèi)的顧客應(yīng)抽取（人）；（3）用戶對(duì)該APP評(píng)分的平均分為：＝76.2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．20．（12分）如圖，在三棱錐P﹣ABC中，△APC為等邊三角形，AC＝4，平面APC⊥底面ABC，AB＝BC＝2，O為AC的中點(diǎn)．（1）證明：PO⊥平面ABC；（2）若點(diǎn)M在棱BC上，BM＝λBC，且二面角M﹣PA﹣C為30°，求λ的值．【分析】（1）由題意得PO⊥AC，又平面APC⊥底面ABC，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，即可證明結(jié)論；（2）連接BO，由（1）可知建立以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AC、OB、OP所在直線為x軸、y軸、z軸的空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，利用向量法，即可得出答案．【解答】解：（1）證明：∵△APC為等邊三角形，O為AC的中點(diǎn)，∴PO⊥AC，∵平面APC⊥底面ABC，平面APC∩平面ABC＝AC，PO?平面APC，∴PO⊥平面ABC；（2）連接BO，由（1）可知建立以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AC、OB、OP所在直線為x軸、y軸、z軸的空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，如圖所示：AB＝BC＝2，AC＝4，則OP＝2，AB2+BC2＝16＝AC2，∴△ABC等腰直角三角形，則OB＝2，BO⊥AC，∴C（2，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），A（﹣2，0，0），設(shè)M（x，y，0），則＝（x，y﹣2，0），＝（2，﹣2，0），∵BM＝λBC，∴，則x＝2λ，y＝2﹣2λ，0≤λ≤1，∴M（2λ，2﹣2λ，0），∵平面APC⊥平面ABC，平面APC∩平面ABC＝AC，BO?平面ABC，∴BO⊥平面PAC，∴平面PAC的一個(gè)法向量為＝（0，2，0），設(shè)平面MPA的一個(gè)法向量為＝（x，y，z），＝（2，0，2），＝（2λ+2，2﹣2λ，0），則，取x＝，則z＝﹣1，y＝，∴平面MPA的一個(gè)法向量為＝（，，﹣1），∵二面角M﹣PA﹣C為30°，∴cos＜，＞＝＝＝cos30°＝，即（）2＝4，解得λ＝3（不合題意，舍去）或λ＝，故λ＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面垂直、二面角、空間向量的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力、直觀想象，屬于中檔題．21．（12分）已知雙曲線（其中a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1（﹣c，0）、F2（c，0）（其中c＞0）．（1）若雙曲線過點(diǎn)（2，1）且一條漸近線方程為；直線l的傾斜角為，在y軸上的截距為﹣2．直線l與該雙曲線交于兩點(diǎn)A、B，M為線段AB的中點(diǎn)，求△MF1F2的面積；（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，c為半徑作圓，該圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為P．過P作圓的切線，若切線的斜率為，求雙曲線的離心率．【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合漸近線的定義，推得，再結(jié)合雙曲線過點(diǎn)（2，1），即可求出雙曲線的方程，再與直線l聯(lián)立，并結(jié)合韋達(dá)定理，即可求解；（2）先求出圓的