滬教版 九年級(jí)(上)數(shù)學(xué) 秋季課程 第18講 一模復(fù)習(xí)之二次函數(shù)與圓(解析版)

二次函數(shù)與圓

內(nèi)容分析

在九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期第三章中，我們學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容，這部分的

知識(shí)點(diǎn)是一?？贾斜乜嫉牟糠?，所有的區(qū)縣都會(huì)針對(duì)這部分的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行考

察.解答題中的主要考察方式是求解二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)與幾何圖形相

結(jié)合的類型（主栗是二次函數(shù)與相似三角形相結(jié)合，這部分內(nèi)容會(huì)在后面的課程

中進(jìn)行講解）.

在九年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期第一章中，我們學(xué)習(xí)了圓的相關(guān)內(nèi)容，這部分的知識(shí)點(diǎn)

是一?？贾兄挥薪虒W(xué)進(jìn)度比較快的部分區(qū)縣會(huì)進(jìn)行考察，包括：長(zhǎng)寧區(qū)、寶山區(qū)、

奉賢區(qū)、金山區(qū)、嘉定區(qū)、普陀區(qū)和崇明縣等.解答題中會(huì)考察一道關(guān)于圓的證

明題或者解答題.

我們整理了近兩年解答題中的相關(guān)題目，同學(xué)們可以有針對(duì)性地進(jìn)行練習(xí).

知識(shí)結(jié)構(gòu)

模塊一：二次函數(shù)

考點(diǎn)分析

二次函數(shù)主要考察二次函數(shù)解析式的求法（一般式、交點(diǎn)式、頂點(diǎn)式），二次函數(shù)

圖像的平移，以及二次函數(shù)與幾何圖形相結(jié)合的相關(guān)題型.

步同級(jí)年九

例題解析

【例1】(2015學(xué)年?楊浦區(qū)一模?第20題)已知二次函數(shù)尸辦2+6x+c(aw0)的圖像上部

分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如下表所示:

X-1024

y-511m

求：(1)這個(gè)二次函數(shù)的解析式;

(2)這個(gè)二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)及上表中m的值.

【答案】

C=1

【解析】解：(1)由題意可得：＜〃+c=-5

4a+2b+1=1

c=1

解得：〃=—2,即解析式為y=—2d+4x+l

b=4

(2)y=-2x2+4x+1=-2(x-1)2+3,

???頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,3),

???當(dāng)x=4時(shí)，y=-15fBPm=—15.

【總結(jié)】本題主要考查二次函數(shù)的基本知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題型。

【例2】2014學(xué)年?徐匯區(qū)一模?第19題)已知二次函數(shù)y=版+c(〃、從°為常數(shù),

且awO)經(jīng)過(guò)A、B、C、。四點(diǎn)，其中橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如下表:

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)求AABD的面積.

【答案】(1)y=-x2+3x+3；(2)6.

a—Z?+c=—1ci——1

【解析】(1)解：根據(jù)題意設(shè)"=3,解得"=3,

a+b+c=51c=3

???拋物線的解析式為y=*+3%+3；

(2)由題意8D=3,8。上的高為4,.,.△48。的面積='x3x4=6.

2

【總結(jié)】本題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題型.

【例3】(2014學(xué)年?寶山區(qū)一模?第21題)已知一個(gè)二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0)和

點(diǎn)B(0,6),C(4,6),求這個(gè)拋物線的表達(dá)式以及該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).

【答案】解析式：y=2x2~8x+6,頂點(diǎn)坐標(biāo)(2,-2).

【解析】解：???拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)8(0,6),C(4,6),.?.此拋物線的對(duì)稱軸是直線尤=2

???拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A。，。)，.?.它一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,0).

.?.設(shè)此拋物線的表達(dá)式為y=a(x-l)(x-3),

將8(0,6)代入，得：a=2,

：.設(shè)此拋物線的表達(dá)式為y=2(x-l)(x-3)=2x2-8x+6

y=2x2-8x+6=2(x-2)2-2,該拋物線頂點(diǎn)為(2--2).

【總結(jié)】本題主要考查利用交點(diǎn)式求二次函數(shù)的解析式，從而求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，注意計(jì)算時(shí)要

細(xì)心.

【例4】(2014學(xué)年?閘北區(qū)一模?第20題)已知二次函數(shù)＞=-2尤2+法+。的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)4

(0,4)和B(1,-2).

(1)求此函數(shù)的解析式；并運(yùn)用配方法，將此拋物線解析式化為＞=。@+〃7)2+%的形式；

步同級(jí)年九

(2)寫(xiě)出該拋物線頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求出AO。的面積.

【答案】(1)y=-2x2-4A-+4=-2(.x+l)2+6；(2)2.

【解析】解：(1):二次函數(shù)丁=-2尤2+云+。的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)人(0,4)和3(1,-2),

[c=4[Z?=-4

根據(jù)題意，得：。八c，解得：,

[-2+。+0=—2[c=4

/.這個(gè)拋物線的解析式是y=-2x2-4x+4=-2(x+l)2+6；

(2)因?yàn)轫旤c(diǎn)C的坐標(biāo)(-1，6),所以久"。=?40|%|=；'4乂1=2.

【總結(jié)】本題主要考查二次函數(shù)的基本知識(shí)點(diǎn)和圖形的面積的結(jié)合，屬于基礎(chǔ)題型.

【例5】(2014學(xué)年?普陀區(qū)一模?第21題)如圖，已知二次函數(shù)的圖像與x軸交于點(diǎn)

A(1,0)和點(diǎn)3,與y軸交于點(diǎn)C(0,6),對(duì)稱軸為直線x=2,求二次函數(shù)的

解析式并寫(xiě)出圖像最低點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】y=2(x-2)2-2,最低點(diǎn)坐標(biāo)(2,-2).

【解析】設(shè)：二次函數(shù)解析式為y=a(x-2『+%(。力0),

把A(1,0)、C(0,6)分別代入，

[a=2,

解得：\k=^y=2(x-2)~-2.

故最低點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-2).

【總結(jié)】本題主要考查利用頂點(diǎn)式求二次函數(shù)的解析式，并通過(guò)配方梟出頂點(diǎn)坐標(biāo)，屬于基

礎(chǔ)題型.

【例6】(2015學(xué)年?閔行區(qū)一模?第19題)如圖，已知RfAABC的斜邊AB在x軸上，斜

邊上的高C。在y軸的正半軸上，且04=1,OC=2.求經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的二次

函數(shù)解析式.

【答案】y--^x2+-1

【解析】解：由題意,

^CAO=z^BCO,:?tanNCAO=tanNBCO.

mRC

：-------------,VOA=1,0C=2,：.B0=4,

AOCO

0)、8(4,0)、C(0,2).

設(shè)y=〃(x+l)(x-4)(存0),

將C(0,2)代入，解得：fl=-1,

1,3

二次函數(shù)解析式為y=尤2+］尤+2.

【總結(jié)】本題先通過(guò)相似求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而利用交點(diǎn)式求出二次函數(shù)的解析式.

【例7】(2015學(xué)年?虹口區(qū)一模?第20題)已知一個(gè)二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)4(0,-3)、8

(2,-3)、C(-1,0)三點(diǎn).

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

(2)將這個(gè)二次函數(shù)圖像平移，使頂點(diǎn)移到點(diǎn)P(0,-3)的位置，求所得新拋物線的表達(dá)式.

【答案】(1)y=x2-2.x-3；(2)y=x2-3.

【解析】解：(1)設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為：y=ax2+bx+c(a^0),

c=-3a=1

解得：卜=-2,

由題意得：，44+2b+c=-3,

a-b+c=0c=-3

這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y=d-2x-3

(2)?..新拋物線是由二次函數(shù)＞=尤2-2彳-3的圖像平移所得，；..=1.

又,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0,-3),：.y=x1-3.

【總結(jié)】本題主要考查利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式及函數(shù)圖像的平移規(guī)律.

【例8】(2015學(xué)年?徐匯區(qū)一模?第20題)拋物線＞=f-2x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,1).

(1)求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)將拋物線y=f-2x+c沿y軸向下平移后，所得新拋物線與x軸交于A、8兩點(diǎn),

如果AB=2,求新拋物線的表達(dá)式.

【答案】(1)(1,0)；(2)y=x2-2x.

【解析】(1)將(2,1)代入y=W-2龍+。，解得：。=1,

步同級(jí)年九

所以y=f-2x+l=(x-iy,故頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)；

(2)設(shè)拋物線向下平移了左個(gè)單位，則新拋物線解析式為y=(x-l)2-A,

對(duì)稱軸為直線X=l,：AB=2,.-.A(0,0)、BQ,0),將A代回解析式，得：k=\,

即y=(x-1)--]=x?-.

【總結(jié)】本題主要考查二次函數(shù)圖像的平移規(guī)律，解題時(shí)看清楚平移方向.

【例9】(2014學(xué)年?金山區(qū)一模?第22題)拋物線>=依2+bx+c(awO)向右平移2個(gè)單位

得到拋物線y=。(無(wú)-3)2-1,且平移后的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,1).

(1)求平移后拋物線的解析式；

(2)設(shè)原拋物線與y軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)為尸，平移后拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)

求AfiRW的面積.

【答案】(1)y=2(x-3)2-l；(2)

2

【解析】(1)把A(2，l)代人y=?x_3)2_l，得：以2-3)2-1=1,解得：a=2,

.?.平移后的拋物線的解析式為：y=2(x-3)z-1；

(2)原拋物線解析式為：y=2(x-l)2-l,即y=2x2-4x+l.

.?.3(0,1),尸(1,-1),M(3,0),；.PB~=5,PM2=5,BM2=10

PB2+PM2=BM-，ZBPM=90,.

【總結(jié)】本題主要考查二次函數(shù)的平移及求簡(jiǎn)單圖形的面積問(wèn)題.

【例10】(2014學(xué)年?寶山區(qū)一模?第20題)已知某二次函數(shù)的對(duì)稱軸平行于y軸，圖像頂

點(diǎn)為A(1,0)且與y軸交于點(diǎn)2(0,1).

(1)求該二次函數(shù)的解析式；

(2)設(shè)C為該二次函數(shù)圖像上橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)，記礪=￡,礪=B試用kB表示反.

【答案】(1)y=(尤-if；(2).

【解析】解：⑴設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a(x-iy,

?.?與y軸交于點(diǎn)5(0,1),：.a=\,

6/28

二.該二次函數(shù)的解析式為：y=(x-l)2；

(2)因?yàn)镃為二次函數(shù)圖像上橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)，.?.y=(2-l)2=l,，C點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1).

BC//x軸，BC=2OA=2a,OC=OB+BC=2a+b.

【總結(jié)】本題一方面考查了二次函數(shù)圖像的平移問(wèn)題，另一方面考查了向量的線性運(yùn)算.

【例11】(2015學(xué)年?靜安區(qū)一模?第24題)如圖，直線y=gx+l與x軸、y軸分別相交于

點(diǎn)A、B,二次函數(shù)的圖像與y軸相交于點(diǎn)C,與直線y=gx+l相交于點(diǎn)A、D,

CZ)〃x軸，ZCDA=ZOCA.

(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.

13

【答案】(1)(0,4)；(2)y=--x29+-%+4.

42

?..直線：與軸、軸分別相交于點(diǎn)、

【解析】(1)y=x+lXyAB,

：.A(-2,0)、2(0,1).：.OA=2,OB=1.

??,CZ)〃x軸，：.ZOAB=ZCDAf

*：ZCDA=ZOCA,：.ZOAB=ZOCA.

tanNOAB=tanNOCA,

.OBOA

—,AOC=4,

OA~OC2OC

...點(diǎn)c的坐標(biāo)為(0,4)；

.CDBC.CD_3

(2)：CD〃x軸,>?------------.?BC-OC-OB-4-1—3,??------——

AOBO21

：.CD=6,...點(diǎn)D(6,4).

設(shè)二次函數(shù)的解析式為丁=辦2+6元+4,

1

0=4。-2Z?+4,u=—,

則解得：，4

4=36。+6b+4,73

b=一.

2

1Q

???這個(gè)二次函數(shù)的解析式是y=—；%2+]X+4.

【總結(jié)】本題主要考查了等角的銳角三角比的值相等的運(yùn)用.

步同級(jí)年九

【例12】(2015學(xué)年?嘉定區(qū)一模?第24題)已知在平面直角坐標(biāo)系宜力(如圖)中，拋物

線y=工/+6x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4,0)、點(diǎn)C(0,-4)，點(diǎn)3與點(diǎn)A關(guān)于這條拋物

2

線的對(duì)稱軸對(duì)稱.

(1)用配方法求這條拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo);

(2)聯(lián)結(jié)AC、BC,求NACB的正弦值；

(3)點(diǎn)尸是這條拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為機(jī)(加>0)，過(guò)點(diǎn)尸作y軸

的垂線PQ,垂足為Q，如果ZQPO=NBCO,求m的值.

___々

【答案】(1)fl,(2)之叵；(3)\=3+屈或7二匕叵.一

(2)1022

【解析】(1)代入點(diǎn)A(4,0)、點(diǎn)C(0,-4),得拋物線的解析式-

為：y=-^X2-X—4>配方得：y=g(x—_

二.頂點(diǎn)坐標(biāo)為11,1-

I2)-------1——I__I_I------------L

O1X

(2)作OHLAC于點(diǎn)H,由已知可得拋物線的對(duì)稱軸為直線x=l,-

故8(-2,0),所以A8=6,由。4=OC=4,得NQAC=45。，

故A4B以為等腰直角三角形，因此期=AH=3應(yīng)，

又BC=6+42=2底所以MB嚶盛而

10

(3)^RtABCO+，tanZBCO^—=-,tanZQPO=22=2k=1

CO2PQxp2

設(shè)尸(小，土工M,分別代入拋物線解析式中可得：

2

機(jī)=紅匣或根=匕，||(舍去負(fù)值).

22

【總結(jié)】本題綜合性較強(qiáng)，主要是考查了二次函數(shù)與銳角三角比的結(jié)合運(yùn)用，解題時(shí)注意認(rèn)

真分析，找出有用的條件.

【例13】(2015學(xué)年?崇明縣一模?第24題)如圖，在直角坐標(biāo)系中，一條拋物線與無(wú)軸交

于A、8兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，其中8(3,0),C(0,4)，點(diǎn)A在x軸的負(fù)半

8/28

軸上，OC^AOA.

（1）求這條拋物線的解析式，并求出它的頂點(diǎn)坐標(biāo);

（2）聯(lián)結(jié)AC、8C,點(diǎn)尸是x軸正半軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作尸M〃BC交射線AC于

點(diǎn)聯(lián)結(jié)"，若ACPM的面積為2,則請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】（1）解析式為：y--X2+-X+4,頂點(diǎn)坐標(biāo)為:

33

（2）尸點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,0）或(1+272,0).

【解析】（1）（0,4）,O(0,0),AOC=4.

'：OC=4OA,：.OA=\.

:點(diǎn)A在％軸的負(fù)半軸上,；.A(—1,0).

設(shè)這條拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a^0）,

:拋物線過(guò)點(diǎn)A（-1,0）,B(3,0),C(0,4)

4

a=——

a-b+c=03

9a+3b+c=0解得:

3

c=4

c=4

—X2+^X+4,它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,一）；

這條拋物線的解析式為y

（2）解：過(guò)點(diǎn)P作PH_LAC,垂足為H,點(diǎn)在x軸的正半軸上，二設(shè)尸（X,0）.

A(-1,0),：.PA=x+1.

「在RtAAOC中,OA2+OC2=AC2

又\Q=1,OC=4,?*-AC=折.

OC4

,/ZAOC=90°,sinNCAO=——=-.

AC#7

PHPH4

'：ZPHA=9Q°,：.sinZCAO=—=--

APx+1

4(x+l)

BPCM

?：PM〃BC,

ABAC

,：B(3,0),P(x,0)

1°點(diǎn)尸在點(diǎn)8的左側(cè)時(shí),BP=3—x

3-xCM???CM尸"

4

：.L?CM?PH=2,

S/\PCM=2,

2

步同級(jí)年九

??，歷一)叩l,解得…1

24717

：.P(1,0)；

2。點(diǎn)尸在點(diǎn)8的右側(cè)時(shí)，BP=x—3,

.^Z1=CM_歷-3)

..4歷，-CM=---.

SgcM=2,?PH=2,

.15x-3)4(x+l)_)

24后

解得：%)=1+2^2?x2=1—2A/2(不合題意，舍去)

■-P(1+2后，0)

綜上所述，P點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0)或(1+20,0).

【總結(jié)】本題綜合性較強(qiáng)，考查了相似三角形與二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，另外考查了三角形的

面積問(wèn)題，要注意分類討論.

【例14】(2014學(xué)年?寶山區(qū)一模?第25題)

(1)數(shù)學(xué)小組的單思稿同學(xué)認(rèn)為形如>=以2+灰+。的拋物線，系數(shù)。、b、c一旦確定，

拋物線的形狀、大小、位置就不會(huì)變化，所以稱。、b、c為拋物線丁=辦2+法+。的

特征數(shù)，記作｛a、b、c｝.請(qǐng)求出與y軸交于點(diǎn)C(0,—3)的拋物線y=f-2x+左在

單同學(xué)眼中的特征數(shù)；

?

(2)同數(shù)學(xué)小組的尤格星同學(xué)喜歡將拋物線設(shè)成y=a(x+m)2+%的頂點(diǎn)式，因此堅(jiān)持稱a、

m、左為拋物線的特征數(shù)，記作｛a、租、k｝.請(qǐng)求出上述拋物線在尤同學(xué)眼中的特征

數(shù)；

(3)同一個(gè)問(wèn)題在上述兩位同學(xué)眼中的特征數(shù)各不相同，為了讓兩人的研究保持一致，

同組的董和諧將上述拋物線表述成:特征數(shù)為｛"、隊(duì)例的拋物線沿平行于某軸方向平

10/28

移某單位后的圖像。即此時(shí)的特征數(shù)｛小也叫無(wú)論按單思稿同學(xué)還是按尤格星同學(xué)

的理解做出的結(jié)果是一樣的，請(qǐng)你根據(jù)數(shù)學(xué)推理將董和諧的表述完整地寫(xiě)出來(lái)；

（4）在直角坐標(biāo)系尤0V中，上述（1）中的拋物線與x軸交于A、8兩點(diǎn)G4在8的左邊），

請(qǐng)直接寫(xiě)出MBC的重心坐標(biāo).

【解析】（1）易知所求的拋物線解析式為y=/-2x-3,.?.該拋物線在單同學(xué)眼中的特征

數(shù)為｛1,-2,-3｝；

（2）；y=d-2x-3=（x-l）2-4,.?.該拋物線在尤同學(xué)眼中的特征數(shù)為｛1，-1，-4｝；

bA2

（3）y=ax2+bx+c=（x+—）2+c~—,要使按單思稿同學(xué)和按尤格星同學(xué)的理解做出

a2a4a

b

b=——

特征數(shù)的結(jié)果是一樣，必須滿足2a解得：/；=o.：y=（x_i）2-4可以看作

b

c=c----

、4。

y=V-4沿平行于x軸方向右平移1個(gè)單位而成，.?.董的完整表述為：特征數(shù)為｛1，。，-4｝的

拋物線沿平行于x軸方向向右平移1個(gè)單位的圖像；

2

（4）上述拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)4B、C構(gòu)成的△的重心坐標(biāo)是.

【總結(jié)】本題主要考查二次函數(shù)的基本知識(shí)點(diǎn)，還有學(xué)生的理解能力和分析能力的考查.

模塊二：圓

考點(diǎn)分析

解答題中，圓這一部分主要考察圓的圓心角、弧、弦、弦心距四者的關(guān)系，垂徑定理及

其推論、以及直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.當(dāng)然，還有圓與其他圖形（三角形、四邊形）、

其他知識(shí)（銳角三角比、相似三角形、二次函數(shù)）相結(jié)合的題目.

例題解析

【例15】（2014學(xué)年?長(zhǎng)寧區(qū)一模?第21題）如圖，是0。的弦，點(diǎn)C、。在弦AB上,

S.AD=BC,聯(lián)結(jié)OC、OD.

步同級(jí)年九

求證：AOCD是等腰三角形.

【解析】證：作于點(diǎn)

：。是圓心

:.AH=BH,

?：AD=BC,

：.AD~AH=BC~BH,

；.DH=CH.

又〈OHLCD,

：.OC=OD,

是等腰三角形.

【總結(jié)】本題主要考查圓的基本知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題型。

【例16】（2015學(xué)年?寶山區(qū)一模?第22題）如圖，以AB為直徑的°。與弦CD相交于點(diǎn)E,

若AC=2石，AE=3,CE=6求弧的長(zhǎng)度.（保留萬(wàn)）

?

【答案】-71.

3

【解析】解：△ACE中，AC=2y/3,AE=3,CE=0,

：.AC2=12=AE2+CE2,

.?.△ACE是直角三角形，即AEJ_C。（E為垂足）

CF1

在直角△AEC中，sinA=—=AZA=30°.

AC2

聯(lián)接OC,VOA=OC：.ZCOE=2ZA=60°

CF

：.sinZCOE=——，解得：OC=2

oc

9607r2

\AE±CDf：.BD=BC='=-7T.

1803

【總結(jié)】本題主要考查垂徑定理積弧長(zhǎng)公式的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題型.

12/28

【例17】(2015學(xué)年?奉賢區(qū)一模?第22題)如圖，在°。中，為直徑，點(diǎn)2為CD的中

A

點(diǎn)，CD=2逐,AE=5.

(1)求OO半徑r的值；/'

(2)點(diǎn)/在直徑AB上，聯(lián)結(jié)CF,當(dāng)NbCD=NDOB時(shí)，求的長(zhǎng).

【答案】⑴3；(2)\/

【解析】(1)：。為圓心，點(diǎn)8為CD的中點(diǎn)，，。后，。，C

"?CD=2A/5,CE=DE=75.,：OA=OD=r,AE=5,.

在RtAODE中，OD2=OE1+DE2,r2=(也￥+(5-r)2,解

(2)由題意，知：尸點(diǎn)必在E點(diǎn)上方

?/NFCD=ZDOB,：.tanZFCD=tanNDOB,即空=匹，

CEOE

VOE=5-3=2,AEF^-,AF^5--=~.

222

第22-(2)題圖

【總結(jié)】本題主要考查圓的基本知識(shí)點(diǎn)，注意圓里的相等的關(guān)系.

【例18】(2014學(xué)年?奉賢區(qū)一模?第20題)一個(gè)弓形橋洞截面示意圖如圖所示，圓心為。，

1?

弦AB是水底線，OC±AB,AB=24m,sin/CQB=—，OE是水位線，DEI/AB.

13

(1)當(dāng)水位線￡>E=4病根時(shí)，求此時(shí)的水深;

(2)若水位線以一定的速度下降，當(dāng)水深8機(jī)時(shí),求此時(shí)NACD的余切值.

【答案】(1)12m；(2)

2

【解析】(1)延長(zhǎng)C。交。E于點(diǎn)尸，聯(lián)結(jié)。。

'：OC±AB,0c過(guò)圓心，42=24,

BC=—AB=12m.

2

1O

在RtxBCO中，sinX.COB-——,

OB13

0B=13m,CO=5m.

,:DE〃AB,：./ACD=/CDE,ZDFO=ZBCO=90°,

又B過(guò)圓心，:.DF=；DE=1X4?=2回n.

在Rt^DFO中，0F=^/oD2-DF2=V169-120=7=7169-120=7m,

步同級(jí)年九

，CF=CO+OF=\2m

即當(dāng)水位線DE=4屈m時(shí)，此時(shí)的水深為12H7；

(2)若水位線以一定的速度下降，當(dāng)水深8%時(shí)，即CP=8相，則。尸=CF0C=3m.

聯(lián)結(jié)0D,在Rt^ODF中，DF=yjoD2-OF2=A/132-32=4廂m,

在RaCOE中，cot/CDF=^=叵,

CF2

'：DE//AB：.AACD=ZCDE,：.cotZACD=cotZCDF=叵.

2

答：若水位線以一定的速度下降，當(dāng)水深8機(jī)時(shí)，此時(shí)NACD的余切值為叵.

2

【總結(jié)】本題主要考查垂徑定理在實(shí)際問(wèn)題中的運(yùn)用.

【例19】(2015學(xué)年?長(zhǎng)寧區(qū)、金山區(qū)一模?第22題)如圖，點(diǎn)C在OO直徑54延長(zhǎng)線上,

AB=2AC,CD切QO于點(diǎn)。，聯(lián)結(jié)CD、OD.

(1)求NC的正切值；

(2)若OO的半徑廠=2,求的長(zhǎng)度.

【答案】⑴—:(2)2有.

3

【解析】解：因?yàn)镃D切。。于點(diǎn)。，所以O(shè)DLCD.

又AB=2AC,:.AC^OA^OD,ZC=30°,即tan/C=

(2)ZB=ZBDO=30°,BD=CD=-J3OD=2^3.

【總結(jié)】本題主要圓的切線性質(zhì)定理的運(yùn)用及與銳角三角比的結(jié)合.

【例20】(2015學(xué)年?嘉定區(qū)一模?第21題)已知，如圖，點(diǎn)A、B、C在0。上，且點(diǎn)3

3

是AC的中點(diǎn)，當(dāng)。4=5c機(jī)，cosNOAB=-時(shí):

5

(1)求AOIB的面積；

（2）聯(lián)結(jié)AC,求弦AC的長(zhǎng).

【答案】⑴12；（2）—.

5

Apr3

【解析】（1）作。于點(diǎn)在曲AAO/Z中，COS2OAH=——=—,

OA5

故A8=3c〃z,0H=4cm,由垂徑定理，得AB=2A//=6CTO.

因此乂⑻=；AB-OH=；x6x4=12a/;

（2）設(shè)AC交08于M,由已知，AB=BC,XOA=OC,

故O、8均在線段AC的垂直平分線上，因此。8垂直平分AC

424

故在RtABAM中，AM=AB-SinZMBA=6x-=^cm,

55

48

:.AC=2AM=—cm.

5

【總結(jié)】本題主要考查垂徑定理及其推論的綜合運(yùn)用.

【例21】（2014學(xué)年?寶山區(qū)一模?第23題）如圖，尸為OO的直徑MN上一點(diǎn)，過(guò)尸作弦

AC、BD使ZAPM=NBPM,求證：PA=PB.

【答案】略.

【解析】證明：過(guò)。作OE_LAC于E,作。/_L8D于R

：.AE=-AC,BF=-BD,/“Xj/A

224—

VZAPM=ZBPM,：.OE=OF,AC=BD,AE=BF\/F7C

在直角AOEP和直角△。尸尸中，PE=OPNAPM,PF=OPZBPM一/

：.PE=PF,,；AE+PE=BF+PF,：.AP=BP.

【總結(jié)】本題主要考查垂徑定理的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題型.

【例22】（2014學(xué)年?金山區(qū)一模?第23題）如圖，已知QO與O。1外離，OC與QD分別

是OO與。。1的半徑，OC/0D.直線CD交。O［于點(diǎn)P,交。。于點(diǎn)A,交。。于

點(diǎn)、B.

4P

求證：(1)OA//OB；(2)——=——

{BPBD

【答案】略.

步同級(jí)年九

【解析】(1)VAO=CO,：.ZOAC=ZOCA.

同理："QB="即.

'：OC//OXD,NOCP=NO\DP,：.NO\DB=ZOCA,

/.ZOAC=NC\BD,：.OA//O.B-,

(2)?:NOAC=NO\BD,NOQB=ZOCA,

ACOA

：.AQ4CsAO\BD,

O.B-

APAC

而一訪

【總結(jié)】本題主要考查同圓的半徑處處相等及三角形一邊平行線性質(zhì)定理的綜合運(yùn)用.

【例23】（2014學(xué)年?寶山區(qū)一模?第25題）如圖，在AABC中，AB=AC=1O,BC=12,

點(diǎn)￡、廠分別在邊BC、AC上（點(diǎn)/不與點(diǎn)A、C重合）EF//AB.把AABC沿

直線EF翻折，點(diǎn)C與點(diǎn)。重合，設(shè)FC=x.

（1）求的余切值；

（2）當(dāng)點(diǎn)。在AABC的外部時(shí)，DE、DF分別交AB于加、N,若MN=y,求y關(guān)于

x的函數(shù)關(guān)系式并寫(xiě)出定義域；

（3）（下列所有問(wèn)題只要直接寫(xiě)出結(jié)果即可）入

以E為圓心、破長(zhǎng)為半徑的OE與邊AC/

①?zèng)]有公共點(diǎn)時(shí)，求x的取值范圍；/J/\

②一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求x的取值范圍；//\

③兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求x的取值范圍./—J----------------'

【解析】解：(1)作垂足為H,

；AB=AC=10,BC=12,:.BH=CH=6,AH=yjAB2-BH2=8,

??cotN3—-----————；

AH84

FCCF66

(2)VEF//AB,：.——二——,:.EC=—x,：.BE=12——x.

BCCA55

VZ.CEF=ZDEF,EF//AB,：.ZBME=ZDEF,Z.CEF=ZB

久1o

???ZBME=ZB,：.ME=BE=n--x,DM=DE-ME=—x-12.

16/28

.DMMN

EF//MN,即

''~DE~~EF6%

—x

5

y=2x—10{5<x<10)；

(3)①當(dāng)0<x<生或—<x<10,E與邊AC沒(méi)有公共點(diǎn)；

189

②當(dāng)x^—或變4尤<5時(shí)，E與邊AC有一個(gè)公共點(diǎn);

918

④當(dāng)時(shí)，E與邊AC有兩個(gè)公共點(diǎn).

9

【總結(jié)】本題主要考查圓和函數(shù)的基本知識(shí)點(diǎn)以及圓里的相關(guān)模型.

【例24】(2014學(xué)年?奉賢區(qū)一模?第25題)已知：矩形ABC。中，過(guò)點(diǎn)B作BG_LAC交

AC于點(diǎn)E,分別交射線于f點(diǎn)、交射線C￡)于G點(diǎn)，BC=6.

(1)當(dāng)點(diǎn)尸為中點(diǎn)時(shí)，求AB的長(zhǎng)；

(2)聯(lián)結(jié)AG,設(shè)==y,求y關(guān)于兀的函數(shù)關(guān)系式及自變量元的取值范圍；

(3)是否存在了的值，使以。為圓心的圓與8C、BG都相切？若存在，求出力的值;

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

▼行在、、；—/、36x-x3_p.x3-36x/、

【答案】(1)372;(2)y=———(0<%<6)或丁=———(%>6)；(3)冗=2百r.

【解析】解：(1)???點(diǎn)/為A。中點(diǎn)，且AO=8C=6,：.AF=3

???矩形ABCD中，ZABC=9Q°,BGLAC于點(diǎn)E,

：.ZABE+ZEBC=90°fZACB+ZEBC=90

：.ZABE=ZACB,：.△ABFsgCF

,AB_AF.

>?—,??AB=3五;

BCAB

.ABAF

（2）由（1）可得AAEFS^BCF,

「BC

2

：AB=x,BC=6,：.AF=—.

6

同理可得：CG二一.

x

36x

①當(dāng)/點(diǎn)在線段AO上時(shí)，DG=CG-CD=^_x=~,

xx

36xx36xx

：.SAAFG=-AFCG=~,^y=-（o<x<6）,

21212

步同級(jí)年九

②當(dāng)尸點(diǎn)在線段AD延長(zhǎng)線上時(shí)，DG=CD-CG=尤_七=三二生；

XX

33

.?1,?-x-36xHnx-36x,,、

.?SAAFG=—AF-CG--------,即>=-------(x>6)；

21212

(3)過(guò)點(diǎn)。作DHLBG于點(diǎn)H,

:以點(diǎn)。為圓心的圓與BC、8G都相切，；.CD=DH,：.ZDBF=ZCBD.

:矩形ABC。中，ZACB=ZCBD

：.RfABEC中,ZACB+ZCBD+ZDBF=90°,：.ZACB=30°,

.ABXr-

Rt^ABC中，tanZACB=,/.tan30°=—,:?x=2也.

BC6

即當(dāng)x=2小時(shí)，以點(diǎn)。為圓心的圓與BC、BG都相切.

【總結(jié)】本題主要考查圓和相似的結(jié)合，注意求解析式時(shí)要分兩種情況討論.

18/28

隨堂檢測(cè)

【習(xí)題1】(2015學(xué)年?浦東新區(qū)一模?第20題)二次函數(shù)y=af+6x+c的變量x與變量y

的部分對(duì)應(yīng)值如下表:

X-3-2-1015

y70-5-8-97

(1)求此二次函數(shù)的解析式；(2)寫(xiě)出拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸.

【答案】⑴y=/-2x-8；(2)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-9),對(duì)稱軸為直線尤=1.

【解析】(1):由圖表得，拋物線經(jīng)過(guò)(-3,7)、(5,7)兩點(diǎn)，，對(duì)稱軸為直線x=L

設(shè)y=a(x-iy+左，?..圖像過(guò)(1,-9),"=-9.

將(-3,7)代入y=a(x-l)2-9,解得：a=l./.y=(x-1)2-9=x2-2x-8；

(2)該拋物線頂點(diǎn)為(1,-9),對(duì)稱軸為直線x=l.

【總結(jié)】本題主要考查利用頂點(diǎn)式求二次函數(shù)的解析式，以及利用配方法求二次函數(shù)的頂點(diǎn)

坐標(biāo)及對(duì)稱軸.

【習(xí)題2】(2015學(xué)年?浦東新區(qū)一模?第20題)在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，拋物線+c經(jīng)

過(guò)原點(diǎn)。、A(-2,-2)與B(1,-5)三點(diǎn).

(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)寫(xiě)出該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).

QQ

【答案】⑴y=-2f-3x；(2).

【解析】(1)???二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,0)、(-2,-2)、(1,-5),

c=0

4a-2b+c=-2,解得：，

a++c=—5

這個(gè)二次函數(shù)的解析式是y=-