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文檔簡介
第10講函數(shù)的奇偶性與周期性、對稱性1、函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)一般地,設函數(shù)f(x)的定義域為I,如果?x∈I,都有-x∈I,且,那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關于對稱奇函數(shù)一般地,設函數(shù)f(x)的定義域為I,如果?x∈I,都有-x∈I,且,那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關于對稱2、周期性(1)周期函數(shù):一般地,設函數(shù)f(x)的定義域為D,如果存在一個非零常數(shù)T,使得對每一個x∈D都有x+T∈D,且,那么函數(shù)y=f(x)就叫做周期函數(shù),非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期.(2)最小正周期:如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個的正數(shù),那么這個就叫做f(x)的最小正周期.常用結論1.奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上具有相同的單調性;偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上具有相反的單調性.2.函數(shù)周期性常用結論對f(x)定義域內任一自變量的值x:(1)若f(x+a)=-f(x),則T=(a>0).(2)若f(x+a)=eq\f(1,fx),則T=(a>0).3.函數(shù)對稱性常用結論(1)f(a-x)=f(a+x)?f(-x)=f(2a+x)?f(x)=f(2a-x)?f(x)的圖象關于直線對稱.(2)f(a+x)=f(b-x)?f(x)的圖象關于直線x=對稱.f(a+x)=-f(b-x)?f(x)的圖象關于點對稱.1、【2022年全國乙卷】已知函數(shù)f(x),g(x)的定義域均為R,且f(x)+g(2?x)=5,g(x)?f(x?4)=7.若y=g(x)的圖像關于直線x=2對稱,g(2)=4,則k=122A.?21 B.?22 C.?23 D.?242、【2022年新高考2卷】已知函數(shù)f(x)的定義域為R,且f(x+y)+f(x?y)=f(x)f(y),f(1)=1,則k=122A.?3 B.?2 C.0 D.13、【2021年甲卷文科】設是定義域為R的奇函數(shù),且.若,則(
)A. B. C. D.4、【2021年甲卷理科】設函數(shù)的定義域為R,為奇函數(shù),為偶函數(shù),當時,.若,則(
)A. B. C. D.5、【2021年乙卷文科】設函數(shù),則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是(
)A. B. C. D.6、【2021年新高考2卷】已知函數(shù)的定義域為,為偶函數(shù),為奇函數(shù),則(
)A. B. C. D.7、【2020年新課標2卷理科】設函數(shù),則f(x)(
)A.是偶函數(shù),且在單調遞增 B.是奇函數(shù),且在單調遞減C.是偶函數(shù),且在單調遞增 D.是奇函數(shù),且在單調遞減8、【2020年新課標2卷文科】設函數(shù),則(
)A.是奇函數(shù),且在(0,+∞)單調遞增 B.是奇函數(shù),且在(0,+∞)單調遞減C.是偶函數(shù),且在(0,+∞)單調遞增 D.是偶函數(shù),且在(0,+∞)單調遞減9、【2020年新高考1卷(山東卷)】若定義在的奇函數(shù)f(x)在單調遞減,且f(2)=0,則滿足的x的取值范圍是(
)A. B.C. D.1、下列函數(shù)中,既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為ABCD2、已知是奇函數(shù),且當時,.若,則__________.3、(2022·廣東省普通高中10月階段性質量檢測)已知函數(shù)是奇函數(shù),則的值為___________.4、(2022·河北·石家莊二中模擬預測)已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),則______.考向一奇偶性的定義與判斷例1、判斷下列函數(shù)的奇偶性.(1)f(x)=eq\r(1-x2)+eq\r(x2-1);(2)f(x)=eq\r(3-2x)+eq\r(2x-3);(3)f(x)=3x-3-x;(4)f(x)=eq\f(\r(4-x2),|x+3|-3);(5)f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2+x,x>0,,x2-x,x<0.))變式1、判斷下列函數(shù)的奇偶性:(1)f(x)=xlg(x+eq\r(x2+1));(2)f(x)=(1-x)eq\r(\f(1+x,1-x));(3)f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-x2+2x+1,x>0,,x2+2x-1,x<0;))(4)f(x)=eq\f(\r(4-x2),|x+3|-3).方法總結:1.判斷函數(shù)的奇偶性,首先看函數(shù)的定義域是否關于原點對稱.若函數(shù)定義域關于原點不對稱,則此函數(shù)一定是非奇非偶函數(shù);若定義域關于原點對稱,再化簡解析式,根據(jù)f(-x)與f(x)的關系結合定義作出判斷.2.在函數(shù)的定義域關于原點對稱的條件下,要說明一個函數(shù)是奇(偶)函數(shù),必須證明f(-x)=-f(x)(f(-x)=f(x))對定義域中的任意x都成立;而要說明一個函數(shù)是非奇非偶函數(shù),則只須舉出一個反例就可以了.3.分段函數(shù)指在定義域的不同子集有不同對應關系的函數(shù),分段函數(shù)奇偶性的判斷,要分別從x>0或x<0來尋找等式f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)成立,只有當對稱的兩個區(qū)間上滿足相同關系時,分段函數(shù)才具有確定的奇偶性.考向二函數(shù)的周期性及應用例2、已知定義在上的函數(shù)滿足,且圖像關于對稱,當時,,則________.變式1、函數(shù)滿足,且在區(qū)間上,則的值為.變式2、已知函數(shù)f(x)的定義域為R.當x<0時,;當時,;當時,,則f(6)=A.?2 B.?1 C.0 D.2變式3、若函數(shù)f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2-x,x≤0,,fx-1-fx-2,x>0,))則f(2023)=________.方法總結:(1)判斷函數(shù)的周期性只需證明f(x+T)=f(x)(T≠0)即可,且周期為T.(2)根據(jù)函數(shù)的周期性,可以由函數(shù)的局部性質得到函數(shù)的整體性質,函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質綜合命題.(3)在解決具體問題時,要注意結論“若T是函數(shù)的周期,則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期”的應用.
(4)除f(x+T)=f(x)(T≠0)之外,其它一些隱含周期的條件:,,,,,等考向三函數(shù)奇偶性與單調性、周期性的應用例3、(1)設是定義域為R的偶函數(shù),且在單調遞減,則A.(log3)>()>()B.(log3)>()>()C.()>()>(log3)D.()>()>(log3)(2)(2022·沭陽如東中學期初考試)已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象連續(xù)不斷,有下列四個命題:甲:f(x)是奇函數(shù);乙:f(x)的圖象關于直線x=1對稱;丙:f(x)在區(qū)間[-1,1]上單調遞減;?。汉瘮?shù)f(x)的周期為2.如果只有一個假命題,則該命題是A.甲B.乙C.丙D.丁變式1、函數(shù)f(x)的定義域為D={x|x≠0},且滿足對任意x1,x2∈D,都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).(1)求f(1)的值;(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性,并證明你的結論;(3)當x>0時,f(x)>0恒成立,且f(4)=1,求不等式f(x-1)<2的解集.變式2、已知為定義在上的奇函數(shù),當時,有,且當時,,下列命題正確的是()A. B.函數(shù)在定義域上是周期為的函數(shù)C.直線與函數(shù)的圖象有個交點 D.函數(shù)的值域為方法總結:1.已知函數(shù)的奇偶性,反求參數(shù)的取值,有兩種思路:一種思路是根據(jù)定義,由f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)對定義域內的任意x恒成立,建立起關于參數(shù)的方程,解方程求出參數(shù)之值;另一種思路就是從特殊入手,得出參數(shù)所滿足條件,再驗證其充分性得出結果.2.函數(shù)的奇偶性與單調性之間有著緊密的聯(lián)系,奇函數(shù)在其關于原點對稱的區(qū)間上單調性相同,偶函數(shù)在其關于原點對稱的區(qū)間上單調性相反,掌握這一關系,對于求解有關奇偶性與單調性的綜合問題,有著極大的幫助,要予以足夠的重視.1、(2022·湖南湖南·二模)已知函數(shù)是R上的奇函數(shù),當時,,若,是自然對數(shù)的底數(shù),則(
)A. B. C. D.2、(2022·河北·模擬預測)設偶函數(shù)在上單調遞增,且,則不等式的解集是(
)A. B.C. D.3、(2022·湖北省天門中學模擬預測)已知是定義在上的偶函數(shù),當時,的圖象如圖所示,則不等式的解集為(
)A. B.C. D.4、(2022·湖南·雅禮中學二模)函數(shù)的定義域為,若是奇函數(shù),是偶函數(shù),則(
)A.是奇函數(shù) B.是偶函數(shù)C. D.5、(2022·山東·濟南一中模擬預測)設函數(shù),若,,(e為自然對數(shù)的底數(shù)),則(
).A. B. C. D.6、(2020屆山東省濰坊市高三上期中)已知函數(shù),以下結論正確的是()A.B.在區(qū)間上是增函數(shù)C.若方程恰有3個實根,則D.若函數(shù)在上有6個零點,則的取值范圍是第10講函數(shù)的奇偶性與周期性、對稱性1、函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)一般地,設函數(shù)f(x)的定義域為I,如果?x∈I,都有-x∈I,且f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關于y軸對稱奇函數(shù)一般地,設函數(shù)f(x)的定義域為I,如果?x∈I,都有-x∈I,且f(-x)=-f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關于原點對稱2、周期性(1)周期函數(shù):一般地,設函數(shù)f(x)的定義域為D,如果存在一個非零常數(shù)T,使得對每一個x∈D都有x+T∈D,且f(x+T)=f(x),那么函數(shù)y=f(x)就叫做周期函數(shù),非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期.(2)最小正周期:如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù),那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.常用結論1.奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上具有相同的單調性;偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上具有相反的單調性.2.函數(shù)周期性常用結論對f(x)定義域內任一自變量的值x:(1)若f(x+a)=-f(x),則T=2a(a>0).(2)若f(x+a)=eq\f(1,fx),則T=2a(a>0).3.函數(shù)對稱性常用結論(1)f(a-x)=f(a+x)?f(-x)=f(2a+x)?f(x)=f(2a-x)?f(x)的圖象關于直線x=a對稱.(2)f(a+x)=f(b-x)?f(x)的圖象關于直線x=eq\f(a+b,2)對稱.f(a+x)=-f(b-x)?f(x)的圖象關于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a+b,2),0))對稱.1、【2022年全國乙卷】已知函數(shù)f(x),g(x)的定義域均為R,且f(x)+g(2?x)=5,g(x)?f(x?4)=7.若y=g(x)的圖像關于直線x=2對稱,g(2)=4,則k=122A.?21 B.?22 C.?23 D.?24【答案】D【解析】因為y=g(x)的圖像關于直線x=2對稱,所以g2?x因為g(x)?f(x?4)=7,所以g(x+2)?f(x?2)=7,即g(x+2)=7+f(x?2),因為f(x)+g(2?x)=5,所以f(x)+g(x+2)=5,代入得f(x)+7+f(x?2)=5,即所以f3f4因為f(x)+g(2?x)=5,所以f(0)+g(2)=5,即f0=1,所以因為g(x)?f(x?4)=7,所以g(x+4)?f(x)=7,又因為f(x)+g(2?x)=5,聯(lián)立得,g2?x所以y=g(x)的圖像關于點3,6中心對稱,因為函數(shù)g(x)的定義域為R,所以g因為f(x)+g(x+2)=5,所以f1所以k=122故選:D2、【2022年新高考2卷】已知函數(shù)f(x)的定義域為R,且f(x+y)+f(x?y)=f(x)f(y),f(1)=1,則k=122A.?3 B.?2 C.0 D.1【答案】A【解析】因為fx+y+fx?y=fxfy,令x=1,y=0可得,2f1=f1f0,所以f0=2,令x=0可得,fy+f?y=2fy,即fy=f因為f2=f1?f0=1?2=?1,f3一個周期內的f1所以k=122故選:A.3、【2021年甲卷文科】設是定義域為R的奇函數(shù),且.若,則(
)A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意利用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的遞推關系即可求得的值.【詳解】由題意可得:,而,故.故選:C.4、【2021年甲卷理科】設函數(shù)的定義域為R,為奇函數(shù),為偶函數(shù),當時,.若,則(
)A. B. C. D.【答案】D【解析】因為是奇函數(shù),所以①;因為是偶函數(shù),所以②.令,由①得:,由②得:,因為,所以,令,由①得:,所以.思路一:從定義入手.所以.思路二:從周期性入手由兩個對稱性可知,函數(shù)的周期.所以.故選:D.
5、【2021年乙卷文科】設函數(shù),則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是(
)A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分別求出選項的函數(shù)解析式,再利用奇函數(shù)的定義即可.【詳解】由題意可得,對于A,不是奇函數(shù);對于B,是奇函數(shù);對于C,,定義域不關于原點對稱,不是奇函數(shù);對于D,,定義域不關于原點對稱,不是奇函數(shù).故選:B6、【2021年新高考2卷】已知函數(shù)的定義域為,為偶函數(shù),為奇函數(shù),則(
)A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】推導出函數(shù)是以為周期的周期函數(shù),由已知條件得出,結合已知條件可得出結論.【詳解】因為函數(shù)為偶函數(shù),則,可得,因為函數(shù)為奇函數(shù),則,所以,,所以,,即,故函數(shù)是以為周期的周期函數(shù),因為函數(shù)為奇函數(shù),則,故,其它三個選項未知.故選:B.7、【2020年新課標2卷理科】設函數(shù),則f(x)(
)A.是偶函數(shù),且在單調遞增 B.是奇函數(shù),且在單調遞減C.是偶函數(shù),且在單調遞增 D.是奇函數(shù),且在單調遞減【答案】D【解析】【分析】根據(jù)奇偶性的定義可判斷出為奇函數(shù),排除AC;當時,利用函數(shù)單調性的性質可判斷出單調遞增,排除B;當時,利用復合函數(shù)單調性可判斷出單調遞減,從而得到結果.【詳解】由得定義域為,關于坐標原點對稱,又,為定義域上的奇函數(shù),可排除AC;當時,,在上單調遞增,在上單調遞減,在上單調遞增,排除B;當時,,在上單調遞減,在定義域內單調遞增,根據(jù)復合函數(shù)單調性可知:在上單調遞減,D正確.故選:D.8、【2020年新課標2卷文科】設函數(shù),則(
)A.是奇函數(shù),且在(0,+∞)單調遞增 B.是奇函數(shù),且在(0,+∞)單調遞減C.是偶函數(shù),且在(0,+∞)單調遞增 D.是偶函數(shù),且在(0,+∞)單調遞減【答案】A【解析】因為函數(shù)定義域為,其關于原點對稱,而,所以函數(shù)為奇函數(shù).又因為函數(shù)在上單調遞增,在上單調遞增,而在上單調遞減,在上單調遞減,所以函數(shù)在上單調遞增,在上單調遞增.故選:A.9、【2020年新高考1卷(山東卷)】若定義在的奇函數(shù)f(x)在單調遞減,且f(2)=0,則滿足的x的取值范圍是(
)A. B.C. D.【答案】D【解析】因為定義在上的奇函數(shù)在上單調遞減,且,所以在上也是單調遞減,且,,所以當時,,當時,,所以由可得:或或解得或,所以滿足的的取值范圍是,故選:D.1、下列函數(shù)中,既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為ABCD【答案】D【解析】A是增函數(shù),不是奇函數(shù);B和C都不是定義域內的增函數(shù),排除,只有D正確,故選D.2、已知是奇函數(shù),且當時,.若,則__________.【答案】【解析】:,得,.3、(2022·廣東省普通高中10月階段性質量檢測)已知函數(shù)是奇函數(shù),則的值為___________.【答案】【解析】因為函數(shù)是奇函數(shù),所以,即,整理得恒成立,解得,經檢驗當時,函數(shù)是奇函數(shù).故答案為:4、(2022·河北·石家莊二中模擬預測)已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),則______.【答案】【解析】依題意函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),所以,,,恒成立,所以,所以.故答案為:考向一奇偶性的定義與判斷例1、判斷下列函數(shù)的奇偶性.(1)f(x)=eq\r(1-x2)+eq\r(x2-1);(2)f(x)=eq\r(3-2x)+eq\r(2x-3);(3)f(x)=3x-3-x;(4)f(x)=eq\f(\r(4-x2),|x+3|-3);(5)f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2+x,x>0,,x2-x,x<0.))【解析】:(1)∵由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2-1≥0,,1-x2≥0,))得x=±1,∴f(x)的定義域為{-1,1}.又f(1)+f(-1)=0,f(1)-f(-1)=0,即f(x)=±f(-x).∴f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).(2)∵函數(shù)f(x)=eq\r(3-2x)+eq\r(2x-3)的定義域為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))),不關于坐標原點對稱,∴函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).(3)∵f(x)的定義域為R,∴f(-x)=3-x-3x=-(3x-3-x)=-f(x),所以f(x)為奇函數(shù).(4)∵由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4-x2≥0,,|x+3|-3≠0,))得-2≤x≤2且x≠0.∴f(x)的定義域為[-2,0)∪(0,2],∴f(x)=eq\f(\r(4-x2),|x+3|-3)=eq\f(\r(4-x2),x+3-3)=eq\f(\r(4-x2),x),∴f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函數(shù).(5)易知函數(shù)的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞)關于原點對稱,又當x>0時,f(x)=x2+x,則當x<0時,-x>0,故f(-x)=x2-x=f(x);當x<0時,f(x)=x2-x,則當x>0時,-x<0,故f(-x)=x2+x=f(x),故原函數(shù)是偶函數(shù).變式1、判斷下列函數(shù)的奇偶性:(1)f(x)=xlg(x+eq\r(x2+1));(2)f(x)=(1-x)eq\r(\f(1+x,1-x));(3)f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-x2+2x+1,x>0,,x2+2x-1,x<0;))(4)f(x)=eq\f(\r(4-x2),|x+3|-3).【解析】(1)因為x+eq\r(x2+1)>0恒成立,所以函數(shù)f(x)的定義域為R,關于原點對稱.因為f(x)-f(-x)=x[lg(x+eq\r(x2+1))+lg(-x+eq\r(x2+1))]=0,所以f(x)=f(-x),所以f(x)為偶函數(shù).(2)由題意,得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1+x,1-x)≥0,,1-x≠0,))解得-1≤x<1,所以定義域不關于原點對稱,所以f(x)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù).(3)f(x)的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),關于原點對稱.不妨設x>0.因為f(x)+f(-x)=-x2+2x+1+x2-2x-1=0,所以f(x)=-f(-x),所以f(x)為奇函數(shù).(4)由題意,得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4-x2≥0,,|x+3|≠3,))解得-2≤x≤2,且x≠0,所以定義域關于原點對稱.因為f(x)=eq\f(\r(4-x2),|x+3|-3)=eq\f(\r(4-x2),x+3-3)=eq\f(\r(4-x2),x),所以f(x)+f(-x)=eq\f(\r(4-x2),x)-eq\f(\r(4-x2),x)=0,所以f(x)=-f(-x),所以f(x)為奇函數(shù).方法總結:1.判斷函數(shù)的奇偶性,首先看函數(shù)的定義域是否關于原點對稱.若函數(shù)定義域關于原點不對稱,則此函數(shù)一定是非奇非偶函數(shù);若定義域關于原點對稱,再化簡解析式,根據(jù)f(-x)與f(x)的關系結合定義作出判斷.2.在函數(shù)的定義域關于原點對稱的條件下,要說明一個函數(shù)是奇(偶)函數(shù),必須證明f(-x)=-f(x)(f(-x)=f(x))對定義域中的任意x都成立;而要說明一個函數(shù)是非奇非偶函數(shù),則只須舉出一個反例就可以了.3.分段函數(shù)指在定義域的不同子集有不同對應關系的函數(shù),分段函數(shù)奇偶性的判斷,要分別從x>0或x<0來尋找等式f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)成立,只有當對稱的兩個區(qū)間上滿足相同關系時,分段函數(shù)才具有確定的奇偶性.考向二函數(shù)的周期性及應用例2、已知定義在上的函數(shù)滿足,且圖像關于對稱,當時,,則________.【答案】-2【解析】因為圖像關于對稱,則,,故是以8為周期的周期函數(shù),故答案為:.變式1、函數(shù)滿足,且在區(qū)間上,則的值為.【答案】【解析】因為函數(shù)滿足(),所以函數(shù)的最小正周期是4.因為在區(qū)間上,,所以.變式2、已知函數(shù)f(x)的定義域為R.當x<0時,;當時,;當時,,則f(6)=A.?2 B.?1 C.0 D.2【答案】D【解析】當時,為奇函數(shù),且當時,,所以.而,所以,故選D.變式3、若函數(shù)f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2-x,x≤0,,fx-1-fx-2,x>0,))則f(2023)=________.【答案】-1【解析】當x>0時,f(x)=f(x-1)-f(x-2),①∴f(x+1)=f(x)-f(x-1),②①+②得,f(x+1)=-f(x-2),∴f(x)的周期為6,∴f(2023)=f(337×6+1)=f(1)=f(0)-f(-1)=20-21=-1.方法總結:(1)判斷函數(shù)的周期性只需證明f(x+T)=f(x)(T≠0)即可,且周期為T.(2)根據(jù)函數(shù)的周期性,可以由函數(shù)的局部性質得到函數(shù)的整體性質,函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質綜合命題.(3)在解決具體問題時,要注意結論“若T是函數(shù)的周期,則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期”的應用.
(4)除f(x+T)=f(x)(T≠0)之外,其它一些隱含周期的條件:,,,,,等考向三函數(shù)奇偶性與單調性、周期性的應用例3、(1)設是定義域為R的偶函數(shù),且在單調遞減,則A.(log3)>()>()B.(log3)>()>()C.()>()>(log3)D.()>()>(log3)【答案】C【解析】是定義域為的偶函數(shù),所以,因為,,所以,又在上單調遞減,所以.故選C.(2)(2022·沭陽如東中學期初考試)已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象連續(xù)不斷,有下列四個命題:甲:f(x)是奇函數(shù);乙:f(x)的圖象關于直線x=1對稱;丙:f(x)在區(qū)間[-1,1]上單調遞減;?。汉瘮?shù)f(x)的周期為2.如果只有一個假命題,則該命題是A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】D【解析】由函數(shù)f(x)的特征可知:函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上單調遞減,其中該區(qū)間的寬度為2,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上單調遞減,與函數(shù)f(x)的周期為2互相矛盾,即:丙和丁中有一個為假命題,若甲乙成立,故f(-x)=-f(x),則f(x+1)=f(1-x),故f(x+2)=f[1-(1+x)]=f(-x)=-f(x),故f(x+4)=f(x),所以函數(shù)的周期為4,即丁為假命題,由于只有一個假命題,故答案選D.變式1、函數(shù)f(x)的定義域為D={x|x≠0},且滿足對任意x1,x2∈D,都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).(1)求f(1)的值;(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性,并證明你的結論;(3)當x>0時,f(x)>0恒成立,且f(4)=1,求不等式f(x-1)<2的解集.【解析】(1)由題意,得f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0.(2)函數(shù)f(x)的定義域為{x|x≠0},關于原點對稱.因為f[(-1)×(-1)]=f(-1)+f(-1)=2f(-1)=f(1)=0,所以f(-1)=0,所以f(-1·x)=f(x)+f(-1),即f(x)=f(-x),所以f(x)為偶函數(shù).(3)由題意,得f(4)+f(4)=f(16)=2,f(x)+feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))=f(1)=0,所以f(x)=-feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x))).不妨設x1>x2>0,則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1,x2)))=f(x1)+feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)))=f(x1)-f(x2)>0,所以f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調遞增.又f(x)為偶函數(shù).所以f(x)在區(qū)間(-∞,0)上單調遞減.因為f(x-1)<2=f(16),所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-16<x-1<16.,x-1≠0,))解得-15<x<1或1<x<17,所以該不等式的解集為(-15,1)∪(1,17).變式2、已知為定義在上的奇函數(shù),當時,有,且當時,,下列命題正確的是()A. B.函數(shù)在定義域上是周期為的函數(shù)C.直線與函數(shù)的圖象有個交點 D.函數(shù)的值域為【答案】A【解析】函數(shù)是上的奇函數(shù),,由題意可得,當時,,,A選項正確;當時,,則,,,則函數(shù)不是上周期為的函數(shù),B選項錯誤;若為奇數(shù)時,,若為偶數(shù),則,
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