廣東省揭陽市揭西縣高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

揭西縣2021—2022學(xué)年度高一期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)科試卷考試范圍：必修一第一冊；考試時間：120分鐘；一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由交集定義可直接得到結(jié)果.【詳解】由交集定義可知：.故選：A.2.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】.故選：D3.函數(shù)的定義域是A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】由得，，故函數(shù)的定義域是，故選A.4.設(shè)，則的值為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，先計算的值，再根據(jù)其大小范圍代入相應(yīng)的解析式中求得答案.【詳解】，故，故選：C5.函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】將區(qū)間端點代入函數(shù)，只要保證函數(shù)值異號，即可得答案；【詳解】易知是上的增函數(shù)，且，，所以的零點所在的區(qū)間為．故選：B.6.已知角的終邊經(jīng)過點，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義，求出，再利用二倍角公式計算可得.【詳解】解：因為角的終邊經(jīng)過點，所以，所以．故選：C7.，，，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性得到.【詳解】易知，，因為，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，所以.故選：D.8.函數(shù)的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】用二倍角公式及誘導(dǎo)公式將函數(shù)化簡，再結(jié)合二次函數(shù)最值即可求得最值.【詳解】由因為所以當(dāng)時故選：B二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.設(shè)，，則（）A B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】對于A，C舉反例可判斷，對于B，D利用不等式的性質(zhì)判斷【詳解】解：對于A，若，則，此時，所以A錯誤；對于B，因為，所以，因為，所以，所以B正確；對于C，若，則，此時，所以C錯誤；對于D，因為，所以由不等式的性質(zhì)可得，所以D正確，故選：BD10.下列四個函數(shù)中，以為最小正周期，且在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】先判斷各函數(shù)最小正周期，再確定各函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性，即可選擇判斷.【詳解】最小正周期為，在區(qū)間上單調(diào)遞減；最小正周期為，在區(qū)間上單調(diào)遞減；最小正周期為，在區(qū)間上單調(diào)遞減；最小正周期為，在區(qū)間上單調(diào)遞增；故選：AC11.下列說法中正確的是（）A.命題的否定是“，”B.“”是“”的充分不必要條件C.“”的必要不充分條件是“”D.函數(shù)最小值為4【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)含有一個量詞的否定，充分不必要條件，必要不充分條件及基本不等式依次判斷各選項即可.【詳解】對于A.命題的否定是“，”，故A錯誤；對于B.等價于，解得或故“”是“”的充分不必要條件，B正確；對于C.由可知，則即反之,不成立，所以“”是“”的必要不充分條件，C正確；對于D.當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號，顯然等號無法取得，故最小值不是4，設(shè)，則在上為減函數(shù)，當(dāng)時，取最小值5，故D錯誤；故選：BC.12.已知函數(shù)，下列說法正確的是（）A.若的定義域為，則；B.若的值域為，則或；C.若，則的單調(diào)遞減區(qū)間為；D.若在上單調(diào)遞減，則.【答案】BD【解析】【分析】依次判斷每個選項，根據(jù)定義域為得到，A錯誤；根據(jù)值域為得到或，B正確；取特殊值排除C，根據(jù)單調(diào)性得到，D正確，得到答案.【詳解】對選項A：的定義域為，則，解得，錯誤；對選項B：的值域為，則，解得或，正確；對選項C：，取不滿足定義域，錯誤；對選項D：在上單調(diào)遞減，則,，解得，正確.故選：BD三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13.函數(shù)（且）的圖象過定點___________.【答案】【解析】【分析】由可得圖像所過的定點.【詳解】當(dāng)時，，故的圖像過定點.填.【點睛】所謂含參數(shù)的函數(shù)的圖像過定點，是指若是與參數(shù)無關(guān)的常數(shù)，則函數(shù)的圖像必過.我們也可以根據(jù)圖像的平移把復(fù)雜函數(shù)的圖像所過的定點歸結(jié)為常見函數(shù)的圖像所過的定點（兩個定點之間有平移關(guān)系）.14.已知冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)定義求出值，再根據(jù)單調(diào)性確定結(jié)果．【詳解】由題意，解得或，又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，∴．故答案為：．15.已知為偶函數(shù)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則不等式的解集為__________．【答案】【解析】【分析】求出不等式在的解，然后根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可得出不等式在上的解集.【詳解】當(dāng)時，令，可得，解得，此時；當(dāng)時，令，解得，此時.所以，不等式在的解為.由于函數(shù)為偶函數(shù)，因此，不等式的解集為.故答案為：.【點睛】本題考查分段函數(shù)不等式的求解，同時也涉及了函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，考查運算求解能力，屬于中等題.16.已知，，，則___________.【答案】【解析】【分析】由已知條件結(jié)合所給角的范圍求出、，再將展開即可求解.【詳解】因為，所以，又因為，所以，所以，因為，，所以，因為，所以，所以，故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題關(guān)鍵點是由已知角的三角函數(shù)值的符號確定角的范圍進(jìn)而可求角的正弦或余弦，將所求的角用已知角表示即.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知函數(shù)滿足，且.（1）求a和函數(shù)的解析式；（2）判斷在其定義域的單調(diào)性.【答案】（1）；；（2）在其定義域為單調(diào)增函數(shù).【解析】【分析】（1）由，可得，再由，可求出值，從而可得函數(shù)的解析式；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性定義進(jìn)行判斷即可【詳解】解：（1）由，得，，得；所以；（2）該函數(shù)的定義域為，令，所以，所以，因為，，所以，所以在其定義域為單調(diào)增函數(shù).18.（1）已知，，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出,即可求得的值；(2)把要求的式子利用誘導(dǎo)公式化為,進(jìn)而而求得結(jié)果.【詳解】解：（1）∵，，∴∴（2）若，則.19.已知函數(shù)(，且).（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并予以證明；（2）求使的x的取值范圍.【答案】（1）是奇函數(shù)，證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）先根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義得函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性定義判斷即可；（2）由已知條件得，再分與兩種情況討論，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性列出不等式組，求出x的取值范圍即可.【詳解】（1）函數(shù)是奇函數(shù).證明：要使函數(shù)的解析式有意義，需的解析式都有意義，即解得，所以函數(shù)的定義域是，所以函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱.因所以函數(shù)是奇函數(shù).（2）若，即.當(dāng)時，有解得；當(dāng)時，有解得，綜上所述，當(dāng)時，x的取值范圍是，當(dāng)時，x的取值范圍是.【點睛】該題考查的是有關(guān)函數(shù)的問題，涉及到的知識點有本題函數(shù)的奇偶性的判斷與證明?對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性?根據(jù)單調(diào)性解不等式，不用對參數(shù)進(jìn)行討論，屬于中檔題目.20.已知函數(shù).（1）若不等式的解集為，求不等式的解集；（2）若，求不等式的解集.【答案】（1）或（2）答案見解析【解析】【分析】（1）由已知得，4是方程的兩根，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求得m，n，代入不等式，求解可得答案；（2）代入已知條件得，分，，，，，分別求解不等式可得答案.【小問1詳解】解：依題意，的解集為，故，4是方程的兩根，則，解得，故或，故不等式的解集為或.【小問2詳解】解：依題意，，若，（*）式化為，解得；若，則；當(dāng)時，的解為或；當(dāng)時，（*）式化為，該不等式無解；當(dāng)時，的解為；當(dāng)時，的解為；綜上所述，若，不等式的解集為；若，不等式的解集為或；若，不等式無解；若，不等式的解集為；若，不等式的解集為.21.甲、乙兩地相距1000千米，某貨車從甲地勻速行駛到乙地，速度為v千米/小時（不得超過120千米/小時）．已知該貨車每小時的運輸成本m（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v（單位：km/h）的關(guān)系是；固定部分y2為81元．（1）根據(jù)題意可得，貨車每小時的運輸成本m=________，全程行駛的時間為t=________；（2）求該貨車全程的運輸總成本與速度v的函數(shù)解析式；（3）為了使全程的運輸總成本最小，該貨車應(yīng)以多大的速度行駛？【答案】（1）；；（2）（0<v≤120）；（3）v=90km/h.【解析】【分析】（1）根據(jù)貨車每小時的運輸成本等于可變部分加上固定部分即可得出答案，再根據(jù)全程行駛的時間等于總里程除以速度即可得解；（2）根據(jù)貨車全程的運輸總成本等于貨車每小時的運輸成本乘以時間即可得出答案；（3）根據(jù)函數(shù)解析式結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】解：（1）；．（2）貨車全程的運輸總成本（0<v≤120）．（3）=1800元，當(dāng)且僅當(dāng)，即v=90時，全程的運輸總成本最小，所以為了使全程的運輸總成本最小，該貨車應(yīng)以90km/h的速度行駛.22.已知函數(shù)．（1）求方程在上的解；（2）求證：對任意的，方程都有解．【答案】（1）或；（2）證明見解析．【解析】【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式和正弦、余弦函數(shù)