2023高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破訓(xùn)練四：三角函數(shù)

2023高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破專題訓(xùn)練（4）

三角函數(shù)

★熱身訓(xùn)練

1.（江蘇省泰州中學(xué)2022?2023學(xué)年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)周練試卷（十））

若函數(shù)g(x)=sin(s-工)在上沒(méi)有零點(diǎn)，則”的取值范圍是（）

28

A.B.C.D.(05

3,9

【答案】A

g(x)=sin(s.)

上沒(méi)有零點(diǎn)，嗚吟唉則丁小

由函數(shù)g（x）在

由可得0＜。41

（0

假設(shè)函數(shù)g（x）在上有零點(diǎn),

則ftu,一巴=eZ,則x=^+2-,AeZ

3co3<y

,itku,n3n2k22.1.?

由一<一+——<一，可得——+-<co<2k+-,k>一一,kwZ

23<y23933

22

又則叱

9,3

一

28一

兀37t--

上沒(méi)有零點(diǎn)，且可得39i

則由函數(shù)月（X）在5'2I

-一

故選：A

2.（江蘇省如東高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期12月階段測(cè)試數(shù)學(xué)試

題）

已知函數(shù)/（x）=sinntyx-\Z5COSTT0X（。＞0）在［（）,1］內(nèi)恰有3個(gè)最值點(diǎn)和4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)①的

取值范圍是（）

＜1023］「「10231八「1713）卜（\123'

A.B.—C.-D.

（36」\_36JL63J\66,

【答案】B

【分析】數(shù)形結(jié)合，由第4個(gè)正零點(diǎn)小于等于1,第4個(gè)正最值點(diǎn)大于1可解.

【詳解】/（.v）=sinncox-\/5cosTUOX=2sinna）x--I,

因?yàn)閄W[O,1],所以尤公￥一,￡~—,

又因?yàn)楹瘮?shù)/（x）=sin兀0x-\/5cos7uyx（⑷>0）在[0,1]內(nèi)恰有3個(gè)最值點(diǎn)和4個(gè)零點(diǎn)，

由圖像得：3兀4麗—?<一,解得：乎

3236

1023、

所以實(shí)數(shù)G的取值范圍是

MT4k

3.（湖南省益陽(yáng)市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）

7.已知函數(shù)/（N）=sin（u+a）（0V3V6,㈤V、）,若/倩+了）=/第――，

?則g對(duì)應(yīng)的值為

A.4,與B.3,￡■C.2,與D.1

606O

7.C【解析】由題可知函數(shù)/（4）關(guān)于直線z=居對(duì)

稱,又因?yàn)?（年）=0,所以函數(shù)/（/）關(guān)于點(diǎn)

（.,0）中心對(duì)稱,所以日一《■=（+崢，無(wú)￡Z,即

\3，"342

7=居T?ez,所以*=A7?ez.即得3=快

+2/GZ.因?yàn)?V/V6,所以k=0時(shí)，3=2符合，所

以/Cr）=sin（2x+G，又由/（個(gè)）=0,得2Xg~+<

=日.4￡7?所以9=時(shí)一由IqlV吊■，可

KJ乙

知當(dāng)歸=1時(shí),3=名符合.故選c.

4.（江蘇省泰州中學(xué)2022?2023學(xué)年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)周練試卷（十））

/\

（多選題）已知函數(shù)f（x）=Asin?x+e）A>0M>0,0<9<3的部分圖像如圖所

\2,

示，將該函數(shù)圖象向右平移展個(gè)單位后，再把所得曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（縱

坐標(biāo)不變），得到函數(shù)g（x）的圖象，則下列選項(xiàng)中正確的有（）.

A./(X)=sin2x+—

I3

B.1=與是曲線y=g(x)的對(duì)稱軸

n

C.^(x)=sinx+—

3J

D,直線丁=大十乎是曲線y=/(%)的

?條切線

答案：ABD

27c_77T7t.__

【解析】由圖象知A=1——=2(z----—)解得。=2,

co1212

將％=工代入f(x)中得sin(2哈+8)=1,則2哈+°=2E+,供wZ),

因?yàn)镺v0<],=f(x)=sin(2x+,A正確;

由于將函數(shù)〃x)圖象向右平移(個(gè)單位后，得函數(shù)產(chǎn)sin[2(x-$+?=si*+a的圖

象，

再把所得曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)

y=sin([x2x+3)=sin(x+B)的圖象，故g(x)=sin(x+?),C錯(cuò)誤；

2666

將工=多代入g(x)=sin(x+勺中，sin有+勺=-1,x=?是曲線y=g(x)的對(duì)

稱軸，B正確；

/'(x)=2cos^2x+-^j,令,g|J2cos2x+^J=l,「.cos(2x+g

33

]_

可得x=0時(shí)滿足cos,此時(shí)/(O)=

I3J2

sinI2x+—在點(diǎn)處的切線方程為y—孝=jr—0,/.y=x+乎

則〃x)=,D正

I3j

確，故選：ACD.

5.(廣東省深圳市高級(jí)中學(xué)(集團(tuán))2022?2023學(xué)年高三上學(xué)期期末測(cè)試數(shù)學(xué)試題)

20.A/IBC中，AB=^z^A=-,AC>AB.

8

⑴若麗?前=12，求5C：

(2)若cos(8-C)=1,求/的面積.

4

【答案】⑴

⑵2^1

2

【分析】(1)根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算可得而?能=麗畫(huà):求解可得AC=8,再根據(jù)余

弦定理求解8c即可；

77

(2)法一：根據(jù)二倍角公式可得8s2(8—C)=—5，結(jié)合cosA=(可得2傳一。)=%—4,

oo

進(jìn)而求得sinC=在，由正弦定理與倍角公式可得，結(jié)合sinB=sin3C,再利用三角形面積公

4

式求解即可；

法二：在AC上取點(diǎn)O,使得NCBO=NC,則cos48。=1，再根據(jù)題意，結(jié)合

cosZAD8=-cos(ZA+Z48D)可證明ZAD5=Z/?),再根據(jù)余弦定理可得即=2,進(jìn)而利

用面積公式求解即可.

［詳解】(1)?.而反=麗?(衣一麗)=麗./-|麗『

=|祠.國(guó).COSA_42=4XACX2_16=Z4C-16,

7

由,AC-16=12,得AC=8.

ABC-=AB1+AC2-2ABACcosA=24,

ABC=2瓜

(2)法~*：Vcos(B—C)=—><B—C<<2(B—

7

又cos2(3—C)=2cos2(B—C)—1=—,

8

又cosA=-,0<A<-,A2(B-C)=n-A,

83

A2(B-C)=B+C,：.B=3Ct：.A=n-4C,

77

cosA=cos(7i-4C)=—,/.cos4C=—

88

2cos22C-I=--,/.cos2C=-,

84

l-2sin2C=",>??sinC=—，

44

ABBC

由正弦定理得,~~77=~\7，

sinCs\nA

又sin4=Jl-cos2A,AB=4,/.5C=4x—=V10,

88V6

又sin2c=cosC=?

44

sinB=sin3C=sin(C+2C)=sinCcos2C+cosCsin2C=-^-x—+=,

44448

^S.ABC=-ABBCsinB=-x4x^0x^-=^-.

△A"，2282

法二：在AC上取點(diǎn)O,使得NCBD=NC,

cos(B-C)=^:.cosZ.ABD=—,

4

；?sinNABD=71-cos2ZABD=—，又sinA=Vl-cos2A=

48

/.cosZADB=8s[兀-(ZA+乙480)]=-cos(ZA+ZABD)

=sinAsinZABD-cosAcosZABD=—x^--xl=l

84844

AcosZ4D￡?=cosZABD,AZADB=ZABD,AAD=AB=4.

c7

=AB2+/tD2-2ABADcosA=16+16-2x4x4x-=4,

:?BD=2,：.DC=BD=2tAC=AD+DC=6,

??,SAABc=，ABAC?sinA」x4x6x巫

2282

6.(湖南省常德市2022.2023學(xué)年高三上學(xué)期期末檢測(cè)考試數(shù)學(xué)試題)

如圖，在梯形45co中，AD//BC,且AO=2,BC=4.

(1)若A8=3,CD=2,求梯形A8CO的面積；

(2)若ND=2N8,證明：AABC為直角三角形.

B

第18題圖

⑴在—中'由余弦定理得846="蕓退=￡/..........分

在A4CZ)中，由余弦定理得cosNCAO=幽土型巫=晅2分

2ACAD4AC

3分

由4CA=NC4D有，AC"+7=—>解得AC="..................

8AC4AC

4分

cosZBCA=40+7=，又Z.BCAe(0,汗)，sinZBCA=—

SAC44

「?梯形A8C7)的面積

6分

s=S^BC+SAA。=g8C.ACsinNBC4+gAO.ACsin/CAO=竽

1分

法二：(1)取8C的中點(diǎn)E,連AE,則BE1=CE=2.......................2分

:.AD=EC,AD//EC,四邊形AEC￡>為平行四邊形......分

3

：,AE=DC=2

AB+BCAE

在MBE中，cosZB=~^=-

2ABBC4

4分

又4GAe(0,不)，,-.sinZB=—.......

4分

6

梯形A8CD的面積S=S+Sw=-S=-Afi-BEsin/B=—

LMV3WEP2A4BE24

(2)設(shè)ZB=a,ZACB=6,則NO=2?，々BAC=n-a-6,ZACD=7r-2a-G

在AABC中，由正弦定理得BC,即&=4①

sinBsinZ.BACsinasin(a+0)

8分

在AAC。中，由正弦定理得*=4),即」_____?_②

sinDsinZACDsin2asin(2a+0)

9分

由①②得：sin2a2sin(2a+e)..........................................................................

sinasin(a+0)

化簡(jiǎn)得，cosasin(a+6)=sin(2zz+9)

乂sin(2a+0)=sin[a+(a+0)\=sinacos(a+9)+cosasin(a+0)

1分

所以sinacos(a+仍=0............................................................................................

又ae(0,4),。+。€(0,乃)

2分

所以a+6=X,ZBAC=-,A48C為直角三角形

22

法二：取BC的中點(diǎn)E,連AE,WOBE=CE=2

：.AD=EC,AO//EC,.,.四邊形AECO為平行四邊形.................................8分

/.ZAEC=ZD=2ZB

ZB=ZBAE......................................................................................................................................10分

:.AE=BE=EC=2

ZEC4=Z￡4C

ZEAC+ZEAB=ZB+ZECA=-

2

ZBAC=~,AABC為直角三角形...................................................12分

2

7.（湖南省益陽(yáng)市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）

18.（本小題滿分12分）

在△ABC中.角A,8,C的對(duì)邊分別為a,6,c,且（2—sinA）cosB—1=cos

AsinB—2cosBsinC.

⑴求B；

（2）證明：

18?解：（1）由（2-sinA）cosB-1-comAwin3

—2cosBsinC.

得2（06B-1-co*AwinH（UnAeon3

_2c035sinC.

即2cwB-C-2cosBxinC?（2分）

2co?B4-2c<?BsinC=14-sinCt

2（1+、inC）cosB=1+.inC?

因?yàn)镺VCVw?所以sinOO?所以1+sunOO.⑵依題要證明。一/42凡即證明看＜2,

（3分）

由（1〉及正弦定理得：審§ir?A+sin2c

所以2aM8-l.Blco*sin2B

又因?yàn)镺VBVx,所以"年.（5分）-1-（sin:A+sin2C）

J

4/1—cos2A,1—cos2C\12..

=T（—2—十-2-）=T-T（coso2A

4-cos20?（6分）

又因?yàn)锳+C=K-B=笫所以2C=竽-2A.

所以cos2A+cos（竽-2A）0cos2A-

cos—2A）

=cos2A-cos年cos2A-sin-^-sin2A

=1cos2A—§sin2A=cos（2A+-y）,（10分）

因?yàn)镺VAV爭(zhēng).所以^V2A+仔V苧.

所以當(dāng)2A+T"=K時(shí)?cos（2A+^）=-l

此時(shí)孑一件《co、2A+cos2C）有最大值2.即％-

42.

所以1+/42必得證.（12分）

8.(江蘇省南通市海安市2022?2023學(xué)年高三上學(xué)期1月期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)

學(xué)試題)

已知四邊形A8CO內(nèi)接于圓。，AB=3,40=5,ZBAD=120°,AC平分NBA。.

(1)求圓。的半徑；

(2)求AC的長(zhǎng).

(I=J9+25-2x3x5x=7,

7_二7G

設(shè)圓。半徑為/?..-./?=

2sinl20°~亍

(2)cos^ADB=^25—+^4——9-9=—13,sinZJD5=3—J3,

2x5x71414

而N8OC=60。，.?.sinN/DC=sin(N4Q8+600)=誓x；+j1x曰=迪，

AC146一〃14>/346

=2R==>JC=x----=o8

sinZJ/)C--------3-----------3-----7

9.(江蘇省如東高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期12月階段測(cè)試數(shù)學(xué)試題)

在①耳=六，②]4=處￡,③2S=-石麗?前三個(gè)鳧件中任選一個(gè)補(bǔ)充在

下面的橫線上，并加以解答

在“1BC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c且,若。=2,c=4,AB邊

上的中垂線交AC于。點(diǎn)，求8。的長(zhǎng).

回U-COS8-b__cosB-sinB

解：選①，由----=-----,可得-=o..—?

cosC2a+ccosC2sinA+sinC

即2sinAcosB+sinCeosB=-sinBcosC,

1o

又A4w(0z),所以sin4>0,所以COSB=-2,所以8=^，

sinAb+c-3ab+c

選②，由口可得

sinB-sinC

即a1+ac=b2-c2ttUb2=c2+a2+ac=c2+a2-2accosB，

所以=又閃6e（O,乃），所以6=等，

選③，因?yàn)?s=->/5麗?阮=一行|麗H^cos8=-GaccosB="sin3,

所以tanB=-g,又8c（O,乃），所以B二,，

貝IJ從=a2+c2-2^ccosB=28,所以6=2",

22l

口.?Ab+c-a28+16-45百

Jyr以cosA=------------=------7=——=-----,

2bc2x2V7x414

如圖，設(shè)48邊上的中垂線垂足為點(diǎn)。，

因?yàn)?。。垂直平分所?4=04,又0D=0D,所以

10.（江蘇省泰州中學(xué)2022?2023學(xué)年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)周練試卷（十））

如圖，在平面四邊形45CD中，AB=BC=CD=2,AD=20

（1）若。B平分/4OC,證明：A+C="；

（2）記與△BCD的面積分別為S1和SZ,求s；+s；的最大值.

【解析】

（1）^,?DB平分NADC，.?.ZADB=NCDB,則cos/ADB=cosNCDB,

AD2+BD1-AB2CD2+BD2-BC2

由余弦定理得:

2ADBD2CDBD

2

12+8。2-44+BD-42

即,解得：BD=4(V3+1)：

4也BDABD

AD2+AB2-BD212+4—4回1）石-1

2ADAB8亞2

CD2+BC2-BD24+4-4（/+1）]_^3

cosC=

2CDBC~~82

.\cosA=-cosC,又A￡（0,〃），Ce（O,^）,:.A^-C=7r

⑵BD2=AB2+AD2-2AB?ADcosA=BC2+CD2-2BCCDcosC，

.-.16—8\^cosA=8—8cosC,整理可得：COSC=y/3COSA-1-

S：+S；=（gAOA8sinA）+^BCCDsincj=12sin2A+4sin2C

=12-12cos24+4-4cos2C=16-12cos2A-4（gcosA-l）

=-24cos2A+8>/3cosA+12=-24cosA一器）+14,

,.?A￡（0,〃），.??當(dāng)cosA二g時(shí)，s：+s；取得最大值，最大值為14.

11.（河北省衡水中學(xué)2023屆高三上學(xué)期四調(diào)數(shù)學(xué)試題）

在&鉆。中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是mb,c.已知A/45C的外接圓半徑R=四，

H*n、L&sinA

且tanB+tanC------------

cosC

(1)求8和6的值；

(2)求AABC面積的最大值.

【答案】(1)B=~,b=2；

4

⑵1+V2

【解析】

【分析】(1)利用同角三角函數(shù)間的關(guān)系切化弦得包且+必￡=立包a,再由正弦的

cosBcosCcosC

和角公式化簡(jiǎn)可求得8,再利用正弦定理可求得公

（2）由余弦定理得4=/+°2一扃0利用基本不等式得〃cW2（2+&）,由三角形的

面積公式可求得答案.

【小問(wèn)I詳解】

解：因?yàn)閠anB+tanC=Y%d，所以包到￡=也迎4,

cosCcosBcosCcosC

sinBcosC+cosBsinC=夜sinAcosB?即sin（3+C）=>/2sinAcosB,

因?yàn)锳+3+C=/r，所以sinA=&sinAcosB，

又sinAwO,所以cosB=變，所以8=f,

24

又A/SC的外接圓半徑A=0,所以由正弦定理一0一=2A得。=2x&x，Z=2;

sin82

【小問(wèn)2詳解】

解：由余弦定理。2=4+02—2^ccos8得4=/+。2-&4C，

由基本不等式得4=/+/—缶C之2〃°一在7c（當(dāng)且僅當(dāng)。=c時(shí)取等號(hào)），所以

4CV二%=2（2+夜）（當(dāng)且僅當(dāng)。=C時(shí)取等號(hào)），

所以S.A8c=gacsinB=￥ac《亨x2（2+&）=l+&（當(dāng)且僅當(dāng)。時(shí)取等號(hào)）,

故AABC面積的最大值為1+72.

12.（遼寧省大連市2023屆高三上學(xué)期期末雙基測(cè)試數(shù)學(xué)試題）

記”3。內(nèi)角A、B、。的對(duì)邊分別為〃、b、c,且

（/?+c）（sinB-sinC）=（sinA-sinC^a.

（1）求B的值；

（2）若AABC的面積為6，b=2,求周長(zhǎng).

【答案】（1）8=]

（2）6

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理結(jié)合余弦定理可求得COS8的值，結(jié)合角B的取值范圍可求得角

〃的值：

(2)利用三角形的面積公式可求得碇的值，再利用余弦定理可求得O+C的值，即可求得

△ABC的周長(zhǎng).

【小問(wèn)1詳解】

解：由(b+c)(sin3—sinC)=(sinA-sinC)a,

222

根據(jù)正弦定理可得(b+c)(b—c)=(a—c)a,所以，a-i-c-b=ac^

小人葉一加-r/曰r,a2+c2-b11

由余弦定理可得cosB=----------=—,

lac2

?/Be(O,7i),因此，B=-.

【小問(wèn)2詳解】

i

解：因?yàn)镾”8c=5〃csinB==.?.ac=4,

由余弦定理可得

b2=a2+c2-laccosB=a1+C-ac={<a-\-cy-3ac=(a+c『-12=4,

.\a+c=4,因此，“WC的周長(zhǎng)為a+b+c=6.

★高考引領(lǐng)

【試題出處】2022年高考數(shù)學(xué)全國(guó)甲卷理科第5題

【試題】

函數(shù)y=(3-3r)cosx在區(qū)間卜?的圖像大致為

【試題分析】

考查目標(biāo)試題以三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)為載體，設(shè)計(jì)的復(fù)合函數(shù)表

達(dá)式雖然簡(jiǎn)單，但其圖像不易得到.從函數(shù)的奇偶性及特殊點(diǎn)處的取值,

可以初步判定復(fù)合函數(shù)的一些圖像特征.函數(shù),=3'-3、是奇函數(shù)，

?=cosx是偶函數(shù)，二者構(gòu)造得到的新函數(shù)y=(3*-3r)cos4是一個(gè)奇函

數(shù).再考慮特殊點(diǎn)的函數(shù)取值的符號(hào)，從而能正確求制本題.試題考查

了考生分析函數(shù)圖像與性質(zhì)的能力，體現(xiàn)了重思維、重過(guò)程、適當(dāng)降低

運(yùn)算量的命題思路.

試題考查考生對(duì)函數(shù)的奇偶性、函數(shù)圖像與性質(zhì)的掌握，以及應(yīng)用

函數(shù)圖像進(jìn)行分析和求解的能力.試題注重對(duì)關(guān)鍵能力和基礎(chǔ)知識(shí)的考

查,符合“四層”與“四翼”要求.

解題思路

思路1利用函數(shù)奇偶性和特殊值法.根據(jù)函數(shù)解析式可得，(-")=

TT7T1

[F，引,

且/(l)=(3-3")cos1>0,故選項(xiàng)C不正確.故選項(xiàng)A正確.

思路2特殊值法.根據(jù)函數(shù)表達(dá)式和圖像區(qū)間，有-le卜三，jj,

le|-y,y],fi/(-l)=(3-,-3)cos(-l)<0,/(1)=(3-3-')008l>0,所以

選項(xiàng)B.C,D不正確.故選項(xiàng)A正確.

思路3利用函數(shù)單調(diào)性.根據(jù)函數(shù)解析式可得/(r)="/("),即

函數(shù)/(乃是奇函數(shù).由/(4)=3%os#,知函數(shù)是連續(xù)可導(dǎo)

的，且

/'(“)=In3,3*cos*-3*sinz+ln3,3-1cosx+3"*8inx

=ln3,(3*+3**)co?x+(3',-3M)sinx.

故/'(0)=21n3>0,從而函數(shù)在4=0附近的某個(gè)對(duì)稱區(qū)間內(nèi)是單謝

遞增的，故選項(xiàng)B,C,D不正確.故選項(xiàng)A正確.

【試題出處】2022年高考數(shù)學(xué)全國(guó)甲卷理科第11題

【試題】

設(shè)函數(shù)/(%)=§可3：+三)在區(qū)間(0,7T)恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn),

則3的取值范圍是

[513\口[519\71381/13191

A，匕，7)B.卜,-)C,y]D.-]

【試題分析】

考查目標(biāo)周期性、單調(diào)性和對(duì)稱性是三角函數(shù)的基本性質(zhì)，由這

些基本性質(zhì)可以推導(dǎo)出三角函數(shù)的零點(diǎn)和極值點(diǎn)等其他性質(zhì)?試題的求

解涉及對(duì)三角函數(shù)基本性質(zhì)的綜合運(yùn)用，重點(diǎn)考兗了考生的運(yùn)算求解能

力、邏輯思維能力等關(guān)鍵能力，考查了考生理性思維、數(shù)學(xué)探索等數(shù)學(xué)

學(xué)科素養(yǎng)，符合基礎(chǔ)性、綜合性的考查要求.

試題亮點(diǎn)試題巧妙地設(shè)計(jì)了正弦型三角函數(shù)的圖像在局部的性質(zhì),

反過(guò)來(lái)要求考生羥過(guò)分析與綜合，判斷正弦型函數(shù)頻率的取值范圍.試

題是對(duì)考生全面掌握三角函數(shù)性質(zhì)及其研究方法的一次很好的檢驗(yàn),試

題解法靈活多樣，既可以用分析的方法，通過(guò)邏輯推理求解；也可以利

用函數(shù)圖像，直觀地給出解題思路,成題要求考生熟練掌握基本三角函

數(shù)(y=sin%)的性質(zhì)和正弦型函數(shù)(y=sin(s+3))的性質(zhì)及其之間的關(guān)

系，意在指導(dǎo)高中數(shù)學(xué)教學(xué)要對(duì)三角函數(shù)的教學(xué)進(jìn)行整體把握?

數(shù)學(xué)中正向問(wèn)題的解決路徑是清晰的、確定的，而反向問(wèn)題(逆問(wèn)

題)的解決需要分析與綜合判斷.正向問(wèn)題的解決主要依靠形式邏輯推理

思維，反向問(wèn)題的解決需要建立在辯證邏輯思維的基礎(chǔ)之上.考生未來(lái)

無(wú)論是進(jìn)入高等學(xué)校學(xué)習(xí)還是進(jìn)一步從事科學(xué)研究，其主要的思維方式

就是辯證邏輯思維.因此，試題具有良好的選拔性，有利于檢測(cè)考生的

辯證邏輯思維能力.

解題思路

思路］/(0)=嗚=冬即點(diǎn)(0,外在函數(shù)圖像上?根據(jù)/⑴在

區(qū)間(0,F)上的單調(diào)性，有3>0.否則，若3<0,/(%)有三個(gè)極值點(diǎn)，

則必然會(huì)有至少三個(gè)零點(diǎn)，與題設(shè)不符，故排除

在(0,+oo)上，按從小到大的順序分別對(duì)/(#)的極值點(diǎn)、零點(diǎn)排

序，設(shè)k即是/(外在區(qū)間(0,“)上的第三個(gè)極值點(diǎn)，是/(力)在區(qū)

間(0,+8)上的第三個(gè)零點(diǎn)，依題意有與§訪4在(0,+8)上的

前三個(gè)極值點(diǎn)依次為“哼X=X=在⑼十上的前三個(gè)零點(diǎn)

4T4^T4,8)

依次為％=4=2宣和”=3"?

4138

從而有3“+三>~^且0宣+§W3”，解不等式有故正確選

項(xiàng)為C.

思路2畫(huà)出草圖，容易發(fā)現(xiàn)3>0.

當(dāng)為函數(shù)/（2的第三個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，3=當(dāng)％=”為函

O

8

數(shù)/（“）的第三個(gè)零點(diǎn)時(shí)，3;彳，故正確選項(xiàng)為C.

【試題出處】2022年高考數(shù)學(xué)全國(guó)甲卷理科第16題

【試題】

已知△48C中，點(diǎn)〃在邊上，乙力仍二120。，40=2,CD=2BD.

AC

當(dāng)/取得最小值時(shí)，BD=.

f\n

【試題分析】

考查目標(biāo)解三角形本質(zhì)上是在三角形內(nèi)殖方程（三角形的正弦定

理、余弦定理、三角形內(nèi)向和定理以及三角形兩邊之和大于第三邊）的基

礎(chǔ)上，把試題設(shè)定的條件（方程）與內(nèi)蘊(yùn)方程建立聯(lián)系，從而得到三角形

的全部或者部分度量關(guān)系?試題題干和設(shè)問(wèn)簡(jiǎn)潔清晰，通過(guò)在兩個(gè)三角

形中運(yùn)用余弦定理，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)的最值問(wèn)題?對(duì)于有理函數(shù)

最值的分析，考生既可以利用均值不等式，也可以利用導(dǎo)數(shù)作為工具

求解.

試題考查余弦定理、有理函數(shù)及不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查考生的運(yùn)

算求解能力、邏輯思維能力等關(guān)鍵能力，考查理性思維、數(shù)學(xué)探索等數(shù)

學(xué)學(xué)科索養(yǎng),符合綜合性與應(yīng)用性的考查要求.

試題亮點(diǎn)試題重點(diǎn)考查考生對(duì)三角形概念、余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)

的掌握，以及轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法.

(1)試題中呈現(xiàn)的三角形給出了一條邊上一個(gè)三等分點(diǎn)到頂點(diǎn)的長(zhǎng)

度和一個(gè)特殊角，但這些條件是無(wú)法反過(guò)來(lái)確定原來(lái)的三角形的大小和

形狀的?這就要求考生理解三角形變化的過(guò)程中，哪個(gè)量是基本變量.

試題設(shè)問(wèn)為考生選擇邊BD的長(zhǎng)度為基本變量提供了參考.

(2)試題需要考生在研究函數(shù)最值的時(shí)候，能夠選擇合理的數(shù)學(xué)知

識(shí).由于試題涉及的函數(shù)是有理函數(shù)，考生可以選擇把函數(shù)的分式形式

變形為滿足均值不等式條件的函數(shù)類(lèi)型，以簡(jiǎn)化求解過(guò)程.由于所研究

函數(shù)的分子與分母均是二次函數(shù)，所以考生也可以直接對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利

用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定原函數(shù)的單調(diào)性，從而解決問(wèn)題.利用均值不等式和

利用導(dǎo)數(shù)的兩種解題方法是特殊與一般的關(guān)系.構(gòu)造均值不等式需要一

定的技巧，而利用導(dǎo)數(shù)，只需要求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)再分析原函數(shù)單調(diào)性

即可.不同的解題方法為不同水平的考生提供了發(fā)揮空間.

(3)解三角形就是確定三角形的各邊和各內(nèi)角的大小，其數(shù)學(xué)原理

是三角形全等的判定定理.根據(jù)試題給定的已知條件是無(wú)法唯一確定三

角形的，但是當(dāng)警取得最小值時(shí)，三角形是唯一確定的.試題給考生和

Ati

AC

高中數(shù)學(xué)教學(xué)提供了很好的研究素材，如當(dāng)/取得最小值時(shí)，△48C的

AC

面積是多少？當(dāng)壽取得最小值時(shí)，△48C的三條邊長(zhǎng)分別是多少，三個(gè)

AD

Ar

內(nèi)角的正弦值或余弦值分別是多少？再如可以研究/的取值范圍，或者

研究當(dāng)任二&時(shí)，△ABC的三條邊長(zhǎng)分別是多少？或者給定的面

AB

積，問(wèn)三角形是否唯一確定？這些開(kāi)放性的研究問(wèn)題為考生和高中數(shù)學(xué)

教學(xué)提供了豐富的研究機(jī)會(huì)，高中數(shù)學(xué)教學(xué)要從考題中挖掘數(shù)學(xué)問(wèn)題?

因此，試題具有較好的選拔功能，同時(shí)能夠引導(dǎo)高中數(shù)學(xué)教學(xué)?

解題思路

思路1在△48。和△AOC中，運(yùn)用余弦定理可得

4c24X2-4X+4

AB2=4+x2+2x,AC2=4+4x2-4x,從而=T=4-12x

ABz2+2x+4

1

3

x+l+--

x+1

因此只需要分析x+1+二在什么條件下

x+1

取得最小值即可.

3

由均值不等式可知，X+1+—^2；3,

x+1

當(dāng)且僅當(dāng)""三時(shí)不等式取等號(hào)，即式二

x+1

,Ar2

&-I時(shí)，二言取得最小值.

故正確答案為4-1.

思路2由思路|得絆&,令/(小念*。),則

、(2x-1)(x2+2x+4)-(x2-x+1)(2x+2)3(?+2x-2)

)-----------------------------------------------------------當(dāng)

(J+2X+4)2(/+2X+4)2’

，(4)=0時(shí),有x=3-l.當(dāng)時(shí)，/'(幻<0,當(dāng)時(shí),

/f(x)>0.

所以當(dāng)欠二4-1時(shí)，f(“)取得最小值.

故正確答案為4-1.

年高考數(shù)學(xué)全國(guó)乙卷文科第”題

【試題出處】2022

【試題】7+1在區(qū)間［0,2/的最小值、最大值

分別為

iraD.亨，/

A.T2

【試題分析】

考查目標(biāo)試題考查考生對(duì)基本初

性質(zhì)等知識(shí)的理解與掌握，考查考生伊

考查考生理性思維等數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).

試題亮點(diǎn)

試題巧妙地把三角函數(shù)與一次函數(shù)組合在一起，構(gòu)造了一個(gè)在給定

區(qū)間上具有“較好”單調(diào)性的函數(shù).試題借助函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)來(lái)研究原函

數(shù)的各種基本性質(zhì)，意在考查考生邏輯推理和運(yùn)算求解能力，考查考生

對(duì)函數(shù)的研究?jī)?nèi)容和研究方法的掌握.試題中的函數(shù)是一個(gè)無(wú)界函數(shù)，

考生可以利用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)來(lái)研究原函數(shù)的一般單調(diào)性，據(jù)此可以得到

原函數(shù)的極值點(diǎn)，再結(jié)合給定的區(qū)間，可以得到該區(qū)間上原函數(shù)的最值.

盡管試題的最值沒(méi)有在區(qū)間的端點(diǎn)處取到，但作為對(duì)試題的完整理解.

考生應(yīng)該研究原函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的取值，并與給定區(qū)間上極值進(jìn)行比

較.如此才能最終確定原函數(shù)在給定區(qū)間上的最值.

試題為高中數(shù)學(xué)教學(xué)提供了研究課題.事實(shí)上，并不是任意多項(xiàng)

式函數(shù)和三角函數(shù)通過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算得到的函數(shù)，都可以借助一階導(dǎo)數(shù)

得到原函數(shù)的基本性質(zhì).如/(%)=sin"(4+1)sin#+1,其導(dǎo)函數(shù)

/'(x)=sinx+(x+2)cosx的零點(diǎn)就需要進(jìn)一步利用二階導(dǎo)數(shù)才能做

出判斷?在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步對(duì)此查問(wèn)題

進(jìn)行研究.綜上所述，試題在服務(wù)選才的同時(shí)，對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)具

有一定的引導(dǎo)作用.

解題思路

/'(*)=-sinx+sinx+(x+l)cosx=(x+l)cosx,在區(qū)間［0,2n］

上,令小)=。,有嚀或x號(hào).當(dāng)。<嗎時(shí)，—當(dāng)K

把時(shí)，/⑴<0；當(dāng)3。<2仃時(shí)，/(無(wú))>。

故/(工)在區(qū)間(0,引上單調(diào)遞增，在區(qū)間生引上單調(diào)遞減,在

區(qū)間停，2")上單調(diào)遞增.

故/(工)在區(qū)間(0,2ir)的極大值為/(如>，極小值為/(5)=

37r

-并且/(0)=2,/(2TT)=2.

綜上,/(x)在區(qū)間［0,2旬上的最小值、最大值分別為_(kāi)巴與9+2,

22

故正確選項(xiàng)為D.

【試題出處】2022年高考數(shù)學(xué)全國(guó)乙卷理科第］5題

【試題】

記函數(shù)/(%)=cos(s+q)(3>0,0<3<“)的最小正周期為T(mén)

若/(7)=￡■,%=5為/(%)的零點(diǎn)，則3的最小值為

【試題分析】

考查目標(biāo)三角函數(shù)的基本性質(zhì)包括周期性、單調(diào)性和對(duì)稱性

-,由

這些基本性質(zhì)可以推導(dǎo)出三角函數(shù)的零點(diǎn)、極值點(diǎn)等其他性質(zhì).試即考

查余弦型三角函數(shù)的性質(zhì)以及三角函數(shù)不同性質(zhì)之間的聯(lián)系，考查考生

運(yùn)算求解、邏輯思維等關(guān)鍵能力，考查考生理性思維、數(shù)學(xué)探索等數(shù)學(xué)

學(xué)科素養(yǎng)，符合基礎(chǔ)性、綜合性的考查要求.

試題亮點(diǎn)三角函數(shù)的周期性是其基本性質(zhì)，該性質(zhì)決定了函數(shù)的

很多其他性質(zhì).刻畫(huà)三角函數(shù)周期的是頻率3.理解頻率3對(duì)三角函數(shù)

幾何性質(zhì)和代數(shù)性質(zhì)的影響，是試題對(duì)考生考查和評(píng)價(jià)的基本要求?

(1)試題巧妙地設(shè)計(jì)了余弦型三角函數(shù)的部分性質(zhì)，反過(guò)來(lái)要求考

生經(jīng)過(guò)分析與綜合，求3的最小值.試題是對(duì)考生全面掌握三角函數(shù)性

質(zhì)及其研究方法的一次很好的檢驗(yàn).

(2)試題可以根據(jù)三角函數(shù)周期的意義，直接得到/(0)的值，從而

求得該三角函數(shù)的初相位3的值，再利用該函數(shù)的零點(diǎn)，確定頻率3的

取值范圍，從而求解其最小值.試題還可以根據(jù)三角函數(shù)周期與頻率的

關(guān)系(即周期的定義)，直接給出/(7)的表達(dá)式，從而得到該函數(shù)的初相

位夕的值?不同的求解方法,反映了考生對(duì)周期的不同理解和掌握.

(3)考慮到考查的重點(diǎn)不是復(fù)雜的計(jì)算,而是對(duì)三角函數(shù)基本性質(zhì)

和研究方法的應(yīng)用,試題給出了初相位的大致范圍，從而可以唯一確定

初相?如果沒(méi)有給定初相的大致范圍或者給定的初相位的范圍太大，試

題的計(jì)算就會(huì)更復(fù)雜.試題設(shè)計(jì)符合高中數(shù)學(xué)教學(xué)的基本實(shí)際，對(duì)高中

數(shù)學(xué)教學(xué)具有積極的引導(dǎo)作用，教師可據(jù)此進(jìn)一步對(duì)這類(lèi)問(wèn)題開(kāi)展研究.

解題思路

思路1由題設(shè)可知/(%+r)=/(x),從而f(T)=/(O),故cose二g

即3二%

O

又/信卜0,所以COS(GX^+￡)=0,即=AeN),

所以當(dāng)=;時(shí)，3取得最小值，最小值為3.

9o2

思路2因?yàn)?=所以cos(”個(gè)+夕)=g,即cos<p=年,

故3=/

O

其余同思路1.

故正確答案為3.

［試題出處］2022年高考數(shù)學(xué)全國(guó)乙卷理科第口題

【試題】7

已知sinCsin(4-

記ZS/IBC的內(nèi)角從，B,0的對(duì)邊分別，

B)=sinBsin(C-4)?

(1)證明：ZaWy+J;