【均值不等式在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用探究5700字（論文）】

均值不等式在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用研究目錄TOC\o"1-2"\h\u121701前言 1277342均值不等式 1258992.1均值不等式的定義 1264182.2均值不等式的幾何背景 2278992.3均值不等式及其變形 39453如何運(yùn)用均值不等式求解最值 492883.1求解函數(shù)的最值 4157543.2生活中的最優(yōu)化問題 8176983.3運(yùn)用均值不等式解決幾何中的最值問題 999704運(yùn)用均值不等式比較一些代數(shù)式的大小 10326795均值不等式在證明特殊不等式中的應(yīng)用 118435.1利用綜合法證明不等式 11303415.2利用換元法證明不等式 12276676使用均值不等式常見的錯(cuò)例分析 121676.1漏記“一正”條件造成的錯(cuò)誤 13313336.2連續(xù)使用均值不等式時(shí)等號(hào)成立條件不一直導(dǎo)致的錯(cuò)誤 13248717結(jié)束語 14412參考文獻(xiàn) 15摘要；均值不等式是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，在高中數(shù)學(xué)中合理地去使用均值不等式可以使一些解題過程簡單化.均值不等式本身并不難理解，但要靈活地應(yīng)用它去解決我們遇到的數(shù)學(xué)問題是很有難度的.因此本文就均值不等式歷史起源、均值不等式的證明過程和均值不等式在初等數(shù)學(xué)中的一些應(yīng)用等方面進(jìn)行研究.關(guān)鍵字：均值不等式；初等數(shù)學(xué)；高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用1前言眾所周知等量關(guān)系是我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生涯中最常見的一種數(shù)量關(guān)系，然而除了等量關(guān)系之外，另一種數(shù)量關(guān)系不等關(guān)系在我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生涯中也占有一席之地.不等式是不等關(guān)系的重要表現(xiàn)形式，不等式不僅表示不等關(guān)系，而且在求解函數(shù)最值、比較大小、證明不等式等方面都要重要作用.均值不等式作為不等式的一個(gè)重要的分支，均值不等式自身包含著等價(jià)和非等價(jià)關(guān)系，在新課改下，均值不等式的內(nèi)容有所刪減，然而作為數(shù)學(xué)中應(yīng)用最廣泛的不等式之一，均值不等式是高中代數(shù)的重要知識(shí)點(diǎn)，也是高考命題的熱點(diǎn)，近幾年它在高考中出現(xiàn)的頻率也非常高.因此本文主要從均值不等式在求解函數(shù)最值、比較大小、證明不等式等方面進(jìn)行研究.2均值不等式2.1均值不等式的定義均值不等式又稱為平均不等式或平均值不等式，它是高中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，即公式的數(shù)學(xué)表達(dá)式為，其中；，被稱為調(diào)和平均數(shù).，被稱為幾何平均數(shù).，被稱為算數(shù)平均數(shù).，被稱為平方平均數(shù).2.2均值不等式的幾何背景2.2.1趙爽的“弦圖”公元3世紀(jì)，中國數(shù)學(xué)家趙爽“負(fù)薪余日，聊觀《周髀》”，他在給《周髀算經(jīng)》“勾股網(wǎng)方圖”作注時(shí)，給出圖1所示的“大方圖”.即用數(shù)學(xué)符號(hào)語言表示為若直角三角形兩直角邊為則，，從而可得到不等式REF_Ref28028\r\h[1].2.2.2歐幾里得的矩形之變歐幾里得在《幾何原本》卷六命題13中給出了兩條已知線段之間的幾何中項(xiàng)的作圖法，如圖2，以AB為直徑做半圓ADB，則CD為AC和CB之間的幾何中項(xiàng).由歐幾里得的這種作圖法，若設(shè)AC=，CB=，則CD=，AB=，我們可以發(fā)現(xiàn)是三角形ADB的外接圓的半徑，添上外接圓O的半徑OD（如圖3），則OD=因CDOD，所以，這便是均值不等式的幾何意義.2.2.3芝諾多魯斯的等周問題在歐幾里得之后，數(shù)學(xué)家芝諾多魯斯，他寫了一本名為《論等周圖形》的書，專門研究等周問題.在書中，他給出了許多命題，其中一個(gè)是：“在邊數(shù)相同、周長相等的所有多邊形中，等邊且等角的多邊形的面積最大.”即在四邊形中，我們考慮長為，寬為的矩形以及與之等周的正方形（邊長為），即有不等式.綜上所述，通過對(duì)這些歷史資料的研究，仿佛再現(xiàn)了均值不等式的“源頭”，揭示了均值不等式的歷史意義，值得我們細(xì)細(xì)品味.2.3均值不等式及其變形均值不等式的表達(dá)式為.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)可以取“=”.本文中所應(yīng)用到的均值不等式及其變形公式有REF_Ref15027\r\h[2]：（1）若，則；（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)可以取“=”）（2）若，則；（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)可以取“=”）（3）若，則；（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)可以取“=”）說明；（1）與是均值不等式常見的兩種表現(xiàn)形式.（2）這是求解最小值的有力武器.（3）與為均值不等式的變形公式.（4）“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義是存在并且僅僅在這些條件成立的時(shí)候.（5）觀察上式可以得出這樣的結(jié)論；和定積最大；積定和最小.在使用均值不等式時(shí)需要注意均值不等式的使用口訣“一正二定三相等”.“一正”指的是在使用均值不等式時(shí)、的符號(hào)為正.“二定”指的是在不等式中、的積（或和）是一個(gè)定值.“三相等”指的是不等號(hào)成立的條件是在的時(shí)候.3如何運(yùn)用均值不等式求解最值3.1求解函數(shù)的最值函數(shù)是我們初等數(shù)學(xué)中接觸的知識(shí)，而函數(shù)的最值問題一直是初等數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，同時(shí)函數(shù)最值也是高考的一個(gè)熱門考點(diǎn)，而均值不等式一直是攻破解函數(shù)最值的最有力的武器，所以如何使用均值不等式去解決函數(shù)的最值問題就顯得格外重要REF_Ref27456\r\h[3].少數(shù)函數(shù)式可以直接通過運(yùn)用均值不等式進(jìn)行求解，而大多數(shù)函數(shù)都不行，這時(shí)我們就需要通過我們學(xué)過的代換、分離、拼湊等多種方法來化簡函數(shù)式，下面就分享一些解決函數(shù)問題的技巧和方法.3.1.1直接使用均值不等式求解最值例1已知，求的最小值.解；因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)有最小值，最小值為4.例2若，求的最小值.解；因?yàn)樗裕ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）注；1）我們?cè)诮鉀Q此類問題時(shí)通過觀察，便可看出可以直接使用均值不等式進(jìn)行求解，在解題時(shí)需要注意不等式中的各項(xiàng)是否都為正數(shù)，然后帶入公式直接求解即可.2）求解最值時(shí)一定要注意只有在等號(hào)成立時(shí)函數(shù)才能取到最值，否則不能使用均值不等式求最值.3.1.2配湊項(xiàng)后使用均值不等式例3已知，求函數(shù)的最大值.[4]解；恒大于0.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以上式最大值為1.例4已知，求=的最大值.解；0<<，3-2>0當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)椋陨鲜阶畲笾?評(píng)析；我們?cè)谶M(jìn)行解題時(shí)往往會(huì)出現(xiàn)不能直接運(yùn)用均值不等式進(jìn)行求解的題，此時(shí)可以通過觀察，看能否通過增加或者減少某些項(xiàng)來滿足均值不等式的使用條件，待滿足均值不等式的使用條件后再使用均值不等式進(jìn)行求解REF_Ref22766\r\h[5].3.1.3“1”代換后使用均值不等式例5已知，，求的最小值解；（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)可以取等號(hào)成立），又，可得時(shí)，.例6設(shè)，且，則的最小值為多少.解；因?yàn)?，又因?yàn)?，所以?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為4.評(píng)析；在解題時(shí)合理的運(yùn)用數(shù)字“1”，可以起到事半功倍的作用，除上述直接給出的“1”的代換外，還應(yīng)時(shí)刻牢記，這是個(gè)隱藏的條件有時(shí)題目不會(huì)明確給出.3.1.4平方后使用均值不等式例7求=的最大值.解；因?yàn)楦?hào)下兩個(gè)式子的和為定值，所以又因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)可以取等號(hào).所以上式最大值為.例8已知，求函數(shù)的最大值.解；因?yàn)椋?所以所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.所以上式最大值為.評(píng)析；在解題時(shí)，如果解析式帶有根號(hào)，可以將解析式兩邊同時(shí)平方，或立方n次方，然后在使用均值不等式進(jìn)行解題.3.1.5換元后使用均值不等式例9求函數(shù)的最大值.解；令；則；當(dāng)，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，可以取等號(hào).所以時(shí)，上式有最大值，最大值為.評(píng)析；通過使用換元法，可以把原來雜亂無章的解析式轉(zhuǎn)化為通俗易懂的式子，可能轉(zhuǎn)化的過程比較復(fù)雜，但是換元后往往可以直接使用均值不等式進(jìn)行求解.3.1.6引入?yún)?shù)后使用均值不等式例10求函數(shù)的最小值.[6]解；由題意得引入待定參數(shù)，且，則有當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，所以上式的最小值為.例11求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和取到最大值時(shí)的的值.解；引入兩個(gè)正實(shí)數(shù)后利用均值不等式求解；；當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，上式最大值為.評(píng)析；在面對(duì)和（或積）不滿足均值不等式使用條件的函數(shù)時(shí)，可以換一種解題思路試試，比如引入?yún)?shù)，引入?yún)?shù)后使得新的函數(shù)式滿足均值不等式的使用條件再對(duì)其使用均值不等式求解.3.2生活中的最優(yōu)化問題數(shù)學(xué)是人們對(duì)生活的總結(jié)，而解決生活中數(shù)學(xué)問題是生活對(duì)數(shù)學(xué)的反饋，生活中常見的數(shù)學(xué)問題有土地資源規(guī)劃和商業(yè)投資等，解決這類數(shù)學(xué)問題往往需要結(jié)合實(shí)際情況建立數(shù)學(xué)模型在通過對(duì)模型的分析和求解從而得出最優(yōu)的方案，而攻破數(shù)學(xué)模型的最有力的武器便是均值不等式，而解決問題的關(guān)鍵就是把均值不等式與這些最優(yōu)化問題聯(lián)系在一起，如何使用均值不等式就顯得尤為重要，本文就如何解決這類數(shù)學(xué)問題得出以下幾個(gè)結(jié)論：（1）首先仔細(xì)閱讀題目，理解題意，設(shè)置合適的變量（在設(shè)置變量時(shí)一般把要求的最值的變量定為未知數(shù)）（2）挖掘并整理題目中給出的信息，根據(jù)這些信息建立函數(shù)關(guān)系式，從而把實(shí)際生活中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用均值不等式對(duì)所建立的函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求解，以此來直接解決數(shù)學(xué)問題，從而間接解決實(shí)際問題.（3）要注意所設(shè)函數(shù)的變量的使用范圍以及條件.例12某學(xué)校計(jì)劃修一個(gè)籃球場(chǎng)，已知籃球場(chǎng)是由學(xué)校與后門相連的一道足夠長的圍墻和100米的籬笆所圍成的一個(gè)矩形場(chǎng)地，問怎樣圍才能使籃球場(chǎng)的面積最大？解；設(shè)圍墻的鄰邊長為米，則圍墻對(duì)邊長為米，那么所圍場(chǎng)地的面積為當(dāng)且僅當(dāng)，即米時(shí)，所圍成的面積最大，最大面積為1250平方米.例13某可樂工廠準(zhǔn)備投入適當(dāng)?shù)膹V告費(fèi)對(duì)可樂進(jìn)行促銷，在一年內(nèi)，預(yù)計(jì)年銷量（萬件）與廣告費(fèi)（萬元）之間的函數(shù)關(guān)系式為，已知生產(chǎn)可樂每年固定投入為3萬元，每生產(chǎn)1萬件可樂還需要再投入32萬元，如果每件銷售價(jià)為“年平均每件成本的150%”與“年平均每件所占產(chǎn)廣告費(fèi)的50%”之差，求年廣告費(fèi)投入多少時(shí)，企業(yè)利潤最大？REF_Ref26077\r\h[13]解；假設(shè)該工廠的年利潤為萬元，所以年成本為萬元，年收入為萬元，則年利潤，整理后得，所以.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，該工廠的最大年利潤為42萬元.3.3運(yùn)用均值不等式解決幾何中的最值問題均值不等式這一利器，不僅是攻破函數(shù)最值得有利武器，而且在平面幾何和立體幾何求解最值問題的過程中也常常有出色的表現(xiàn)，一般先由題意列出等式，再由等式轉(zhuǎn)化為不等式，最后用均值不等式進(jìn)行求解.例14一圓柱的軸截面周長是一個(gè)定值，那么該圓柱的體積最大為多少？解；設(shè)該圓柱的半徑和高為別為，體積為.則該圓柱的軸截面表達(dá)式為，化簡后為；所以該圓柱的體積，所以該圓柱的最大體積為.4運(yùn)用均值不等式比較一些代數(shù)式的大小不等式本身作為式就存在大小，而比較代數(shù)式的大小就顯得尤為重要.在初等數(shù)學(xué)中我們也學(xué)習(xí)了許多比較代數(shù)式大小的方法，常見的有分析比較法、放縮法等.然而均值不等式本身就表示了兩個(gè)代數(shù)式的大小關(guān)系，在進(jìn)行代數(shù)式的大小比較時(shí)，在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)運(yùn)用它可能會(huì)出現(xiàn)意想不到的效果，甚至有些很難比較大小的式子都能將其簡化.例15若，，則的大小關(guān)系為？解；有題意可知，所以；所以有，所以；同理可得，所以.故的大小關(guān)系為.評(píng)析；我們?cè)谑褂镁挡坏仁綍r(shí)不能只想到它的表達(dá)式，當(dāng)運(yùn)用均值不等式出現(xiàn)困難時(shí)，如果把目光放到它的變形式上，可能出現(xiàn)新的突破口.例16若則的大小關(guān)系為？解；因?yàn)?，?dāng)時(shí)等號(hào)成立；；所以的大小關(guān)系為.評(píng)析；均值不等式是在高中才開始接觸的不等式，雖然我們接觸它的時(shí)間很短暫，但是它卻是非常重要的一類不等式，在很多時(shí)候巧妙靈活的運(yùn)用均值不等式可以簡化解題過程，在比較大小中，如果能靈活運(yùn)用均值不等式，可以巧妙的得出結(jié)論.5均值不等式在證明特殊不等式中的應(yīng)用在現(xiàn)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生涯中，我們學(xué)習(xí)了很多種證明不等式的方法，比如我們熟知的綜合法、換元法等，如果我們?cè)谧C明不等式成立的過程中巧妙地結(jié)合均值不等式，說不定能讓問題變得更容易求解.本文就例舉幾個(gè)常見的證明不等式的方法進(jìn)行研究REF_Ref18795\r\h[7].5.1利用綜合法證明不等式例17假如是互不相等的正數(shù)，求證.解；由題意得，所以；又因?yàn)闉榛ゲ幌嗟鹊恼龜?shù)，所以；所以，即得證.評(píng)析；本小題在證明不等式的過程中巧妙運(yùn)用了均值不等式，使計(jì)算變得更加簡便.例18已知，求證；.解；因?yàn)?，所以；同理可得，；三式相加有；即，得證.小結(jié)；證明不等式的方法有很多種，運(yùn)用綜合法證明不等式，其實(shí)就是合理的利用所有的已知的條件與均值不等式相結(jié)合從而進(jìn)行求解的方法，該方法理解與應(yīng)用起來比較簡單，適合大多數(shù)不等式的證明，合理的應(yīng)用往往能使解題過程簡單化.5.2利用換元法證明不等式例19證明；若，則；解；設(shè)，，，則；所以；當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立；所以；即；所以原式成立.評(píng)析；在證明不等式時(shí)可以通過換元來使不等式的項(xiàng)變多（或者變少），用這種方法可以使原來不滿足均值不等式使用條件的不等式可以使用均值不等式或其變形式.6使用均值不等式常見的錯(cuò)例分析我們?cè)谑褂镁挡坏仁剑?，?dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取等號(hào)）時(shí)常常會(huì)出現(xiàn)一些使用不當(dāng)?shù)默F(xiàn)象，大到公式使用時(shí)機(jī)，小到運(yùn)算符號(hào)，這些使用不當(dāng)出現(xiàn)的錯(cuò)誤都是可以通過更深入的了解均值不等式去避免的.本文就例舉幾個(gè)在使用均值不等式時(shí)常常出現(xiàn)的錯(cuò)誤來研究REF_Ref14125\r\h[8].6.1漏記“一正”條件造成的錯(cuò)誤例20已知，求的最值.錯(cuò)解；為定值，，的最小值為4.錯(cuò)解分析；雖然=4為定值，但是因?yàn)?，，此時(shí)不能直接使用均值不等式，必須要將轉(zhuǎn)化為正數(shù)能運(yùn)用均值不等式進(jìn)行求解.正解；，，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)可以取等號(hào)，所以上式的的最大值應(yīng)為-4.6.2連續(xù)使用均值不等式時(shí)等號(hào)成立條件不一直導(dǎo)致的錯(cuò)誤例21已知，，，求的最小值.錯(cuò)解；由題意可知，可得，所以得，所以上式的最小值為24.評(píng)析：上式在計(jì)算時(shí)沒有仔細(xì)閱讀題目，而盲目使用了兩次均值不等式，導(dǎo)致了錯(cuò)誤，正確的解法應(yīng)該是使用1的代換.正解；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以上式的正確解為25.小結(jié)；我們?cè)谑褂镁挡坏仁綍r(shí)，或多或少都會(huì)存在一些計(jì)算上的失誤和公式使用上的錯(cuò)誤，以上是我舉的兩個(gè)常見的均值不等式使用錯(cuò)誤導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤的例子，讓我們更加熟悉均值不等式，從而能更好的去使用它.7結(jié)束語均值不等式是我們?cè)诟咧须A段才開始接觸的新內(nèi)容，它的運(yùn)用范圍非常的廣泛，所