2024-2025學(xué)年陜西省咸陽實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年陜西省咸陽實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.樣本數(shù)據(jù)15、13、12、31、29、23、43、19、17、38的中位數(shù)為(

)A.19 B.23 C.21 D.182.已知a=(?2,5)，b=(2,1)，則a，b夾角的余弦值等于(

)A.145145 B.5145 C.3.已知m，n為兩條不同直線，α，β為兩個不同平面，且m⊥α，n//β，則下列命題為真命題的是(

)A.若α⊥β，則m⊥n B.若m//n，則α⊥β

C.若m⊥β，則n//α D.若m//β，則n//α4.若函數(shù)f(x)=ln(1+ax)?xA.e2 B.e C.e 5.已知復(fù)數(shù)z=1+2i，則z??1+3i4i?1在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為A.(417,117) B.(6.若集合M={x|sinx=cos2x}，N={x|cosx=sin2x}，則(

)A.M∩N=? B.M∩N=M C.M∪N=R D.M∪N=M7.如果棱臺的兩底面積分別是S，S′，中截面的面積是S0，那么(

)A.2S0=S+S′8.如圖所示，在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，P，M分別為線段BD1，BBA.1+22

B.4+22二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知復(fù)數(shù)z1，z2的共軛復(fù)數(shù)分別為z1?，zA.z1+z2?=z1?+z2? B.|z10.已知樣本數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5(x1A.數(shù)據(jù)3x1?2，3x2?2，3x3?2，3x4?2，3x5?2的方差為9s2

B.數(shù)據(jù)3x1?2，3x2?2，3x3?2，3x411.如圖1，扇形ABC的弧長為12π，半徑為62，線段AB上有一動點(diǎn)M，弧AB上一點(diǎn)N是弧的三等分點(diǎn)，現(xiàn)將該扇形卷成以A為頂點(diǎn)的圓錐，使得AB和AC重合，則在圖2的圓錐中(

)

A.圓錐的體積為216π

B.當(dāng)M為AB中點(diǎn)時，線段MN在底面的投影長為37

C.存在M，使得MN⊥AB

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.據(jù)統(tǒng)計，某段時間內(nèi)由內(nèi)地前往香港的老、中、青年旅客的比例依次為5：2：3，現(xiàn)使用分層抽樣的方法從這些旅客中隨機(jī)抽取n人，若青年旅客抽到60人，則n=______．13.在△ABC中，AD是邊BC上的高，若AB=(1,3),BC=(6,3)，則|AD14.max{x1,x2,x3}四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

某工廠對一批鋼球產(chǎn)品質(zhì)量進(jìn)行了抽樣檢測.如圖是根據(jù)隨機(jī)抽樣檢測后的鋼球直徑(單位：mm)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖，其中鋼球直徑的范圍是[98,103]，樣本數(shù)據(jù)分組為[98,99)，[99,100)，[100,101)，[101,102)，[102,103].已知樣本中鋼球直徑在[100,101)內(nèi)的個數(shù)是20．

(1)求樣本容量；

(2)若該批鋼球產(chǎn)品共1000個，認(rèn)定鋼球直徑在[99,102)的產(chǎn)品為合格產(chǎn)品，試根據(jù)樣本估計這批產(chǎn)品的不合格產(chǎn)品件數(shù)．16.(本小題15分)

設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量OZ1、OZ2、OZ3分別對應(yīng)復(fù)數(shù)z1、z2、z3，且z1=a2+(2?a)i，z2=?1+(3?2a)i，z3=2?mi(a,m∈R).已知z17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，且CB⊥BP，CD⊥DP，PA=2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為PB，PD的中點(diǎn)．

(1)求證：PA⊥平面ABCD；

(2)求點(diǎn)P到平面AEF的距離．18.(本小題17分)

記△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a=22c,sinA=cos(B?C)．

(1)求B；

(2)若D是邊BC上一點(diǎn)，且19.(本小題17分)

如圖，A，B是單位圓上的相異兩定點(diǎn)(O為圓心)，且∠AOB=θ(θ為銳角).點(diǎn)C為單位圓上的動點(diǎn)，線段AC交線段OB于點(diǎn)M．

(1)求OA?AB(結(jié)果用θ表示)；

(2)若θ=60°

①求CA?CB的取值范圍；

②設(shè)OM=tOB

答案解析1.C

【解析】解：將這10個數(shù)據(jù)從小到大排列為：12，13，15，17，19，23，29，31，38，43，

所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是19+232=21．

故選：C．

根據(jù)中位數(shù)的定義即可求解．2.A

【解析】解：根據(jù)a=(?2,5)，b=(2,1)，可得|a|=4+25=29，|b|=4+1=5，a?b=?2×2+5×1=1．

所以cos<a3.B

【解析】解：對于A，可能相交，如圖所示正方體中，若m為直線BB1，

α為平面A1B1C1D1，β為平面ADD1A1，若n為CC1，則m//n，故A錯誤；

對于B：由m//n，n//β，可得m//β或m?β，

當(dāng)m?β，又m⊥α，所以α⊥β，

當(dāng)m//β，則在β內(nèi)存在l//m，又m⊥α，則l⊥α，又l?β，所以α⊥β，故B正確；

對于C：m⊥β，m⊥α，則可得α//β，又n//β，所以n//α或n?α，故C錯誤；

對于D：m//β，m⊥α，可得α⊥β，又n//β，可得n//α或4.A

【解析】解：根據(jù)題意，函數(shù)f(x)=ln(1+ax)?x的定義域?yàn)镽，

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ln(1+ax)?x是偶函數(shù)，

所以f(?x)=f(x)，所以ln(1+a?x)+x=ln(1+ax)?x，

可得2x=ln(1+ax5.B

【解析】解：由題意，z?=1?2i，則z??1+3i4i?1=1?2i?1+3i4i?1=i(4i+1)(4i?1)(4i+1)=4?i6.B

【解析】解：集合M={x|sinx=cos2x}，N={x|cosx=sin2x}，

由sinx=cos2x，可得sinx=1?2sin2x，可得2sin2x+sinx?1=0，

解得sinx=12或sinx=?1，

所以M={x|x=π6+2kπ或x=5π6+2kπ或x=3π2+2kπ,k∈Z}，

由cosx=sin2x，可得cosx=2sinxcosx，解得cosx=0或sinx=12，

所以N={x|x=π67.A

【解析】解：不妨設(shè)棱臺為三棱臺，設(shè)棱臺的高為2r，上部三棱錐的高為a，

根據(jù)相似比的性質(zhì)可得：(aa+2r)2?=S′S(aa+r)2=S′S08.B

【解析】解：如圖，

連接BC1，D1B1，則N為BC1的中點(diǎn)，

將三棱錐B?B1C1D1沿BC1展開成平面圖形如下圖，

∴|NN′|即為三角形PMN周長的最小值，

∵正方體ABCD?A1B1C1D19.AD

【解析】解：對于A，設(shè)z1=a+bi，z2=c+di，a，b，c，d∈R，

z1+z2=a+c+(b+d)i，z1?=a?bi，z2?=c?di，

故z1+z2?=a+c?(b+d)i=z1?+z2?，故A正確；

對于B，令z1=i，z2=2i，

故z1?z2=2i2=?2，

故|z1?z210.AD

【解析】解：對于A，由方差的性質(zhì)可知，數(shù)據(jù)3x1?2，3x2?2，3x3?2，3x4?2，3x5?2的方差為32×s2=9s2，故A正確；

對于B，由平均數(shù)的性質(zhì)可知，數(shù)據(jù)3x1?2，3x2?2，3x3?2，3x4?2，3x5?2的平均數(shù)為3x??2，

因?yàn)閤?>0，所以3x??2的正負(fù)無法判斷，故B錯誤；

對于C，因?yàn)閤1<0，x2，x3，x4，x5>0，

所以x1是這組數(shù)據(jù)中最小的數(shù)，

去掉x1后，數(shù)據(jù)顯然更集中，所以數(shù)據(jù)x2，x3，x411.BCD

【解析】解：根據(jù)題意可得圓錐母線長為62，圓錐的底面半徑為12π2π=6，

所以圓錐的高為(62)2?62=6，

對A選項，圓錐的體積為13×π×62×6=72π，故A選項錯誤；

對B選項，M為AB中點(diǎn)時，設(shè)圓錐的底面圓心為O，

易知線段MN在底面的投影為圖中的HN，其中H為BO中點(diǎn)，

又易知圖1中BN=12π3=4π，

所以上圖圓O中∠BON=4π6=2π3，又BO=NO=6，所以HO=3，

由余弦定理可得HN=32+62?2×3×6×(?12)=37，故B選項正確；

對C，D選項，由B選項圖中，易知BN=63，又12.200

【解析】解：60n=35+2+3，解得n=200．

故答案為：200．13.5【解析】解：設(shè)BD=mBC=(6m,3m)，

則AD=AB+BD=(1,3)+(6m,3m)=(6m+1,3m+3)，

由AD?BC=0，得AD?BC=6(6m+1)+3(3m+3)=36m+6+9+9m=0，

解得m=?13，所以AD=(1?2,3?1)=(?1,2)，

14.2

【解析】解：設(shè)N=max{x,2y,4x2+1y2}，則x≤N，2y≤N，4x2+1y2≤N，

因x>0，y>0，則得2xy(4x2+1y2)≤N3．

又因2xy?(4x2+1y2)≥2xy?(24x2?115.解：(1)因?yàn)闃颖局袖撉蛑睆皆赱100,101)內(nèi)的個數(shù)是20，其頻率為0.40，

所以樣本容量為n=200.4=50．

(2)樣本中這批產(chǎn)品的不合格產(chǎn)品件數(shù)為(0.08+0.08)×50=8，

由樣本估計總體，可知這批產(chǎn)品的不合格產(chǎn)品件數(shù)為【解析】(1)用頻數(shù)除以頻率即可求解；

(2)首先求出樣本中不合格產(chǎn)品的占比，由此乘以該批鋼球總數(shù)即可得解．

本題考查頻率分布直方圖的性質(zhì)與應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．16.解：(1)由題意可得z1?+z2=a2?1+(1?a)i，

由于復(fù)數(shù)z1?+z2是純虛數(shù)，則a2?1=01?a≠0，解得a=?1；

(2)由(1)可得z1=1+3i，z2=?1+5i，則點(diǎn)Z1(1,3)，Z2【解析】(1)根據(jù)z1?+z2是純虛數(shù)，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)、純虛數(shù)的定義求解即可；

(2)17.解：(1)證明：在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，且CB⊥BP，CD⊥DP，

∴AB⊥BC，CD⊥AD，

∵AB∩PB=B，AD∩PD=D，

∴BC⊥平面PAB，CD⊥平面PAD，

∴PA⊥BC，PA⊥CD，

∵BC∩CD=C，∴PA⊥平面ABCD．

(2)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

∵PA=2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為PB，PD的中點(diǎn)，

∴P(0,0,2)，A(0,0,0)，E(1,0,1)，F(xiàn)(0,1,1)，

AE=(1,0,1)，AF=(0,1,1)，AP=(0,0,2)，

設(shè)平面AEF的法向量為n=(x,y,z)，

則n?AE=x+z=0n?AF=y+z=0，取x=1，得n=(1,1,?1)，【解析】(1)推導(dǎo)出AB⊥BC，CD⊥AD，從而BC⊥平面PAB，CD⊥平面PAD，進(jìn)而PA⊥BC，PA⊥CD，由此能證明PA⊥平面ABCD．

(2)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點(diǎn)P到平面AEF的距離．

本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)、點(diǎn)到平面的距離等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．18.解：(1)由sinA=cos(B?C)，可得sin(B+C)=cos(B?C)，

即sinBcosC+cosBsinC=cosBcosC+sinBsinC，

則(sinB?cosB)(sinC?cosC)=0，

若sinB?cosB=0，則tanB=1，

又B∈(0,π)，所以B=π4；

若sinB?cosB≠0，則cosC=sinC，即tanC=1，

且C∈(0,π)，所以C=π4，

但a=22c，由正弦定理可得sinA=22sinC=2>1，不合題意；

綜上所述：B=π4．

(2)因?yàn)锳D=CD=10，則BD=22c?10，

在△ABD中，由余弦定理可得AD2=A【解析】(1)根據(jù)題意結(jié)合三角恒等變換可得(sinB?cosB)(sinC?cosC)=0，進(jìn)而可得結(jié)果；

(2)根據(jù)題意利用余弦定理解得c=6519.解：(1)OA?AB=|OA||AB|cos(π?∠OAB)=?|AB|cos∠OAB=cosθ?1；

(2)當(dāng)θ=60°時，OA?OB=12

①CA?CB=(OA?OC)?(OB?OC)=OA?OB?OA?OC?OC?OB+1．

設(shè)∠BOC=α，由條件知，α∈[0,2π3]，

∴CA?CB=32?cos(π3+α)?cosα=32?12cosα+