2025屆江蘇省連云港灌云縣聯(lián)考八年級(jí)數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

2025屆江蘇省連云港灌云縣聯(lián)考八年級(jí)數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．已知?jiǎng)t的值為：A．1．5 B． C． D．2．如圖，∠B=∠D=90°，CB=CD，∠1=30°，則∠2=（）A．30° B．40° C．50° D．60°3．如圖，足球圖片正中的黑色正五邊形的外角和是（）A． B． C． D．4．如圖，中，，的垂直平分線交于點(diǎn)，垂足為點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．5．在下面四個(gè)圖案中，如果不考慮圖中的文字和字母，那么不是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．6．到三角形三邊的距離都相等的點(diǎn)是這個(gè)三角形的（）A．三條中線的交點(diǎn) B．三條高的交點(diǎn)C．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn) D．三條角平分線的交點(diǎn)7．如圖，在△ABC與△EMN中，，，∠C=∠M=54°，若∠A=66°，則下列結(jié)論正確的是()A． B．EN=a C．∠E=60° D．∠N=66°8．如圖是某蓄水池的橫斷面示意圖，分為深水池和淺水池，如果向這個(gè)蓄水池以固定的流量注水，下面能大致表示水的最大深度與時(shí)間之間的關(guān)系的圖象是（）A． B． C． D．9．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，AB＝4，點(diǎn)P是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)，連接BP，CP，若△BPC周長(zhǎng)的最小值為16，則BC的長(zhǎng)為（）A．5 B．6 C．8 D．1010．要使分式有意義，則x的取值范圍是（）A．x= B．x> C．x< D．x≠二、填空題(每小題3分,共24分)11．如圖，在△ABC中，AB和AC的垂直平分線分別交BC于E、F，若∠BAC=130°，則∠EAF=________．12．對(duì)于分式，當(dāng)時(shí)，分式的值為零，則__________．13．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：_______.14．若等腰三角形頂角為70°，則底角為_(kāi)____．15．如圖，以AB為斜邊的Rt△ABC的每條邊為邊作三個(gè)正方形，分別是正方形ABMN，正方形BCPQ，正方形ACEF，且邊EF恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)N．若S3＝S4＝5，則S1+S5＝_____．(注：圖中所示面積S表示相應(yīng)封閉區(qū)域的面積，如S3表示△ABC的面積)16．如圖，等腰△ABC，CA=CB，△A'BC'≌△ABC，∠A'=75°，∠A'BA=β，則∠ACC'的度數(shù)為_(kāi)____．（用含β的式子表示）17．已知，，則的值為_(kāi)___．18．如圖，在四邊形ABCD中，∠A=90°，∠D=40°，則∠B+∠C為_(kāi)_________．三、解答題(共66分)19．（10分）如圖，一次函數(shù)的圖像與的圖像交于點(diǎn)，與軸和軸分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.(1)求的值與的長(zhǎng);(2)若點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo).20．（6分）先閱讀下列材料：我們已經(jīng)學(xué)過(guò)將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的方法有提公因式法和運(yùn)用公式法，其實(shí)分解因式的方法還有分組分解法、十字相乘法等等，其中十字相乘法在高中應(yīng)用較多．十字相乘法：先分解二次項(xiàng)系數(shù)，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；再分解常數(shù)項(xiàng)，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項(xiàng)系數(shù)（如圖），如：將式子和分解因式，如圖：；．請(qǐng)你仿照以上方法，探索解決下列問(wèn)題：（1）分解因式：；（2）分解因式：．21．（6分）如圖，已知點(diǎn)B，C，F(xiàn)，E在同一直線上，∠1=∠2，BF=CE，AB∥DE．求證：△ABC≌△DEF．22．（8分）如圖某船在海上航行，在A處觀測(cè)到燈塔B在北偏東60°方向上，該船以每小時(shí)15海里的速度向東航行到達(dá)C處，觀測(cè)到燈塔B在北偏東30°方向上，繼續(xù)向東航行到D處，觀測(cè)到燈塔B在北偏西30°方向上，當(dāng)該船到達(dá)D處時(shí)恰與燈塔B相距60海里．（1）判斷BCD的形狀；（2)求該船從A處航行至D處所用的時(shí)間．23．（8分）如圖，在中，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接，以為斜邊在的下方作等腰直角三角形．（1）填空：的面積等于；（2）連接，求證：是的平分線；（3）點(diǎn)在邊上，且，當(dāng)從點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)停止時(shí)，求點(diǎn)相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)路程．24．（8分）如圖，△ABC中，AB=AC=BC，∠BDC=120°且BD=DC，現(xiàn)以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，使角兩邊分別交AB，AC邊所在直線于M，N兩點(diǎn)，連接MN，探究線段BM、MN、NC之間的關(guān)系，并加以證明．（1）如圖1，若∠MDN的兩邊分別交AB，AC邊于M，N兩點(diǎn)．猜想：BM+NC=MN．延長(zhǎng)AC到點(diǎn)E，使CE=BM，連接DE，再證明兩次三角形全等可證．請(qǐng)你按照該思路寫出完整的證明過(guò)程；（2）如圖2，若點(diǎn)M、N分別是AB、CA的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，其它條件不變，再探究線段BM，MN，NC之間的關(guān)系，請(qǐng)直接寫出你的猜想（不用證明）．25．（10分）如圖，在△BCD中，BC=4，BD=1．（1）求CD的取值范圍；（2）若AE∥BD，∠A=11°，∠BDE=121°，求∠C的度數(shù)．26．（10分）（1）如圖①，OP是∠MON的平分線，點(diǎn)A為OP上一點(diǎn)，請(qǐng)你作一個(gè)∠BAC，B、C分別在OM、ON上，且使AO平分∠BAC（保留作圖痕跡）；（2）如圖②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，△ABC的平分線AD，CE相交于點(diǎn)F，請(qǐng)你判斷FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系（可類比（1）中的方法）；（3）如圖③，在△ABC中，如果∠ACB≠90°，而（2）中的其他條件不變，請(qǐng)問(wèn)（2）中所得的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明，若不成立，說(shuō)明理由．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、B【解析】試題解析：∵，∴a=b，∴．故選B．考點(diǎn)：比例的性質(zhì)．2、D【解析】試題分析：在Rt△ABC和Rt△ADC中，∵BC=DC，AC=AC，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），∴∠2=∠ACD，∵∠1+∠ACD=90°，∴∠2+∠1=90°，∵∠1=40°，∴∠2=50°，故選B．考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)．3、B【分析】根據(jù)多邊形的外角和，求出答案即可．【詳解】解：∵圖形是五邊形，

∴外角和為：360°．

故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和外角，能熟記多邊形的外角和公式是解此題的關(guān)鍵4、D【分析】由線段垂直平分線的性質(zhì)解得，再由直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半解題即可．【詳解】是線段BC的垂直平分線，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查垂直平分線的性質(zhì)、含30°角的直角三角形等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．5、B【解析】對(duì)稱軸是兩邊圖象折疊后可重合，中心對(duì)稱是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后重合．根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念，A、C、D都是軸對(duì)稱圖形，B不是軸對(duì)稱圖形，故選B6、D【分析】直接利用三角形的內(nèi)心性質(zhì)進(jìn)行判斷．【詳解】到三角形三邊的距離都相等的點(diǎn)是這個(gè)三角形的內(nèi)心，即三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)．

故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．7、A【分析】利用，，∠C=∠M=54°證明與全等，利用全等三角形的性質(zhì)可得到答案．【詳解】解：在與中，所以：所以B，C，D，都錯(cuò)誤，A正確．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定方法是關(guān)鍵．8、C【分析】首先看圖可知，蓄水池的下部分比上部分的體積小，故h與t的關(guān)系變?yōu)橄瓤旌舐驹斀狻扛鶕?jù)題意和圖形的形狀，可知水的最大深度h與時(shí)間t之間的關(guān)系分為兩段，先快后慢．故選C.【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)的圖象，解題關(guān)鍵在于觀察圖形9、B【分析】作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)E，連接CE交AD于P，則AE＝AB＝4，EP＝BP，設(shè)BC＝x，則CP+BP＝16﹣x＝CE，依據(jù)Rt△BCE中，EB2+BC2＝CE2，即可得到82+x2＝（16﹣x）2，進(jìn)而得出BC的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖所示，作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)E，連接CE交AD于P，則AE＝AB＝4，EP＝BP，設(shè)BC＝x，則CP+BP＝16﹣x＝CE，∵∠BAD＝90°，AD∥BC，∴∠ABC＝90°，∴Rt△BCE中，EB2+BC2＝CE2，∴82+x2＝（16﹣x）2，解得x＝6，∴BC＝6，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用和三角形的周長(zhǎng)，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的應(yīng)用和三角形的周長(zhǎng)的計(jì)算.10、D【解析】本題主要考查分式有意義的條件：分母不能為0，即3x?7≠0，解得x．【詳解】∵3x?7≠0，∴x≠．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查的是分式有意義的條件：當(dāng)分母不為0時(shí)，分式有意義．二、填空題(每小題3分,共24分)11、80°【解析】由在△ABC中，AB和AC的垂直平分線分別交BC于E、F，易得∠B=∠BAE，∠C=∠CAF，又由∠BAC=130°，可求得∠B+∠C的度數(shù)，繼而求得答案．【詳解】∵在△ABC中，AB和AC的垂直平分線分別交BC于E、F，∴AE=BE，AF=CF，∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAF，∵∠BAC=130°，∴∠B+∠C=180°-∠BAC=50°，∴∠BAE+∠CAF=50°，∴∠EAF=∠BAC-（∠BAE+∠CAF）=130°-50°=80°．故答案為：80°．【點(diǎn)睛】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．注意掌握整體思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．12、-1且．【分析】根據(jù)分式的值為零的條件為0的條件可得且，則可求出的值．【詳解】解：∵分式，當(dāng)時(shí)，分式的值為零，∴且，

∴，且故答案為：-1且．【點(diǎn)睛】此題主要考查了分式值為零的條件，關(guān)鍵是掌握分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零，注意：“分母不為零”這個(gè)條件不能少．13、【分析】先把含未知數(shù)項(xiàng)配成完全平方，再根據(jù)平方差公式進(jìn)行因式分解即可.【詳解】故填：.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用完全平方和平方差公式進(jìn)行因式分解，熟練掌握公式是關(guān)鍵.14、55°【分析】等腰三角形的兩個(gè)底角相等，三角形的內(nèi)角和是180°，則一個(gè)底角度數(shù)＝（180°?頂角度數(shù)）÷1．【詳解】等腰三角形頂角為70°，則底角為（180°?70°）÷1＝110°÷1＝55°．故答案為55°．【點(diǎn)睛】解決本題的關(guān)鍵是明確等腰三角形的兩個(gè)底角相等，三角形的內(nèi)角和是180°．15、1【分析】如圖，連接MQ，作MG⊥EC于G，設(shè)PC交BM于T，MN交EC于R．證明△ABC≌△MBQ（SAS），推出∠ACB＝∠BQM＝90°，由∠PQB＝90°，推出M，P，Q共線，由四邊形CGMP是矩形，推出MG＝PC＝BC，證明△MGR≌△BCT（AAS），推出MR＝BT，由MN＝BM，NR＝MT，可證△NRE≌MTP，推出S1+S1＝S3＝1．【詳解】解：如圖，連接MQ，作MG⊥EC于G，設(shè)PC交BM于T，MN交EC于R．∵∠ABM＝∠CBQ＝90°，∴∠ABC＝∠MBQ，∵BA＝BM，BC＝BQ，∴△ABC≌△MBQ（SAS），∴∠ACB＝∠MQB＝90°，∵∠PQB＝90°，∴M，P，Q共線，∵四邊形CGMP是矩形，∴MG＝PC＝BC，∵∠BCT＝∠MGR＝90°，∠BTC+∠CBT＝90°，∠BQM+∠CBT＝90°，∴∠MRG＝∠BTC，∴△MGR≌△BCT（AAS），∴MR＝BT，∵M(jìn)N＝BM，∴NR＝MT，∵∠MRG＝∠BTC，∴∠NRE＝∠MTP，∵∠E＝∠MPT＝90°，則△NRE≌MTP（AAS），∴S1+S1＝S3＝1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是三組三角形全等，依次為：△ABC≌△MBQ，△MGR≌△BCT，△NRE≌MTP．16、60°β．【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠A=∠A'=75°，BC'=BC，∠A'BC'=∠ABC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理分別求出∠BCC'、∠ACB，結(jié)合圖形計(jì)算即可．【詳解】解：∵△A'BC'≌△ABC，∴∠A=∠A'=75°，BC'=BC，∠A'BC'=∠ABC，∴∠C'BC=∠A'BA=β．∵BC'=BC，∴∠BCC'，∵CA=CB，∴∠ACB=180°﹣75°×2=30°，∴∠ACC'=∠BCC'﹣∠ACB=60°β．故答案為：60°β．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．17、2020【分析】已知等式利用完全平方公式化簡(jiǎn)整理即可求出未知式子的值．【詳解】∵，∴故答案是：【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，熟練掌握公式是解題的關(guān)鍵．18、230°【分析】

【詳解】∵∠A+∠B+∠C+∠D=（4-2）×180°=360°，∠A=90°，∠D=40°，∴∠B+∠C=360°-90°-40°=230°，故答案為230°.【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形的內(nèi)角和，熟記四邊形的內(nèi)角和是360度是解題的關(guān)鍵.三、解答題(共66分)19、(1)，；(2).【解析】（1）把點(diǎn)C的橫坐標(biāo)代入正比例函數(shù)解析式，求得點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，然后把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式即可求得m的值，從而得到一次函數(shù)的解析式，則易求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后根據(jù)勾股定理即可求得AB；

（2）由得到OQ的長(zhǎng)，即可求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】(1)∵點(diǎn)C在直線上，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為?3，∴點(diǎn)C坐標(biāo)為又∵點(diǎn)C在直線y=mx+2m+3上，∴∴∴直線AB的函數(shù)表達(dá)式為令x=0,則y=6,令y=0,則，解得x=?4，∴A(?4,0)、B(0,6)，∴(2)∵，∴∴OQ=2，∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為(0,2).【點(diǎn)睛】考查兩條直線相交問(wèn)題，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，勾股定理，三角形的面積公式等，比較基礎(chǔ)，難度不大.20、（1）（x﹣3）（x﹣4）；（2）（x﹣1）（3x+1）．【分析】（1）將1分成1乘以1，12分成-3乘以-4，交叉相乘的結(jié)果為-7，即可得到答案；（2）將3分成1乘以3，-1分成-1乘以1，由此得到分解因式的結(jié)果.【詳解】（1）y2﹣7y+12=（x﹣3）（x﹣4）；（2）3x2﹣2x﹣1=（x﹣1）（3x+1）.【點(diǎn)睛】此題考查十字相乘法分解因式，將二次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)分解成兩個(gè)因數(shù)相乘，交叉相乘的結(jié)果相加得到一次項(xiàng)的系數(shù)，能準(zhǔn)確分解因數(shù)是解題的關(guān)鍵.21、證明見(jiàn)解析.【解析】首先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠E=∠B，進(jìn)而求得BC=EF，再加上∠1=∠2，可利用AAS證明△ABC≌△DEF．【詳解】證明：∵BF=CE，∴BF-FC=CE-CF，即BC=EF，∵AB∥DE，∴∠E=∠B，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）．【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定，關(guān)鍵是掌握判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．22、（1）等邊三角形；（2）8小時(shí)【分析】（1）根據(jù)題意可得∠BCD=∠BDC=60°，即可知△BCD是等邊三角形；

（2）由（1）可求得BC，CD的長(zhǎng)，然后易證得△ABC是等腰三角形，繼而求得AD的長(zhǎng)，則可求得該船從A處航行至D處所用的時(shí)間；【詳解】解：（1）根據(jù)題意得：∠BCD=90°-30°=60°，∠BDC=90°-30°=60°，

∴∠BCD=∠BDC=60°，

∴BC=BD，

∴△BCD是等邊三角形；

（2）∵△BCD是等邊三角形，

∴CD=BD=BC=60海里，

∵∠BAC=90°-60°=30°，

∴∠ABC=∠BCD-∠BAC=30°，

∴∠BAC=∠ABC，

∴AC=BC=60海里，

∴AD=AC+CD=120海里，

∴該船從A處航行至D處所用的時(shí)間為：120÷15=8（小時(shí)）；【點(diǎn)睛】此題考查了方向角問(wèn)題．注意準(zhǔn)確構(gòu)造直角三角形是解此題的關(guān)鍵．23、（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）根據(jù)直角三角形的面積計(jì)算公式直接計(jì)算可得；（2）如圖所示作出輔助線，證明△AEM≌△DEN（AAS），得到ME=NE，即可利用角平分線的判定證明；（3）由（2）可知點(diǎn)E在∠ACB的平分線上，當(dāng)點(diǎn)D向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E的路徑為一條直線，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出CN=，根據(jù)CD的長(zhǎng)度計(jì)算出CE的長(zhǎng)度即可．【詳解】解：（1）∴，故答案為：（2）連接CE，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AC于點(diǎn)M，作EN⊥BC于點(diǎn)N，∴∠EMA=∠END=90°，又∵∠ACB=90°，∴∠MEN=90°，∴∠MED+∠DEN=90°，∵△ADE是等腰直角三角形∴∠AED=90°，AE=DE∴∠AEM+∠MED=90°，∴∠AEM=∠DEN∴在△AEM與△DEN中，∠EMA=∠END=90°，∠AEM=∠DEN，AE=DE∴△AEM≌△DEN（AAS）∴ME=NE∴點(diǎn)E在∠ACB的平分線上，即是的平分線（3）由（2）可知，點(diǎn)E在∠ACB的平分線上，∴當(dāng)點(diǎn)D向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E的路徑為一條直線，∵△AEM≌△DEN∴AM=DN，即AC-CM=CN-CD在Rt△CME與Rt△CNE中，CE=CE，ME=NE，∴Rt△CME≌Rt△CNE（HL）∴CM=CN∴CN=，又∵∠MCE=∠NCE=45°，∠CME=90°，∴CE=，當(dāng)AC=3，CD=CO=1時(shí)，CE=當(dāng)AC=3，CD=CB=7時(shí)，CE=∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路程為：，【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的綜合證明題，涉及角平分線的判定，幾何中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用上述知識(shí)點(diǎn)．24、（1）過(guò)程見(jiàn)解析；（2）MN=NC﹣BM．【分析】（1）延長(zhǎng)AC至E，使得CE=BM并連接DE，根據(jù)△BDC為等腰三角形，△ABC為等邊三角形，可以證得△MBD≌△ECD，可得MD=DE，∠BDM=∠CDE，再根據(jù)∠MDN=60°，∠BDC=120°，可證∠MDN=∠NDE=60°，得出△DMN≌△DEN，進(jìn)而得到MN=BM+NC．

（2）在CA上截取CE=BM，利用（1）中的證明方法，先證△BMD≌△CED（SAS），再證△MDN≌△EDN（SAS），即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖示，延長(zhǎng)AC至E，使得CE=BM，并連接DE．∵△BDC為等腰三角形，△ABC為等邊三角形，∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，又BD=DC，且∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，∴∠MBD=∠ECD=90°，在△MBD與△ECD中，∵，∴△MBD≌△ECD（SAS），∴MD=DE，∠BDM=∠CDE∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，∴∠CDE+∠NDC=∠BDM+∠NDC=120°-60°=60°，即：∠MDN=∠NDE=60°，在△DMN與△DEN中，∵，∴△DMN≌△DEN（SAS），∴MN=NE=CE+NC=BM+NC．（2）如圖②中，結(jié)論：MN=NC﹣BM．理由：在CA上截取CE=BM．∵△ABC是正三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，又∵BD=CD，∠BDC=120°，∴∠BCD=∠CBD=30°，∴∠MBD=∠DCE=90°，在△BMD和△CED中∵，∴△BMD≌△CED（SAS），∴DM=DE，∠BDM=∠CDE∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，∴∠NDE=∠BDC-（∠BDN+∠CDE）=∠BDC-（∠BDN+∠BDM）=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°，即：∠MDN=∠NDE=60°，在△MDN和△EDN中∵，∴△MDN≌△EDN（SAS），∴MN=NE=NC﹣CE=NC﹣BM．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．25、（1）1<DC<9；（2）∠C=70°．【分析】(1)根據(jù)三角形三邊關(guān)系進(jìn)行求解即可得；(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)求得∠AEC的度數(shù)，繼而根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求得答案.【詳解】(1)在△BCD中，BD-BC<CD<BD+BC，又∵BC=4，BD=1，∴1-4<CD<1+4，即1<DC<9；(2)∵AE∥BD，∠BDE=121°，∴∠AEC=180°-∠BDE=11°，又∵∠A+∠C+∠AEC=180°，∠A=11°，∴∠C=70°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.26、（1）詳見(jiàn)解析；（2）