高中數學新教材人教A版選擇性必修培優(yōu)練習：12 雙曲線（學生版+解析版）

專題12雙曲線

一、單選題

1.（2019?浙江省高三期中）雙曲線2丁=2的焦點坐標為（）

A.(±1,0)B.(±73,0)C.(0,±1)D.(0,土石)

2.（2020.安徽省高三三模（文））已知雙曲線^--二=1的離心率為2,則實數機的值為（）

4m

A.4B.8C.12D.16

a

3.（2019?重慶巴蜀中學高二期中（理））下列雙曲線中，漸近線方程為y=土;x的是（）

272

XX2X"7

A._z.=1B.21=ic._z.=1D,工-J

~32'3~94'94

22

X

4.（2020?安徽省高三三模（理））已知雙曲線。：二y=1（。>o力>o）離心率為3,則雙曲線c的漸近

a"下

線方程為（）

：±-^-xB.y=±yf2xC.y=±2y/2x

A-y=D.y^±—x

4

r2v2

5.（2019?安徽省高二期末（理））已知雙曲線C：一—2T=1（a>0,b>0）的焦距為2石，其漸近線方

a-b-

=±?x,則焦點到漸近線的距離為（）

程為y二

2

A.1B.73C.2D.2A/3

6.（2020?四川省成都外國語學校高二開學考試（理））已知雙曲線。：Y—三=1的左，右焦點分別為耳，

F2,過耳的直線/分別與兩條漸近線交于A、B兩點,若耶.廓=0,F\A=AAB,則4=（）

313

A.—B.-C.1D.一

224

22

7.（2020?天津高三一模）已知雙曲線亍—匕=1（m>0）的漸近線方程為屈士y=0,則雙曲線的離心

率為（）

A.2B.GC.D.2

32

8.（2020?江西省靖安中學高二月考（理））已知雙曲線中心為原點，焦點在X軸上，過點（夜,2），且漸近

線方程為丁=±2%,則該雙曲線的方程為（）

A./-二=1B.7-4y2=2C.爐—21=]D.-2y2=1

24"

9.（2019?天津高三三模（文））雙曲線C:*■一，

=13＞0,。＞0）的離心率為2,焦點到漸近線的距離為

則。的焦距等于（）.

A.2B.2&C.4D.472

22

10.（2020?安徽省高三月考（文））已知雙曲線r:—二=1團＞08＞0）的離心率為④，則它的一條漸近線

ah

被圓f+y2-6x=0截得的線段長為（）

3Q6

A.-B.3C.-D.3亞

二、多選題

22

11.（202。山東省膠州市第一中學高三一模）已知雙曲線C：=-4=1（。＞0,6＞0）的左、右焦點分別為

a-b

72

耳（-5,0）,6（5,0）,則能使雙曲線C的方程為今-上=1的是（）

169

5（9、

A.離心率為一B.雙曲線過點5,7

414；

C.漸近線方程為3x±4y=0D.實軸長為4

2

12.（2020?湖南省衡陽市一中高二期末）已知雙曲線C：/W—V斗=1（。＞0/＞0）,右頂點為A,以A為圓心,

ab

〃為半徑作圓A,圓A與雙曲線。的一條漸近線交于M,N兩點，若NMAN=60。，則有（）

A.漸近線方程為＞=土*xB.e2

2

C.e*

D.漸近線方程為y=±Jix

3

22

13.（2020?高密市第一中學高三月考）已知點P是雙曲線E：5=1的右支上一點，片,鳥為雙曲線

E的左、右焦點，APCM的面積為20,則下列說法正確的是（）

A.點P的橫坐標為—

3

80

B.AP4K的周長為可

C./耳2鳥小于？

3

D.AP耳石的內切圓半徑為I

三、填空題

2

14.（2018?民勤縣第一中學高二期末（文））雙曲線--2-=1的漸近線方程為

4

22

15.（2020?天水市第一中學高二月考（文））以雙曲線±一匕=1的焦點為頂點，頂點為焦點的橢圓方程為

45

16.（2020?天水市第一中學高二月考）已知平行于X軸的直線/與雙曲線C：0—1=1（。＞（）力＞0）的

兩條漸近線分別交于P,Q兩點，。為坐標原點，若AOPQ為等邊三角形，則雙曲線C的離心率為.

17.（2020?山東省高三一模）過點M（—機,0）（機*0）的直線/與直線3x+y-3=0垂直，直線/與雙曲線

22

C:=-與=1（。＞0,6＞0）的兩條漸近線分別交于點A5,若點P（肛0）滿足I幺1=1PB|,則雙曲線。的漸近

a~b~

線方程為，離心率為.

四、解答題

22

18.（2020?定遠縣育才學校高二月考（文））雙曲線與橢圓|^+表=1有相同焦點，且經過點（、后,4）.

（1）求雙曲線的標準方程；

（2）求雙曲線的離心率及漸近線方程.

19.（2020?陜西省西安市遠東一中高二期末（理））已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，且長軸長為

12,離心率為

3

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）已知雙曲線E過點倒出,一百），且雙曲線E的焦點與橢圓C的焦點重合，求雙曲線E的標準方程.

20.（2019?甘南藏族自治州合作第一中學高二期末（文））過雙曲線爐-丫2=1的右焦點尸作傾斜角為60。的

直線/,交雙曲線于A、B兩點，

（1）求雙曲線的離心率和漸近線；

（2）求|AB|.

21.（2019?寧波中學高二期中）已知三點A（—7,0）,5（7,0）,C（2,-12）.

（1）若橢圓過A3兩點，且C為其一焦點，求另一焦點P的軌跡方程；

（2）直線AM,80相交于點M,且它們的斜率之和是2,求點M的軌跡方程.

22.（2019?安徽省高二期中（理））已知雙曲線C：=_與.=13>0,%>0）與橢圓二+2_=1有共同的焦

a2h21814

點，點A（3,J7）在雙曲線c上.

（1）求雙曲線C的標準方程；

（2）以P（L2）為中點作雙曲線C的一條弦A8,求弦AB所在直線的方程.

22

23.（2019?會澤縣第一中學校高二月考（理））已知雙曲線。：今一斗=1（。>0力>°）的實軸長為26,

ab

一個焦點的坐標為（-J5,o）.

（1）求雙曲線的方程；

（2）若斜率為2的直線/交雙曲線。交于A,B兩點，且|A@=4,求直線/的方程.

專題12雙曲線

一、單選題

1.（2019?浙江省高三期中）雙曲線f-2y2=2的焦點坐標為（）

A.（+1,0）B.（±V3,0）C.（0,±1）D.（0,±V3）

【答案】B

【解析】

由尤2-29=2可得a2=2,〃=i,焦點在x軸上，所以c2=a2+〃=3,因此c=G

所以焦點坐標為（±6,0）；

故選B

22

2.（2020?安徽省高三三模（文））已知雙曲線^--21=1的離心率為2,則實數加的值為（）

4m

A.4B.8C.12D.16

【答案】C

【解析】

因為雙曲線上—二=1的離心率為2,所以14t生=2,解得機=12.

4m2

故選：C.

3.（2019?重慶巴蜀中學高二期中（理））下列雙曲線中，漸近線方程為y=的是（）

22222222

A.土-匯=1B.工-工=1C.￡-匕=1D.工-±=1

32329494

【答案】D

【解析】

C.—=漸近線為：y=±-x；D.2L_±二1,漸近線為：丁=土士X；

943942

故選：D.

22

4.（2020?安徽省高三三模（理））己知雙曲線。：二—齊=1（?！?,方＞0）離心率為3,則雙曲線C的漸近

線方程為（)

A.y=±xB.y=±\flxC.y=±2.-^2xD-y=±x

24

【答案】C

【解析】

因為e=￡=歸營=3,所以2=2收，

a\a-a

由雙曲線的幾何性質可得漸近線方程為：y=±2&,

故選：C

22

5.（2019?安徽省高二期末（理））已知雙曲線C：=—與=1（a〉0,人＞0）的焦距為2逐，其漸近線方

cr/r

程為y=±gx,則焦點到漸近線的距離為（）

A.1B.6C.2D.26

【答案】A

【解析】

由題知：2c=2石，c=#＞，似石,0）.

K到直線x—2y=0的距離］=任4

1.

#+22

故選：A

6.（2020?四川省成都外國語學校高二開學考試（理））已知雙曲線C：V—2L=1的左，右焦點分別為耳，

與，過打的直線/分別與兩條漸近線交于A、B兩點,若耶.尊=（）,F\A=XAB,則2=（）

313

A.-B.-C.1D.一

224

【答案】C

【解析】

由質?展=0,可知6則忸O|=|O&|=c,

2

因為雙曲線C:/—g=l的漸近線為y=±Gx，所以NAO&=120",NBO鳥=60°,故口8。鳥為正

三角形，且A0//5E，

所以A。為AB耳6的中位線，4為線段耳8的中點，即不=須，故;1=1.

7.（2020?天津高三一模）已知雙曲線?一二=1（機>0）的漸近線方程為底土y=0,則雙曲線的離心率

為（）

A.2B.y/3C.D.B

32

【答案】A

【解析】

22

將雙曲線的標準方程表示為方=1（4>0，〃>0），

由于該雙曲線的漸近線方程為Gx土y=0，則，=G，

故選：A.

8.（2020.江西省靖安中學高二月考（理））已知雙曲線中心為原點，焦點在X軸上，過點（后,2），且漸近

線方程為丁=±2*，則該雙曲線的方程為（)

A.x2-^-=lB.尤2_分2=2C.尤2_?=]D.x2-2y2^l

【答案】C

【解析】

漸近線方程為2x±y=0,設雙曲線方程為—V=X,幾#o

將P（友,2）的坐標代入方程得,4（夜>—22=九求得2=4

則該雙曲線的方程為f一二=1.

4

故選:C.

22

9.（2019?天津高三三模（文））雙曲線C:0-g=l（a>0/>0）的離心率為2,焦點到漸近線的距離為,

則。的焦距等于（）.

A.2B.272C.4D.4也

=【答案】C

【解析】

I—）

設雙曲線的焦距為2c,雙曲線的漸進線方程為瞿=韭七審，由條件可知±=駕，不善=，=&,又

闔窗.Ffn

/=魏&丑短，解得物?=11斯=庭盧=%,故答案選C.

22

10.（2020?安徽省高三月考（文））已知雙曲線]=13>0力>0）的離心率為夜，則它的一條漸近線

被圓工2+y-6乂=0截得的線段長為（）

A.|B.3C.乎D.3>/2

【答案】D

【解析】

由題意可得e=￡=8，

a

即C=。，即有〃=&2-片=〃,

b

設雙曲線的一條漸近線方程為y=—x,即為y=x,

a

圓Y+9-61=0的圓心為（3,0）,半徑r=3,

即有圓心到漸近線的距離為=述，

V1+12

可得截得的弦長為2=2=372.

故選：D.

二、多選題

_X2V2

11.（2020?山東省膠州市第一中學局三一模）己知雙曲線C：\-4=13>0g>0）的左、右焦點分別為

arb

邛-5,0）,g（5,0）,則能使雙曲線C的方程為二-片=1的是（）

169

5（9^

A.離心率為丁B.雙曲線過點5,二

4I4；

C.漸近線方程為3x±4y=0D.實軸長為4

【答案】ABC

【解析】

由題意，可得：焦點在X軸上，且c=5；

5r22

A選項，若離心率為一，則a=4,所以力2=。2一/=9,此時雙曲線的方程為：v—-21=1,故A正確;

4169

81

1

（9、25?A.[a=16丫2V2

B選項，若雙曲線過點5,二，則〈二一號=1，解得：《，；此時雙曲線的方程為：土—匕=1,

Iab/=9169

a2+/?2=c2=25

故B正確；

C選項，若雙曲線的漸近線方程為3x±4y=0,可設雙曲線的方程為：H-匕=加（機>0）,

169

所以「2=16〃?+9機=25,解得：機=1,所以此時雙曲線的方程為：---—=b故C正確；

169

12

D選項，若實軸長為4,則。=2,所以從=。2_。2=21，此時雙曲線的方程為：--^=1,故D錯誤;

421

故選：ABC.

Y2V2

12.（2020.湖南省衡陽市一中高二期末）已知雙曲線一當■=1（。>0,6>0）,右頂點為A,以A為圓心,

ab2

匕為半徑作圓A,圓4與雙曲線。的一條漸近線交于M,N兩點，若NMAN=60。,則有（）

A.漸近線方程為）=±且》B.eM

-32

、_2上

，?C-----D.漸近線方程為y=±J5x

3

【答案】AC

【解析】

雙曲線C：二一與=1(a>0,*>0)的右頂點為4(a,0),

a2b2

以A為圓心，b為半徑做圓4,圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點.

若NMAN=60°,可得A到漸近線版+ay=0的距離為：bcos300=^-b>

2

可得：產=旦,即9=立，故-=2叵.且2=后二i=，3,故漸近線方程為漸近線方程

2c23a3

為y=+^-x

3

故選：AC.

22

13.（2020?高密市第一中學高三月考）已知點P是雙曲線E：器-5=1的右支上一點，尺,月為雙曲線

E的左、右焦點，“大鳥的面積為20,則下列說法正確的是（）

20

A.點P的橫坐標為亍

QQ

B.八/筆得的周長為§

C."產2小于三

3

D.AP6K的內切圓半徑為丁

【答案】ABC

【解析】

設留鳥的內心為/,連接〃\低、

A7IF2,

22

雙曲線E：2一二=1中的。=4,b=3,c=5,

169

不妨設P。%ri）,m>0,n>0,

由△/隹6的面積為20,可得；恒用〃=c〃=5〃=20,即〃=4,

由近—收=],可得機=型，故A符合題意；

1693

y-4j,且￡（一5,0）,鳥（5,0）,

由「

可得kPFi=—,kPF2=—,

12_12

則tanfJP鳥=/條=|^[0,6），

5x35

兀

則/片「鳥<§,故C符合題意；

叫P周+歸周=，16+弓+^7^=1+￡=三，

則鳥的周長為三+10=岑，故8符合題意；

設AP耳心的內切圓半徑為人可得;川姐|+歸用+閨與|）=；?閨瑪?4,

8（）3

可得下r=40,解得r=不，故Q不符合題意.

32

故選：ABC.

三、填空題

14.（2018?民勤縣第一中學高二期末（文））雙曲線一一21=1的漸近線方程為

【答案】y=±2x

【解析】

由雙曲線方程可知/=1力2=4，a=1力=2；.漸近線方程為y=±2x

22

15.（2020.天水市第一中學高二月考（文））以雙曲線匕一二=1的焦點為頂點，頂點為焦點的橢圓方程為

45

22

【答案】—+^-=1

95

【解析】

22

由雙曲線的相關性質可知，雙曲線C:工-匕=1的焦點為（±3,0）,頂點為。20）,

45

所以橢圓的頂點為（±3,0）,焦點為（?20）,

22

因為〃=/-,2=5,所以橢圓的方程為土+匕=1，

95

22

故答案為工+匕=1。

95

22

16.（2020?天水市第一中學高二月考）已知平行于X軸的直線/與雙曲線。：/>0）的

兩條漸近線分別交于P,0兩點，。為坐標原點，若八OPQ為等邊三角形,則雙曲線。的離心率為.

【答案】2

【解析】

據題設分析知，ZPOQ=60°,所以？=tan60。，得心=扃，

'a2+h2_4a1+3/

所以雙曲線C的離心率e=￡

17.（2020?山東省高三一模）過點M（-機,0）（機*0）的直線/與直線3x+y-3=O垂直，直線/與雙曲線

c:=1（。＞0,。＞0）的兩條漸近線分別交于點A,B,若點P（九0）滿足IPAHP8I,則雙曲線。的漸近

線方程為,離心率為.

【答案】y=±1x，在

22

【解析】

???過點M（-機,（））（/〃H0）的宜線/與直線3x+y-3=0垂宜，

，直線/的方程為x-3y+，*=0,

雙曲線3-4=13＞0力＞0）的兩條漸近線方程為y=±—X,

ab,a

生、一工“mamb、mamb、

將兩個方程聯立，可得4（；；；—-）,5（--一-）,

3b-a3b-a3b+a3b+a

：.AB的中點坐標為N（31”，）,

9b2-a29b2-a2

?.?點尸（見0）滿足|R4|=|PB|,

點尸（九0）在線段AB的中垂線匕即PN±AB

3mbi

.—9片s---/r_-0

?.2-J，

ma

--------m

9b2-a2

.?ci—2b?

則灣,

???漸近線方程為y=±gx,離心率為正.

故答案為：y=±1x,也.

22

四、解答題

18.（2020?定遠縣育才學校高二月考（文））雙曲線與橢圓工+匕1有相同焦點，且經過點（后,4）.

2736

（1）求雙曲線的標準方程；

（2）求雙曲線的離心率及漸近線方程.

【答案】（I）匕一二=1:（2）y=±氈X.

455

【解析】

（1）由題意知雙曲線焦點為耳（0,—3）,F2（0,3）.

可設雙曲線方程為與--J=l，點（岳,4）在曲線上，代入得/=4或/=36（舍）,

a?9—ci

v22

二雙曲線的方程為^—%=1.

45

c3

（2）由（1）得a=2,c=3,...雙曲線的離心率e=-=—.

a2

漸近線方程：y=+^iX.

.5

19.（2020?陜西省西安市遠東一中高二期末（理））已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，且長軸長為

12,離心率為L.

3

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）已知雙曲線E過點僅省6）,且雙曲線E的焦點與橢圓C的焦點重合，求雙曲線E的標準方程.

【答案】（1）片+￡=1（2）---y2=l

36323

【解析】

Q1

（1）由題意知,2a=12,-=-

a3

所以。=6,c=2,所以從=〃2一/=32

乂因為雙曲線E的焦點在x軸上，所以橢圓C的方程為三+.=1

x~V

（2）雙曲線E的標準方程為——二=1(%>0力1>0)

4片

由題可知雙曲線￡的焦點坐標為（2,0）,（-2,0）,所以42+邛=4

123

又雙曲線E過點（26,一舊），所以/一斤=1，解得d=3,b；=l

所以雙曲線E的標準方程為二—>2=1

3

20.（2019?甘南藏族自治州合作第一中學高二期末（文））過雙曲線』-y2=1的右焦點尸作傾斜角為60。的

直線/,交雙曲線于A、B兩點，

（1）求雙曲線的離心率和漸近線；

（2）求|AB|.

【答案】（1）e=&y=±x（2）|AB=80|

【解析】

（1）因為雙曲線方程為f-y2=i,所以”=以=1,則c=，a2+》2=0.

所以e=￡=J5,漸近線方程為y=±x

a

（2）由（1），右焦點為則設直線/為y=6（尤一垃），

代入雙曲線x2-/=l中，化簡可得2/+60x—7=0,

所以|AB\=A/T+3一%I=2&X]+/丫=8>/2

21.（2019?寧波中學高二期中）已知三點A（-7,0）,3（7,0）,C（2,-12）.

（1）若橢圓過A3兩點，且。為其一焦點，求另一焦點P的軌跡方程；

（2）直線AM,相交于點M，且它們的斜率之和是2,求點M的軌跡方程.

2

v2

【答案】（l）f—2L=i（x<0）；⑵xy=%-49（x^±7）

48

【解析】

（1）設另一個焦點P（x,y），則由橢圓定義知：|AC|+|AP|=|3C|+|BP|,

■：\AC\=正7-2）2+（0+12）2=15.\BC\=J（7-2>+（0+12>=13.

:.\BP\-\AP\=\AC\-\BC\=2,說明P是以A、B為焦點的雙曲線的左支，其中a=l,c=7,〃=48,

2

所以焦點P的軌跡方程為/一上_=1（》<0）；