專題拓展函數(shù)不等式恒成立與能成立（技巧解密6考點(diǎn)過關(guān)檢測(cè)）

專題拓展：函數(shù)不等式恒成立與能成立一、單變量不等式恒成立問題一般利用參變分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：1、，2、，3、，4、，二、雙變量不等式與等式一般地，已知函數(shù)，1、不等關(guān)系（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有成立，故．2、相等關(guān)系記的值域?yàn)锳,的值域?yàn)锽,（1）若，，有成立，則有；（2）若，，有成立，則有；（3）若，，有成立，故；考點(diǎn)一：?jiǎn)巫兞坎坏仁胶愠闪⒗?．（2324高一上·廣東湛江·月考）若不等式對(duì)一切成立，則的最小值為（

）A．0 B． C． D．【答案】D【解析】若不等式對(duì)一切成立，則，當(dāng)時(shí)，取最大值，故，故的最小值是.故選：D．【變式11】（2324高一上·河南·月考）若對(duì)于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】不等式可化為，，令，由題意可得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故選：C.【變式12】（2324高一下·貴州遵義·月考）已知函數(shù)，若不等式在上恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，所以，由，得，即，因?yàn)椴坏仁皆谏虾愠闪ⅲ?，即?由，得，即，所以的取值范圍為.故選：A.【變式13】（2324高一下·黑龍江大慶·開學(xué)考試）已知定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足，且在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【解析】因?yàn)?，①得，又和分別為偶函數(shù)和奇函數(shù)，所以，②由①②相加得，又在上恒成立即在上恒成立，設(shè)，則只需，易知在上為增函數(shù)，，所以，故答案為：.考點(diǎn)二：?jiǎn)巫兞坎坏仁侥艹闪⒗?.（2324高一上·重慶·期末）已知函數(shù)，若存在，使得不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的對(duì)稱軸為，所以當(dāng)時(shí)，該二次函數(shù)單調(diào)遞增，所以，因?yàn)榇嬖?，使得不等式成立，所以有，或，因此?shí)數(shù)的取值范圍為，故答案為：【變式21】（2223高一上·四川南充·月考）已知函數(shù)．若存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，因?yàn)榇嬖?，使得成立，所以只要，即，得或，所以的取值范圍?【變式22】（2223高一上·山東棗莊·月考）設(shè)函數(shù)，，若，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，，而函數(shù)在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，所以，即函數(shù)的最小值為,又，使得成立，則，即，解得：或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是或，故答案為：【變式23】（2324高一下·河北張家口·開學(xué)考試）已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值11和最小值3，且．(1)求的值；(2)若不等式在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2).【解析】（1）函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，，解得，所以.（2）由（1）知，，，因此不等式，令，由，得，則，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，由不等式在上有解，得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.考點(diǎn)三：任意任意型不等式成立例3.（2122高二下·北京·月考）已知，若對(duì)任意，任意，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，，所以，對(duì)任意的，要使成立，即要，對(duì)任意上成立，所以任意，使得成立，即.故選：C.【變式31】（2223高一上·湖北鄂州·期中）已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.(1)求函數(shù)的解析式；(2)設(shè)，對(duì)任意，均有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)【解析】（1）因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，解得，所以是定義在上的奇函數(shù)，可得，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，則，所以，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，所以，所以.（2）對(duì)任意，均有，只需，由（1）知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又由，所以函數(shù)，因?yàn)樵谏蠟閱握{(diào)遞減函數(shù)，所以，所以，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.【變式32】（2324高一上·湖南永州·期末）已知函數(shù)，.(1)若對(duì)，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若函數(shù)，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】(1)；(2)答案見解析.【解析】（1）對(duì)，都有，只需，由在上遞增，故，由，在上有，所以且，故有在上恒成立，所以，而，即.（2）由題設(shè)，令，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則，即，所以且，令，則問題等價(jià)于在上解的個(gè)數(shù)，又在上遞減，故，當(dāng)或時(shí)，在上無解，即無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上有，所以，即，故有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上有（負(fù)值舍），又為偶函數(shù)，此時(shí)有2個(gè)零點(diǎn)；綜上，或時(shí)，無零點(diǎn)；時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；【變式33】（2324高一上·北京·月考）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的定義域.(2)判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由.(3)對(duì)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，理由見解析；(3)【解析】（1）由函數(shù)有意義，則滿足，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?（2）因?yàn)榈亩x域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù).（3）由“對(duì)，不等式恒成立”，可得，當(dāng)時(shí)，由在上單調(diào)遞減，，根據(jù)題意得，對(duì)法一：可轉(zhuǎn)化為，令，由在上單調(diào)遞減得，可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為.法二：設(shè)函數(shù)，①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，可得，解得，則；②當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，可得，解得，則；③當(dāng)，即時(shí)，在先減后增，可得，解得，所以，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.考點(diǎn)四：任意存在型不等式成立例4.（2324高一下·山東淄博·期中）已知函數(shù)，，，．對(duì)，都，使得成立，則的范圍是．【答案】【解析】函數(shù)，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，所以，解得，又因?yàn)椋?，解得；?dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，其最小值為，所以有，解得，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)減，在上單調(diào)增，其最小值為，所以有，解得，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)減，，此時(shí)，無解；所以的取值范圍是，故答案為：.【變式41】（2324高一上·重慶·月考）已知函數(shù).若，使得成立，則實(shí)數(shù)的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，且即時(shí)等號(hào)成立，所以，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，由題意可知，即，所以，故選：C.【變式42】（2324高一上·廣東佛山·期中）已知，（且），若對(duì)任意的，都存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知：，因?yàn)榈膱D象開口向上，對(duì)稱軸為，且，可知當(dāng)時(shí)，取到最大值，由題意可得：，可知存在，使得成立，當(dāng)，可知在上單調(diào)遞減，可得，不合題意；當(dāng)，可知在上單調(diào)遞增，可得的最大值為，則，即又，解得；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.【變式43】（2324高一上·廣東茂名·期中）已知函數(shù)，若對(duì)任意，總存在，使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【解析】對(duì)任意，總存在，使成立,對(duì)成立當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.考點(diǎn)五：存在存在性不等式成立例5.（2223高一上·北京豐臺(tái)·期中）已知函數(shù)和（其中），若存在使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】存在使得成立，等價(jià)于在上恒成立，由得，，，所以，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：A.【變式51】（2324高一上·河北·月考）已知，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，所以，，在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，，即，取成立.當(dāng)時(shí)，，即，得，所以當(dāng)時(shí)，，即，得，所以，綜上：的取值范圍是.故選：A【變式52】（2223高一上·遼寧營(yíng)口·期末）已知函數(shù)，，若，，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】若，，使得，故只需，其中在上單調(diào)遞減，故，在上單調(diào)遞增，故，所以，解得：，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C【變式53】（2324高一上·全國(guó)·期末）已知且，若存在,存在,使得成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】【解析】因?yàn)?，?dāng)時(shí),，因?yàn)榇嬖?，存在，使得成?所以函數(shù)在上的最小值小于函數(shù)在上的最大值.當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，解得;當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，解得，綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.考點(diǎn)六：任意存在型等式成立例6.（2223高二下·黑龍江哈爾濱·期末）已知，若對(duì)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋?，所以在上遞減，在上遞增，所以的最小值為，因?yàn)椋?，所以的最大值為，所以的值域?yàn)?，因?yàn)樵谏线f增，所以的值域?yàn)?，因?yàn)閷?duì)，使得，所以是的子集，所以，解得，即的取值范圍故選：D【變式61】（2324高一上·甘肅酒泉·期末）已知函數(shù)，對(duì)，，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)樗詴r(shí)，，時(shí)，，綜上.當(dāng)時(shí)，，，由題意，，即，解得；當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，，由題意，，即，解得；綜上可得.故選：D.【變式62】（2324高一上·江蘇南通·期中）已知函數(shù)為偶函數(shù)，且時(shí)，.(1)求時(shí)，的解析式；(2)若函數(shù)，對(duì)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，；(2)或.【解析】（1）時(shí)，，所以，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，則，；（2）因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以在和上的值域相同，當(dāng)時(shí)，，令，則，，所以函數(shù)化為，，所以時(shí)，；時(shí)，，即在上的值域?yàn)?又對(duì)，，使得成立，所以的值域是的值域的子集，①當(dāng)時(shí)，在上的值域?yàn)閯t，解得②當(dāng)時(shí)，在上的值域?yàn)?，則，解得綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為或.【變式63】（2122高一下·上海黃浦·月考）已知函數(shù)，若，，．(1)求的值，并求函數(shù)的最小值及此時(shí)的值；(2)函數(shù)，若對(duì)任意的，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，，時(shí)，有最小值；(2)【解析】（1）因?yàn)?，所以，所以，①因?yàn)椋?，②由②得，或，解得或因?yàn)?，且，所以，代入①得，所以，所以所以．所以?dāng)，即時(shí)，有最小值．（2），當(dāng)時(shí)，，因?yàn)閷?duì)任意的，總存在，使得成立，所以的值域是值域的子集，當(dāng)時(shí)，，舍去；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所以，所以；?dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所以，所以；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．一、單選題1．（2324高一上·河北石家莊·期中）已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)楹愠闪?，即恒成立，所以恒成立，又由（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以．故選：A．2．（2324高一上·吉林長(zhǎng)春·期中）設(shè)函數(shù)，不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，，所以，所以函?shù)關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，又不等式在上恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上恒成立，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以，即.故選：D3．（2223高一上·海南·期中）已知函數(shù)，，若對(duì)任意的，總存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】要使對(duì)任意的，總存在，使得成立，即在上值域是在上值域的子集，開口向上且對(duì)稱軸為，則上值域?yàn)?；?duì)于：當(dāng)時(shí)在上值域?yàn)?，此時(shí)，，可得；當(dāng)時(shí)在上值域?yàn)?，不滿足要求；當(dāng)時(shí)在上值域?yàn)椋淮藭r(shí)，，可得；綜上，的取值范圍.故選：D4．（2324高一上·江西南昌·月考）已知函數(shù)，.若，，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)在上的最小值為，在上的最小值為.因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)等號(hào)成立，所以，.在上單調(diào)遞增，所以.由，，使得成立，可得，即，所以.故選：C.5．（2223高二上·陜西西安·期中）已知，若對(duì)任意，，使得，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】易知在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞減，，對(duì)任意，，使得，則所以，即.故選：C.6．（2122高一上·福建泉州·期中）已知函數(shù)，，，若存在，使得成立，則的取值范圍為（

）A． B．C．或 D．【答案】D【解析】設(shè)任意的，且，，所以，即，所以在上單調(diào)遞增，所以；因?yàn)椋鋵?duì)稱軸為，所以根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得在可得到最小值，若存在，使得成立，只需，所以，解得，因?yàn)椋缘娜≈捣秶鸀?，故選：D二、多選題7．（2324高一上·遼寧丹東·月考）對(duì)于恒成立，則的可能取值為（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】設(shè)，則，則的圖象如下所示：由圖可知當(dāng)時(shí)取得最小值，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因?yàn)閷?duì)于恒成立，所以，故符合題意的有A、B、C.故選：ABC8．（2324高一上·湖南株洲·月考）已知函數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．，恒成立，則a的取值范圍是B．，，則a的取值范圍是C．，，則a的取值范圍是D．，，【答案】AC【解析】對(duì)于A，因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以，又因?yàn)楹愠闪ⅲ瑒ta的取值范圍是，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以，又，，則a的取值范圍是，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以所以，因?yàn)?，，所以a的取值范圍是，故C正確；對(duì)于D，由上述過程可知，，則不能保證，，，例如：當(dāng)時(shí)，不存在，，故D錯(cuò)誤.故選:AC.三、填空題9．（2324高一上·廣東·月考）已知函數(shù)與，若對(duì)任意的，都存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】，函數(shù)單調(diào)遞減，，故，對(duì)任意的，都存在，使得，故的值域包含，①當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)，成立；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，成立，，解得，即；綜上所述：.故答案為：10．（2324高一上·廣東佛山·期中）已知函數(shù)，若對(duì)任意，不等式恒成立