專題拓展三角函數(shù)的最值與值域問題（技巧解密8考點過關(guān)檢測）

專題拓展：三角函數(shù)的最值與值域問題1、形如(或)型可利用正弦函數(shù)，余弦函數(shù)的有界性，注意對a正負(fù)的討論2、形如(或型（1）先由定義域求得的范圍（2）求得(或)的范圍，最后求得最值3、形如型引入輔助角轉(zhuǎn)化為，其中，再利用三角函數(shù)的單調(diào)性求最值。4、形如或型，可利用換元思想，設(shè)或，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，t的范圍需要根據(jù)定義域來確定．5、形如型利用和的關(guān)系，通過換元法轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域6、分式型三角函數(shù)值域（1）分離常數(shù)法：通過分離常數(shù)法進行變形，再結(jié)合三角函數(shù)有界性求值域；（2）判別式法考點一：求正弦型三角函數(shù)的值域例1．（2223高一下·江西·期中）函數(shù)最大值為（

）A．2 B．5 C．8 D．7【答案】B【解析】∵，∴，∴，即．∴函數(shù)最大值為5．故選：B．【變式11】（2223高一下·四川眉山·月考）已知在區(qū)間上的最大值為（

）A．1 B． C． D．【答案】A【解析】因為所以結(jié)合三角函數(shù)的圖像性質(zhì)，函數(shù)在單調(diào)遞增，所以故選：A.【變式12】（2324高一下·北京·期中）函數(shù)的最大值和最小值分別為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得，則當(dāng)，即時，，當(dāng)，即時，，所以所求最大值、最小值分別為.故選：A【變式13】（2324高三上·陜西咸陽·月考）函數(shù)在上的值域為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，可得，則.故選：A.考點二：求余弦型三角函數(shù)的值域例2．（2324高一上·四川雅安·月考）函數(shù)的最小值為（

）A． B． C．3 D．4【答案】B【解析】因為，所以，所以最小值為，故選：B【變式21】（2324高一下·廣西·期末）函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以，因為函數(shù)在上遞增，上遞減，又，，，所以即.故選：A．【變式22】（2324高一下·江西吉安·月考）函數(shù)，的值域為．【答案】【解析】因為，所以，所以，所以．所以函數(shù)的值域為．故答案為：【變式23】函數(shù)y=2cos(2x+)，x[，]的值域是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，因為x[，]，所以，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，，即函數(shù)的值域是．故選：A．考點三：求正切型三角函數(shù)的值域例3．（2223高一·全國·課堂例題）函數(shù)，的值域為．【答案】【解析】∵函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴函數(shù)在區(qū)間上的值域為．故答案為：.【變式31】函數(shù)的值域為．【答案】【解析】當(dāng)時，，，即的值域為.故答案為：.【變式32】（2324高一下·安徽亳州·月考）函數(shù)，的值域為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，因為，所以．因為正切函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，所以．故選：A．【變式33】（2324高一下·江西·月考）函數(shù)，的值域為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】故選：C.考點四：利用輔助角公式求值域例4．函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，由，則，所以，.故選：D.【變式41】（2324高三下·陜西咸陽·二模）已知函數(shù)，若時，函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】,因為，所以，則，所以函數(shù)的值域為.故選：A.【變式42】（2324高一下·江蘇連云港·月考）函數(shù)的最大值是（

）A． B． C． D．1【答案】C【解析】所以函數(shù)的最大值為.故選：C.【變式43】（2324高一下·江蘇宿遷·月考）已知函數(shù)，，則函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可知：，當(dāng)時，則，所以故選：B.考點五：與二次函數(shù)復(fù)合的三角函數(shù)值域例5．（2223高一上·吉林長春·期末）函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)，∵，∴當(dāng)時，函數(shù)取得最小值為，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值為2，故函數(shù)的值域為，故選：A．【變式51】（2324高一上·重慶九龍坡·期末）函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，由，故，即.故選：B.【變式52】（2324高一下·江蘇宿遷·期中）函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由函數(shù)，因為，當(dāng)時，可得；當(dāng)時，可得，所以函數(shù)的值域為.故選：D.【變式53】（2324高一下·上海浦東新·期中）函數(shù)，的最大值與最小值之和為.【答案】【解析】令，，，則，因為對稱軸為，所以，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)的最大值與最小值之和為.故答案為：.考點六：y=sinx·cosx±（sinx±cosx）的值域例6．（2324高一上·湖北武漢·期末）已知，則函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，則，則，令，所以，，則，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，則.因此，當(dāng)時，則函數(shù)的值域為.故選：D.【變式61】（2324高一上·湖南衡陽·期末）函數(shù)的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，則，由，故，即，由，故的最大值為.故選：B.【變式62】（2223高一上·吉林白城·期末）已知函數(shù)，則的最大值為（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】，令，即，由，則.故選：A.【變式63】（2223高一下·云南曲靖·月考）函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】則且，令，則，則，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故的值域為.故選：D.考點七：分式型三角函數(shù)的值域例7．（2223高一下·安徽蕪湖·月考）已知，則函數(shù)（

）．A．有最小值4 B．有最大值4 C．無最小值 D．有最大值5【答案】C【解析】因為，令，則，由于在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故在單調(diào)遞減，故，故選：C．【變式71】（2223高一下·河南南陽·月考）函數(shù)的值域為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】解法一：因為，所以∴或，∴或故的值域為解法二：由，得，易知，所以，則，解得或故的值域為．故選：B．【變式72】（2223高三上·河南鄭州·月考）函數(shù)的值域是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，，可得，，，故.故選：B.【變式73】函數(shù)的最大值為．【答案】/【解析】∵，∴，由題意得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故的最大值為．故答案為：考點八：根據(jù)三角函數(shù)的值域求參數(shù)例8．（2324高一下·河北承德·月考）已知函數(shù)的定義域為，值域為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)的周期為，由，得，即，解得，在長為一個周期的區(qū)間上，取，得，當(dāng)時，，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由在上的值域為，則當(dāng)時，，于是，當(dāng)時，，于是，所以的取值范圍是.故選：B【變式81】（2324高三下·廣東佛山·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在區(qū)間上的值域均為，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在上，，在上，，由題意，函數(shù)在兩個區(qū)間上最值相同，且最小值為，即兩區(qū)間左端點函數(shù)值均為最小值，所以兩區(qū)間右端點函數(shù)值不能小于，但兩區(qū)間內(nèi)最大值相同，如圖的部分圖象，數(shù)形結(jié)合得且，即.故選：A【變式82】（2223高一下·江蘇蘇州·月考）設(shè)函數(shù)在上單調(diào)且值域為,，則函數(shù)的值域為（

）A．, B．, C． D．【答案】D【解析】函數(shù)在上單調(diào)，所以，且，，可得，，所以，故選：D．【變式83】（2223高一下·遼寧大連·月考）已知函數(shù)，的值域為，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，設(shè)，，函數(shù)的對稱軸為且，，，因為函數(shù)在區(qū)間的值域為，所以在區(qū)間上能取得，但是不能小于0，所以.故選：C一、單選題1．（2223高一下·四川眉山·期中）已知函數(shù)，則的值域是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以，所以，所以，所以的值域是.故選：C.2．（2223高一上·河南三門峽·期末）函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè),因為，所以，因為正切函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，且,所以．∴函數(shù)的值域為，故選：A．3．（2324高三下·湖北·二模）函數(shù)，當(dāng)取得最大值時，（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，其中，而，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，此時.故選：B.4．（2324高一下·山東德州·月考）函數(shù)的最小值為（

）A．1 B．2 C．－2 D．－4【答案】D【解析】由題，因為，所以，所以，所以函數(shù)的最小值為.故選：D.5．（2023·四川成都·模擬預(yù)測）當(dāng)時，函數(shù)的值域是，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解法一：由題意，畫出函數(shù)的圖象，由，可知，因為且，要使的值域是，只要，即；解法二：由題，可知，由的圖象性質(zhì)知，要使的值域是，則，解之得．故選：D.6．（2324高三上·河南·月考）函數(shù)的值域為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為，且，則，令，則，所以，，對稱軸為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即函數(shù)的值域為.故選：B7．（2223高一下·安徽阜陽·月考）已知函數(shù)的值域是，則實數(shù)的值等于（

）A．2 B．2 C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時，由，得，因為的值域為，所以，解得，當(dāng)時，顯然不符合題意；當(dāng)，由，得，因為的值域為，所以，解得，故選：C8．（2223高一下·遼寧遼陽·期末）已知函數(shù)在上的最小值為，則的值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【解析】因為，所以．由于函數(shù)在上的最小值為，則在上的最小值為，又所以，解得．故選：C.二、填空題9．（2324高一下·安徽亳州·月考）函數(shù)的最小值為.【答案】【解析】令，，，結(jié)合二次函數(shù)圖象知，當(dāng)，即，時，有最小值，所以.故答案為：10．（2324高一下·安徽蚌埠·月考）已知函數(shù)，，則其值域為.【答案】【解析】令，，顯然在上單調(diào)遞增，因此，，則原函數(shù)化為：，而在上單調(diào)遞增，于是當(dāng)，即時，，當(dāng)，即時，，所以原函數(shù)的值域為.故答案為：11．（2324高一下·江蘇南通·月考）已知函數(shù)，則的最小值為.【答案】【解析】由，因，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，.故答案為：.12．（2324高一上·廣東廣州·期末）函數(shù)在區(qū)間上的值域是．【答案】【解析】令，因為，，所以，，設(shè)，顯然一元二次函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，所以函數(shù)的值域為.故答案為：.13．（2324高一下·江西南昌·月考）函數(shù)的值域為．【答案】【解析】令，，則，即，所以，又因為，所以，即函數(shù)的值域為．故答案為：.14．（2324高一上·安徽阜陽·期末）函數(shù)在區(qū)間上的最小值為.【答案】1【解析】，由，得，所以，令，則在上單調(diào)遞減，所以時，y取最小值1，故的最小值為1．故答案為：1.15．（2324高一上·湖北荊州·期末）若函數(shù)的