重慶市南開中學2025年初三3月第一次綜合練習（一模）數學試題含解析

重慶市南開中學2025年初三3月第一次綜合練習（一模）數學試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．若，代數式的值是A．0 B． C．2 D．2．如圖，把一張矩形紙片ABCD沿EF折疊后，點A落在CD邊上的點A′處，點B落在點B′處，若∠2=40°，則圖中∠1的度數為（）A．115° B．120° C．130° D．140°3．計算－5x2－3x2的結果是()A．2x2 B．3x2 C．－8x2 D．8x24．如圖，在△ABC中，EF∥BC，AB=3AE，若S四邊形BCFE=16，則S△ABC=（）A．16 B．18 C．20 D．245．若式子在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是（）A．x＞1 B．x＞﹣1 C．x≥1 D．x≥﹣16．如果兩圓只有兩條公切線,那么這兩圓的位置關系是()A．內切 B．外切 C．相交 D．外離7．已知是一個單位向量，、是非零向量，那么下列等式正確的是（）A． B． C． D．8．的相反數是（）A． B．2 C． D．9．若實數a，b滿足|a|＞|b|，則與實數a，b對應的點在數軸上的位置可以是（）A． B． C． D．10．被譽為“中國天眼”的世界上最大的單口徑球面射電望遠鏡FAST的反射面總面積約為250000m2，則250000用科學記數法表示為()A．25×104m2 B．0.25×106m2 C．2.5×105m2 D．2.5×106m211．下列二次根式，最簡二次根式是()A．8 B．12 C．5 D．12．老師隨機抽查了學生讀課外書冊數的情況，繪制成條形圖和不完整的扇形圖，其中條形圖被墨跡遮蓋了一部分，則條形圖中被遮蓋的數是（）A．5 B．9 C．15 D．22二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分．）13．關于x的一元二次方程（k-1）x2+6x+k2-k=0的一個根是0，則k的值是______．14．化簡__________．15．某種藥品原來售價100元，連續(xù)兩次降價后售價為81元，若每次下降的百分率相同，則這個百分率是．16．－3的倒數是___________17．如圖，已知AE∥BD，∠1=130°，∠2=28°，則∠C的度數為____．18．如圖，等邊三角形ABC內接于⊙O，若⊙O的半徑為2，則圖中陰影部分的面積等于_______．三、解答題：（本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．19．（6分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC為直徑的⊙O交AB于點D，過點D作⊙O的切線DE交AC于點E．（1）求證：∠A＝∠ADE；（2）若AB＝25，DE＝10，弧DC的長為a，求DE、EC和弧DC圍成的部分的面積S．（用含字母a的式子表示）．20．（6分）濟南國際滑雪自建成以來，吸引大批滑雪愛好者，一滑雪者從山坡滑下，測得滑行距離y（單位：m）與滑行時間x（單位：s）之間的關系可以近似的用二次函數來表示．滑行時間x/s0123…滑行距離y/m041224…（1）根據表中數據求出二次函數的表達式．現測量出滑雪者的出發(fā)點與終點的距離大約840m，他需要多少時間才能到達終點？將得到的二次函數圖象補充完整后，向左平移2個單位，再向下平移5個單位，求平移后的函數表達式．21．（6分）如圖，AB為⊙O的直徑，點D、E位于AB兩側的半圓上，射線DC切⊙O于點D，已知點E是半圓弧AB上的動點，點F是射線DC上的動點，連接DE、AE，DE與AB交于點P，再連接FP、FB，且∠AED＝45°．求證：CD∥AB；填空：①當∠DAE＝時，四邊形ADFP是菱形；②當∠DAE＝時，四邊形BFDP是正方形．22．（8分）工人小王生產甲、乙兩種產品，生產產品件數與所用時間之間的關系如表：生產甲產品件數（件）生產乙產品件數（件）所用總時間（分鐘）10103503020850（1）小王每生產一件甲種產品和每生產一件乙種產品分別需要多少分鐘？（2）小王每天工作8個小時，每月工作25天．如果小王四月份生產甲種產品a件（a為正整數）．①用含a的代數式表示小王四月份生產乙種產品的件數；②已知每生產一件甲產品可得1.50元，每生產一件乙種產品可得2.80元，若小王四月份的工資不少于1500元，求a的取值范圍．23．（8分）計算：2tan45°-（-）o-24．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC為直徑的⊙O交AB于點D，切線DE交AC于點E.（1）求證：∠A=∠ADE；（2）若AD=8，DE=5，求BC的長．25．（10分）如圖1，2分別是某款籃球架的實物圖與示意圖，已知底座BC=0.60米，底座BC與支架AC所成的角∠ACB=75°，支架AF的長為2.50米米，籃板頂端F點到籃框D的距離FD=1.35米，籃板底部支架HF與支架AF所成的角∠FHE=60°，求籃框D到地面的距離（精確到0.01米）.（參考數據：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，，）26．（12分）如圖所示，小王在校園上的A處正面觀測一座教學樓墻上的大型標牌，測得標牌下端D處的仰角為30°，然后他正對大樓方向前進5m到達B處，又測得該標牌上端C處的仰角為45°．若該樓高為16.65m，小王的眼睛離地面1.65m，大型標牌的上端與樓房的頂端平齊．求此標牌上端與下端之間的距離（≈1.732，結果精確到0.1m）．27．（12分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數y=kx+b（k≠0）的圖象與反比例函數y=（m≠0）的圖象交于第二、四象限內的A、B兩點，與x軸交于點C，點A（﹣2，3），點B（6，n）．(1)求該反比例函數和一次函數的解析式；(2)求△AOB的面積；(3)若M（x1，y1），N（x2，y2）是反比例函數y=（m≠0）的圖象上的兩點，且x1＜x2，y1＜y2，指出點M、N各位于哪個象限．

參考答案一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1、D【解析】

由可得，整體代入到原式即可得出答案．【詳解】解：，

，

則原式．

故選：D．本題主要考查整式的化簡求值，熟練掌握整式的混合運算順序和法則及代數式的求值是解題的關鍵．2、A【解析】解：∵把一張矩形紙片ABCD沿EF折疊后，點A落在CD邊上的點A′處，點B落在點B′處，∴∠BFE=∠EFB'，∠B'=∠B=90°．∵∠2=40°，∴∠CFB'=50°，∴∠1+∠EFB'﹣∠CFB'=180°，即∠1+∠1﹣50°=180°，解得：∠1=115°，故選A．3、C【解析】

利用合并同類項法則直接合并得出即可．【詳解】解：故選C.此題主要考查了合并同類項，熟練應用合并同類項法則是解題關鍵．4、B【解析】【分析】由EF∥BC，可證明△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性質即可求出S△ABC的值．【詳解】∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AB=3AE，∴AE：AB=1：3，∴S△AEF：S△ABC=1：9，設S△AEF=x，∵S四邊形BCFE=16，∴，解得：x=2，∴S△ABC=18，故選B．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，熟練掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解本題的關鍵.5、A【解析】

直接利用二次根式有意義的條件分析得出答案．【詳解】∵式子在實數范圍內有意義，∴x﹣1＞0，解得：x＞1．故選：A．此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確把握定義是解題關鍵．6、C【解析】

兩圓內含時，無公切線；兩圓內切時，只有一條公切線；兩圓外離時，有4條公切線；兩圓外切時，有3條公切線；兩圓相交時，有2條公切線．【詳解】根據兩圓相交時才有2條公切線．故選C．本題考查了圓與圓的位置關系．熟悉兩圓的不同位置關系中的外公切線和內公切線的條數．7、B【解析】

長度不為0的向量叫做非零向量，向量包括長度及方向，而長度等于1個單位長度的向量叫做單位向量，注意單位向量只規(guī)定大小沒規(guī)定方向，則可分析求解．【詳解】A.由于單位向量只限制長度，不確定方向，故錯誤；B.符合向量的長度及方向，正確；C.得出的是a的方向不是單位向量，故錯誤；D.左邊得出的是a的方向，右邊得出的是b的方向，兩者方向不一定相同，故錯誤.故答案選B.本題考查的知識點是平面向量，解題的關鍵是熟練的掌握平面向量.8、B【解析】

根據相反數的性質可得結果.【詳解】因為-2+2=0，所以﹣2的相反數是2，故選B．本題考查求相反數，熟記相反數的性質是解題的關鍵.9、D【解析】

根據絕對值的意義即可解答．【詳解】由|a|＞|b|，得a與原點的距離比b與原點的距離遠，只有選項D符合，故選D．本題考查了實數與數軸，熟練運用絕對值的意義是解題關鍵．10、C【解析】

科學記數法的表示形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，n為整數．【詳解】解：由科學記數法可知：250000m2=2.5×105m2，故選C．此題考查科學記數法表示較大的數的方法，準確確定a與n值是關鍵．11、C【解析】

檢查最簡二次根式的兩個條件是否同時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是．【詳解】A、被開方數含開的盡的因數，故A不符合題意；B、被開方數含分母，故B不符合題意；C、被開方數不含分母；被開方數不含能開得盡方的因數或因式，故C符合題意；D、被開方數含能開得盡方的因數或因式，故D不符合題意.故選C．本題考查最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個條件：被開方數不含分母；被開方數不含能開得盡方的因數或因式．12、B【解析】

條形統(tǒng)計圖是用線段長度表示數據，根據數量的多少畫成長短不同的矩形直條，然后按順序把這些直條排列起來．扇形統(tǒng)計圖是用整個圓表示總數用圓內各個扇形的大小表示各部分數量占總數的百分數．通過扇形統(tǒng)計圖可以很清楚地表示出各部分數量同總數之間的關系．用整個圓的面積表示總數（單位1），用圓的扇形面積表示各部分占總數的百分數．【詳解】課外書總人數：6÷25%＝24（人），看5冊的人數：24﹣5﹣6﹣4＝9（人），故選B．本題考查了統(tǒng)計圖與概率，熟練掌握條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖是解題的關鍵．二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分．）13、2．【解析】試題解析：由于關于x的一元二次方程的一個根是2，把x=2代入方程，得，解得，k2=2，k2=2當k=2時，由于二次項系數k﹣2=2，方程不是關于x的二次方程，故k≠2．所以k的值是2．故答案為2．14、【解析】

根據分式的運算法則先算括號里面，再作乘法亦可利用乘法對加法的分配律求解．【詳解】解：法一、=（-）==2-m．

故答案為：2-m．

法二、原式===1-m+1

=2-m．

故答案為：2-m．本題考查分式的加減和乘法，解決本題的關鍵是熟練運用運算法則或運算律．15、10%．【解析】

設平均每次降價的百分率為，那么第一次降價后的售價是原來的，那么第二次降價后的售價是原來的，根據題意列方程解答即可.【詳解】設平均每次降價的百分率為，根據題意列方程得，，解得，（不符合題意，舍去），答：這個百分率是.故答案為.本題考查一元二次方程的應用，要掌握求平均變化率的方法.若設變化前的量為，變化后的量為，平均變化率為，則經過兩次變化后的數量關系為.16、【解析】

乘積為1的兩數互為相反數，即a的倒數即為，符號一致【詳解】∵－3的倒數是∴答案是17、22°【解析】

由AE∥BD，根據平行線的性質求得∠CBD的度數，再由對頂角相等求得∠CDB的度數，繼而利用三角形的內角和等于180°求得∠C的度數．【詳解】解：∵AE∥BD，∠1=130°，∠2=28°，∴∠CBD=∠1=130°，∠CDB=∠2=28°，∴∠C=180°﹣∠CBD﹣∠CDB=180°﹣130°﹣28°=22°．故答案為22°本題考查了平行線的性質，對頂角相等及三角形內角和定理．熟練運用相關知識是解決問題的關鍵．18、【解析】

分析：題圖中陰影部分為弓形與三角形的和，因此求出扇形AOC的面積即可，所以關鍵是求圓心角的度數.本題考查組合圖形的求法.扇形面積公式等.詳解：連結OC，∵△ABC為正三角形，∴∠AOC==120°，∵,∴圖中陰影部分的面積等于∴S扇形AOC=即S陰影=cm2.故答案為.點睛：本題考查了等邊三角形性質，扇形的面積，三角形的面積等知識點的應用，關鍵是求出∠AOC的度數，主要考查學生綜合運用定理進行推理和計算的能力.三、解答題：（本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．19、（1）見解析；（2）75﹣a.【解析】

（1）連接CD，求出∠ADC=90°，根據切線長定理求出DE=EC，即可求出答案；（2）連接CD、OD、OE，求出扇形DOC的面積，分別求出△ODE和△OCE的面積，即可求出答案【詳解】（1）證明：連接DC，∵BC是⊙O直徑，∴∠BDC=90°，∴∠ADC=90°，∵∠C=90°，BC為直徑，∴AC切⊙O于C，∵過點D作⊙O的切線DE交AC于點E，∴DE=CE，∴∠EDC=∠ECD，∵∠ACB=∠ADC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∠ADE+∠EDC=90°，∴∠A=∠ADE；（2）解：連接CD、OD、OE，∵DE=10，DE=CE，∴CE=10，∵∠A=∠ADE，∴AE=DE=10，∴AC=20，∵∠ACB=90°，AB=25，∴由勾股定理得：BC===15，∴CO=OD=，∵的長度是a，∴扇形DOC的面積是×a×=a，∴DE、EC和弧DC圍成的部分的面積S=××10+×10﹣a=75﹣a．本題考查了圓周角定理，切線的性質，切線長定理，等腰三角形的性質和判定，勾股定理，扇形的面積，三角形的面積等知識點，能綜合運用知識點進行推理和計算是解此題的關鍵．20、（1）20s；（2）【解析】

（1）利用待定系數法求出函數解析式，再求出y＝840時x的值即可得；（2）根據“上加下減，左加右減”的原則進行解答即可．【詳解】解：（1）∵該拋物線過點（0，0），∴設拋物線解析式為y＝ax2+bx，將（1，4）、（2，12）代入，得：，解得：，所以拋物線的解析式為y＝2x2+2x，當y＝840時，2x2+2x＝840，解得：x＝20（負值舍去），即他需要20s才能到達終點；（2）∵y＝2x2+2x＝2（x+）2﹣，∴向左平移2個單位，再向下平移5個單位后函數解析式為y＝2（x+2+）2﹣﹣5＝2（x+）2﹣．本題主要考查二次函數的應用，解題的關鍵是掌握待定系數法求函數解析式及函數圖象平移的規(guī)律．21、（1）詳見解析；（2）①67.5°；②90°．【解析】

（1）要證明CD∥AB，只要證明∠ODF＝∠AOD即可，根據題目中的條件可以證明∠ODF＝∠AOD，從而可以解答本題；（2）①根據四邊形ADFP是菱形和菱形的性質，可以求得∠DAE的度數；②根據四邊形BFDP是正方形，可以求得∠DAE的度數．【詳解】（1）證明：連接OD，如圖所示，∵射線DC切⊙O于點D，∴OD⊥CD，即∠ODF＝90°，∵∠AED＝45°，∴∠AOD＝2∠AED＝90°，∴∠ODF＝∠AOD，∴CD∥AB；（2）①連接AF與DP交于點G，如圖所示，∵四邊形ADFP是菱形，∠AED＝45°，OA＝OD，∴AF⊥DP，∠AOD＝90°，∠DAG＝∠PAG，∴∠AGE＝90°，∠DAO＝45°，∴∠EAG＝45°，∠DAG＝∠PEG＝22.5°，∴∠EAD＝∠DAG+∠EAG＝22.5°+45°＝67.5°，故答案為：67.5°；②∵四邊形BFDP是正方形，∴BF＝FD＝DP＝PB，∠DPB＝∠PBF＝∠BFD＝∠FDP＝90°，∴此時點P與點O重合，∴此時DE是直徑，∴∠EAD＝90°，故答案為：90°．本題考查菱形的判定與性質、切線的性質、正方形的判定，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用菱形的性質和正方形的性質解答．22、（1）小王每生產一件甲種產品和每生產一件乙種產品分別需要15分鐘、20分鐘；（2）①600-；②a≤1．【解析】

（1）設生產一件甲種產品和每生產一件乙種產品分別需要x分鐘、y分鐘，根據圖示可得：生產10件甲產品，10件乙產品用時350分鐘，生產30件甲產品，20件乙產品，用時850分鐘，列方程組求解；（2）①根據生產一件甲種產品和每生產一件乙種產品分別需要的時間關系即可表示出結果；②根據“小王四月份的工資不少于1500元”即可列出不等式.【詳解】（1）設生產一件甲種產品需x分鐘，生產一件乙種產品需y分鐘，由題意得：，解這個方程組得：，答：小王每生產一件甲種產品和每生產一件乙種產品分別需要15分鐘、20分鐘；（2）①∵生產一件甲種產品需15分鐘，生產一件乙種產品需20分鐘，∴一小時生產甲產品4件，生產乙產品3件，所以小王四月份生產乙種產品的件數：3（25×8﹣）=600-；②依題意：1.5a+2.8(600-)≥1500，1680﹣0.6a≥1500，解得：a≤1.本題考查了二元一次方程組的應用、一元一次不等式的應用，正確理解題意，找準題中的等量關系列出方程組、不等關系列出不等式是解題的關鍵.23、2-【解析】

先求三角函數，再根據實數混合運算法計算.【詳解】解：原式=2×1-1-=1+1-=2-此題重點考察學生對三角函數值的應用，掌握特殊角的三角函數值是解題的關鍵.24、（1）見解析（2）7.5【解析】

（1）只要證明∠A+∠B=90°，∠ADE+∠B=90°即可解決問題；（2）首先證明AC=2DE=10，在Rt△ADC中，求得DC=6，設BD=x,在Rt△BDC中，BC2=x2+62,在Rt△ABC中，BC2=(x+8)2-102,可得x2+62=(x+8)2-102,解方程即可解決問題.【詳解】（1）證明：連接OD，∵DE是切線，∴∠ODE=90°，∴∠ADE+∠BDO=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵OD=OB，∴∠B=∠BDO，∴∠A=∠ADE；（2）連接CD，∵∠A=∠ADE∴AE=DE，∵BC是⊙O的直徑，∠ACB=90°，∴EC是⊙O的切線，∴ED=EC,∴AE=EC,∵DE=5，∴AC=2DE=10，在Rt△ADC中，DC=，設BD=x,在Rt△BDC中，BC2=x2+62,在Rt△ABC中，BC2=(x+8)2-102,∴x2+62=(x+8)2-102,解得x=4.5，∴BC=此題主要考查圓的切線問題，解題的關鍵是熟知切線的性質.2