（中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)）第21章 一元二次方程 同步學(xué)案

21.1一元二次方程

21.1.1一元二次方程

[■概念課」一元二次方程的定義

學(xué)習(xí)目標

□理解并掌握一元二次方程的定義

引導(dǎo)問題1什么是一元二次方程？你能舉出一個例子嗎？

1.形如f+3x=18的，等號兩邊都是,只含有個未知數(shù)，并且未知數(shù)的

最高次數(shù)是的方程，叫做一元二次方程.

2.請舉一個視頻中未出現(xiàn)的一元二次方程的例子.

3.f+1是一元二次方程嗎？________,原因是_________________________.

2x

引導(dǎo)問題2判斷一元二次方程有哪些注意事項？

判斷一元二次方程時，首先要進行.

4.X(X+2)="2—4是一元二次方程嗎？,原因是.

5.①法+。=0是關(guān)于x的一元二次方程的條件是,二次項的系數(shù)不能為

②(m—3)V+3x=6是關(guān)于x的一元二次方程的條件是

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「概念課」方程的一般形式

學(xué)習(xí)目標

□理解一元二次方程的一般形式

□學(xué)會將一元二次方程整理成一般形式

引導(dǎo)問題1什么是一元二次方程的一般式？

1.就是一元二次方程的.其中二次項是,一次項是

,常數(shù)項是.

2.二次項系數(shù)。=5,一次項系數(shù)b=-2,常數(shù)項c=-l的一元二次方程是

3.《爐+9=0的二次項系數(shù)是______,一次項系數(shù)是________，常數(shù)項是________.

2

引導(dǎo)問題2如何將一個一元二次方程整理成一般形式？

整理方法與解一元一次方程類似，包含去分母、去括號、移項、合并同類項等，結(jié)果中等號

左邊要按x的(填寫“升嘉”或“降幕”)排列

①將5-3x=-2x2化為一般式，得.

②將x(x-2)=4x2-3x化為一般式，得.

x~r+1-x—1

③將彳一一丁二一^化為一般式，得________________________.

322

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「概念課」一元二次方程的解

學(xué)習(xí)目標

□學(xué)會應(yīng)用一元二次方程的解

引導(dǎo)問題1什么是一元二次方程的解？

1.使一元二次方程左右兩邊相等的的值就是這個一元二次方程的解，一元二次方

程的解也叫做一元二次方程的.

2.一元二次方程的解既有可能是，也有可能是,它們統(tǒng)稱方程的

3.括號中的哪些數(shù)是方程/一工=0的解？（-1；0；1；2）.它們叫做方程的

引導(dǎo)問題2一元二次方程的根有哪些應(yīng)用？

4.關(guān)于x的方程V一小+4=0的一個根是2,帆的值是多少？

第一步：把根帶入原方程.

第二步：解新方程.

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21.2解一元二次方程

21.2.1配方法

「概念課」直接開平方法

學(xué)習(xí)目標

□理解并掌握用直接開平方法解一元二次方程

引導(dǎo)問題1如何解簡單的一元二次方程？

①已知爐=25,則工=；

②已知(X+1)2=9,如X=?

1.在解一元二次方程的過程中，尢論哪種方法都會用到的轉(zhuǎn)化思想，降低了

的次數(shù)，也就降低了解方程的難度.

引導(dǎo)問題2什么是直接開平方法？

2.一般地，運用的定義直接開平方求出一元二次方程的解的方法，叫做直接開平

方法.

3.具體方法是將方程整理成(廄+匕)2=。的形式.

①(?+力丫=正數(shù)，貝］方程.

②(然+匕了=0,則方程.

+))2=負數(shù)，貝j方程.

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「概念課」配完全平方

學(xué)習(xí)目標

□能夠運用完全平方公式配完全平方

引導(dǎo)問題1如何配完全平方式？

1.我們曾經(jīng)學(xué)過的完全平方公式：,它有另一種寫法：

22

x±2bx+b=(x±bff表示x的二次項系數(shù)為的完全平方式，b表示

.配完全平方式(簡稱：)主要是根據(jù)這個式子進行的.

2.將橫線中填入數(shù)字使式子變成完全平方式.

(Dx2+2x+=(x)2；(2)X2+8X+=(x)2；

③f-6x+=(x)2.

引導(dǎo)問題2配完全平方式有什么規(guī)律？

3.在未知數(shù)的二次項系數(shù)為1時，配方所需的常數(shù)項是,寫在完

全平方括號里的數(shù)是.二次項系數(shù)不為1時要先將二次項

,再按上面的步驟配方.

4.將橫線中填入數(shù)字使式子變成完全平方式.

(Dx2-—|x)；(Dx2++=(x);

(3)X2-6X+=(x)2.

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「概念課」配方法

學(xué)習(xí)目標

□理解并掌握用配方法解一元二次方程

引導(dǎo)問題1如何用配方法解一元二次方程？

1.解方程2X2+X-8=0.

第一步：移項.將方程中原有的常數(shù)項移到等號右邊.

得：

第二步：系數(shù)化一.將項系數(shù)化一.

得：

第三步：配方.運用配方法將等號左邊變成+的形式.

得：

第四步：開方.運用平方根的定義求出方程的根.

得：

2.運用上面的步驟解方程4爐+20x+25=0.

移項.

系數(shù)化一.

配方.

開方.

3.根據(jù)配方后等號右邊的情況判斷根的個數(shù).

(1+右丫=正

(x+Z>)2=0

(x+/?y=負

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21.2.2公式法

「概念課」推導(dǎo)求根公式

學(xué)習(xí)目標

□理解并掌握一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程

引導(dǎo)問題1什么是一元二次方程的求根公式？

1.將方程化為一般形式（々W0）,將a,b,c代入式子不=

得到方程的根，這個式子就叫做一元二次方程的求根公式.

引導(dǎo)問題2如何推導(dǎo)一元二次方程的求根公式？

2.求根公式是由一元二次方程的一般式經(jīng)過法得到的.

3.給ar2+Z?x+c=O（aHO）配方：

第一步：移項.得：ax2+bx=.

第二步：系數(shù)化一.得：x2+=.

第三步：配方.得：

當〃-4acN0時

第四步：開方.得：

4.把方程2f+5_r-3=0中適當?shù)南禂?shù)代入求根公式，得玉=,x2=

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「概念課」根的判別式

學(xué)習(xí)目標

□會使用根的判別式判斷方程根的情況

引導(dǎo)問題1什么是根的判別式？

1.求根公式工=中，根號下面的式子，叫做根的判別式，用希臘

字母表示.

引導(dǎo)問題2如何用根的判別式判斷根的情況?

2.A的值與方程根的情況有什么關(guān)系？

方程A與0比在2a中根的情況

x2+x+l=0

x2+2x+l=0

X2+2X-1=0

3.方程f—7x+100=0的根的情況是.

引導(dǎo)問題3根的判別式有哪些應(yīng)用？

4.關(guān)于x的一元二次方程依2-6工+1=0伏工0）有兩個不相等的實數(shù)根，求攵的取值范圍.

由題意得A=_______=_>0,解得.攵的取值范圍是

5.方程中的。與c異號，根的情況為.

方程A=若根的命運

A<0

ar2+fex+c=0（4w0）A=0

A>0

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「概念課」公式法

學(xué)習(xí)目標

□理解并掌握用公式法解一元二次方程

引導(dǎo)問題1如何用公式法解一元二次方程？(00:00-04:29)

1.用公式法解方程：2/—44-1=0.

第一步：確定a,b,(?的值.得々=,b=,c=.

第二步：代入判別式.得△=〃-4ac==,A0.

第三步：代入求根公式.若ANO,代入求根公式求得實數(shù)根；若A<0,方程沒有實數(shù)

根.得：

引導(dǎo)問題2什么樣的一元二次方程適合用公式法求解?

2.①無法進行因式分解的方程.

②二次項系數(shù)不為,配方時較麻煩的方程.

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「解題課」判斷方程解的情況

能力目標

□判斷含參方程解的情況

拔高練習(xí)

I.k為任意實數(shù)，判斷關(guān)于x的方程的解的情況：（2k+2）x+2%=0.

攻略

1.計算判別式A

2.和o比大小

?3

2.W為任意實數(shù)，判斷關(guān)于X的方程+；m2+1+9=0的解的情況.

222

攻略

L計算判別式A

2.和o比大小

3.若5女+20<0,判斷關(guān)于x的一元二次方程f+4x-A=0的解的情況.

攻略

I.計匏判別式A

2.和0比大小

4.%為任意實數(shù)，判斷關(guān)于X的方程一（34一1卜+2（左一1）=0的解的情況.

攻略

I.計算判別式A

2.和0比大小

「解題課」根據(jù)解的情況求參數(shù)

能力目標

□會用判別式求參數(shù)的取值范圍

拔高練習(xí)

1.已知關(guān)于X的一元二次方程/+2工一〃=0有兩個不相等的實數(shù)根，求攻略

1.分析解的情況

々的取值范圍.2得到判別式與

o的大小

3.解方程/不等式

2.已知關(guān)于X的一元二次方程f+2x—4=0有兩個相等的實數(shù)根，求a求參數(shù)

的取值范闈.

3.已知關(guān)于x的一元二次方程d+2x—a=0無實數(shù)根，求a的取值范圍.

4.已知關(guān)于x的一元二次方程％2-（4帆+1）3+3m2+m=。有實數(shù)根，求

攻略

利的取值范圍.

1.分析解的情況

2.得到判別式與

0的大小

3.解方程/不等式

求參數(shù)

關(guān)于x的方程/+（l+：）x+*=（）有兩個不相等的實數(shù)根，求女的取

值范圍.

「解題課」分類討論解的情況

能力目標

□會用判別式求參數(shù)值

□會分類討論二次項系數(shù)

拔高練習(xí)

I.如果關(guān)于X的方程一(6+2)]+1=0有兩個實數(shù)根，求利的取值范圍.

攻略

討論二次項系數(shù)

是否為0

2.已知關(guān)于x的方程H2+(2A+3)X+(A+1)=0,則k取何值時：①方程有兩個不等的實

數(shù)根？②方程有兩個實數(shù)根？③方程沒有實數(shù)根？④方程有實數(shù)根?攻略

i.討論二次項系

數(shù)是否為0

2.利用解的情況

得出判別式符

21.2.3因式分解法

「概念課」因式分解法

學(xué)習(xí)目標

□理解并掌握用因式分解法解一元二次方程

引導(dǎo)問題1什么是因式分解法？

1.解一元二次方程時，先,使方程化為兩個一次式的乘積等于的形式，

再使這兩個一次式分別等于,從而實現(xiàn)降次.這種解一元二次方程的方法叫做

因式分解法.并不是所有一元二次方程都能用因式分解法.

2.用因式分解法解方程7/-2Ax=0.

第一步：因式分解.將所有項移到等號左邊，使等號右邊得0.提出公因式,

得：

第二步：讓兩個因式分別等于0.得：

第三步：得出結(jié)果.得：

3.按上面的步驟解方程X2+5X=O.

引導(dǎo)問題2因式分解的方法有哪些？

4.除了提公因式，還可以運用方法和、公式進行因式分解.

5.用因式分解法解方程：①d—i6x+60=0；(Z)2X2-13X-15=O.

提出疑問預(yù)習(xí)過程中還有什么疑問沒有解決呢？請你將有疑問的問題記錄下來:

「解題課」活用降次解方程

能力目標

□會運用“先特殊后一般”的方法解方程

拔高練習(xí)

1.解方程/-53+6=0.

攻略

先特殊,后一般

1.特殊方法

2.解方程%2一5%-1=0.直接開平方法

因式分解法

2.一股方法

配方法

公式法

3.解方程-8)=-16.

4.解方程2x(x+7)=3(x+7).

5.解方程x(x—5)=6x+12.

「解題課」解含參方程

能力目標

□學(xué)會用公式法解含參方程

□學(xué)會用因式分解法解含參方程

拔高練習(xí)

I.解關(guān)于X的方程：

攻略

解含參方程

1.系數(shù)、常數(shù)項

為單項式：

公式法

2.系數(shù)與常數(shù)

2.解關(guān)于x的方程：x2-2mx-n2=0（/n>w>0）.項為多項式：

因式分解法

3.解關(guān)于x的方程：％2+（利+2）久+2機=0.

4.解關(guān)于工的方程：x2+（2/w-l）x+/w2-m=0.

5.解關(guān)于x的方程：（加十2）/+2x—m=0（〃7工一2）

6.解關(guān)于X的方程：伏2一1卜2―2"+1=0（2W±1）.

「解題課」分類討論解含參方程

能力目標

□會分類討論解關(guān)于X的方程：ar2+bx+c=O

拔高練習(xí)

1.解關(guān)于式的方程（4+1）/+（34-1）3+2左一2=0.

攻略

?.確定二次項系數(shù)

是否為o

2.為。：

解一元一次方程

不為o；

解一元二次方程

2.解關(guān)于文的方程（公+（2左-3）1-15=0.

21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

「概念課」根與系數(shù)的關(guān)系

學(xué)習(xí)目標

□理解并掌握韋達定理

引導(dǎo)問題1根與系數(shù)的關(guān)系是什么？什么是韋達定理？

1.如果王，X2是方程以，+瓜+。=0(々。0)的兩個根，那么X]+%2=，

.這兩個關(guān)系式稱為一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，被人們稱為韋達定理.

引導(dǎo)問題2如何推導(dǎo)韋達定理？

八g八八一3-b+\!b2-4ac-b-—4

2.求根公式可得：$=------------,x=----------------

2a22a

-b+>Jb2-4ac-b-y/b2-4ac

3.%1?x2

-b+yjb1-4ac)(-/?-J。2-4ac

“2二--------------V-----------------------=——

$X?=-------------=-------------

引導(dǎo)問題3韋達定理有什么應(yīng)用？

下列方程的解為陽，求芭+々和修，%的值.

4.x2,

(1)x2-2015x+1024=0；(2)2x2-12x+28=3.

提出疑問預(yù)習(xí)過程中還有什么疑問沒有解決呢？請你將有疑問的問題記錄下來:

「解題課」利用韋達定理求值

能力目標

□會運用韋達定理求值

拔高練習(xí)

1.已知方程了2-3%一5=0的兩個根為2，x2,求下列式子的值：

①xj+x??；（2）—3）（4X2—3）；③'+-!-；@—+—；0|x]-x2\.

攻略

韋達定理

i.先變形

把要求式子湊出

或

石演

2,再整體代入

「解題識」利用韋達定理求值進階

能力目標

□學(xué)會先降次，再使用韋達定理

1.已知方程丁一3工一5=0的兩個根為項，x2,求呼+勾的值.

2.已知西，”2是方程V+X—3=0的兩個根，求用3—4々2+19的值.

21.3.1實際問題與一元二次方程

「概念課」遞增遞減問題

學(xué)習(xí)目標

□能夠用一元二次方程解決增長(降低)率問題

引導(dǎo)問題1列方程解應(yīng)用題的基本步驟是什么？(00:00-00:48)

1.列方程解應(yīng)用題分為六步、、、、、.

引導(dǎo)問題2什么是遞增遞減問題？如何解決遞增遞減問題？(00:48?06:27)

2.遞增遞減問題通常是：在一段時間內(nèi)，一個數(shù)量按的速率增長或減小，已知變

化前后的數(shù)量.求率或率.

3.最近幾年智能手機的普及率穩(wěn)步提高.小李他們家所在的區(qū)，兩年前有8萬人使用智能手

機，今年有15.68萬人使用，每年增長率不變，求每年的增長率是百分之多少？

第一步：審題.看清題H已知和要求的量.

第二步：設(shè)X.設(shè)為X.

第三步：列方程.

第四步：解方程.

第五步：驗根.按實際情況驗根.

第六步：答題.

4.使用座機電話的人越來越少，小李家所在的區(qū)兩年前有20萬戶人家有座機，今年只有

18.05萬戶了，每年減少率不變，求每年的減少率是百分之多少？

5.遞增遞減問題可以總結(jié)出一個一般公式：現(xiàn)有量=x(l±)2.

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「概念課」薄利多銷問題

學(xué)習(xí)目標

□能夠用一元二次方程解決銷售利潤問題

引導(dǎo)問題1什么是薄利多銷問題？如何解決薄利多銷問題？

1.薄利多銷問題通常是：一種商品按現(xiàn)在的價錢能賣一部分，但______銷售能賣得更

多.盡管單個商品利潤少了一些，但_______會提高.不過如果降價過多，________也

會下降.

2.一款耳機賣一副的利潤是150元，現(xiàn)在每月銷量60副.市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每降價1元，平

均每月可多賣出1.2副，廠商要求最多降價70元.問要讓每月總利潤達到10920元，需

要降價多少？

第一步：審題.總利潤=x.

調(diào)價后總利潤=（原利潤-）x（+多賣的）.

第二步：設(shè)X.設(shè)為X.

第三步：列方程.

第四步：解方程.

第五步：驗根.按實際情況驗根.

第六步：答題.

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「概念課」圖案面積問題

學(xué)習(xí)目標

□能夠用一元二次方程解決面積問題

引導(dǎo)問題1什么是圖案面積問題？如何解決圖案面積問題？

1.圖案面積問題通常是：一個長方形，求它的面積.由于種種原因，這個長方形不是完整

的，會被各種間隔隔開，所以要先求出間隔的,才能解決問題.

2.智能手機的主頁面上排列著很多應(yīng)用軟件.比如一款智能手機的主頁面上最多可以放24

個應(yīng)用，每行4個，共6行.為了美觀和實用，行與行之間，列與列之間和屏幕四個邊緣,

都要留出空當.空當?shù)膶挾榷枷嗟?如果屏幕長100亳米，寬60亳米,

空當要設(shè)定成多寬才能把屏幕總面積的60%留給應(yīng)用呢？

第一步：審題.將間隔都放在一起，應(yīng)用都放在一起.

第二步：設(shè)X.設(shè)為X.

第三步：列方程.

第四步：解方程.

第五步：驗根.按實際情況驗根.

第六步：答題.□

提出疑問預(yù)習(xí)過程中還有什么疑問沒有解決呢？請你將有疑問的問題記錄下來:

「解題課」用韋達定理反求方程

能力目標

□會用韋達定理構(gòu)造方程

拔高練習(xí)

I.已知一個一元二次方程的兩個根為％=-2,電=5,寫出一個滿足要求的方程.

2.已知一個一元二次方程的兩個根為％=3+,%=3-77,寫出一個滿足要求的方程.

「解題課」用韋達定理求參數(shù)

能力目標

□會利用韋達定理列方程

□會解含參方程組

□掌握降次法

拔高練習(xí)

1.已知關(guān)于X的方程丁+4工+。=0有兩個實數(shù)根X、出，且2為-電=7,求實數(shù)a的值.

3

2.已知為、“2是關(guān)于X的方程4/一（3機一5）工一6根2=0的兩個實數(shù)根，且％=-512,

求利的值.

3.設(shè)左為實數(shù)，關(guān)于x的一元二次方程/+衣+%+1=0的兩個實根分別為陽、%2,且

2

X]+2X2=k,求力的值.

「解題課」二次方程與代數(shù)式求值

能力目標

□會根據(jù)已知解求參數(shù)

□會通過直接代入法、整體法或降次求值

拔高練習(xí)

I.已知0是關(guān)于X的二次方程（加一2）*2+3%+m2+26一8=0的解，求I嬴

?.直接代入

2.整體法

代數(shù)式~;的值.

m~一2m+13.降次

已知x=1是關(guān)于x的一元二次方程x2-4mx+m2=0的根，求代數(shù)式

2Mm_2）-（愣+6）（機-6）的值.

3.已知a是方程f-3x+l=0的一個解，求"一。2一5。+8的值.

「解題課」二次方程的整數(shù)解

能力目標

□會根據(jù)整數(shù)解求參數(shù)

拔高練習(xí)

1.己知關(guān)于X的方程如2+（3w+1卜+3=0有兩個整數(shù)解，求整數(shù)機.

攻略