2024-2025學(xué)年河北省唐山市高三上學(xué)期開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年河北省唐山市高三上學(xué)期開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題∶本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，則（）A.1 B. C.2 D.2.已知，則“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知向量，滿足，，且，則（）A. B. C.2 D.14.已知是定義在R上奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則此函數(shù)的值域為（）A. B.C. D.5.設(shè)甲袋中有3個紅球和4個白球，乙袋中有1個紅球和2個白球，現(xiàn)從甲袋中任取1球放入乙袋，再從乙袋中任取2球，記事件A=“從甲袋中任取1球是紅球”，事件B=“從乙袋中任取2球全是白球”，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.事件A與事件B相互獨立6.已知分別為雙曲線的左、右焦點，點是上一點，點滿足，，則的離心率為（）A. B. C. D.7.正四面體棱長為，點，是它內(nèi)切球球面上的兩點，為正四面體表面上的動點，當(dāng)線段最長時，的最大值為（）A. B. C. D.8.已知直線是曲線與曲線的公切線，則（）A.2 B. C. D.二、多選題（本大題共3小題）9.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為B.的圖象關(guān)于直線對稱C.的圖象關(guān)于點中心對稱D.的最大值為110.已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，，則（

）A.的圖像關(guān)于點成中心對稱B.C.D.11.已知橢圓：的左右焦點分別為、，點在橢圓內(nèi)部，點在橢圓上，橢圓的離心率為，則以下說法正確的是（）A.離心率的取值范圍為 B.當(dāng)時，的最大值為C.存在點，使得 D.的最小值為三、填空題（本大題共3小題）12.在二項式的展開式中的系數(shù)為______．13.已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在公共點處有相同的切線，則公共點坐標(biāo)為________.14.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，點P是的重心，且，則___________.四、解答題（本大題共5小題）15.已知數(shù)列是等差數(shù)列，且是數(shù)列的前項和.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和，求證.16.某市為了傳承發(fā)展中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，組織該市中學(xué)生進行了一次文化知識有獎競賽，競賽獎勵規(guī)則如下:得分在[70，80）內(nèi)的學(xué)生獲三等獎，得分在[80，90）內(nèi)的學(xué)生獲二等獎，得分在[90，100]內(nèi)的學(xué)生獲一等獎，其他學(xué)生不得獎.為了解學(xué)生對相關(guān)知識的掌握情況，隨機抽取100名學(xué)生的競賽成績，并以此為樣本繪制了樣本頻率分布直方圖，如圖所示.若該市所有參賽學(xué)生的成績X近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)的估計值，利用所得正態(tài)分布模型解決以下問題:（1）若該市共有10000名學(xué)生參加了競賽，試估計參賽學(xué)生中成績超過79分的學(xué)生數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）;（2）若從所有參賽學(xué)生中（參賽學(xué)生數(shù)大于10000）隨機抽取3名學(xué)生進行訪談，設(shè)其中競賽成績在64分以上的學(xué)生數(shù)為，求隨機變量的分布列和均值.附:若隨機變量X服從正態(tài)分布，則，，.17.如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點，P為AM上一點，過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.（1）證明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；（2）設(shè)O為△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直線B1E與平面A1AMN所成角的正弦值.18.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，求函數(shù)在區(qū)間上最大值．19.已知橢圓C：（）的離心率為，短軸長為，，分別為C的上、下頂點，直線：與C相交于M，N兩點，直線與相交于點P.（1）求C方程；（2）證明點P在定直線上，并求直線，，圍成的三角形面積的最小。2024-2025學(xué)年河北省唐山市高三上學(xué)期開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題∶本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，則（）A.1 B. C.2 D.【正確答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模計算公式計算可得.【詳解】因為，所以.故選：D2.已知，則“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】根據(jù)充分必要條件的判定,即可得解.【詳解】解不等式,可得或則由充分必要條件的判定可知“”是“”的充分不必要條件故選:A本題考查了充分必要條件的判斷,屬于基礎(chǔ)題.3.已知向量，滿足，，且，則（）A. B. C.2 D.1【正確答案】B【分析】由可得，再將兩邊平方，結(jié)合數(shù)量積的運算律計算可得.【詳解】因為，，所以，又，所以，即，所以，則，解得（負值已舍去）.故選：B4.已知是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則此函數(shù)的值域為（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】當(dāng)時，，進而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得當(dāng)時，，再結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)即可得答案.【詳解】解：因為當(dāng)時，因為，所以，所以，所以當(dāng)時，，又因為是定義在R上奇函數(shù)，故當(dāng)時，函數(shù)的值域為，故此函數(shù)的值域為.故選：A.本題考查指數(shù)冪的二次函數(shù)型的值域求解問題，考查運算求解能力，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于配方得，進而利用二次函數(shù)性質(zhì)與奇偶性性質(zhì)求解.5.設(shè)甲袋中有3個紅球和4個白球，乙袋中有1個紅球和2個白球，現(xiàn)從甲袋中任取1球放入乙袋，再從乙袋中任取2球，記事件A=“從甲袋中任取1球是紅球”，事件B=“從乙袋中任取2球全是白球”，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.事件A與事件B相互獨立【正確答案】C【分析】由古典概型概率計算公式，以及條件概率公式分項求解判斷即可.【詳解】現(xiàn)從甲袋中任取1球放入乙袋，再從乙袋中任取2球可知，從甲袋中任取1球?qū)σ掖腥稳?球有影響，事件A與事件B不是相互獨立關(guān)系，故D錯誤；從甲袋中任取1球是紅球的概率為：，從甲袋中任取1球是白球的概率為：，所以乙袋中任取2球全是白球的概率為：，故A錯誤；，故B錯誤；，故C正確；故選：C6.已知分別為雙曲線的左、右焦點，點是上一點，點滿足，，則的離心率為（）A. B. C. D.【正確答案】B【詳解】根據(jù)題意，過點作，交的延長線于點，由雙曲線的定義結(jié)合余弦定理代入計算，再由離心率的計算公式，即可得到結(jié)果.【分析】

由，得，．因為，所以點在線段上，且．如圖，過點作，交的延長線于點，則，所以，所以．設(shè)，則，所以．由雙曲線的定義可知，所以，則．設(shè)，則．在中，由余弦定理，得，即，所以，則（負值已舍去）．故選：B．關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵在于結(jié)合雙曲線的定義以及余弦定理代入計算.7.正四面體的棱長為，點，是它內(nèi)切球球面上的兩點，為正四面體表面上的動點，當(dāng)線段最長時，的最大值為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】設(shè)四面體的內(nèi)切球球心為，為的中心，為的中點，連接，則在上，連接，根據(jù)題意求出內(nèi)切球的半徑，當(dāng)為內(nèi)切球的直徑時，最長，再化簡可求得其最大值.【詳解】設(shè)正四面體的內(nèi)切球球心為，為的中心，為的中點，連接，則在上，連接，則.因為正四面體的棱長為3，所以，所以，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，則，，解得，當(dāng)為內(nèi)切球的直徑時最長，此時，，，因為為正四面體表面上的動點，所以當(dāng)為正四體的頂點時，最長，的最大值為，所以的最大值為.故選：C8.已知直線是曲線與曲線公切線，則（）A.2 B. C. D.【正確答案】A【分析】設(shè)是圖象上的切點，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線上的切點，繼而求出t的值，結(jié)合切線方程，即可求得答案.【詳解】由題意知直線是曲線與曲線的公切線，設(shè)是圖象上的切點，，所以在點處的切線方程為，即①令，解得，即直線與曲線的切點為，所以，即，解得或，當(dāng)時，①為，不符合題意，舍去，所以，此時①可化為，所以，故選：A二、多選題（本大題共3小題）9.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為B.的圖象關(guān)于直線對稱C.的圖象關(guān)于點中心對稱D.的最大值為1【正確答案】ABC【分析】求得最小正周期判斷A；求得最大值判斷B；求得對稱中心判斷C；求得對稱軸判斷D.【詳解】因為，所以的最小正周期為，故A正確；由，可得，所以圖象的對稱軸為，當(dāng)時，圖象的關(guān)于對稱，故B正確；由，可得，所以圖象的對稱中心為，當(dāng)時，圖象的關(guān)于點對稱，故C正確；當(dāng)時，的最大值為2，故D不正確.故選：ABC.10.已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，，則（

）A.的圖像關(guān)于點成中心對稱B.C.D.【正確答案】BCD【分析】對A、B，利用賦值法進行計算即可得；對C、D，利用賦值法后結(jié)合數(shù)列的性質(zhì)進行相應(yīng)的累加及等差數(shù)列公式法求和即可得.【詳解】對A：令，則有，即，令，則有，又f1=0，故，不關(guān)于1,0對稱，故A錯誤；對于B，令，則有，兩邊同時求導(dǎo)，得，令，則有，故B正確；對C：令，則有，即，則，故C正確；對D：令，則有，即，則，即，又，故，則，故D正確.故選：BCD.關(guān)鍵點點睛：本題C、D選項關(guān)鍵在于利用賦值法，結(jié)合數(shù)列的性質(zhì)進行相應(yīng)的累加及等差數(shù)列公式法求和.11.已知橢圓：的左右焦點分別為、，點在橢圓內(nèi)部，點在橢圓上，橢圓的離心率為，則以下說法正確的是（）A.離心率的取值范圍為 B.當(dāng)時，的最大值為C.存在點，使得 D.的最小值為【正確答案】ABD【分析】A項中需先解出的范圍，然后利用離心率的定義進行判斷；B項中根據(jù)橢圓定義轉(zhuǎn)化為求的最大值，從而進而判斷；C項中先求出點的軌跡方程，再判斷該軌跡圖形與橢圓是否有交點，從而進行判斷；D項中根據(jù)橢圓定義得，并結(jié)合基本不等式判斷.【詳解】對于A項：因為點在橢圓內(nèi)部，所以，得，，故A項正確；對于B項：，當(dāng)在軸下方時，且，，三點共線時，有最大值，由，得，，所以得，所以最大值，故B項正確；對于C項：設(shè)，若，即：，則得，即點在以原點為圓心，半徑為的圓上，又由A項知，得，又因為，得，所以得，所以該圓與橢圓無交點，故C項錯誤；對于D項：，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故D項正確.故選：ABD.三、填空題（本大題共3小題）12.在二項式的展開式中的系數(shù)為______．【正確答案】【分析】結(jié)合二項式定理展開式的通項公式得到的值，然后求解的系數(shù)即可.【詳解】展開式的通項公式為令，解得，則的系數(shù)為故13.已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在公共點處有相同的切線，則公共點坐標(biāo)為________.【正確答案】【分析】設(shè)公共點為，由，可得，進而利用導(dǎo)數(shù)可得，求解即可.【詳解】函數(shù)的定義域為，可得，由，設(shè)曲線與曲線的公共點為，由于在公共點處有共同的切線，所以，所以，由，可得，聯(lián)立可得，解得，所以，所以公共點坐標(biāo)為.故答案為.14.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，點P是的重心，且，則___________.【正確答案】或【分析】根據(jù)三角恒等變換可得或，利用重心的性質(zhì)、模的性質(zhì)及數(shù)量積得運算，可建立關(guān)于的方程，求解后利用余弦定理求a即可.【詳解】，整理得，解得或（舍去），或.又∵點P是的重心，，整理得.當(dāng)時，，得，此時，解得；當(dāng)時，，得，此時，解得.故或本題主要考查了三角恒等變換，向量的數(shù)量積運算法則、性質(zhì)，余弦定理，屬于難題.四、解答題（本大題共5小題）15.已知數(shù)列是等差數(shù)列，且是數(shù)列的前項和.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列前項和，求證.【正確答案】（1）（2）答案見解析【分析】（1）運用等差數(shù)列的公式和性質(zhì)求解即可；（2）先求出，再求出，后裂項相消，求出，結(jié)合不等式性質(zhì)證明即可.【小問1詳解】由于則，則，因此，故數(shù)列的通項公式為.【小問2詳解】由（1）知，，則，則，即.，由于，則，故成立.16.某市為了傳承發(fā)展中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，組織該市中學(xué)生進行了一次文化知識有獎競賽，競賽獎勵規(guī)則如下:得分在[70，80）內(nèi)的學(xué)生獲三等獎，得分在[80，90）內(nèi)的學(xué)生獲二等獎，得分在[90，100]內(nèi)的學(xué)生獲一等獎，其他學(xué)生不得獎.為了解學(xué)生對相關(guān)知識的掌握情況，隨機抽取100名學(xué)生的競賽成績，并以此為樣本繪制了樣本頻率分布直方圖，如圖所示.若該市所有參賽學(xué)生的成績X近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)的估計值，利用所得正態(tài)分布模型解決以下問題:（1）若該市共有10000名學(xué)生參加了競賽，試估計參賽學(xué)生中成績超過79分的學(xué)生數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）;（2）若從所有參賽學(xué)生中（參賽學(xué)生數(shù)大于10000）隨機抽取3名學(xué)生進行訪談，設(shè)其中競賽成績在64分以上的學(xué)生數(shù)為，求隨機變量的分布列和均值.附:若隨機變量X服從正態(tài)分布，則，，.【正確答案】（1）1587；（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為.【分析】（1）利用頻率分布直方圖求出，再由正態(tài)分布的對稱性求出，進而求出學(xué)生數(shù).（2）由（1）求出，再利用二項分布求出分布列及期望.【小問1詳解】由頻率分布直方圖知，各小矩形面積從左到右依次為，樣本平均數(shù)的估計值，則所有參賽學(xué)生的成績X近似服從正態(tài)分布，而，因此所以參賽學(xué)生中成績超過79分的學(xué)生數(shù)約為.【小問2詳解】由（1）知，，，即從所有參賽學(xué)生中隨機抽取1名學(xué)生，該學(xué)生競賽成績在64分以上的概率為，因此隨機變量服從二項分布，的可能值為0，1，2，3，則，，，，所以隨機變量的分布列為：0123P數(shù)學(xué)期望.17.如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點，P為AM上一點，過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.（1）證明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；（2）設(shè)O為△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直線B1E與平面A1AMN所成角的正弦值.【正確答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）由分別為，的中點，，根據(jù)條件可得，可證，要證平面平面，只需證明平面即可；（2）連接，先求證四邊形是平行四邊形，根據(jù)幾何關(guān)系求得，在截取，由（1）平面，可得為與平面所成角，即可求得答案.【詳解】（1）分別為，的中點，，又，，在中，為中點，則，又側(cè)面為矩形，，，，由，平面，平面，又，且平面，平面，平面，又平面，且平面平面，，又平面，平面，平面，平面平面.(2)[方法一]：幾何法如圖，過O作的平行線分別交于點，聯(lián)結(jié)，由于平面，平面，，平面，平面，所以平面平面．又因平面平面，平面平面，所以．因為，，，所以面．又因，所以面，所以與平面所成的角為．令，則，由于O為的中心，故．在中，，由勾股定理得．所以．由于，直線與平面所成角的正弦值也為．[方法二]【最優(yōu)解】：幾何法因為平面，平面平面，所以．因為，所以四邊形為平行四邊形．由（Ⅰ）知平面，則為平面的垂線．所以在平面的射影為．從而與所成角的正弦值即為所求．在梯形中，設(shè)，過E作，垂足為G，則．在直角三角形中，．[方法三]：向量法由（Ⅰ）知，平面，則為平面的法向量．因為平面，平面，且平面平面，所以．由（Ⅰ）知，即四邊形為平行四邊形，則．因為O為正的中心，故．由面面平行的性質(zhì)得，所以四邊形為等腰梯形．由P，N為等腰梯形兩底的中點，得，則．設(shè)直線與平面所成角為，，則．所以直線與平面所成角的正弦值．[方法四]：基底法不妨設(shè)，以向量為基底，從而，．，，則，．所以．由（Ⅰ）知平面，所以向量為平面的法向量．設(shè)直線與平面所成角，則．故直線與平面所成角的正弦值為．[方法五]：坐標(biāo)法過O過底面ABC的垂線，垂足為Q，以Q為坐標(biāo)原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，AO=AB=2，則，所以，所以易得為平面A1AMN的一個法向量，則直線B1E與平面A1AMN所成角的正弦值為【整體點評】(2)方法一：幾何法的核心在于找到線面角，本題中利用平行關(guān)系進行等價轉(zhuǎn)化是解決問題的關(guān)鍵；方法二：等價轉(zhuǎn)化是解決問題的關(guān)鍵，構(gòu)造直角三角形是求解角度的正弦值的基本方法；方法三：利用向量法的核心是找到平面的法向量和直線的方向向量，然后利用向量法求解即可；方法四：基底法是立體幾何的重要思想，它是平面向量基本定理的延伸，其關(guān)鍵之處在于找到平面的法向量和直線的方