2024-2025學(xué)年湖南省邵陽市高二上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含答案）

2024-2025學(xué)年湖南省邵陽市高二上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別是（）A．1，1 B．1，i C． D．2．已知向量，，，若，則（）A． B．0 C．1 D．23．如圖所示，梯形是平面圖形用斜二測(cè)畫法得到的直觀圖，，，則平面圖形的面積為（）A．2 B． C．3 D．4．已知向量，，則在方向上的投影數(shù)量為（）A． B． C． D．5．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)（）A．在區(qū)間上單調(diào)遞增 B．在區(qū)間上單調(diào)遞減C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．在區(qū)間上單調(diào)遞減6．已知，若方程在區(qū)間上恰有3個(gè)實(shí)根，則的取值范圍是（）A． B． C． D．7．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)專著，是“算經(jīng)十書”（漢唐之間出現(xiàn)的十部古算書）中非常重要的一部．在《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”．已知“塹堵”的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，且．若球的表面積為，則這個(gè)三棱柱的表面積是（）A． B． C． D．8．已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，的解析式為（）A． B．C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．同時(shí)拋出兩枚質(zhì)地均勻的骰子甲、乙，記事件：甲骰子點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，事件：乙骰子點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，事件：甲、乙骰子點(diǎn)數(shù)相同．下列說法正確的有（）A．事件與事件對(duì)立 B．事件與事件相互獨(dú)立C．事件與事件相互獨(dú)立 D．10．在中，角的對(duì)邊分別為，，，為的外心，則（）A．若有兩個(gè)解，則B．的取值范圍為C．的最大值為9D．若為平面上的定點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為★11．為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形的直角邊所在直線與都垂直，斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論正確的有（）A．當(dāng)直線與成角時(shí)，與成角；B．當(dāng)直線與成角時(shí)，與成角；C．直線與所成角的最小值為；D．直線與所成角的最大值為．第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．*12．如圖，在同一個(gè)平面內(nèi)，向量的模分別為1，1，，與的夾角為，且，與的夾角為．若，則______．*13．已知直四棱柱的棱長(zhǎng)均為2，．以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長(zhǎng)為______．14．已知函數(shù)，若函數(shù)，當(dāng)恰有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，求的取值范圍為______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚．15．（本小題滿分13分）某地區(qū)對(duì)初中500名學(xué)生某次數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行分析，將得分分成8組（滿分150分）：，，，，，，，，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求第七組的頻率；（2）用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該地的500名學(xué)生這次考試成績(jī)的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（3）現(xiàn)從500名學(xué)生中利用分層抽樣的方法從，的兩組中抽取5個(gè)人進(jìn)一步做調(diào)查問卷，再?gòu)倪@5個(gè)人中隨機(jī)抽取兩人，求抽取到的兩人不在同一組的概率．★16．（本題滿分15分）如圖，已知多面體均垂直于平面，，，，（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．★17．（本題滿分15分）記是內(nèi)角的對(duì)邊分別為．已知，點(diǎn)在邊上，．（1）證明：；（2）若，求．*18．（本題滿分17分）如圖，四棱錐中，為矩形，平面平面．（1）求證：；（2）若，，，問為何值時(shí)，四棱錐的體積最大？并求此時(shí)平面與平面夾角的余弦值．19．（17分）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)任意兩個(gè)向量，．作：，當(dāng)不共線時(shí)，記以為鄰邊的平行四邊形的面積為；當(dāng)共線時(shí)，規(guī)定．（1）分別根據(jù)下列已知條件求；①，；②，；（2）若向量，求證：（3）記，，，且滿足，，，求的最大值．高二上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)答案第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．12345678ABCDABCD二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．91011BCABDBC11．由題意，是以為軸，為底面半徑的圓錐的母線，由，，又圓錐底面，在底面內(nèi)可以過點(diǎn)，作，交底面圓于點(diǎn)，如圖所示，連結(jié)，則，連結(jié)，等腰中，，當(dāng)直線與成角時(shí)，，故，又在中，，，過點(diǎn)作，交圓于點(diǎn)，連結(jié)，由圓的對(duì)稱性可知，為等邊三角形，，即與成角，B正確，A錯(cuò)誤．由最小角定理可知正確；很明顯，可以滿足平面直線，直線與所成的最大角為，D錯(cuò)誤．正確的說法為BC．第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．313．14．13．【正確答案】．解析：如圖：取的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為，因?yàn)?，直四棱柱的棱長(zhǎng)均為2，所以為等邊三角形，所以，，又四棱柱為直四棱柱，所以平面，所以，因?yàn)椋詡?cè)面，設(shè)為側(cè)面與球面的交線上的點(diǎn)，則，因?yàn)榍虻陌霃綖?，，所以，所以?cè)面與球面的交線上的點(diǎn)到的距離為，因?yàn)椋詡?cè)面與球面的交線是扇形的弧，因?yàn)椋裕愿鶕?jù)弧長(zhǎng)公式可得．四、解答題：本題共5小題，共分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（本小題滿分13分）【解】（1）由頻率分布直方圖得第七組的頻率為：；（2）用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該地500名學(xué)生這次考試成績(jī)的平均分為：（3）由頻率分步直方圖可知的頻數(shù)為，的頻數(shù)為，所以兩組人數(shù)比值為，按照分層抽樣抽取5人，則在，分別抽取3人和2人，記這組三人的編號(hào)為這組兩人的編號(hào)為，故從5人隨機(jī)抽取2名，共10種情況，為：，，，，，，，，，設(shè)事件“從5個(gè)人中隨機(jī)抽取兩人，抽取到的兩人不在同一組”則，共6種情況．故，即從這5個(gè)人中隨機(jī)抽取兩人，則抽取到的兩人不在同一組的概率為．16．【正確答案】（1）詳見解析；（2）．方法一：（常規(guī)做法）（1）由，，，，，得，所以，故．由，，，，，得，由，，得，由，得，所以，故．又因?yàn)?，，平面，所以平面．?）如圖，過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，連結(jié)．由平面，平面，可得，又，，所以平面，所以就是與平面所成的角．由，，得：，．所以，故．因此，直線與平面所成的角的正弦值是．方法二：（建系向量法）（1）如圖，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以射線為軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系．由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)如下：，，，，因此，，，由，得．由，得．又因?yàn)?，所以平面．?）設(shè)直線與平面所成的角為．由（1）可知，，，設(shè)平面的法向量，由，即，可取，所以．因此，直線與平面所成的角的正弦值是．17．解析：（1）由題設(shè)，，由正弦定理知：，即，，又，得證．（2）由題意知：，，，，同理，，整理得，又，，整理得，解得或，由余弦定理知：，當(dāng)時(shí)，不合題意；當(dāng)時(shí)，；綜上，．18．解析：（1）證明：為矩形，故，又平面平面平面平面所以平面，因?yàn)槠矫妫剩?）解：過作的垂線，垂足為，過作的垂線，垂足為，連接．故平面，平面，在直角三角形中，，，，設(shè)，則，，故四棱錐的體積為因?yàn)楣十?dāng)時(shí)，即時(shí)，四棱錐的體積最大．建立如圖所