6.4用樣本估計總體數(shù)字特征課件高一上學期數(shù)學北師大版

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用樣本估計總體數(shù)字特征第六章統(tǒng)計北師大版

數(shù)學

必修第一冊基礎落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學以致用·隨堂檢測促達標課程標準1.會求樣本的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、百分位數(shù).2.會求樣本的極差、標準差與方差.3.通過應用相關知識解決實際統(tǒng)計問題,培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).基礎落實·必備知識一遍過知識點1

樣本的數(shù)字特征1.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)刻畫了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢.(1)眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中,出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)就是眾數(shù).若有兩個或幾個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)相等且都最多,則這些數(shù)都是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù);若一組數(shù)據(jù)中,每個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)都一樣,則這組數(shù)據(jù)沒有眾數(shù).(2)中位數(shù)一般地,將一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列后,“中間”的那個數(shù)據(jù)為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).當數(shù)據(jù)有奇數(shù)個時,位于最中間位置的數(shù)就是中位數(shù);當數(shù)據(jù)有偶數(shù)個時,位于最中間的兩個數(shù)的平均數(shù)就是中位數(shù).(3)平均數(shù)一組數(shù)據(jù)的平均值,數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的平均數(shù)為

=

.

名師點睛眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的比較名稱優(yōu)點缺點眾數(shù)(1)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點;(2)容易計算(1)它只能表達樣本數(shù)據(jù)中很少的一部分信息;(2)無法客觀地反映總體的特征中位數(shù)(1)不受少數(shù)幾個極端數(shù)據(jù)(即排序靠前或靠后的數(shù)據(jù))的影響;(2)容易計算,便于利用中間數(shù)據(jù)的信息對極端值不敏感平均數(shù)反映出更多的關于樣本數(shù)據(jù)全體的信息任何一個數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變,數(shù)據(jù)波動越大,對平均數(shù)的影響也越大2.極差、方差、標準差極差、方差、標準差刻畫了一組數(shù)據(jù)的

.

(1)極差:數(shù)據(jù)中

和

的差.

(2)方差:設一組數(shù)據(jù)為x1,x2,x3,…,xn,其平均數(shù)為,則方差s2=

,其單位是原始觀測數(shù)據(jù)單位的

,方差刻畫的是數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的離散程度.

離散程度

最大值最小值平方

(3)標準差①定義:它是方差的算術平方根,s==

,其單位與原始數(shù)據(jù)的單位

.

②計算方法:先求出方差s2,再求方差的算術平方根,即得標準差s=.相同

名師點睛計算方差、標準差的步驟計算樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的標準差的算法如下:第一步:算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)

;第二步:算出每個樣本數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)的差xi-(i=1,2,…,n);第三步:算出第二步中xi-(i=1,2,…,n)的平方;第四步:算出第三步中n個平方數(shù)的平均數(shù),即為樣本方差;第五步:算出第四步中平均數(shù)的算術平方根,即為樣本標準差.思考辨析1.一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以有幾個?中位數(shù)是否也具有相同的結論?提示

一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可能有一個,也可能有多個,中位數(shù)只有唯一一個.提示

和a的幾何意義如圖所示.顯然,標準差越大,則a越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大,數(shù)據(jù)較分散;標準差越小,則a越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小,數(shù)據(jù)較集中在平均數(shù)

的周圍.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)頻率分布直方圖中,平均數(shù)左右兩邊的面積相等.(

)(2)如果一組數(shù)中每個數(shù)都減去同一個非零常數(shù),則這組數(shù)的平均數(shù)改變,方差不變.(

)(3)標準差越大,表明各個樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周圍越集中;標準差越小,表明各個樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周圍越分散.(

)×√×2.[人教A版教材例題]某學校要定制高一年級的校服,學生根據(jù)廠家提供的參考身高選擇校服規(guī)格.據(jù)統(tǒng)計,高一年級女生需要不同規(guī)格校服的頻數(shù)如表所示.校服規(guī)格155160165170175合計頻數(shù)39641679026386如果用一個量來代表該校高一年級女生所需校服的規(guī)格,那么在中位數(shù)、平均數(shù)和眾數(shù)中,哪個量比較合適?解

為了更直觀地觀察數(shù)據(jù)的特征,我們用條形圖來表示表中的數(shù)據(jù)(圖略).可以發(fā)現(xiàn),選擇校服規(guī)格為“165”的女生的頻數(shù)最高,所以用眾數(shù)165作為該校高一年級女生校服的規(guī)格比較合適.知識點2

分層隨機抽樣的均值與方差1.分層隨機抽樣的平均數(shù)(1)定義:一般地,將樣本a1,a2,…,am和樣本b1,b2,…,bn合并成一個新樣本,則這個新樣本的平均數(shù)為

w1,w2∈[0,1]自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)樣本數(shù)據(jù)分為兩層,其中一層的平均數(shù)為96,另一層的平均數(shù)為98,則樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

=97.(

)(2)把一個樣本分成兩層,由每層數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差能求整個樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差.(

)××2.[人教A版教材習題]某學校有高中學生500人,其中男生320人,女生180人.有人為了獲得該校全體高中學生的身高信息,采用分層隨機抽樣的方法抽取樣本,并觀測樣本的指標值(單位:cm),計算得男生樣本的均值為173.5,方差為17,女生樣本的均值為163.83,方差為30.03.(1)根據(jù)以上信息,能夠計算出總樣本的均值和方差嗎?為什么?(2)如果已知男、女生樣本量按比例分配,你能計算出總樣本的均值和方差各為多少嗎?(3)如果已知男、女生的樣本量都是25,你能計算出總樣本的均值和方差各為多少嗎?它們分別作為總體均值和方差的估計合適嗎?為什么?解

(1)不能.因為缺少男生樣本量和女生樣本量.它們分別作為總體平均數(shù)和方差的估計不合適,因為男、女生的身高差異較大,不能等量抽取樣本.知識點3

百分位數(shù)

取值連續(xù)不斷,不能一一列舉

1.一般地,當總體是連續(xù)變量時,給定一個百分數(shù)p∈(0,1),總體的p分位數(shù)有這樣的特點:總體數(shù)據(jù)中的任意一個數(shù)小于或等于它的可能性是p.2.計算一組n個數(shù)據(jù)的p分位數(shù)的一般步驟如下:第一步,按照從小到大排列原始數(shù)據(jù);第二步,計算i=np;第三步,若i不是整數(shù),大于i的最小整數(shù)為j,則p分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù);若i是整數(shù),則p分位數(shù)為第i項與第(i+1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù).思考辨析1.“某數(shù)學測試成績的70%分位數(shù)是85分”這句話是什么意思?

2.某班級人數(shù)為50,班主任老師說“90%的同學能夠考取本科院校”,這里的“90%”是百分位數(shù)嗎?提示

有70%的同學數(shù)學測試成績小于或等于85分.提示

不是.是指能夠考取本科院校的同學占同學總數(shù)的百分比.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)50%分位數(shù)就是中位數(shù).(

)(2)百分位數(shù)只能是總體數(shù)據(jù)中的數(shù).(

)(3)若一組樣本數(shù)據(jù)各不相等,則其75%分位數(shù)大于25%分位數(shù).(

)(4)若一組樣本數(shù)據(jù)的10%分位數(shù)是23,則在這組數(shù)據(jù)中有10%的數(shù)據(jù)大于23.(

)(5)若一組樣本數(shù)據(jù)的24%分位數(shù)是24,則在這組數(shù)據(jù)中至少有76%的數(shù)據(jù)大于或等于24.(

)√×√×√2.[人教B版教材例題]給定甲、乙兩組數(shù)如下所示,計算其75%分位數(shù).序號12345678910甲組1222233355乙組0000112345序號11121314151617181920甲組668891010121313乙組6677101414141415重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的求法【例1—1】

某籃球隊甲、乙兩名運動員練習罰球,每人練習10組,每組罰球40個,命中個數(shù)如下所示:甲:20,22,27,8,12,13,37,25,24,26乙:14,9,13,18,19,20,23,21,21,11則下面結論中正確的是

(填序號).

①甲的極差是29;②乙的眾數(shù)是21;③甲的平均數(shù)為21.4;④甲的中位數(shù)是24.①②③解析

把兩組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列,得甲:8,12,13,20,22,24,25,26,27,37乙:9,11,13,14,18,19,20,21,21,23故甲的最大值為37,最小值為8,則極差為29,所以①正確;乙中出現(xiàn)最多的數(shù)據(jù)是21,所以②正確;甲的平均數(shù)為【例1-2】

在一次中學生田徑運動會上,參加男子跳高的17名運動員的成績?nèi)绫硭?成績/m1.501.601.651.701.751.801.851.90人數(shù)23234111分別求這些運動員成績的眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù).(結果精確到0.01)解

在17個數(shù)據(jù)中,1.75出現(xiàn)了4次,出現(xiàn)的次數(shù)最多,即這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是1.75.題目中表里的17個數(shù)據(jù)可看成是按從小到大的順序排列的,其中第9個數(shù)據(jù)1.70是最中間的一個數(shù)據(jù),即這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是1.70.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是所以這17名運動員成績的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)依次為1.75,1.70,1.69.規(guī)律方法

求中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)的注意事項求中位數(shù)的關鍵是將數(shù)據(jù)排序,一般按照從小到大的順序排列.中位數(shù)僅與數(shù)據(jù)的排列位置有關,某些數(shù)據(jù)的變動對中位數(shù)沒有影響.中位數(shù)可能在所給數(shù)據(jù)中,也可能不在所給數(shù)據(jù)中.當一組數(shù)據(jù)中的個別數(shù)據(jù)變動較大時,可用中位數(shù)描述數(shù)據(jù)的集中趨勢確定眾數(shù)的關鍵是統(tǒng)計各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻數(shù),頻數(shù)最大的數(shù)據(jù)就是眾數(shù).當一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)多次重復出現(xiàn)時,眾數(shù)往往更能反映數(shù)據(jù)的集中趨勢平均數(shù)與每一個樣本數(shù)據(jù)都有關,受個別極端數(shù)據(jù)(比其他數(shù)據(jù)大很多或小很多的數(shù)據(jù))的影響較大,因此若在數(shù)據(jù)中存在少量極端數(shù)據(jù),平均數(shù)對總體估計的可靠性較差,這時往往用眾數(shù)或中位數(shù)去估計總體.有時也采用剔除最大值與最小值后所得的平均數(shù)去估計總體變式訓練1(1)16位參加百米賽跑半決賽同學的成績各不相同,按成績?nèi)∏?位進入決賽.如果小劉知道了自己的成績后,要判斷能否進入決賽,則其他15位同學成績的下列數(shù)據(jù)中,能使他得出結論的是(

)A.平均數(shù)

B.極差

C.中位數(shù)

D.方差C解析

判斷能否進入決賽,只要判斷是不是前8名,所以只要知道其他15名同學的成績中是不是有8名高于他,也就是把其他15名同學的成績排列后看第8名的成績即可,小劉的成績高于這個成績就能進入決賽,低于這個成績就不能進入決賽,這個第8名的成績就是這15名同學成績的中位數(shù).(2)已知一組數(shù)據(jù)按從小到大排列為-1,0,4,x,6,15,且這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是5,那么該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是

,平均數(shù)是

.

65探究點二方差和標準差的計算及應用【例2】

甲、乙兩臺機床同時加工直徑為100cm的零件,為檢驗質量,各從中抽取6件測量,數(shù)據(jù)為:甲:99,100,98,100,100,103;乙:99,100,102,99,100,100.(1)分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差;(2)根據(jù)計算結果判斷哪臺機床加工零件的質量更穩(wěn)定.(2)兩臺機床所加工零件的直徑的平均值相同,又

,所以乙機床加工零件的質量更穩(wěn)定.規(guī)律方法

標準差(方差)的兩個作用(1)標準差(方差)越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大;標準差(方差)越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小.(2)在實際應用中,常常把平均數(shù)與標準差結合起來進行決策.在平均值相等的情況下,比較方差或標準差以確定穩(wěn)定性.變式訓練2已知樣本9,10,11,x,y的平均數(shù)是10,標準差是,則xy=

.

96解析

由題意得9+10+11+x+y=50,所以x+y=20.又由(9-10)2+(10-10)2+(11-10)2+(x-10)2+(y-10)2=()2×5=10,得x2+y2-20(x+y)=-192,(x+y)2-2xy-20(x+y)=-192,xy=96.故填96.探究點三求百分位數(shù)【例3—1】

某市3月1日至3月10日的最低氣溫(單位:℃)折線統(tǒng)計圖如圖所示,由圖可知這10天最低氣溫的80%分位數(shù)是(

)A.-2 B.0

C.1

D.2D解析

由折線圖可知,這10天的最低氣溫按照從小到大的排列為-3,-2,-1,-1,0,0,1,2,2,2.因為共有10個數(shù)據(jù),所以10×80%=8,是整數(shù),則這10天最低氣溫的80%分位數(shù)是★【例3—2】

為了了解一片經(jīng)濟林的生長情況,隨機抽測了其中60株樹木的底部周長(單位:cm),所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間[80,130]上,其頻率分布直方圖如圖所示,你能估計一下60株樹木的50%分位數(shù)和75%分位數(shù)嗎?解

在[80,90)的頻數(shù)為60×0.15=9,在[90,100)的頻數(shù)為60×0.25=15,在[100,110)的頻數(shù)為60×0.3=18,在[110,120)的頻數(shù)為60×0.2=12,在[120,130]的頻數(shù)為60×0.1=6.從以上數(shù)據(jù)可知50%分位數(shù)落在區(qū)間[100,110)上,綜上可知,50%分位數(shù)和75%分位數(shù)分別估計為103.3,112.5.規(guī)律方法

計算一組n個數(shù)據(jù)的p分位數(shù)的步驟第1步,按從小到大排列原始數(shù)據(jù).第2步,計算i=n×p.第3步,若i不是整數(shù),大于i的最小整數(shù)為j,則p分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù);若i是整數(shù),則p分位數(shù)為第i項與第(i+1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù).變式訓練3(1)已知100個數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)是9.3,則下列說法正確的是(

)A.這100個數(shù)據(jù)中一定有75個數(shù)小于或等于9.3B.把這100個數(shù)據(jù)從小到大排列后,9.3是第75個數(shù)據(jù)C.把這100個數(shù)據(jù)從小到大排列后,9.3是第75個數(shù)據(jù)和第76個數(shù)據(jù)的平均數(shù)D.把這100個數(shù)據(jù)從小到大排列后,9.3是第75個數(shù)據(jù)和第74個數(shù)據(jù)的平均數(shù)C解析

因為100×75%=75,為整數(shù),所以第75個數(shù)據(jù)和第76個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為75%分位數(shù),是9.3,故選C.★(2)從某珍珠公司生產(chǎn)的產(chǎn)品中,任意抽取12顆珍珠,得到它們的質量(單位:g)如下:7.9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0.①分別求出這組數(shù)據(jù)的25%,50%,95%分位數(shù);②請你找出珍珠質量較小的前15%的珍珠質量;③若用25%,50%,95%分位數(shù)把公司生產(chǎn)的珍珠劃分為次品、合格品、優(yōu)等品和特優(yōu)品,依照這個樣本的數(shù)據(jù),給出該公司珍珠等級的劃分標準.解

①將所有數(shù)據(jù)從小到大排列,得7.8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9.因為共有12個數(shù)據(jù),所以12×25%=3,12×50%=6,12×95%=11.4,②因為共有12個數(shù)據(jù),所以12×15%=1.8,則15%分位數(shù)是7.9

g,即產(chǎn)品質量較小的前15%的產(chǎn)品有2個,它們的質量分別為7.8

g,7.9

g.③由①可知樣本數(shù)據(jù)的25%分位數(shù)是8.15

g,50%分位數(shù)為8.5

g,95%分位數(shù)是9.9

g,所以質量小于或等于8.15

g的珍珠為次品,質量大于8.15

g且小于或等于8.5

g的珍珠為合格品,質量大于8.5

g且小于或等于9.9

g的珍珠為優(yōu)等品,質量大于9.9

g的珍珠為特優(yōu)品.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、極差、方差和標準差的意義與計算;(2)樣本數(shù)據(jù)數(shù)字特征的應用;(3)分層隨機抽樣的均值與方差;(4)百分位數(shù).2.方法歸納:數(shù)據(jù)分析、統(tǒng)計.3.常見誤區(qū):未對數(shù)據(jù)排序導致求中位數(shù)錯誤;方差與標準差計算錯誤;求百分位數(shù)時,未排序導致錯誤.學以致用·隨堂檢測促達標123451.(多選題)下列說法中,正確的是(

)A.數(shù)據(jù)2,4,6,8的中位數(shù)是4,6B.數(shù)據(jù)1,2,2,3,4,4的眾數(shù)是2,4C.一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)有可能是同一個數(shù)據(jù)D.8個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5,另3個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7,則這11個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是BCD解析

數(shù)據(jù)2,4,6,8的中位數(shù)為

=5,顯然A是錯誤的,B,C,D都是正確的.123452.已知一組數(shù)據(jù):125,121,123,125,12