經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（第六版）（上冊）課件 第10講2.4函數(shù)的微分

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)輔導(dǎo)第10講顧靜相2.4函數(shù)的微分教學(xué)要求

理解微分的概念；

了解可導(dǎo)、可微與連續(xù)之間的關(guān)系；

掌握微分的運(yùn)算法則．微分的概念

若給定函數(shù)

y=f(x)在點(diǎn)

x處可導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義有

．由定理1.2知，

，其中

是當(dāng)

x0時(shí)的無窮小量，上式可寫作

．

（10.1）微分的概念

．

(10.1)(10.1)式表明函數(shù)的增量可以表示為兩項(xiàng)之和.第一項(xiàng)

是

x

的線性函數(shù)，第二項(xiàng)

x，當(dāng)

x0時(shí)是比

x高階的無窮小量．因此，當(dāng)

x很小時(shí)，我們稱第一項(xiàng)

為

y的線性主部，并叫做函數(shù)

f(x)的微分．微分的概念

定義2.3設(shè)函數(shù)

y=f(x)在點(diǎn)

x0

處有導(dǎo)數(shù)，則稱為y=f(x)在點(diǎn)

x0

處的微分，記作dy，即dy=f

(x0)

x，(10.2)此時(shí)，稱

在點(diǎn)

處是可微的．微分的概念

定義2.3設(shè)函數(shù)

y=f(x)在點(diǎn)

x0

處有導(dǎo)數(shù)，則稱為y=f(x)在點(diǎn)

x0

處的微分，記作dy，即dy=f

(x0)

x，(10.2)此時(shí)，稱

在點(diǎn)

處是可微的．

函數(shù)

y=f(x)在任意點(diǎn)

x的微分，叫做函數(shù)的微分，記作dy=f

(x)

x．(10.3)微分的概念

函數(shù)

y=f(x)在任意點(diǎn)

x的微分，叫做函數(shù)的微分，記作dy=f

(x)

x．(10.3)

如果將自變量

x當(dāng)作自己的函數(shù)

y=x則有dx=dy=(x)

x=

x，說明自變量的微分dx就等于它的增量

，于是函數(shù)的微分可以寫成dy=f

(x)dx，(10.4)即

，(10.5)微分的概念也就是說，函數(shù)的微分dy與自變量的微分dx之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因此，導(dǎo)數(shù)又叫微商．

如果將自變量

x當(dāng)作自己的函數(shù)

y=x則有dx=dy=(x)

x=

x，說明自變量的微分dx就等于它的增量

，于是函數(shù)的微分可以寫成dy=f

(x)dx，(10.4)即

，(10.5)可導(dǎo)與可微的關(guān)系

如果函數(shù)

y=f(x)在點(diǎn)

x處可導(dǎo)，則

y=f(x)在點(diǎn)

x處可微；反之，如果

y=f(x)在點(diǎn)

x處可微，則

y=f(x)在點(diǎn)

x處可導(dǎo)．微分公式

求函數(shù)的微分只須求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后再乘上自變量的dx即可．

由求導(dǎo)公式和求導(dǎo)運(yùn)算法則，我們可以建立基本初等函數(shù)的微分公式和微分運(yùn)算法則．微分公式

求函數(shù)的微分只須求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后再乘上自變量的dx即可.

結(jié)合教材中的求導(dǎo)公式和運(yùn)算法則，可以建立基本初等函數(shù)的微分公式和微分運(yùn)算法則.2．

（

為任意實(shí)數(shù)）；3．

（a>0,a

1）；4．

；5．

（a>0,a

1）；?微分四則運(yùn)算法則設(shè)

u(x)，v(x)都是可微函數(shù)，則1．

；2．

；

3．

；4．

．復(fù)合函數(shù)的微分法則

設(shè)

y=f(u)，u=

(x)，且函數(shù)

(x)

在點(diǎn)

x處可導(dǎo)，函數(shù)

f(u)在相應(yīng)的點(diǎn)

u處可導(dǎo)，則以u

為中間變量的復(fù)合函數(shù)

y=f[

(x)]

的微分dy=f

(u)

(x)dx，(10.6)復(fù)合函數(shù)的微分法則

設(shè)

y=f(u)，u=

(x)，且函數(shù)

(x)

在點(diǎn)

x處可導(dǎo)，函數(shù)

f(u)在相應(yīng)的點(diǎn)

u處可導(dǎo)，則以u

為中間變量的復(fù)合函數(shù)

y=f[

(x)]

的微分dy=f

(u)

(x)dx，(10.6)

由于

(x)dx=du，故

dy=f

(u)du，(10.7)注意到當(dāng)

u是自變量時(shí)，函數(shù)

y=f(u)的微分dy也是(10.6)式的形式．

這一性質(zhì)稱為微分形式不變性．函數(shù)的微分例1求下列函數(shù)的微分：（1）

；（２）

．

函數(shù)的微分例1求下列函數(shù)的微分：（1）

；（２）

．

解（1）因?yàn)?/p>

所以

．

導(dǎo)數(shù)乘法法則

函數(shù)的微分例1求下列函數(shù)的微分：（1）

；（２）

．

解（1）因?yàn)?/p>

（2）因?yàn)椋?/p>

所以

．

所以

．

導(dǎo)數(shù)乘法法則

導(dǎo)數(shù)除法法則

函數(shù)的微分例2設(shè)，求dy．

函數(shù)的微分例2設(shè)，求dy．

解將

看作中間變量

u，用微分(導(dǎo)數(shù))公式

求之，即

，函數(shù)的微分例2設(shè)，求dy．

解將

看作中間變量

u，用微分(導(dǎo)數(shù))公式求之，即

，微分公式函數(shù)的微分例3求

在點(diǎn)

x=2處的微分．

函數(shù)的微分例3求

在點(diǎn)

x=2處的微分．

解將

看作中間變量

u，用微分(導(dǎo)數(shù))公式求之．因?yàn)楹瘮?shù)的微分例3求

在點(diǎn)

x=2處的微分．

解將

看作中間變量

u，用微分(導(dǎo)數(shù))公式求之．因?yàn)樵賹?+x2看作一個(gè)中間變量，用微分四則運(yùn)算法則和微分公式求之，即函數(shù)的微分例3求

在點(diǎn)

x=2處的微分．

解將

看作中間變量

u，用微分公式6求之．因?yàn)樵賹?+x2看作一個(gè)中間變量，用微分四則運(yùn)算法則和微分公式求之，即所以當(dāng)

x=2時(shí)，

．

函數(shù)的微分例4設(shè)

y=y(x)是由方程

所確定的隱函數(shù)，求dy．

函數(shù)的微分例4設(shè)

y=y(x)是由方程

所確定的隱函數(shù)，求dy．

解對方程兩端分別求微分，得

，