高中數(shù)學試題：立體幾何專項訓練

寒假作業(yè)------立體幾何專項訓練高三()班姓名

1.如圖，在幾何體中，平面ABC,AB±BC,CC}//AAl,AB=BC=AA}=2,

CC[=1,D,E分別是AB,A4]的中點.\

(I)求證：BQ〃平面CDE;

(II)求二面角E—DC—A的平面角的正切值.

2.如圖，已知平面Q3C與直線PA均垂直于R/AABC所在平面，且PA=4B=AC,

(I)求證：PA//平面Q5C；

(II)若「。，平面QBC,求CQ與平面PBC所成角的正弦值./

'B

3.如圖，在直三棱柱ABC-A|B|G中，AABC是等腰直角三角形，ZACB=90°,側(cè)棱44k2,

D,E分別為CG與48的中點，點E在平面A3。上的射影是AABD的重心.

(I)求證：?！?/平面ACB；

(II)求A,B與平面ABD所成角的正弦值.

4.如圖，在側(cè)棱垂直于底面的三棱柱ABC—AI1C1中，底面△ABC為等腰直角三角形，ZB=90°,

D為棱BBi的中點.

(1)求證：面。4。_1面441<?1(7；

(2)若外=JL⑴求二面角A—4￡)—C的大小;

AB

(ii)求直線BC與平面AiCD所成角的正弦值.

5.如圖，在四棱錐尸-ABCD中，平面4BC，AB//CD,ZDAB=9Q°,PA=AD=DC=\,AB=2,

/為尸8的中點.

(I)證明：MC//平面B4。；

(II)求直線MC與平面必C所成角的余弦值.

6.在三棱柱ABC—A向G中，AB=AC=AAi=2,平面ABC」平面AACC，/A41cl=/8AG=60°,

設(shè)AG與AC相交于點。，如圖.

(I)求證：80_L平面44CC；

(II)求二面角Bi—ACi—Ai的大小.

7.如圖所示，已知圓。的直徑A3長度為4,點。為線段AB上一點，且點C為

3

圓。上一點，且3C="4c.點P在圓。所在平面上的正投影為點。，PD=BD.

(I)求證：CD_L平面R43；P

(II)求PD與平面PBC所成的角的正弦值

8.如圖1,四面體B4BC中，BC=BP=1,AC=AP=8,AB=2,.將APAB沿直線AB翻折至

^AB,使點在同一平面內(nèi)(如圖2),點M為PC中點.

(I)求證：直線咫〃平面

(II)求證：PC±AB；

(III)求直線PA與平面PiPC所成角的大小.

1.(I)連接ACi交EC于點F,由題意知四邊形ACCiE是矩形，貝|F是ACi的中點,

連接DF,是AB的中點，；.DF是AABCi的中位線,

BC1//DF,4分

,/BCitZ平面EDC,DFu平面EDC,

；.BCi//平面CDE.7分

(II)作AH_L直線CD,垂足為H,連接HE,

AA」平面ABC,AAi±DC,

CD_L平面AHE,

CD±EH,

NAHE是二面角E-CD-A的平面角.11分

,/D是AB的中點，

AH等于點B到CD的距離，

在ABCD中，求得：AH=2叵，

5

(第20題)

在△AEH中，

AH2

即所求二面角的正切值為7上?.

2

2.(I)證明：過點。作3c于點。，

???平面QBC，平面ABC,：.QD±平面ABC……2分

又,:PAL平面ABC

/.QD//PA,........................2分

又?:QD1平面QBC

PA〃平面Q3C........................6分

(II)平面Q5C

/.ZPQB=ZPQC=90,又??PB=PC,PQ=PQ

：.\PQBsAPQC；.BQ=CQ........................8分

...點。是BC的中點，連結(jié)AD,則

AD±平面QBC：.PQ//AD,ADLQD

四邊形PADQ是矩形............10分

設(shè)PA=AB=AC=2a

得：PQ=AZ)=ypla,PD=y[6a

又?:BC1PA,BC1PQ,：.BC1平面PADQ,

從而平面PBC，平面PA。。，過Q作QH_LPZ）于點〃，貝ij：QHL平面PBC

...ZQCH是CQ與平面PBC所成角....................................12分

QH=2*J拽CQ=BQ=4^a

<63

.“口QH2V31V2

CQ3瓜3

CQ與平面PBC所成角的正弦值為'……?14分

3.

解：（I）取48中點尸,匯結(jié)E￡R7,2分

由已知可得比/力/尸工丁”.乂0€〃取產(chǎn)=/”

所以四邊形DEFC為平行四邊形............4分

則EO//C尸，因為￡Ocz平面/18C,FCu平面"C,

所以￡。〃平而48c7分

（II）過E作E〃_L￡＞產(chǎn)于，，連結(jié)H8.

CC,JL平面43c

-=>CC±AB,

?Bu平面/BCt

AC=8C]?,八二

卜=AB±CF,

AF=FB\

乂CFOCD=C,CF,CDu平面OEFC.

所以1.平面CEFC,EHu平面0EFC,

所以181EH,

乂EHLDF,DF(]AB=F,AB.DFu平面4BD,所以EH1平面48。,

所以NE8//為48與平面月8。所成角的平面角，.........il分

"為A4BO的重心，在AADEF41EF2=FHFD=-FD2=\

3

所以得FD=石,W.—,EP一旦,U=4i,FB=&,EB;瓜

33

得sinNE8，=型=①，所以與皿面480所成角的正弦值為巫

EB，'3

4.

力（行+項（而-碉=；（6=巧號............

9孵：U酸的中點E點，取.也的中點廣，近0&"6

由此知？DE〃RF,A

Y;面。.仁L而“。?且相生于4C,另期肝LKi

??5/^面,4』,G（\

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川胤KD4卜川線至j*G，招如《判」M4{B田.

過3的BHiJ,GfAft.itCHtn；4,GlCH

南此址（7/J9兒而向HTiM'的平面由：

恰/$=",4怔HT=、hh?

在RiA4』G中.易知./加貿(mào)7一

在RtAOflG中XB=阻孕=—.

DG3

住RIACW8也f狀絲=9b=、A

BH

故ZC”於2

5.

解：(I>VA/姑PB的中點?收掰的中戌￡連站小DE.

則ME//AB且WE」理.又旦CH-AH.

22

工四邊形CD￡M為平行四邊影，........................................3分

：.CM//ED.CWa而發(fā)。，EZJu面加。

工MC”平面MX??…i...........7分

(II)證法—；：‘方」平面.4ACD，

又/CJSC'W+AM?,二氏'_1_只(7,

??1CCEf三4,JBCL平面以<7.

又灰:平面加C.所以平面/MC_L平而P5C：

取汽7中點N.如JMMVBC，從而MN」.平面用C,

所以為瓊3MC與平面/MC所成角.設(shè)為6,

AO-ipO=—,Acos49=—.

22225

故直線MC與平面MC所成角的余弦值為孚.

14分

證法二；.以/為原點,AD.AB、AP所在直線為x軸一軸、？箱建立婀比角坐標系,

則ZX1A0卜CC1J.0).802"),KWM)，M0.l,1h..................................9分

"巾阿)./YJ.0),,

則面PAC的法向量為/ij=(-l.l,0)

設(shè)直線MC與平而MC所成角為〃

而由+1.0」)，...............

2

閩,.除洞?Vio

明sin0-1；-----T--7-

l“*M&￥5

6.

解；（I）四邊形44GC為平行四邊形，所以HC=4G，因為/c=/4,

所以及］=4G，Z4i4；C,=60*.

所以A44G為等邊三角形，同理MBG也是等邊三角形，.........3分

而。為4G的中點，所以B0_L4G，..........4分

且BOu平面45G，...............5分

力G=平面/Bqn平面/4￡C,..............6分

平面4BGJ?平面?

由面面垂直的性質(zhì)定理知，BO_L平面44GC.7分

4

（II）連結(jié)B4交于E,過E作

E尸〃8。交Oq于尸.連結(jié)OE,

因為B。，平面44G。，EFHBO,

所以EFJ_平面MGC，

4C|U平面必GC,則EFJ./G，又因為0F_L4G，OFC]EF=F,EFQFu

平面O/3，所以/G"1■平面04?，0Eu平面33,所以4GJ.OE,所以NE。尸

為二面角々一/G-4的平面角......］］分

7,解答：（［）連接CO,由3AD=DB知，點D為AO的中點、，

又TAB為圓。的直徑，由6AC=BC知，

ZCAB=60，,AACO為等邊三角形，從而C￡>，AO.

?.?點P在圓。所在平面上的正投影為點D,

...平面A6C,又CDu平面ABC,

:.PgCD,由P￡>AO=￡>得，平面Q43.

（II）法1：過。作DHL平面PBC交平面于點H,連接P",

則NDFH即為所求的線面角。由（I）可知。。=百，PD=Z）B=3

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