數系的擴充和復數的概念高一下學期數學人教A版（2019）必修第二冊

7.1.1數系的擴充和復數的概念1.通過方程的解,認識復數.2.理解復數的代數表示及相關概念.3.理解兩個復數相等的含義.4.體會數學抽象的過程,加強數學運算能力的培養(yǎng).【情境探究】1.回顧一元二次方程的解,明確實數的概念與分類:(1)方程x2-2x-3=0的正整數解是__,有理數解是_____,實數解是_____.(2)方程x2-2x-1=0的無理數解是,實數解是.必備知識生成33,-13,-12.(1)方程x2=-1在實數集中是否有解?提示:因為實數的平方都是非負數,所以方程x2=-1在實數集中無解.(2)為了解決此類方程無實數解的問題,我們引入新數i,定義i·i=i2=-1,將實數集加以擴充,得到一個新的數集,那么此方程在這個數集中就有一個解為__.i3.(1)復數a+bi(a,b∈R)何時表示零?提示:當且僅當a=b=0時表示零.(2)實數集R與復數集C有什么關系?提示:用文字語言描述:實數集R是復數集C的真子集,即RC.用圖形語言描述:

實數集經過擴充后，我們希望加法和乘法滿足交換律、結合律，以及乘法對加法的分配律，依此設想：一、概念形成

為了解決像這樣的方程在實數集中無解的問題,我們設想引入一個新數,使得

，是方程

的解,即使得成立.1.新數i的引入與性質:

②

把實數

與

相加，結果記作：.①

把實數

與

相乘，結果記作：

；

所有實數以及

都可寫成

的形式，從而這些數都在擴充后的新數集中，我們把形如

的數叫做復數.形如

的數叫做復數.

叫做虛數單位.

叫做復數的實部

叫做復數的虛部2.復數的概念:3.復數的代數形式:概念形成復數通常用字母

表示，即全體復數所構成的集合

叫做復數集.

在復數集

中任取兩個數

和

我們規(guī)定：

相等，

當且僅當

且.4.復數相等:概念形成當且僅當

時，它叫做實數；當且僅當

時，它是實數;當且僅當

時，它叫做虛數；當且僅當

時，它叫做純虛數.5.復數的分類:概念形成例如，

，

，

，

都是虛數，它們的實部分別是

，，

，0，虛部分別是，，，，并且其

中只有是純虛數.對于復數概念形成思考：復數集C與實數集R之間有什么關系？實數(b=0)虛數(b≠0)純虛數(a=0,b≠0)非純虛數(a≠0,b≠0)復數實數集R是復數集C的真子集.復數

可以分類如下：復數集、實數集、虛數集、純虛數集之間的關系圖：虛數集實數集純虛數集復數集例題講解注意：0是復數，因為0是實數，所以0也是復數，將0寫成的形式為，它的實部和虛部都是0.例1.下列各數中，哪些是實數，哪些是虛數，哪些是純虛數，哪些是復數？

，

，

，

，

，

，

，

，

，,.(課本P70練習改編)解：實數：，

，，

，;虛數：，，，，

，.純虛數：，，；以上全體數都是復數．二、復數相等當堂檢測1.說出下列復數的實部和虛部：2.說出下列各數中，哪些是實數？哪些是虛數？哪些是純虛數？為什么？3.求滿足下列條件的實數x,y的值：解：根據復數相等的充要條件得：數系的擴充和復數的概念核心知識方法總結核心素養(yǎng)易錯提醒1.數系的擴充.2.復數有關的概念(1)判斷復數是實數、虛數或者純虛數：①保證復數的實部、虛部均有意義．②根據分類的標準，列出實部、虛部應滿足的關系式再求解．(2)復數相等求參數的步驟：分別確定兩個復數的實部與虛部，利用實部與實部、虛部與虛部分別相等，列方程組求解．(1)兩個復數不全是實數，就不能比較大?。?2)一個數的平方非負在實數范圍內是真命題，在復數范圍內是假命題.(3)對于復數實部、虛部的確定不但要把復數化為a＋bi的形式，更要注意