專題30 概率 知識(shí)精講-一輪復(fù)習(xí)（解析版）

專題30概率核心知識(shí)點(diǎn)精講1．會(huì)借助樹(shù)狀圖和列表法計(jì)算簡(jiǎn)單事件發(fā)生的概率．2．了解大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)頻率可以作為簡(jiǎn)單事件發(fā)生概率的估計(jì)值．3．通過(guò)概率的計(jì)算,解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．考點(diǎn)1：事件類型EQ\o\ac(○,1)必然事件：有些事情我們事先肯定它一定發(fā)生，這些事情稱為必然事件.EQ\o\ac(○,2)不可能事件：有些事情我們事先肯定它一定不會(huì)發(fā)生，這些事情稱為不可能事件.EQ\o\ac(○,3)不確定事件：許多事情我們無(wú)法確定它會(huì)不會(huì)發(fā)生，稱為不確定事件（又叫隨機(jī)事件）.說(shuō)明：（1）必然事件、不可能事件都稱為確定性事件.（2）事件分為確定事件和不確定事件，確定事件又分為必然事件和不可能事件，其中，①

必然事件發(fā)生的概率為1，即P(必然事件)=1；②

不可能事件發(fā)生的概率為0,即P（不可能事件）=0；③

如果A為不確定事件，那么0<P(A)<1考點(diǎn)2：概率1.定義：一般地，對(duì)于一個(gè)隨機(jī)事件A，把刻畫其發(fā)生可能性大小的數(shù)值，稱為隨機(jī)事件A發(fā)生的概率，記為P(A)．（1）一個(gè)事件在多次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性，反映這個(gè)可能性大小的數(shù)值叫做這個(gè)事件發(fā)生的概率。（2）概率指的是事件發(fā)生的可能性大小的的一個(gè)數(shù)值。2、概率的求法：一般地，如果在一次試驗(yàn)中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為P(A)=．求概率方法：（1）列舉法：通常在一次事件中可能發(fā)生的結(jié)果比較少時(shí)，我們可以把所有可能產(chǎn)生的結(jié)果全部列舉出來(lái)，并且各種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等時(shí)使用。等可能性事件的概率可以用列舉法而求得。但是我們可以通過(guò)用列表法和樹(shù)形圖法來(lái)輔助枚舉法。（2）列表法：當(dāng)一次實(shí)驗(yàn)要涉及兩個(gè)因素（例如擲兩個(gè)骰子），并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果時(shí)使用。（3）列樹(shù)形圖法：當(dāng)一個(gè)實(shí)驗(yàn)要涉及3個(gè)或更多的因素（例如從3個(gè)口袋中取球）時(shí)，列表就不方便了，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果時(shí)使用?？键c(diǎn)3：頻率與概率1、頻數(shù)：在多次試驗(yàn)中，某個(gè)事件出現(xiàn)的次數(shù)叫頻數(shù)2、頻率：某個(gè)事件出現(xiàn)的次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)的比，叫做這個(gè)事件出現(xiàn)的頻率3、一般地，在大量重復(fù)試驗(yàn)中，如果事件 A發(fā)生的頻率會(huì)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)p附近 ，那么，這個(gè)常數(shù)p就叫作事件A的概率，記為P（A）=P?！绢}型1：事件的類型及其發(fā)生可能性的大小】【典例1】（2023?武漢）擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，下列事件是隨機(jī)事件的是（）A．點(diǎn)數(shù)的和為1 B．點(diǎn)數(shù)的和為6 C．點(diǎn)數(shù)的和大于12 D．點(diǎn)數(shù)的和小于13【答案】B【解答】解：A、兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)的和為1，是不可能事件，故不符合題意；B、兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為6，是隨機(jī)事件，故符合題意；C、點(diǎn)數(shù)的和大于12，是不可能事件，故不符合題意；D、點(diǎn)數(shù)的和小于13，是必然事件，故不符合題意；故選：B．【變式1-1】（2023?徐州）下列事件中的必然事件是（）A．地球繞著太陽(yáng)轉(zhuǎn) B．射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中靶心 C．天空出現(xiàn)三個(gè)太陽(yáng) D．經(jīng)過(guò)有交通信號(hào)燈的路口，遇到紅燈【答案】A【解答】解：地球繞著太陽(yáng)轉(zhuǎn)是必然事件，所以A符合題意；射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中靶心是隨機(jī)事件，所以B不符合題意；天空出現(xiàn)三個(gè)太陽(yáng)是不可能事件，所以C不符合題意；經(jīng)過(guò)有交通信號(hào)燈的路口遇到紅燈是隨機(jī)事件，所以D不符合題意．故選：A．【變式1-2】（2023?營(yíng)口）下列事件是必然事件的是（）A．四邊形內(nèi)角和是360° B．校園排球比賽，九年一班獲得冠軍 C．?dāng)S一枚硬幣時(shí)，正面朝上 D．打開(kāi)電視，正在播放神舟十六號(hào)載人飛船發(fā)射實(shí)況【答案】A【解答】解：A、四邊形內(nèi)角和是360°，是必然事件，故A符合題意；B、校園排球比賽，九年一班獲得冠軍，是隨機(jī)事件，故B不符合題意；C、擲一枚硬幣時(shí)，正面朝上，是隨機(jī)事件，故C不符合題意；D、打開(kāi)電視，正在播放神舟十六號(hào)載人飛船發(fā)射實(shí)況，是隨機(jī)事件，故D不符合題意；故選：A．【變式1-3】（2022?遼寧）下列事件中，是必然事件的是（）A．射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中靶心 B．?dāng)S一次骰子，向上一面的點(diǎn)數(shù)是6 C．任意買一張電影票，座位號(hào)是2的倍數(shù) D．從一個(gè)只裝有紅球的盒子里摸出一個(gè)球是紅球【答案】D【解答】解：A、射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中靶心，是隨機(jī)事件，故A不符合題意；B、擲一次骰子，向上一面的點(diǎn)數(shù)是6，是隨機(jī)事件，故B不符合題意；C、任意買一張電影票，座位號(hào)是2的倍數(shù)，是隨機(jī)事件，故C不符合題意；D、從一個(gè)只裝有紅球的盒子里摸出一個(gè)球是紅球，是必然事件，故D符合題意；故選：D．【題型2：概率的求法】【典例2】（2023?廣東）某學(xué)校開(kāi)設(shè)了勞動(dòng)教育課程．小明從感興趣的“種植”“烹飪”“陶藝”“木工”4門課程中隨機(jī)選擇一門學(xué)習(xí)，每門課程被選中的可能性相等．小明恰好選中“烹飪”的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵共有“種植”“烹飪”“陶藝”“木工”4門興趣課程，∴小明恰好選中“烹飪”的概率為．故選：C．【變式2-1】（2023?哈爾濱）將10枚黑棋子、5枚白棋子裝入一個(gè)不透明的空盒子里，這些棋子除顏色外無(wú)其他差別，從盒子中隨機(jī)取出一枚棋子，則取出的棋子是黑棋子的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：從盒子中隨機(jī)取出一枚棋子有15種等可能結(jié)果，其中取出的棋子是黑棋子的有10種結(jié)果，所以其概率為＝，故選：D．【變式2-2】（2023?婁底）從，3.1415926，3.，，，﹣，中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，此數(shù)是無(wú)理數(shù)的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：從，3.1415926，3.，，，﹣，中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，抽到的無(wú)理數(shù)的有，這2種可能，∴抽到的無(wú)理數(shù)的概率是，故選：A．【變式2-3】（2023?內(nèi)蒙古）從1，2，3這三個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取兩個(gè)不同的數(shù)，分別記作m和n．若點(diǎn)A的坐標(biāo)記作（m，n），則點(diǎn)A在雙曲線y＝上的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：從1，2，3這三個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取兩個(gè)不同的數(shù)，點(diǎn)A的坐標(biāo)共有6種情況：（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），并且它們出現(xiàn)的可能性相等，點(diǎn)A坐標(biāo)在雙曲線y＝上有2種情況：（2，3），（3，2），所以，這個(gè)事件的概率為P＝＝．故選：A．【題型3：用頻率估計(jì)概率】【典例3】（2023?恩施州）縣林業(yè)部門考察銀杏樹(shù)苗在一定條件下移植的成活率，所統(tǒng)計(jì)的銀杏樹(shù)苗移植成活的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：移植的棵數(shù)a1003006001000700015000成活的棵數(shù)b84279505847633713581成活的頻率0.840.930.8420.8470.9050.905根據(jù)表中的信息，估計(jì)銀杏樹(shù)苗在一定條件下移植成活的概率為（精確到0.1）（）A．0.905 B．0.90 C．0.9 D．0.8【答案】C【解答】解：由表格數(shù)據(jù)可得，隨著樣本數(shù)量不斷增加，這種樹(shù)苗移植成活的頻率穩(wěn)定在0.9左右，故估計(jì)銀杏樹(shù)苗在一定條件下移植成活的概率為0.9．故選：C．【變式3-1】（2023?鞍山）在一個(gè)不透明的口袋中裝有紅球和白球共12個(gè)，這些球除顏色外都相同，將口袋中的球攪勻后，從中隨機(jī)摸出1個(gè)球，記下它的顏色后再放回口袋中，不斷重復(fù)這一過(guò)程，共摸球200次，發(fā)現(xiàn)有50次摸到紅球，則口袋中紅球約有3個(gè)．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：由題意可得，口袋中紅球的個(gè)數(shù)約為：12×＝3（個(gè)）．故答案為：3．【變式3-2】（2023?揚(yáng)州）某種綠豆在相同條件下發(fā)芽試驗(yàn)的結(jié)果如下：每批粒數(shù)n2510501005001000150020003000發(fā)芽的頻數(shù)m2494492463928139618662794發(fā)芽的頻率（精確到0.001）1.0000.8000.9000.8800.9200.9260.9280.9310.9330.931這種綠豆發(fā)芽的概率的估計(jì)值為0.93（精確到0.01）．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：根據(jù)表中的發(fā)芽的頻率，當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，發(fā)芽的頻率越來(lái)越穩(wěn)定在0.93左右，所以可估計(jì)這種綠豆發(fā)芽的機(jī)會(huì)大約是0.93．故答案為：0.93．【變式3-3】（2023?錦州）一個(gè)不透明的盒子中裝有若干個(gè)紅球和5個(gè)黑球，這些球除顏色外均相同．經(jīng)多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到黑球的頻率穩(wěn)定在0.25左右，則盒子中紅球的個(gè)數(shù)約為15．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：由題意知，盒子中球的總個(gè)數(shù)為5÷0.25＝20（個(gè)），所以盒子中紅球的個(gè)數(shù)為20﹣5＝15（個(gè)），故答案為：15．【題型4：概率的應(yīng)用】【典例4】（2023?河南）為落實(shí)教育部辦公廳、中共中央宣傳部辦公廳關(guān)于《第41批向全國(guó)中小學(xué)生推薦優(yōu)秀影片片目》的通知精神，某校七、八年級(jí)分別從如圖所示的三部影片中隨機(jī)選擇一部組織本年級(jí)學(xué)生觀看，則這兩個(gè)年級(jí)選擇的影片相同的概率為（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：把三部影片分別記為A、B、C，畫樹(shù)狀圖如下：共有9種等可能的結(jié)果，其中七、八年級(jí)選擇的影片相同的結(jié)果有3種，∴這兩個(gè)年級(jí)選擇的影片相同的概率為＝，故選：B．【變式4-1】（2023?山西）中國(guó)古代的“四書(shū)”是指《論語(yǔ)》《孟子》《大學(xué)》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中國(guó)傳統(tǒng)文化的重要組成部分．若從這四部著作中隨機(jī)抽取兩本（先隨機(jī)抽取一本，不放回，再隨機(jī)抽取另一本），則抽取的兩本恰好是《論語(yǔ)》和《大學(xué)》的概率是．【答案】．【解答】解：把《論語(yǔ)》《孟子》《大學(xué)》《中庸》分別記為A、B、C、D，畫樹(shù)狀圖如下：共有12種等可能的情況，其中抽取的兩本恰好是《論語(yǔ)》和《大學(xué)》的結(jié)果有2種，即AC、CA，∴抽取的兩本恰好是《論語(yǔ)》和《大學(xué)》的概率是＝，故答案為：．【變式4-2】（2023?青島）為了解我國(guó)的數(shù)學(xué)文化，小明和小紅從《九章算術(shù)》《孫子算經(jīng)》《海島算經(jīng)》（依次用A、B、C表示）三本書(shū)中隨機(jī)抽取一本進(jìn)行閱讀，小明先隨機(jī)抽取一本，小紅再?gòu)氖Ｏ碌膬杀局须S機(jī)抽取一本．請(qǐng)用列表或畫樹(shù)狀圖的方法表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果．并求抽取兩本書(shū)中有《九章算術(shù)》的概率．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：畫樹(shù)狀圖為：共有6種等可能的結(jié)果，其中抽取兩本書(shū)中有《九章算術(shù)》的結(jié)果數(shù)為4種，所以抽取兩本書(shū)中有《九章算術(shù)》的概率＝＝．【變式4-3】（2023?內(nèi)江）某校為落實(shí)國(guó)家“雙減”政策，豐富課后服務(wù)內(nèi)容，為學(xué)生開(kāi)設(shè)五類社團(tuán)活動(dòng)（要求每人必須參加且只參加一類活動(dòng)）：A．音樂(lè)社團(tuán)；B．體育社團(tuán)；C．美術(shù)社團(tuán)；D．文學(xué)社團(tuán)；E．電腦編程社團(tuán)．該校為了解學(xué)生對(duì)這五類社團(tuán)活動(dòng)的喜愛(ài)情況，隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì)，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．根據(jù)圖中信息，解答下列問(wèn)題：（1）此次調(diào)查一共隨機(jī)抽取了200名學(xué)生，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖（要求在條形圖上方注明人數(shù)）；（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中圓心角α＝54度；（3）現(xiàn)從“文學(xué)社團(tuán)”里表現(xiàn)優(yōu)秀的甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中隨機(jī)選取兩名參加演講比賽，請(qǐng)用列表或畫樹(shù)狀圖的方法求出恰好選中甲和乙兩名同學(xué)的概率．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）此次調(diào)查一共隨機(jī)抽取的學(xué)生人數(shù)為：50÷25%＝200（名），∴C的人數(shù)為：200﹣30﹣50﹣70﹣20＝30（名），故答案為：200，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中圓心角α＝360°×＝54°，故答案為：54；（3）畫樹(shù)狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好選中甲和乙兩名同學(xué)的結(jié)果有2種，∴恰好選中甲和乙兩名同學(xué)的概率為＝．一．選擇題（共9小題）1．下列事件中，是必然事件的是（）A．?dāng)S一次骰子，向上一面的點(diǎn)數(shù)是6 B．13個(gè)同學(xué)參加一個(gè)聚會(huì)，他們中至少有兩個(gè)同學(xué)的生日在同一個(gè)月 C．射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中靶心 D．打開(kāi)電視，正在播放《大國(guó)工匠》【答案】B【解答】解：A、擲一次骰子，向上一面的點(diǎn)數(shù)是6，是隨機(jī)事件，故A不符合題意；B、13個(gè)同學(xué)參加一個(gè)聚會(huì)，他們中至少有兩個(gè)同學(xué)的生日在同一個(gè)月，是必然事件，故B符合題意；C、射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中靶心，是隨機(jī)事件，故C不符合題意；D、打開(kāi)電視，正在播放《大國(guó)工匠》，是隨機(jī)事件，故D不符合題意；故選：B．2．綜合實(shí)踐小組在課堂進(jìn)行摸球試驗(yàn)．一個(gè)不透明的盒子中裝入紅、白兩種顏色的小球（除顏色外其他都相同）共30個(gè)，摸出一球記錄后放回，多次重復(fù)后發(fā)現(xiàn)摸到紅色小球的頻率穩(wěn)定在0.3左右，則盒子中紅色小球的個(gè)數(shù)可能是（）A．12 B．21 C．9 D．15【答案】C【解答】解：設(shè)盒子中紅色小球的個(gè)數(shù)有x個(gè)，由題意得＝0.3，解得：x＝9．故選：C．3．三根電線，其中只有兩根電線通電，接上小燈泡能正常發(fā)光，小明從三根電線中，隨意選擇兩根電線，接上小燈泡的正負(fù)極，能發(fā)光的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：設(shè)三根電線分別為a，b，c，當(dāng)接上a，b時(shí)，小燈泡正常發(fā)光，從三根電線中，隨意選擇兩根電線，共有a，b；a，c；b，c三種可能，其中滿足題意的只有一種，∴能發(fā)光的概率是，故選：B．4．一個(gè)口袋中有紅球、白球共10個(gè)，這些球除顏色外都相同．將口袋中的球攪拌均勻，從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下它的顏色后再放回口袋中，不斷重復(fù)這一過(guò)程，共摸了100次球，發(fā)現(xiàn)有40次摸到白球．請(qǐng)你估計(jì)這個(gè)口袋中有（）個(gè)紅球．A．2 B．3 C．6 D．8【答案】C【解答】解：根據(jù)題意得：10×＝6（個(gè)），答：估計(jì)這個(gè)口袋中有6個(gè)紅球．故選：C．5．近幾年，二維碼逐漸進(jìn)入了人們的生活，成為廣大民眾生活中不可或缺的一部分．小剛將二維碼打印在面積為20的正方形紙片上，如圖，為了估計(jì)黑色陰影部分的面積，他在紙內(nèi)隨機(jī)擲點(diǎn)，經(jīng)過(guò)大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)落在黑色陰影的頻率穩(wěn)定在0.6左右，則據(jù)此估計(jì)此二維碼中黑色陰影的面積為（）A．8 B．12 C．0.4 D．0.6【答案】B【解答】解：經(jīng)過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)落入黑色部分的頻率穩(wěn)定在0.6左右，據(jù)此可以估計(jì)黑色部分的面積為20×0.6＝12．故選：B．6．從1至12這些自然數(shù)中任意抽取一個(gè)數(shù)，抽取到的數(shù)字是3的倍數(shù)的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：從1至12這些自然數(shù)中是3的倍數(shù)的數(shù)有3、6、9、12，所以任意抽取一個(gè)數(shù)，抽取到的數(shù)字是3的倍數(shù)的概率＝＝．故選：D．7．某小組在“用頻率估計(jì)概率”的實(shí)驗(yàn)中，統(tǒng)計(jì)了某種結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制了如圖所示的折線統(tǒng)計(jì)圖，那么符合這一結(jié)果的實(shí)驗(yàn)最有可能的是（）A．?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的硬幣，落地時(shí)結(jié)果是“正面向上” B．?dāng)S一個(gè)質(zhì)地均勻的正六面體骰子，落地時(shí)朝上的面點(diǎn)數(shù)是6 C．在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機(jī)出的是“石頭” D．袋子中有1個(gè)白球和2個(gè)黃球，只有顏色上的區(qū)別，從中隨機(jī)取出一個(gè)球是黃球【答案】B【解答】解：A、擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，落地時(shí)結(jié)果是“正面向上”的概率為，不符合題意；B、擲一個(gè)質(zhì)地均勻的正六面體骰子，落地時(shí)面朝上的點(diǎn)數(shù)是6的概率為，符合題意；C、在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小小明隨機(jī)出的是“石頭”的概率為，不符合題意；D、袋子中有1個(gè)白球和2個(gè)黃球，只有顏色上的區(qū)別，從中隨機(jī)取出一個(gè)球是黃球的概率，不符合題意；故選：B．8．從思想政治、地理、化學(xué)、生物4門再選科目中選擇2門參加考試，選到地理的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：將思想政治、地理、化學(xué)、生物分別記為A，B，C，D，畫樹(shù)狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中選到地理的結(jié)果有：AB，BA，BC，BD，CB，DB，共6種，∴選到地理的概率為．故選：D．9．在學(xué)習(xí)了“用頻率估計(jì)概率”這一節(jié)內(nèi)容后，某課外興趣小組利用計(jì)算器進(jìn)行模擬試驗(yàn)來(lái)探究“6個(gè)人中有2個(gè)人同月過(guò)生日的概率”，他們將試驗(yàn)中獲得的數(shù)據(jù)記錄如下：試驗(yàn)次數(shù)100300500100016002000“有2個(gè)人同月過(guò)生日”的次數(shù)8022939277912511562“有2個(gè)人同月過(guò)生日”的頻率0.80.7630.7840.7790.7820.781通過(guò)試驗(yàn)，該小組估計(jì)“6個(gè)人中有2個(gè)人同月過(guò)生日”的概率（精確到0.01）大約是（）A．0.8 B．0.784 C．0.78 D．0.76【答案】C【解答】解：通過(guò)圖表給出的數(shù)據(jù)得出，該小組估計(jì)“6個(gè)人中有2個(gè)人同月過(guò)生日”的概率大約是0.78．故選：C．二．填空題（共4小題）10．一個(gè)不透明的袋子里裝有4個(gè)紅球、3個(gè)黃球和1個(gè)黑球，它們除顏色外其余均相同．從袋中任意摸出一個(gè)小球?yàn)榧t球的概率是．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：∵一個(gè)不透明的袋子里裝有4個(gè)紅球、3個(gè)黃球和1個(gè)黑球，∴從袋中任意摸出一個(gè)小球?yàn)榧t球的概率是＝，故答案為：．11．袋子里有3個(gè)紅球，4個(gè)黃球和2個(gè)白球，除顏色外其他均相同．從袋子中任意取出一個(gè)球，取到黃球的可能性大小是．【答案】．【解答】解：∵袋子里有3個(gè)紅球，4個(gè)黃球和2個(gè)白球，∴從袋子中任意取出一個(gè)球，取到黃球的可能性＝＝．故答案為：．12．如圖是一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤分成黑、白兩種顏色．指針的位置固定，轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤停止后，指針恰好指向白色扇形的概率為（指針指向OA時(shí)，當(dāng)作指向黑色扇形；指針指向OB時(shí)，當(dāng)作指向白色扇形），則黑色扇形的圓心角∠AOB＝45°．【答案】45°．【解答】解：由題意知黑色扇形的圓心角∠AOB＝360°×（1﹣）＝45°，故答案為：45°．13．如圖，為測(cè)量平地上一塊不規(guī)則區(qū)域（圖中的陰影部分）的面積，畫一個(gè)邊長(zhǎng)為3m的正方形，使不規(guī)則區(qū)域落在正方形內(nèi)，現(xiàn)向正方形內(nèi)隨機(jī)投擲小石子（假設(shè)小石子落在正方形內(nèi)每一點(diǎn)都是等可能的），經(jīng)過(guò)大量重復(fù)投擲試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)小石子落在不規(guī)則區(qū)域的頻率穩(wěn)定在常數(shù)0.25附近，由此可估計(jì)不規(guī)則區(qū)域的面積是m2．【答案】．【解答】解：根據(jù)題意可估計(jì)不規(guī)則區(qū)域的面積是3×3×0.25＝（m2），故答案為：．三．解答題（共2小題）14．在一個(gè)不透明的口袋里裝有紅、白兩種顏色的球共4個(gè)，它們除顏色外其余都相同．某學(xué)習(xí)小組做摸球試驗(yàn)，將球摚勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)，下表是活動(dòng)進(jìn)行中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：摸球的次數(shù)50010001500200025003000摸到白球的頻率0.7480.7510.7540.7470.7500.749（1）當(dāng)摸球次數(shù)很大時(shí)，摸到白球的頻率將會(huì)接近0.75．（精確到0.01）（2）試估算口袋中白球有3個(gè)．（3）現(xiàn)有另一個(gè)不透明的口袋中裝有一紅一白兩個(gè)球，它們除顏色外其余都相同．一學(xué)生從兩個(gè)口袋中各摸出一個(gè)球，請(qǐng)利用畫樹(shù)狀圖或列表的方法計(jì)算這兩個(gè)球顏色相同的概率．【答案】（1）0.75；（2）3；（3），理由見(jiàn)解析．【解答】解：（1）當(dāng)摸球次數(shù)很大時(shí)，摸到白球的頻率將會(huì)接近0.75；故答案為：0.75（2）由（1）得摸到白球的概率率為0.75，所以可估計(jì)口袋中白球有4×0.75＝3（個(gè)）；故答案為：3（3）將第一個(gè)口袋中3個(gè)白球分別記為白1，白2，白3，畫樹(shù)狀圖如下：共有8種等可能的結(jié)果，其中兩個(gè)球顏色相同的情況有4種．∴兩個(gè)球顏色相同的的概率為．15．由天府新區(qū)管委會(huì)主辦，四川天府新區(qū)太平街道承辦的“莓好世界．莓好相約”四花卉（果類）生態(tài)旅游節(jié)暨天府新區(qū)第十八屆冬草莓節(jié)在2023年12月9日舉行．某校九年級(jí)三班助農(nóng)興趣小組針對(duì)本班級(jí)同學(xué)，就新區(qū)草莓節(jié)的關(guān)注程度進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì)，將調(diào)查結(jié)果分為不關(guān)注，關(guān)注，比較關(guān)注，非常關(guān)注四類（分別用A，B，C，D表示），并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖：根據(jù)圖表信息，解答下列問(wèn)題：（1）九年級(jí)三班一共40人，其中B類所對(duì)應(yīng)的圓心角為36°．（2）九年級(jí)一共有600名學(xué)生，根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果，估計(jì)九年級(jí)學(xué)生選擇D類的有多少人．（3）為了能夠更好的宣傳新區(qū)草莓節(jié)，現(xiàn)從非常關(guān)注草莓節(jié)的甲乙丙丁四名學(xué)生中任選兩人撰寫宣傳稿，請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表法求恰好選到甲和乙的概率．【答案】（1）40；36°．（2）約120人．（3）．【解答】解：（1）九年級(jí)三班共有的人數(shù)為16÷40%＝40（人）．B類所對(duì)應(yīng)的圓心角為360°×＝36°．故答案為：40；36°．（2）選擇A類的人數(shù)為40×＝12（人），∴選擇D類的人數(shù)為40﹣12﹣4﹣16＝8（人），600×＝120（人）．∴估計(jì)九年級(jí)學(xué)生選擇D類的約有120人．（3）畫樹(shù)狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好選到甲和乙的結(jié)果有2種，∴恰好選到甲和乙的概率為＝．一．選擇題（共7小題）1．三個(gè)不透明的口袋中各有三個(gè)相同的乒乓球，將每個(gè)口袋中的三個(gè)乒乓球分別標(biāo)號(hào)為1，2，3．從這三個(gè)口袋中分別摸出一個(gè)乒乓球，出現(xiàn)的數(shù)字正好是等腰三角形三邊長(zhǎng)的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：畫樹(shù)狀圖得：∵共有27種等可能的結(jié)果，兩次摸出的乒乓球標(biāo)號(hào)相同，并且三個(gè)標(biāo)號(hào)符合三角形三邊關(guān)系的有15種結(jié)果，∴出現(xiàn)的數(shù)字正好是等腰三角形三邊長(zhǎng)的概率是＝．故選：B．2．在如圖所示的電路中，隨機(jī)閉合開(kāi)關(guān)S1、S2、S3中的兩個(gè)，能讓燈泡L1發(fā)光的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：畫樹(shù)狀圖得：∵共有6種等可能的結(jié)果，能讓燈泡L1發(fā)光的有2種情況，∴能讓燈泡L1發(fā)光的概率為＝．故選：B．3．現(xiàn)有5張卡片，其中3張卡片正面上的圖案是“”，2張卡片正面上的圖案是“”，它們除此之外完全相同．把這5張卡片背面朝上洗勻，從中隨機(jī)抽取兩張，則這兩張卡片正面圖案相同的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：3張卡片正面上的圖案是“”分別用A、B、C表示，2張卡片正面上的圖案是“”分別用a、b表示，根據(jù)題意畫圖如下：共有20種等可能的情況數(shù)，其中這兩張卡片正面圖案相同的有8種，則這兩張卡片正面圖案相同的概率是＝；故選：B．4．如圖，點(diǎn)O為正六邊形ABCDEF對(duì)角線FD上一點(diǎn)，假設(shè)可以隨機(jī)在正六邊形中取點(diǎn)，那么這個(gè)點(diǎn)取在陰影部分的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：設(shè)DF的長(zhǎng)為2h，則正六邊形的面積為3AF?h，陰影部分的面積為AF?h，∴這個(gè)點(diǎn)取在陰影部分的概率是，故選：B．5．在一個(gè)不透明紙箱中放有除了數(shù)字不同外，其它完全相同的2張卡片，分別標(biāo)有數(shù)字1、2，從中任意摸出一張，放回?cái)噭蚝笤偃我饷鲆粡垼瑑纱蚊龅臄?shù)字之和為奇數(shù)的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：畫樹(shù)狀圖如下：共有4種等可能的結(jié)果，兩次摸出的數(shù)字之和為奇數(shù)的結(jié)果有2種，∴兩次摸出的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為＝，故選：C．6．如圖①所示，平整的地面上有一個(gè)不規(guī)則圖案（圖中陰影部分），小明想了解該圖案的面積是多少，他采取了以下辦法：用一個(gè)面積為20cm2的長(zhǎng)方形，將不規(guī)則圖案圍起來(lái)，然后在適當(dāng)位置隨機(jī)地朝長(zhǎng)方形區(qū)域扔小球，并記錄小球落在不規(guī)則圖案上的次數(shù)（球扔在界線上或長(zhǎng)方形區(qū)域外不計(jì)試驗(yàn)結(jié)果），他將若干次有效試驗(yàn)的結(jié)果繪制成了如圖②所示的折線統(tǒng)計(jì)圖，由此他估計(jì)不規(guī)則圖案的面積大約為（）A．6cm2 B．7cm2 C．8cm2 D．9cm2【答案】B【解答】解：假設(shè)不規(guī)則圖案的面積為xcm2，由已知得：長(zhǎng)方形面積為20cm2，根據(jù)幾何概率公式小球落在不規(guī)則圖案的概率為：，當(dāng)事件A試驗(yàn)次數(shù)足夠多，即樣本足夠大時(shí)，其頻率可作為事件A發(fā)生的概率估計(jì)值，故由折線圖可知，小球落在不規(guī)則圖案的概率大約為0.35，綜上：，解得：x＝7，∴不規(guī)則圖案的面積大約為7cm2，故選：B．7．“七巧板”是古代中國(guó)勞動(dòng)人民的發(fā)明，被譽(yù)為“東方魔板”．圖①是由該圖形組成的正方形，圖②是用該七巧板拼成的“和平鴿”圖形，現(xiàn)將一個(gè)飛鏢隨機(jī)投擲到該圖形上，則飛鏢落在和平鴿頭部（陰影部分）的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：由七巧板的特征可知，陰影部分的面積是七巧板面積的，故飛鏢落在和平鴿頭部（陰影部分）的概率是．故選：C．二．填空題（共3小題）8．將分別標(biāo)有“學(xué)”“習(xí)”“強(qiáng)”“國(guó)”漢字的四個(gè)小球裝在一個(gè)不透明的口袋中，這些球除漢字外無(wú)其它差別，每次摸球前先攪拌均勻，隨機(jī)摸出一球，不放回；再隨機(jī)摸出一球，兩次摸出的球上的漢字組成“強(qiáng)國(guó)”的概率是．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：用樹(shù)狀圖表示所有可能出現(xiàn)的情況有：共有12種等可能出現(xiàn)的情況，其中組成“強(qiáng)國(guó)”的有2種，∴P組成強(qiáng)國(guó)＝＝．故答案為：．9．如圖，點(diǎn)O為正方形的中心，點(diǎn)E、F分別在正方形的邊上，且∠EOF＝90°，隨機(jī)地往圖中投一粒米，則米粒落在圖中陰影部分的概率是．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：設(shè)正方形為ABCD，故點(diǎn)O作OH⊥BC于點(diǎn)H，作OG⊥AB于點(diǎn)G，∵∠EOG+∠GOF＝90°，∠GOF+∠FOH＝90°，∴∠EOG＝∠HOF，∵∠OGE＝∠OHF＝90°，OH＝OG，∴△OGE≌△OHF（AAS），∴S△OGE＝S△OHF，∴S陰影＝S正方形OGBH＝S正方形ABCD，在正方形中，滿足點(diǎn)E、F分別在正方形的邊上（此處采用極限思想），且∠EOF＝90°的圖形如圖所示：因此EOF的面積是正方形總面積的，因此米粒落在圖中陰影部分的概率是．10．如圖是兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤A、B，轉(zhuǎn)盤分成3個(gè)大小相同的扇形，甲乙兩個(gè)人做游戲，游戲規(guī)則：轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤各一次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，指針?biāo)趨^(qū)域的數(shù)字之和為偶數(shù)時(shí)甲獲勝：數(shù)字之和為奇數(shù)時(shí)乙獲勝，若指針落在分界線上，則需要重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，甲獲勝的概率是．【答案】．【解答】解：畫樹(shù)狀圖如下：共有9種等可能的結(jié)果，其中指針?biāo)趨^(qū)域的數(shù)字之和為偶數(shù)的結(jié)果有5種，∴甲獲勝的概率是，故答案為：．三．解答題（共2小題）11．甲、乙兩個(gè)不透明的盒子里分別裝有3張卡片，其中甲盒里3張卡片分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3；乙盒里3張卡片分別標(biāo)有數(shù)字4、5、6，這些卡片除數(shù)字外其余都相同，將卡片充分搖勻．（1）從甲盒里隨機(jī)抽取一張卡片，抽到的卡片上標(biāo)有數(shù)字為偶數(shù)的概率是；（2）從甲盒、乙盒里各隨機(jī)抽取一張卡片，請(qǐng)用列表或樹(shù)狀圖的方法，求抽到的兩張卡片上標(biāo)有數(shù)字之和不大于7的概率．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）從甲盒里隨機(jī)抽取一張卡片，抽到的卡片上標(biāo)有數(shù)字為偶數(shù)的概率是，故答案為：；（2）畫樹(shù)狀圖如下：共有9種等可能的結(jié)果，其中兩張卡片的數(shù)字之和不大于7的結(jié)果有6種，∴抽到的兩張卡片上標(biāo)有數(shù)字之和不大于7的概率為＝．12．我市某中學(xué)舉行“中國(guó)夢(mèng)?我的夢(mèng)”的演講比賽，賽后整理參賽學(xué)生的成績(jī)，將學(xué)生的成績(jī)分為A，B，C，D四個(gè)等級(jí)，并將結(jié)果繪制成如圖所示的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖，但均不完整，請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖解答下列問(wèn)題．（1）參加比賽的學(xué)生人數(shù)共有20名，在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，表示“D等級(jí)”的扇形的圓心角為72度，圖中m的值為40；（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）組委會(huì)決定從本次比賽中獲得A等級(jí)的學(xué)生中，選出兩名去參加市中學(xué)生演講比賽，已知A等級(jí)中男生只有1名，請(qǐng)用畫樹(shù)狀圖或列表的方法求出所選學(xué)生恰是一男一女的概率．【答案】（1）20，72，40．（2）見(jiàn)解析．（3）．【解答】（1）解：根據(jù)題意得：總?cè)藬?shù)為：3÷15%＝20（人），表示“D等級(jí)”的扇形的圓心角為；C等級(jí)所占的百分比為，所以m＝40，故答案為：20，72，40．（2）解：等級(jí)B的人數(shù)為20﹣（3+8+4）＝5（人），補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖，如圖所示：（3）解：根據(jù)題意，列出表格，如下：男女1女2男女1、男女2、男女1男、女1女2、女1女2男、女2女1、女2共有6種等可能結(jié)果，其中恰是一男一女的有4種，所以恰是一男一女的概率為．1．（2023?紹興）在一個(gè)不透明的袋子里裝有2個(gè)紅球和5個(gè)白球，它們除顏色外都相同，從中任意摸出1個(gè)球，則摸出的球?yàn)榧t球的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：從中任意摸出1個(gè)球，則摸到紅球的概率是：＝，故選：C．2．（2023?襄陽(yáng)）襄陽(yáng)氣象臺(tái)發(fā)布的天氣預(yù)報(bào)顯示，明天襄陽(yáng)某地下雨的可能性是75%，則“明天襄陽(yáng)某地下雨”這一事件是（）A．必然事件 B．不可能事件 C．隨機(jī)事件 D．確定性事件【答案】C【解答】解：明天襄陽(yáng)某地下雨的可能性是75%，是說(shuō)“明天襄陽(yáng)某地下雨”的可能性較大，但也不一定會(huì)下雨，因此是隨機(jī)事件，故選：C．3．（2023?丹東）在一個(gè)不透明的袋子中，裝有3個(gè)紅球和若干個(gè)黑球，每個(gè)球除顏色外都相同，若從袋中任意摸出一個(gè)球是紅球的概率為，則袋中黑球的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．3 C．6 D．9【答案】D【解答】解：由題意可得，黑球的個(gè)數(shù)為：3÷﹣3＝3×4﹣3＝12﹣3＝9，故選：D．4．（2023?東營(yíng)）剪紙是中國(guó)最古老的民間藝術(shù)之一，先后入選中國(guó)國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄和人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄．小文購(gòu)買了以“剪紙圖案”為主題的5張書(shū)簽，他想送給好朋友小樂(lè)一張．小文將書(shū)簽背面朝上（背面完全相同），讓小樂(lè)從中隨機(jī)抽取一張，則小樂(lè)抽到的書(shū)簽圖案既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵第2圖和第4圖既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，∴小樂(lè)抽到的書(shū)簽圖案既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的概率＝．故選：C．5．（2023?蘇州）如圖，轉(zhuǎn)盤中四個(gè)扇形的面積都相等，任意轉(zhuǎn)動(dòng)這個(gè)轉(zhuǎn)盤1次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，指針落在灰色區(qū)域的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵圓被等分成4份，其中灰色區(qū)域占2份，∴指針落在灰色區(qū)域的概率為＝．故選：C．6．（2023?安徽）如果一個(gè)三位數(shù)中任意兩個(gè)相鄰數(shù)字之差的絕對(duì)值不超過(guò)1，則稱該三位數(shù)為“平穩(wěn)數(shù)”．用1，2，3這三個(gè)數(shù)字隨機(jī)組成一個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，恰好是“平穩(wěn)數(shù)”的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：用1，2，3這三個(gè)數(shù)字隨機(jī)組成一個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)出現(xiàn)的等可能結(jié)果有：123、132、213、231、312、321，其中恰好是“平穩(wěn)數(shù)”的有123、321，所以恰好是“平穩(wěn)數(shù)”的概率為＝，故選：C．7．（2023?臨沂）在項(xiàng)目化學(xué)習(xí)中，“水是生命之源”項(xiàng)目組為了解本地區(qū)人均淡水消耗量，需要從四名同學(xué)（兩名男生，兩名女生）中隨機(jī)抽取兩人，組成調(diào)查小組進(jìn)行社會(huì)調(diào)查，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：畫樹(shù)狀圖為：共有12種等可能的結(jié)果，其中一名男生和一名女生的結(jié)果數(shù)為8，所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率＝＝．故選：D．8．（2023?河北）有7張撲克牌如圖所示，將其打亂順序后，背面朝上放在桌面上，若從中隨機(jī)抽取一張，則抽到的花色可能性最大的是（）A．（黑桃）B．（紅心）C．（梅花） D．（方塊）【答案】B【解答】解：∵抽到黑桃的概率為，抽到紅心的概率為，抽到梅花的概率為，抽到方塊的概率為，∴抽到的花色可能性最大的是紅心，故選：B．9.（2023?赤峰）某校在勞動(dòng)課上，設(shè)置了植樹(shù)、種