上海市高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末模擬試卷03

20232024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末模擬試卷03考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分測(cè)試范圍：必修二一、填空題（滿分54分，16題每題4分，712題每題5分）1．是虛數(shù)單位，若，則．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模即可求出．【解答】解：，則．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2．已知為虛數(shù)單位，，則的輻角主值為．【分析】由復(fù)數(shù)的輻角主值直接可求．【解答】解：復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)為，設(shè)的輻角主值為，，，，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的輻角主值的求法，屬于基礎(chǔ)題．3．在中，，，，則．【分析】直接代入數(shù)量積計(jì)算公式求解即可．【解答】解：在中，，，，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量的數(shù)量積，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4．在中，點(diǎn)在直線上，且，點(diǎn)在直線上，且，若，則．【分析】根據(jù)三角形法則可得，從而，結(jié)合即可用與表示出，進(jìn)一步即可得出的值．【解答】解：由，得，故，所以，故，，所以．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的基本定理及其意義，考查學(xué)生的邏輯推理和運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題．5．已知虛數(shù)是1的一個(gè)四次方根，復(fù)數(shù)，，用列舉法表示滿足條件的組成的集合為，，．【分析】由題意得或，從而可得，從而代入的不同值求出即可．【解答】解：虛數(shù)是1的一個(gè)四次方根，或，故，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故滿足條件的組成的集合為，，，故答案為：，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運(yùn)算，同時(shí)考查了復(fù)數(shù)的周期性，屬于基礎(chǔ)題．6．已知，，，則．【分析】由題意可得范圍，，進(jìn)而根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，誘導(dǎo)公式即可求解．【解答】解：因?yàn)?，，，所以，，，則．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．7．已知，，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【分析】設(shè)利用分點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出向量，即可求出結(jié)果．【解答】解：設(shè)，，又由、，，，可得，解得，，解得；所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．8．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的向量是，將繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到向量，則向量所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（結(jié)果用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式表示）．【分析】把繞原點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，可知與所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，代入三角函數(shù)值，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案．【解答】解：向量與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)，把繞原點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，可得與對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．9．已知函數(shù)，，的部分圖象如圖所示，則的解析式為．【分析】由圖象可知，可求周期，利用周期公式可求，從而可求，代入點(diǎn)，，結(jié)合范圍，可求，即可得解解析式．【解答】解：（1）由圖象可知，，周期，，，則，從而，代入點(diǎn)，，得，則，，即，，又，則，，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的圖象變換，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．10．已知函數(shù)，對(duì)于任意，都有成立，則．【分析】對(duì)于任意，都有成立，則是的最大值，由兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)式，由正弦函數(shù)的最大值求得，再計(jì)算其正弦值．【解答】解：，對(duì)于任意，都有成立，則是的最大值，所以，，，，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩角和的正弦公式，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．11．設(shè)函數(shù)的最小正周期為，且其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則在下面四個(gè)結(jié)論中：（1）圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；（2）圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；（3）在上是增函數(shù)；（4）在上是增函數(shù)，那么所有正確結(jié)論的編號(hào)為（2）（4）．【分析】首先由三角函數(shù)周期公式和對(duì)稱軸方程，求出和，然后再由三角函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱性的規(guī)律：對(duì)稱軸處取最值，對(duì)稱中心為零點(diǎn)．由此再結(jié)合函數(shù)的最小正周期，則不難從（1）、（2）中選出．再解一個(gè)不等式：，取適當(dāng)?shù)闹担涂梢詮模?）、（4）中選出是（4）正確的．【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)最小正周期為，故再根據(jù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，得出取，得所以函數(shù)表達(dá)式為：當(dāng)時(shí)，函數(shù)值，因此函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱所以（2）是正確的解不等式：得函數(shù)的增區(qū)間為：所以（4）正確的．故答案為（2）（4）【點(diǎn)評(píng)】本題著重考查了三角函數(shù)的周期性、對(duì)稱性和單調(diào)性，屬于中檔題．熟悉三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，能對(duì)正余弦曲線進(jìn)行合理地變形，找出其中的規(guī)律所在，是解決本題的關(guān)鍵．12．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，，則．【分析】由正弦定理可得，再利用化簡(jiǎn)可得，再結(jié)合兩角差的正弦公式求解即可．【解答】解：，，由正弦定理得，，，，，又，，，即，，，又，，，，即．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用，考查了兩角和與差的三角函數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題．二、選擇題（共18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）13．設(shè)為虛數(shù)單位，，“復(fù)數(shù)是純虛數(shù)”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】先化簡(jiǎn)，求出，根據(jù)充分必要條件的定義再判斷即可．【解答】解：復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則，，所以是的必要不充分條件，故選：．【點(diǎn)評(píng)】考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算及其定義，充分必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題．14．的三角形式是A． B． C． D．【分析】提取復(fù)數(shù)的模，結(jié)合三角函數(shù)的值即可化代數(shù)形式為三角形式．【解答】解：．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查化復(fù)數(shù)的代數(shù)形式為三角形式，考查三角函數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題．15．現(xiàn)有下列四個(gè)結(jié)論：①對(duì)任意向量、，有；②對(duì)任意向量，有；③對(duì)任意復(fù)數(shù)，有；④對(duì)任意復(fù)數(shù)，有．其中正確的個(gè)數(shù)為A．0 B．1 C．2 D．3【分析】對(duì)于①和②，由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則，即可判斷；對(duì)于③和④，設(shè)復(fù)數(shù)，分別計(jì)算，和，即可判斷．【解答】解：①，，只有當(dāng)，時(shí)，才有，即①錯(cuò)誤；②，即②正確；對(duì)于③和④，設(shè)復(fù)數(shù)，則，，所以與不一定相等，即③錯(cuò)誤；而，所以與相等，即④正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量與復(fù)數(shù)，熟練掌握平面向量的數(shù)量積，復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則和模的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．16．已知的外心是，且，，則在方向上的投影向量為A． B． C． D．【分析】設(shè)，先證四邊形是矩形，再得，然后由投影向量的計(jì)算方法，得解．【解答】解：設(shè)，因?yàn)椋?，所以四邊形是平行四邊形，且為圓的直徑，所以，即四邊形是矩形，因?yàn)椋詾榈冗吶切?，所以，所以在方向上的投影向量為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的投影向量的求法，熟練掌握平面向量的加法和數(shù)量積的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．三、解答題（共78分，第17、18、19題每題14分，第20、21題每題18分）．17．已知向量，，．（1）求向量與的夾角的大??；（2）若，求實(shí)數(shù)的值．【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)向量與的夾角為，由、的坐標(biāo)可得、以及的值，計(jì)算可得的值，結(jié)合的范圍，分析可得答案；（2）根據(jù)題意，求出的坐標(biāo)，由向量垂直的判斷方法可得，解可得的值，即可得答案．【解答】解：（1）根據(jù)題意，設(shè)向量與的夾角為，向量，，則，，，則，又因?yàn)?，，故；?）向量，，，則，因?yàn)椋?，解可得；故；故答案為：?）；（2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量數(shù)量積的計(jì)算，涉及向量的坐標(biāo)計(jì)算以及數(shù)量積的坐標(biāo)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．18．已知，其中是虛數(shù)單位，為實(shí)數(shù)．（1）當(dāng)為純虛數(shù)時(shí)，求的值；（2）當(dāng)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限時(shí)，求的取值范圍．【分析】（1）直接由實(shí)部為0且虛部不為0列式求解值；（2）利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由實(shí)部小于0且虛部大于0聯(lián)立不等式組求解．【解答】解：（1）為純虛數(shù)，，解得；（2）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，，解得或．的取值范圍是，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．19．（1）指出函數(shù)的最大值，及函數(shù)取得最大值時(shí)所對(duì)應(yīng)的的值，并畫(huà)出該函數(shù)在一個(gè)最小正周期內(nèi)的大致圖像；（2）指出正弦函數(shù)的單調(diào)性，并以此為依據(jù)證明：余弦函數(shù)在區(qū)間，是嚴(yán)格增函數(shù)．【分析】（1）首先利用倍角公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求最值，五點(diǎn)作圖法作圖．（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合誘導(dǎo)公式直接化為余弦函數(shù)，即可證明．【解答】解：（1）由題意，，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取得最大值2．取，，列表如下：00200該函數(shù)在一個(gè)最小正周期內(nèi)的大致圖象如右圖所示．（2）正弦函數(shù)在上的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，證明：任取、，令，，則，，由于是正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，所以，，即，故余弦函數(shù)在區(qū)間，是嚴(yán)格增函數(shù)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，五點(diǎn)作圖法，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識(shí)，屬中檔題．20．如圖，某人位于臨河的公路上，已知公路兩個(gè)相鄰路燈、之間的距離是，為了測(cè)量點(diǎn)與河對(duì)岸一點(diǎn)之間的距離，此人先后測(cè)得，．（1）求、兩點(diǎn)之間的距離；（2）假設(shè)你只攜帶著量角器（可以測(cè)量以你為頂點(diǎn)的角的大小）．請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)通過(guò)測(cè)量角可以計(jì)算出河對(duì)岸兩點(diǎn)、之間距離的方案，用字母表示所測(cè)量的角的大小，并用其表示出的長(zhǎng)．【分析】（1）在中，利用三角形內(nèi)角和定理，誘導(dǎo)公式以及正弦定理即可求解的值．（2）通過(guò)測(cè)量可得，，，在中，由正弦定理可得，在中，由余弦定理可求的值．【解答】解：（1）在中，，，，由正弦定理可得，即．答：、兩點(diǎn)之間的距離為．（2）通過(guò)測(cè)量可得，，．在中，由正弦定理，有，可得，在中，由余弦定理有或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，誘導(dǎo)公式以及正弦定理，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．21．如圖，平