河南省駐馬店市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題文含解析

PAGE23-河南省駐馬店市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題文（含解析）本試題卷分為第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分．考生作答時，將答案答在答題卡上，在本試題卷上答題無效．留意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫（涂）在答題卡上．考生要仔細核對答題卡上粘貼的條形碼的“準考證號、姓名”與考生本人準考證號、姓名是否一樣．2．第I卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．第II卷用黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答，在試題上作答，答案無效．3．考試結(jié)束，監(jiān)考老師將答題卡收回．第I卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分．共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的，將正確答案的代號涂在答題卡上．1.已知，i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡，再由實部大于0且虛部小于0聯(lián)立不等式組求解．【詳解】解：復(fù)數(shù)，對應(yīng)點在第四象限，則，解得：．實數(shù)的取值范圍是．故選：．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．2.若雙曲線離心率為2，則其漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由離心率是2得，代入得，求出的值，再求出雙曲線的漸近線方程．【詳解】解：由題意得，，則即，所以雙曲線的漸近線方程為，即，故選：B．【點睛】本題考查雙曲線的標準方程以及簡潔的幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．3.在一組樣本數(shù)據(jù)，，…，（，，…不全相等）的散點圖中，若全部樣本點都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為（）A.-3 B.0 C.-1 D.1【答案】C【解析】因為全部樣本點都在直線上，所以回來直線方程是，可得這兩個變量是負相關(guān)，故這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為負值，且全部樣本點，都在直線上，則有相關(guān)系數(shù)，故選C.4.在下列結(jié)論中，正確的是（）A.“”是“”的必要不充分條件B.若為真命題，則p，q均為真命題C.命題“若，則”的否命題為“若，則”D.已知命題，都有，則，使【答案】D【解析】【分析】對于A，解不等式，可知A不正確；對于B，命題與命題一個為真命題、一個為假命題時，可得命題“”是真命題，所以B不正確；對于C，只否定了結(jié)論，沒有否定條件，故C不正確；對于D，依據(jù)命題的否定的概念，可知D正確.【詳解】對于A，時，則成立，但是當(dāng)時，或.所以“”是“”的充分不必要條件，故A錯誤；對于B，若為真命題，則p，q至少一個為真命題，故B錯誤；對于C，“若，則”的否命題為“若，則”故C錯誤；對于D，，都有，則，使，故D正確.故選：D．【點睛】本題考查了命題真假的推斷，充分、必要條件，特稱命題的否定，原命題的否命題，復(fù)合命題與簡潔命題的關(guān)系等學(xué)問，是基礎(chǔ)題．5.朱世杰是中國歷史上最宏大的數(shù)學(xué)家之一，他所著的《四元玉鑒》卷中“如像招數(shù)”五問中有如下問題：“今有官司差夫一千六百二十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日轉(zhuǎn)多八人．其大意為"官府接連派遣1624人前往修筑堤壩，第一天派出64人，從其次天起先每天派出的人數(shù)比前一天多8人”，則在該問題中的1624人全部派遣到位須要的天數(shù)為（）A.12 B.14 C.16 D.18【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意可知，每天派遣的人數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，首項為64，公差為8.設(shè)每天派出的人數(shù)組成數(shù)列，由等差數(shù)列前n項和公式=，解得可得選項.【詳解】依據(jù)題意設(shè)每天派出的人數(shù)組成數(shù)列，分析可得數(shù)列是首項，公差的等差數(shù)列，該問題中的1864人全部派遣到位的天數(shù)為，則，解得，（舍去）滿意方程，故選：B.【點睛】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，等差數(shù)列求和，關(guān)鍵是建立等差數(shù)列的數(shù)學(xué)模型，屬于基礎(chǔ)題.6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入n的值為3，則輸出S的值是（）A.3 B.2 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量的值，模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的改變狀況，可得答案．【詳解】解：輸入的值為3，當(dāng)時，滿意接著循環(huán)的條件，執(zhí)行完循環(huán)體后，，；當(dāng)時，滿意接著循環(huán)的條件，執(zhí)行完循環(huán)體后，，；當(dāng)時，滿意接著循環(huán)的條件，執(zhí)行完循環(huán)體后，，；當(dāng)時，不滿意接著循環(huán)的條件，故輸出的值為4，故選：C．【點睛】本題考查的學(xué)問點是程序框圖，在寫程序的運行結(jié)果時，我們常運用模擬循環(huán)的變法，但程序的循環(huán)體中變量比較多時，要用表格法對數(shù)據(jù)進行管理．7.下表供應(yīng)了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后在生產(chǎn)產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗（噸）的幾組對應(yīng)數(shù)據(jù)，依據(jù)表中供應(yīng)的數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的線性回來直線方程為，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗與產(chǎn)量呈正相關(guān)B.的取值必定是C.回來直線肯定過點D.產(chǎn)品每多生產(chǎn)噸，相應(yīng)的生產(chǎn)能耗約增加噸【答案】B【解析】【分析】依據(jù)回來直線的斜率可推斷A、D選項；利用回來直線過樣本的中心點可推斷B、C選項.【詳解】對于A、D選項，由于回來直線的斜率為，所以，產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗與產(chǎn)量呈正相關(guān)，產(chǎn)品每多生產(chǎn)噸，相應(yīng)的生產(chǎn)能耗約增加噸，A、D選項都正確；對于B、C選項，由表格中的數(shù)據(jù)可得，，由于回來直線過樣本的中心點，則，解得.所以，B選項錯誤，C選項正確.故選：B.【點睛】本題考查回來直線有關(guān)命題真假的推斷，考查回來直線方程的意義以及回來直線過樣本的中心點這個結(jié)論的應(yīng)用，考查計算實力，屬于基礎(chǔ)題.8.若數(shù)列滿意，則稱為“幻想數(shù)列”，已知數(shù)列為“幻想數(shù)列”，且，則（）A.18 B.16 C.32 D.36【答案】A【解析】【分析】依據(jù)“幻想數(shù)列”的定義，得出數(shù)列為公比為的等比數(shù)列，進而得到數(shù)列為公比為3的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，即可求解.【詳解】依據(jù)題意，幻想數(shù)列滿意，即，即數(shù)列為公比為的等比數(shù)列，若數(shù)列“幻想數(shù)列”，則，即，即數(shù)列為公比為3的等比數(shù)列，若，則.故選：A.【點睛】本題主要考查數(shù)列的新定義，以及等比數(shù)列的通項公式及性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中依據(jù)“幻想數(shù)列”得到數(shù)列為公比為3的等比數(shù)列是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運算實力.9.在△中，若，則△的最大內(nèi)角與最小內(nèi)角的和為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由正弦定理可得，，三邊的關(guān)系，由大邊對大角可得最小，最大；由余弦定理可得的值，進而由三角形內(nèi)角和為可得的值．【詳解】解：因為，由正弦定理可得，設(shè)，，，三角形中由大邊對大角可得角最大，角最小，由余弦定理可得，因為，所以，所以，故選：．【點睛】本題考查三角形的正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．10.若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，對，都有成立，且，則不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性，將所求不等式變形為，利用函數(shù)的單調(diào)性即可得出結(jié)果.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，該函數(shù)的定義域為，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，由，得，即，.因此，不等式的解集是.故選：B.【點睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性解函數(shù)不等式，依據(jù)導(dǎo)數(shù)不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)是解答的關(guān)鍵，考查分析問題和解決問題的實力，屬于中等題.11.若函數(shù)在上有最大值，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】因為給的是開區(qū)間，最大值肯定是在該極大值點處取得，因此對原函數(shù)求導(dǎo)、求極大值點，求出函數(shù)極大值時的值，然后讓極大值點落在區(qū)間內(nèi)，依此構(gòu)造不等式．即可求解實數(shù)的值．【詳解】解：由題意，所以，當(dāng)或時，；當(dāng)時，，故是函數(shù)的極大值點，，，解得，所以由題意應(yīng)有：，解得．故選：D．【點睛】本題考查了三次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值問題，肯定要辨析清晰是開區(qū)間還是閉區(qū)間，從而確定最值點與極值點的關(guān)系；本題另一個易錯點為易忽視定義域中的條件．12.已知橢圓的左、右焦點分別為、，點P在橢圓上且異于長軸端點，點M，N在△所圍區(qū)域之外，且始終滿意，，則的最大值為（）A.8 B.7 C.10 D.9【答案】A【解析】【分析】設(shè)，的中點分別為，，則，在分別以，為圓心的圓上，直線與兩圓的交點△所圍區(qū)域之外）分別為，時，的最大，可得的最大值為即可．【詳解】解：設(shè)，的中點分別為，，，，則，在分別以，為圓心的圓上，∴直線與兩圓的交點△所圍區(qū)域之外）分別為，時，最大，又橢圓，所以，∴的最大值為，故選：A．【點睛】本題考查了橢圓的定義與性質(zhì)，以及兩個圓上的點的距離的最值，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．將答案填在答題卡相應(yīng)的位置上）13.若實數(shù)x，y滿意約束條件，則的最小值為__________．【答案】1【解析】【分析】由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求出最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)得答案．【詳解】畫出不等式組對應(yīng)的可行域，如圖所示，由可得，數(shù)形結(jié)合可得當(dāng)直線過A時，直線在y軸上的截距最大，z有最小值，聯(lián)立，解得A（1，2），此時z有最小值為3×1﹣2＝1．故答案為：1【點睛】本題主要考查簡潔線性規(guī)劃求解目標函數(shù)的最值問題．其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域，利用“一畫、二移、三求”，確定目標函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，及推理與計算實力，屬于基礎(chǔ)題．14.已知曲線的某條切線過原點，則此切線的斜率為__________．【答案】【解析】【分析】設(shè)切點坐標為，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，切線的方程，代入，求切點坐標，切線的斜率．【詳解】解：設(shè)切點坐標為，，，切線的斜率是，切線的方程為，將代入可得，，切線的斜率是；故答案為：．【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用切線斜率和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系可以切點坐標．15.有下列一組不等式：，依據(jù)這一規(guī)律，若第2024個不等式為，則__________．【答案】6064【解析】【分析】由歸納推理得：第個不等式為：，若第2024個不等式為，所以，，即可得解．【詳解】解：因為由，，，，，依據(jù)這一規(guī)律，則第個不等式為：，若第2024個不等式為，即，，所以，，即，故答案為：．【點睛】本題考查了歸納推理，屬于基礎(chǔ)題．16.在△中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，，則當(dāng)角C取最大值時，△的面積為__________．【答案】【解析】【分析】由余弦定理可得，再利用基本不等式的性質(zhì)可得的最大值，再利用三角形面積計算公式即可得出．【詳解】解：，，在中，由余弦定理可得：，，時取等號．此時，，，當(dāng)取最大值時，的面積．故答案為：．【點睛】本題考查了余弦定理、基本不等式的性質(zhì)、三角形面積計算公式，考查了推理實力與計算實力，屬于中檔題．三、解答題：本大題共6個小題，滿分70分．解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或推演步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必需作答．第22～23題為選考題，考生依據(jù)要求作答．（―）必考題：共60分17.為改進課堂教學(xué)，某數(shù)學(xué)老師在甲、乙兩個平行班級分別用“傳統(tǒng)教學(xué)”和“新課堂教學(xué)”兩種不同的教學(xué)方式進行教學(xué)試驗，為了比較教學(xué)效果，期中考試后，分別從兩個班級中各隨機抽取20名學(xué)生的成果進行統(tǒng)計，作出如下的莖葉圖：記成果不低于70分者為“成果優(yōu)良”．（1）分別計算甲、乙兩班20個樣本中，數(shù)學(xué)分數(shù)前十的平均分，并大致推斷哪種教學(xué)方式的教學(xué)效果更佳；（2）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表，并推斷能否有95%的把握認為“成果優(yōu)良與教學(xué)方式有關(guān)”？附：參考公式：，其中．獨立性檢驗臨界值表：0．100．050．0250．0102．7063．8415．0246．635【答案】（1）80.9；89.4；“新課堂”教學(xué)方式的教學(xué)效果更佳；（2）列聯(lián)表答案見解析；有95%的把握認為“成果優(yōu)良與教學(xué)方式有關(guān)”.【解析】【分析】（1）依據(jù)莖葉圖，利用平均數(shù)公式計算甲、乙兩班數(shù)學(xué)成果前10名學(xué)生的平均分即可；（2）填寫列聯(lián)表，計算，比照數(shù)表即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）甲班樣本數(shù)學(xué)成果前十的平均分為乙班樣本數(shù)學(xué)成果前十的平均分為因為甲班樣本數(shù)學(xué)成果前十的平均分遠低于乙班樣本數(shù)學(xué)成果前十的平均分，大致可以推斷“新課堂”教學(xué)方式的教學(xué)效果更佳．（2）甲班乙班總計成果優(yōu)良101626成果不優(yōu)良10414總計202040依據(jù)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得的觀測值為，∴有95%的把握認為“成果優(yōu)良與教學(xué)方式有關(guān)”.【點睛】本題考查了計算平均數(shù)與獨立性檢驗的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)依據(jù)列聯(lián)表求出觀測值，比照臨界值表得出結(jié)論，屬于基礎(chǔ)題．18.已知是單調(diào)遞減的等比數(shù)列，，且成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前50項和．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，運用等比數(shù)列的通項公式和等差數(shù)列的中項性質(zhì)，可得首項和公比的方程，解方程可得首項和公比，進而得到所求通項公式；（2）求得，再由數(shù)列的裂項相消求和．【詳解】解：（1）設(shè)是公比為q的等比數(shù)列，因為，且成等差數(shù)列，故可得，又因為，所以，解得或者，，又因為是單調(diào)遞減的等比數(shù)列，所以，則；（2），，，．【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式和等差數(shù)列的中項性質(zhì)，考查數(shù)列的裂項相消求和，以及化簡運算實力，屬于中檔題．19.在△中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知．（1）求角B；（2）若△為銳角三角形，且，求△面積的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由題設(shè)及正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用結(jié)合，，可求，進而可求的值．（2）由題設(shè)及正弦定理，可求，結(jié)合，可求，可求范圍，進而依據(jù)三角形的面積公式即可求解面積的取值范圍．【詳解】（1）由題設(shè)及正弦定理得因為，所以．由，可得，故．因為，故，由．（2）由題設(shè)及（1）知的面積．由正弦定理得．由于為銳角三角形，故，，由（1）知，所以，故，所以，從而．因此，面積的取值范圍是．【點睛】本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角形的面積公式等學(xué)問在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算實力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．20.在直角坐標系xOy中，已知點，，直線AM，BM交于點M，且直線AM與直線BM的斜率滿意：．（1）求點M的軌跡C的方程；（2）設(shè)直線l交曲線C于P，Q兩點，若直線AP與直線AQ的斜率之積等于，證明：直線l過定點．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）設(shè)，結(jié)合，坐標，通過斜率關(guān)系，求解即可．（2）設(shè)，，，，通過，得到，求出直線的方程：，說明直線恒過定點．【詳解】解：（1）設(shè)，又，，則，可得，因為，所以M的軌跡C的方程為；（2）證明，設(shè)，，，又，可得，又因為，即有，即由直線l的斜率為可得直線l的方程為，化為，又因為，可得，可得直線恒過定點．【點睛】本題考查軌跡方程的求法，直線系方程的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算實力，屬于中檔題．21.已知函數(shù)．（1）若是定義域上的單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若在定義域上有兩個極值點，證明：．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）對函數(shù)進行求導(dǎo)得，再將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)函數(shù)值的正負問題探討；（2）由（1）知，當(dāng)，有微小值點和極大值，且，，利用消元法將變成關(guān)于的函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的最值，即可證明不等式；【詳解】（1）∵，∴令則∵，∴對稱軸①當(dāng)時，，，∴，故在單調(diào)遞減．②當(dāng)時，，方程有兩個不相等的正根，不妨設(shè)，則當(dāng)時，，當(dāng)）時，，這時不是單調(diào)函數(shù)．綜上，a的取值范圍是．（2）由（1）知，當(dāng)，有微小值點和極大值，且，，，令則當(dāng)時，∴在單調(diào)遞減，所以故．【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性、不等式的證明，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類探討思想，考查邏輯推理實力、運算求解實力，求解時留意函數(shù)構(gòu)造法的應(yīng)用.（二）選考題：共10分．請考生在第22．23題中任選一題作答．假如多做，則按所做的第一題計分．【選修4-4：坐標系與參數(shù)方程】22.在平面直角坐標系xOy中，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，為傾斜角），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，在平面直角坐標系xOy中，將曲線上全部點的橫坐標不變，縱坐標伸長為原來的2倍，再向上平移2個單位長度得到曲線．（1）求曲線、的直