2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)單元雙優(yōu)測評卷-第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用B卷含解析

PAGEPAGE26第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用B卷培優(yōu)提能過關(guān)卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1．與曲線和都相切的直線與直線垂直，則=（）A．-8 B．-3 C．4 D．62．若函數(shù)存在零點，則的取值范圍為（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)，若不等式對隨意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．4．已知，，，則，，的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，，當(dāng)時，恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．6．定義：若存在n個正數(shù)，使得，則稱函數(shù)為“n階奇性函數(shù)”.若函數(shù)是“2階奇性函數(shù)”，則實數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．7．已知為定義在上的偶函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，若當(dāng)時，，則不等式的解集是（）A． B． C． D．8．已知實數(shù)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分9．假如函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則以下關(guān)于函數(shù)的推斷正確的是（）A．在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減 B．在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增C．是微小值點 D．是極大值點10．若直線與曲線滿意下列兩個條件：①直線在點處與曲線相切；②曲線在點旁邊位于直線的兩側(cè)，則稱直線在點處“切過”曲線.則下列結(jié)論正確的是（）A．直線在點處“切過”曲線B．直線在點處“切過”曲線C．直線在點處“切過”曲線D．直線在點處“切過”曲線11．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，．則下列結(jié)論正確的是（）．A．當(dāng)時，B．函數(shù)有五個零點C．若關(guān)于的方程有解，則實數(shù)的取值范圍是D．對，恒成立12．若函數(shù)的值域為，則（）A． B．C． D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13．若函數(shù)在區(qū)間(－2，1)上恰有一個極值點，則實數(shù)a的取值范圍為____14．已知函數(shù)，，若，則的最小值為______.15．定義在上的函數(shù)滿意：，且當(dāng)時，，則不等式的解集為______．16．關(guān)于函數(shù)有如下四個命題：①的圖象關(guān)于原點對稱；②在，上單調(diào)遞增；③函數(shù)共有6個極值點；④方程共有6個實根．其中全部真命題的序號是__．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17．已知函數(shù).（1）若在時有極值，求函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)時，，求的取值范圍.18．設(shè)函數(shù)．（1）若曲線在點處的切線與直線垂直，求的單調(diào)遞減區(qū)間和微小值（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）；（2）若對任何恒成立，求的取值范圍．19．已知函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在內(nèi)有極值，試推斷極值點的個數(shù)并求的取值范圍．20．已知函數(shù).（1）若，求在處的切線方程；（2）若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間和極值；（3）當(dāng)時，探討函數(shù)的零點個數(shù).21．已知函數(shù)，，．（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若，且的極大值大于0，求實數(shù)的取值范圍．22．已知函數(shù)和函數(shù).（1）求函數(shù)的微小值；（2）探討函數(shù)的極值點的個數(shù)，并說明理由；（3）是否存在正實數(shù)使函數(shù)的極值為，若存在求出的值，若不存在，說明理由一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1．與曲線和都相切的直線與直線垂直，則=（）A．-8 B．-3 C．4 D．6【答案】A【解析】因為直線與直線垂直，所以直線的斜率為2，設(shè)直線與相切于，因為，所以，解得，故直線與相切于，設(shè)直線與相切于，因為，則，解得，則，所以直線的方程為，即，在直線上，則，解得.故選：A.2．若函數(shù)存在零點，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)存在零點，即有根.因為，所以有根.設(shè)，則，即令，則，當(dāng)時，，所以在上單增；當(dāng)時，，所以在上單減；所以當(dāng)時，y有最小值1.要使有解，只需.故選：B.3．已知函數(shù)，若不等式對隨意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，函數(shù)，可得，所以函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時，可得，令，可得，所以函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，可得，所以在上單調(diào)遞增，則不等式對隨意恒成立，等價于不等式對隨意恒成立，即對隨意恒成立，即對隨意恒成立，所以對隨意恒成立，則對隨意恒成立，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是．故選：D．4．已知，，，則，，的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】令函數(shù)，則，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，所以，因為，，，所以，，，所以，即，因為，可得，又因為，則，同理，，所以，，因為當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以．故選：C．5．已知函數(shù)，，當(dāng)時，恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，當(dāng)時，上式可變形為：，問題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)時，恒成立，設(shè)，，，因為，，所以，因此，所以當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)增，故，要想當(dāng)時，恒成立，只需，設(shè)，，，當(dāng)時，，所以函數(shù)單調(diào)遞增，而，明顯當(dāng)，成立，故選：B6．定義：若存在n個正數(shù)，使得，則稱函數(shù)為“n階奇性函數(shù)”.若函數(shù)是“2階奇性函數(shù)”，則實數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，方程有且只有兩個正根，即有且只有兩個正根，方程可以化為：，因此轉(zhuǎn)化為函數(shù)與在y軸右側(cè)的圖象有兩個交點，先探討函數(shù)的圖象，因為，當(dāng)時，；當(dāng)時，且當(dāng)x=1時，y=0，y'=1，在x=1處切線的斜率是1，簡圖如圖所示：直線過點(1，0)斜率為m，由圖像有兩個交點，可以得到m>0且.故選：D7．已知為定義在上的偶函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，若當(dāng)時，，則不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，在為減函數(shù)，而，而在上，，，所以；在上，，，所以；由在成立，可知，∴在上，，又函數(shù)為偶函數(shù)，∴在上，不等式等價于，∴.故選：A.8．已知實數(shù)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】解：∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時，有；當(dāng)時，恒成立，令，，則，∵，∴，即在上單調(diào)遞增，∴，要使當(dāng)時恒成立，則，解得.∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴還須要滿意，即，綜上，的取值范圍是.故選：A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分9．假如函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則以下關(guān)于函數(shù)的推斷正確的是（）A．在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減 B．在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增C．是微小值點 D．是極大值點【答案】BD【解析】解：．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)，則函數(shù)單調(diào)遞增；故不正確，．函數(shù)在區(qū)間的導(dǎo)數(shù)為，在區(qū)間上單調(diào)遞增，正確；．由圖象知當(dāng)時，函數(shù)取得微小值，但是函數(shù)沒有取得微小值，故錯誤，．時，，當(dāng)時，，為增函數(shù)，，此時此時函數(shù)為減函數(shù)，則函數(shù)內(nèi)有極大值，是極大值點；故正確，故選：．10．若直線與曲線滿意下列兩個條件：①直線在點處與曲線相切；②曲線在點旁邊位于直線的兩側(cè)，則稱直線在點處“切過”曲線.則下列結(jié)論正確的是（）A．直線在點處“切過”曲線B．直線在點處“切過”曲線C．直線在點處“切過”曲線D．直線在點處“切過”曲線【答案】ACD【解析】A項,因為,當(dāng)時,,所以是曲線在點處的切線.當(dāng)時,；當(dāng)時,,所以曲線在點旁邊位于直線的兩側(cè),結(jié)論正確；B項,,當(dāng)時,,在處的切線為.令,則,當(dāng)時,；當(dāng)時,,所以.故,即當(dāng)時,曲線全部位于直線的下側(cè)（除切點外）,結(jié)論錯誤；C項,,當(dāng)時,,在處的切線為,由正弦函數(shù)圖像可知,曲線在點旁邊位于直線的兩側(cè),結(jié)論正確；D項,,當(dāng)時,,在處的切線為,由正切函數(shù)圖像可知,曲線在點旁邊位于直線的兩側(cè),結(jié)論正確.故選：ACD.11．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，．則下列結(jié)論正確的是（）．A．當(dāng)時，B．函數(shù)有五個零點C．若關(guān)于的方程有解，則實數(shù)的取值范圍是D．對，恒成立【答案】AD【解析】設(shè)，則，所以，又函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，所以，即故A正確．當(dāng)時，，所以，令，解得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，函數(shù)取得微小值，當(dāng)時，，又，故函數(shù)在僅有一個零點．當(dāng)時，，所以函數(shù)在沒有零點，所以函數(shù)在上僅有一個零點，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，故函數(shù)在上僅有一個零點，又，故函數(shù)是定義在上有3個零點．故B錯誤．作出函數(shù)的大致圖象，由圖可知若關(guān)于的方程有解，則實數(shù)的取值范圍是.故C錯誤．由圖可知，對，故D正確．故選：AD．12．若函數(shù)的值域為，則（）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】時，，，單調(diào)遞增，∴，A正確；時，，，單調(diào)遞減，∴，∵值域是，∴，B正確；設(shè)，則，當(dāng)時，．單調(diào)遞增，∴，即，又，而在遞減，∴，C錯；設(shè)，則，令，則在時恒成立，在上單調(diào)遞增，因此時，，，∴是減函數(shù)，又，∴，即，，D正確．故選：ABD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13．若函數(shù)在區(qū)間(－2，1)上恰有一個極值點，則實數(shù)a的取值范圍為____【答案】【解析】由題意，函數(shù)在區(qū)間(－2，1)上恰有一個極值點，即在區(qū)間(－2，1)上恰有一個變號零點令，即在區(qū)間(－2，1)上有唯一的變號零點依據(jù)二次函數(shù)根的分布可知：，即此時端點值是否成立不確定.（1）當(dāng)時，在區(qū)間(－2，1)上有唯一的變號零點，成立；（2）當(dāng)時，在區(qū)間(－2，1)上恒小于0，不成立；綜上，實數(shù)a的取值范圍為故答案為：14．已知函數(shù)，，若，則的最小值為______.【答案】【解析】設(shè)，即，，解得，，所以，令，則，令，解得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，所以的最小值為.故答案為：.15．定義在上的函數(shù)滿意：，且當(dāng)時，，則不等式的解集為______．【答案】【解析】因為，所以，令，則，所以為奇函數(shù)．又因為當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減．而不等式，所以，所以．故答案為：16．關(guān)于函數(shù)有如下四個命題：①的圖象關(guān)于原點對稱；②在，上單調(diào)遞增；③函數(shù)共有6個極值點；④方程共有6個實根．其中全部真命題的序號是__．【答案】①②④【解析】解：對于①，的定義域為，，故是奇函數(shù)，的圖象關(guān)于原點對稱，故①正確；對于②，，故當(dāng)時，，在，上單調(diào)遞增，故②正確；對于③，令可得，故在和，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，令可得或，作出的函數(shù)圖象，由圖象可知只有5個極值點，故③錯誤；對于④，是奇函數(shù)，故是偶函數(shù)，的極大值為，有6個根，故④正確．故答案為：①②④.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17．已知函數(shù).（1）若在時有極值，求函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)時，，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】小問1：由可得的值，進而可得表達式，然后進行檢驗符合條件即可；小問2：依據(jù)題意可得對于恒成立，令，只需，利用導(dǎo)數(shù)解析的單調(diào)性結(jié)合由洛必達法則，則最值即可求解.（1）因為，所以，由在處取極值，得，求得，當(dāng)時，；當(dāng)時，；則在時有極大值，符合題意，所以；（2）當(dāng)時，，即.①當(dāng)時，；②當(dāng)時，等價于，也即.記，，則.記，，則，因此在上單調(diào)遞增，且，所以；從而在上單調(diào)遞增，所以，由洛必達法則有：，即當(dāng)時，，所以，即有，綜上所述，當(dāng)，時，成立．18．設(shè)函數(shù)．（1）若曲線在點處的切線與直線垂直，求的單調(diào)遞減區(qū)間和微小值（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）；（2）若對任何恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，微小值為2；（2）.【解析】（1）由條件得，∵在點處的切線與垂直，∴此切線的斜率為0，即，有，得，∴，由得，由得．∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，取得微小值．故的單調(diào)遞減區(qū)間為，微小值為2（2）條件等價于對隨意恒成立，設(shè)．則在上單調(diào)遞減，則在上恒成立，得恒成立，∴（對僅在時成立），故的取值范圍是19．已知函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在內(nèi)有極值，試推斷極值點的個數(shù)并求的取值范圍．【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）答案見解析，的取值范圍為．【解析】（1）依據(jù)題意，函數(shù)的定義域為，則有，當(dāng)時，對于隨意，恒成立，令；令；所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）若函數(shù)在內(nèi)有極值，則在內(nèi)有解；令，解之可得，，令，則有，當(dāng)時，恒成立，即得在上單調(diào)遞減，又因為，所以在的值域為，所以當(dāng)時，有解，設(shè)，則，；所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，因為，（1），所以在區(qū)間上有唯一解，即得當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)，時，在，上單調(diào)遞增，即得當(dāng)時，在內(nèi)有極值且唯一；當(dāng)時，在區(qū)間上，恒有單調(diào)遞增，沒有極值，不符合題意．故的取值范圍為．20．已知函數(shù).（1）若，求在處的切線方程；（2）若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間和極值；（3）當(dāng)時，探討函數(shù)的零點個數(shù).【答案】（1）（2）在，上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，；（3）答案見解析【解析】（1）由，求導(dǎo)，進而得到，，寫出切線方程；（2）求導(dǎo)，依據(jù)函數(shù)在處取得極值，求得，再利用導(dǎo)數(shù)法求解；（3）令，將問題轉(zhuǎn)化為，利用數(shù)形結(jié)合法求解.（1）解：當(dāng)時，，，，，故所求切線方程為，即；（2）（2）因為，所以，因為函數(shù)在處取得極值，所以，即，解得，經(jīng)檢驗，當(dāng)時，為函數(shù)的極大值點，符合題意，此時，函數(shù)的定義域為，，由，解得或；由，解得，所以的增區(qū)間是，；減區(qū)間是，當(dāng)時，；當(dāng)時，；（3）令，，由，解得；由，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，作出函數(shù)的圖象，如圖所示：因為，即，所以，由圖象知：當(dāng)時，沒有零點；當(dāng)時，有一個零點；當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時，，有兩個零點21．已知函數(shù)，，．（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若，且的極大值大于0，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）答案不唯一，詳細見解析（2）【解析】(1)當(dāng)時，，通過的導(dǎo)數(shù)，依據(jù)的范圍探討單調(diào)區(qū)間(2)由（1）中探討結(jié)果及，且的極大值大于0，可通過分別參數(shù)轉(zhuǎn)化為在上恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)令，通過求導(dǎo)（需二次求導(dǎo)）確定單調(diào)性確定實數(shù)的取值范圍.（1）函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，，，①當(dāng)時，在上，在上單調(diào)遞增．②當(dāng)時，令，得，在上，，在上，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）由（1）知當(dāng)時，