北京市2022-2023學年高一數學上學期期末試題含解析

Page16北京市2024-2025學年高一數學上學期期末試題一、單選題（本大題共8小題，共40．在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.設全集，集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法和對數不等式的解法求解.【詳解】由解得，所以，由解得，所以，所以，故選:B.2.已知，，下列圖形能表示以A為定義域，B為值域的函數的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】A.其值域為，故不符合題意；B.符合題意；CD是函數圖象，值域為，故不符合題意.【詳解】解：A是函數圖象，其值域為，與已知函數的值域為不符，故不符合題意；B是函數的圖象，定義域為，值域為，故符合題意；C是函數圖象，值域為，與已知函數的值域為不符，故不符合題意；D是函數圖象，值域為，故不符合題意.故選：B3.單位圓上一點從動身，逆時針方向運動弧長到達點，則的坐標為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意得，從而得到，結合誘導公式求出答案.【詳解】點從動身，沿單位圓逆時針方向運動弧長到達點，所以，

所以，

其中，，即點的坐標為：．故選：D．4.不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依據指數函數單調性解不等式，得到解集.【詳解】不等式，∴，即．∴或，解得：或，∴解集是．故選：B．5.《九章算術》是我國算術名著，其中有這樣的一個問題：“今有宛田，下周三十步，徑十六步．問為田幾何？”意思是說：“現有扇形田，弧長30步，直徑16步，問面積是多少？”在此問題中，扇形的圓心角的弧度數是（）A. B. C. D.120【答案】A【解析】【分析】依據扇形面積公式得到面積為120步，設出扇形圓心角，依據求出扇形圓心角.【詳解】因為直徑16步，故半徑為步，（平方步），設扇形的圓心角為，則，即．故選：A6.設，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用冪函數，指數函數以及對數函數的單調性以及中間值法即可比較大小.【詳解】因為，，，所以．故選：A7.已知函數，則函數的減區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求得的定義域，然后依據復合函數同增異減確定的減區(qū)間.【詳解】由解得或，所以的定義域為.函數的開口向上，對稱軸為，函數在上遞減，依據復合函數單調性同增異減可知函數的減區(qū)間是.故選：C8.已知實數，且，則的最小值是（）A.21 B.25 C.29 D.33【答案】A【解析】【分析】依據基本不等式即可求解.【詳解】∵，等式恒成立，∴，由于，所以∵，當且僅當時，即時取等號．∴，∴，故的最小值為21．故選：A二、多選題（本大題共4小題，共20．在每小題有多項符合題目要求）9.下列命題中，是存在量詞命題且是真命題的是（）A.， B.存在，使得C.至少有一個無理數，使得是有理數 D.有的有理數沒有倒數【答案】ACD【解析】【分析】依據存在量詞可推斷存在量詞命題，進而依據數與式的性質即可推斷真假.【詳解】對于A.命題是存在量詞命題，所以，使，所以A是真命題，故A正確；對于B．對應方程，，方程無解，故B錯誤；對于C．命題是存在量詞命題，，使得是有理數，所以C是真命題；對于D．有理數0沒有倒數

，故D正確；故選:ACD．10.下列說法正確的是（）A.若，則為第一象限角B.將表的分針撥快5分鐘，則分針轉過的角度是C.終邊經過點的角的集合是D.在一個半徑為的圓上畫一個圓心角為的扇形，則該扇形面積為【答案】BC【解析】【分析】A選項，依據同號，確定角所在象限；B選項，順時針轉動了30°，故B正確；C選項，依據終邊在第一、三象限的角平分線上，確定角的集合；D選項，由扇形面積公式進行求解【詳解】A選項，若，則為第一象限角或第三象限角，故A錯誤；B選項，將表的分針撥快5分鐘，順時針轉動30°，故分針轉過的角度是，故B正確；C選項，終邊經過點的角的終邊在直線上，故角的集合是，C正確；D選項，扇形面積為，故D錯誤．故選：BC．11.已知函數，則下列結論中正確的是（）A.是偶函數 B.在上單調遞增C.的值域為R D.當時，有最大值【答案】ABD【解析】【分析】A選項，依據分母不為0得到定義域，再由奇偶性的定義推斷A正確；B選項，先求出在上均單調遞減，結合奇偶性得到B正確；C選項，由在和上的單調性結合奇偶性得到的值域，C錯誤；D選項，依據在上的單調性得到最大值.【詳解】對于A，由得函數定義域為，所以．由，可得函數為偶函數，其圖象關于軸對稱，故A正確；對于B，當且時，函數，該函數圖象可由函數圖象向右平移2個單位得到，所以函數在和上均單調遞減，由偶函數性質，可知在上單調遞增，故B正確；對于C，由B可得，當且時，函數在和上均單調遞減，所以該函數在的值域為；又因為函數為偶函數，且，所以在其定義域上的值域為，故C錯誤；對于D，當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減，所以有最大值為，故D正確．故選：ABD．12.如圖所示，邊長為2的正方形ABCD中，O為AD的中點，點P沿著的方向運動，設為x，射線掃過的陰影部分的面積為，則下列說法中正確的是（）A.在上為減函數 B.C. D.圖象的對稱軸是【答案】BC【解析】【分析】當點在的中點時，此時，即可推斷B，依據陰影部分的面積改變可知的單調性，進而可推斷A，依據面積的之和為4，可推斷對稱性，進而可推斷CD.【詳解】對于A選項，取的中點為，當時,點在之間運動時，陰影部分的面積增加，所以在上單調遞增，A選項錯誤；對于B選項，當點在的中點時，此時，所以，，故B正確，對于C選項，取BC的中點G，連接OG，作點P關于直線OG的對稱點F，則，所以，OF繞O點按順時針方向旋轉掃過正方形ABCD的面積為S，由對稱性可知，因為，即，C選項正確；對于D選項，由C選項可知，，則，所以，，所以，函數的圖象不關于直線對稱，D選項錯誤．故選：BC三、填空題（本大題共4小題，共20）13.求值：__________．【答案】【解析】【分析】利用終邊相同的角同名三角函數值相等和誘導公式即可求解【詳解】，，所以故答案：.14.已知冪函數是R上的增函數，則m的值為______．【答案】3【解析】【分析】依據冪函數的定義與性質，即可求出的值．【詳解】由題意是冪函數，，解得或，又是R上的增函數,則.故答案為：3.【點睛】本題考查了冪函數的定義與性質的應用問題，解題的關鍵是得出關于的方程和不等式，是基礎題．15.若“”的必要不充分條件是“”，則實數a的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】將必要不充分條件轉化為集合之間在關系，即可列不等式求解.【詳解】由于“”的必要不充分條件是“”，所以則且兩個等號不同時取得，解得，經檢驗和均符合要求，故a的取值范圍是．故答案為：16.已知函數，若方程的實根在區(qū)間上，則k的全部可能值是______．【答案】－3，－2或1【解析】【分析】先由求出，確定，再變形得到，畫出兩函數圖象，數形結合得到兩個根，結合零點存在性定理得到兩根分別在與內，從而確定k的全部可能值.【詳解】①由方程，解得：，因為，故；②由于方程即方程，分別作出左右兩邊函數的圖象，從圖象上可得出：方程在區(qū)間內有一個實根．故方程在區(qū)間內有且僅有一個實根．此時，下面證明：方程在區(qū)間內有一個實根，函數，在區(qū)間和內各有一個零點，因為時，，故函數在區(qū)間是增函數，又，，即，由零點存在性定理知，函數在區(qū)間內僅有一個零點，即方程在區(qū)間內有且僅有一個實根，此時.故答案為：－3，－2或1．四、解答題（本大題共6小題，共70．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17（1）計算；（2）計算．【答案】（1）0；（2）3.【解析】【分析】（1）利用分數指數冪運算法則進行計算；（2）利用對數運算法則及性質進行計算.【詳解】（1）；（2）.18.已知集合，或．（1）當時，求；（2）“”是“”的充分不必要條件，求實數的取值范圍．【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）先求出集合，再求；（2）先求出，用集合法分類探討，列不等式，即可求出實數的取值范圍.【詳解】（1）當時，.因為或，所以或；（2）因為或，所以.因為“”是“”的充分不必要條件，所以A.當時，符合題意，此時有，解得：a<0.當時，要使A，只需，解得：綜上：a<1.即實數的取值范圍.19.已知是第四象限角．（1）若，求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）先由余弦值求出正切值，再結合誘導公式，化弦為切，代入求值即可；（2）變形得到，求出的值.【小問1詳解】∵是第四象限角，，所以，∴，∴．【小問2詳解】∵，∴，∴或．20.已知函數．（1）證明函數為奇函數；（2）解關于t的不等式：．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）依據奇偶性的定義即可證明，（2）依據函數的單調性以及奇偶性即可轉化成自變量的大小關系，解不等式即可.【小問1詳解】因為函數的定義域為，關于原點對稱，且，所以函數是奇函數；【小問2詳解】由，由于為定義域內的單調遞增函數且，所以單調遞減，因此函數是定義域為的增函數，而不等式可化為，再由可得，所以，解得，故不等式的解集為．21.某生物病毒探討機構用打點滴的方式治療“新冠”，國際上常用普姆克試驗系數（單位：pmk）表示治愈效果，系數越大表示效果越好．元旦時在試驗用小白鼠體內注射一些試驗藥品，這批治愈藥品發(fā)揮的作用越來越大，二月底測得治愈效果的普姆克系數為24pmk，三月底測得治愈效果的普姆克系數為36pmk，治愈效果的普姆克系數y（單位：pmk）與月份x（單位：月）的關系有兩個函數模型與可供選擇．（1）試推斷哪個函數模型更合適并求出該模型的解析式；（2）求治愈效果的普姆克系數是元旦治愈效果的普姆克系數10倍以上的最小月份．（參考數據：，）【答案】（1）選擇模型符合要求；該函數模型的解析式為，，；（2）六月份.【解析】【分析】（1）依據兩函數特征選擇模型，并用待定系數法求解出解析式；（2）先求出元旦治愈效果的普姆克系數，從而列出不等式，結合，解出，得到答案.【小問1詳解】函數與在上都是增函數，隨著的增加，函數的值增加的越來越快，而函數的值增加的越來越慢，由于這批治愈藥品發(fā)揮的作用越來越大，因此選擇模型符合要求．依據題意可知時，；時，，∴，解得．故該函數模型的解析式為，，；【小問2詳解】當時，，元旦治愈效果的普姆克系數是，由，得，∴，∵，∴，即治愈效果的普姆克系數是元旦治愈效果的普姆克系數10倍以上的最小月份是六月份．22已知函數對隨意實數m、n都滿意等式，當時，，且．（1）推斷的奇偶性；（2）推斷的單調性，求在區(qū)間上的最大值；（3）是否存在實數a，對于隨意的，，使得不等式恒成立．若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．【答案】（1）奇函數；（2）為上的減函數；在上的最大值為6；（3）存在，實數a的取值范圍為．【解析】【分析】（1）賦值法得到，，得到函數的奇偶性；（2）先由時，利用賦值法得到函數單調遞減，再用賦值法和奇偶性得到，從而得到在區(qū)