必修四13三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式(教案)

1.3 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式A教學(xué)目標(biāo)一、學(xué)問與技能理解誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過程；通過誘導(dǎo)公式的具體運(yùn)用，嫻熟正確地運(yùn)用公式解決一些三角函數(shù)的求值、化簡和證明問題，體會(huì)數(shù)式變形在數(shù)學(xué)中的作用．進(jìn)一步領(lǐng)悟把未知問題化歸為問題的數(shù)學(xué)思想，通過一題多解，一題多變，多題歸一，提高分析問題和解決問題的力量．二、過程與方法利用三角函數(shù)線，從單位圓關(guān)于x軸、y軸、直線y x的軸對稱性以及關(guān)于原點(diǎn)O的中心對稱性動(dòng)身，通過學(xué)生的探究，明白三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的來龍去脈，理解誘三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀化的方法將事物轉(zhuǎn)化為我們熟知的事物，從而到達(dá)了解事物的目的，并使學(xué)生養(yǎng)成樂觀探究、科學(xué)爭論的好習(xí)慣．教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：五組誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)和六組誘導(dǎo)公式的敏捷運(yùn)用，三角函數(shù)式的求值、化簡和證明等．教學(xué)難點(diǎn)：六組誘導(dǎo)公式的敏捷運(yùn)用．教學(xué)關(guān)鍵：五組誘導(dǎo)公式的探究．教學(xué)突破方法：問題引導(dǎo)，充分利用多媒體引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究．教法與學(xué)法導(dǎo)航教學(xué)方法：探究式，講練結(jié)合．學(xué)習(xí)方法：切實(shí)貫徹學(xué)案導(dǎo)學(xué)，以學(xué)生的學(xué)為主，教師起引導(dǎo)的作用，具體表現(xiàn)在教學(xué)過程當(dāng)中．充分利用多媒體引導(dǎo)學(xué)生完善從特別到一般的認(rèn)知過程；強(qiáng)調(diào)記憶規(guī)律，加強(qiáng)公式的記憶；通過對例題的學(xué)習(xí)，完成學(xué)習(xí)目標(biāo)．教學(xué)預(yù)備教師預(yù)備：多媒體，投影儀、直尺、圓規(guī)．學(xué)生預(yù)備：練習(xí)本、直尺、圓規(guī)．教學(xué)過程一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入課我們利用單位圓定義了三角函數(shù)，而圓具有很好的對稱性．能否利用圓的這種對稱1教師備課系統(tǒng)──多媒體教案x軸、y軸、直線y=x的軸對O的中心對稱性等動(dòng)身，獲得一些三角函數(shù)的性質(zhì)呢？二、主題探究，合作溝通提出問題α的終邊與+α角的終邊位置關(guān)系如何？②它們與單位圓的交點(diǎn)的位置關(guān)系如何？α為π+αα的終邊的反向延長線，所以先選擇π+α為爭論對象．利用圖形還可以直觀地解決問題②，角的終邊與單位圓的交點(diǎn)的位置關(guān)系是關(guān)于原P1(x，y)P2(x，y)．指導(dǎo)學(xué)生利用單位圓及角的正弦、余弦函數(shù)的定義，導(dǎo)出公式二：sin(+α)=-sinα，cos(π+α)=-cosα，tan(π+α)=tanα．提出問題：αα的終邊位置關(guān)系如何？αα的定義，啟發(fā)學(xué)生思考．ααx軸對稱，它們與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系是橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)．從而完成公式三的推導(dǎo)，即：sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα，tan(-α)=-tanα．教師點(diǎn)撥學(xué)生留意：無論α是銳角還是任意角，公式均成立．并進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生觀看分析公式三的特點(diǎn)，得出公式三的用途：可將求負(fù)角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求正角的三角函數(shù)值．提出問題：π-αα的終邊位置關(guān)系如何？π-αααπ-α的終邊的位置關(guān)系；它們與單位圓的交點(diǎn)的位置關(guān)系及其坐標(biāo)：π-α角αy軸對稱，它們與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系是縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)．從而完成公式四的推導(dǎo)，即：sin(π-α)=sinα，cos(π-α)=-cosα，tan(π-α)=-tanα．強(qiáng)調(diào)無論α是銳角還是任意角，公式均成立．引導(dǎo)學(xué)生觀看分析公式三的特點(diǎn)，得出公式四的用途：可將求π-αα的三角函數(shù)值．讓學(xué)生分析總結(jié)誘導(dǎo)公式的構(gòu)造特點(diǎn)，概括說明，加強(qiáng)記憶．我們可以用下面一段話來概括公式一～四：2α+k·2π(k∈Z)，-α，π±αα的同名函數(shù)值，前面加上一個(gè)把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號．進(jìn)一步簡記為：“函數(shù)名不變，符號看象限”．點(diǎn)撥、引α是任意角．提出問題αy=x對稱的角有何數(shù)量關(guān)系？αy=x對稱的角的數(shù)量關(guān)系．教師充分讓學(xué)生探究，啟發(fā)學(xué)生借助單位圓，點(diǎn)撥學(xué)生從終邊關(guān)于直線y=x對稱的y=x對稱的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系進(jìn)展引導(dǎo)．παP1的坐標(biāo)為(x，y)2απαy=x2αP2P1關(guān)于πy=x對稱，因此點(diǎn)P2的坐標(biāo)是(y，x)，于是，我們有sinα=y，cosα=x，cos(2α)=y，πsin(2α)=x．從而得到公式五：π πcos(2α)=sinα，sin(2α)=cosα．提出問題π2+αα的正弦、余弦之間的關(guān)系式？π π師生互動(dòng)：教師點(diǎn)撥學(xué)生將2+α轉(zhuǎn)化為π(2α)，從而利用公式四和公式五到達(dá)π π π2+απ(2α)2+α角的正余弦問題就轉(zhuǎn)化為利用公式四接著轉(zhuǎn)化為利用公式五，這時(shí)可以讓學(xué)生獨(dú)立推導(dǎo)出公式六：πsin(2+α)=cosα，πcos(2+α)=-sinα．提出問題你能概括一下公式五、六嗎？3教師備課系統(tǒng)──多媒體教案師生互動(dòng)：結(jié)合上一堂課爭論公式一～四的共同特征引導(dǎo)學(xué)生尋求公式五、六的共同特征，指導(dǎo)學(xué)生用類比的方法即可將公式五和公式六進(jìn)展概括．爭論結(jié)果：π±α的正弦(余弦)α的余弦(正弦)函數(shù)值，前面加上2α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號．進(jìn)一步可以簡記為：函數(shù)名轉(zhuǎn)變，符號看象限．利用公式五或公式六，可以實(shí)現(xiàn)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的相互轉(zhuǎn)化．公式一～六都叫做誘導(dǎo)公式．三、拓展創(chuàng)，應(yīng)用提高1利用公式求以下三角函數(shù)值：〔1〕cos225〔sin1π3〕sin(16π〔〕cos2040．3 3解〔〕cos225=cos(180+45)=-cos45= 2；2〔2〕sin11π=sin(4ππ)=-sinπ= 3；3 3 3 2〔3〕sin(16π)=-sin16π=-sin(5π+π)=-(-sinπ)= 3；3 3 3 3 2〔4〕cos(-2040°)=cos2040°=cos(6×360°-120°)=cos120°=cos(180°-60°)=-cos60°=1．2點(diǎn)評：利用公式一～四把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)，一般可按以下步驟進(jìn)展：上述步驟表達(dá)了由未知轉(zhuǎn)化為的化歸的思想方法．例2化簡 cos(180)sin(360) .sin(1800)cos(180)解：sin(180)sin[(180)] sin(180)(sin)sin4cos(180)cos[(180)]cos(180)cos.所以，原式 cossin sin(cos)3π 3π例31〕sin(2-)=co〕cos(2-)=-si．3π π π1〕sin(2)=sin[π+(2--sin(2-)=-co；3π π π〔2〕cos(2-α)=cos[π+(2-α)]=-cos(2-α)=-sinα．3π點(diǎn)評：由公式五及六推得22k1

±αα而進(jìn)一步可以推廣到用．

2 π(k∈Z)的情形．本例的結(jié)果可以直接作為誘導(dǎo)公式直接使4化簡

sin(2πa)cos(πa)cos(πa)cos(11πa)2 2 .cos(πa)sin(3πa)sin(πa)sin(9πa)2(sina)(cosa)(sina)cos[5π(πa)]解：原式= 2 π(cosa)sin(πa)[sin(πa)]sin[4( a)]2πsin2acosa[cos(2a)] sinaπ=四、小結(jié)

(cosa)sina[(sina)]sin(πa)2

=cosa

=-tana．①熟記誘導(dǎo)公式；②公式一至四記憶口訣：函數(shù)名不變，正負(fù)看象限；并進(jìn)展簡潔的求值；③運(yùn)用誘導(dǎo)公式進(jìn)展簡潔的三角化簡．課堂作業(yè)在△ABC中，以下等式肯定成立的是( )AB Csin 2

=-cos2

sin(2A+2B)=-cos2Csin(A+B)=-sinC D．sin(A+B)=sinC2．假設(shè)f(sinx)=cosx，那么f(-cosx)等于( )5教師備課系統(tǒng)──多媒體教案A．sinx B．cosx C．-sinx D．-cosx3．計(jì)算以下各式的值：〔1〕sin(-1200°)cos(1290°)+cos(-1020°)sin(-1050°)+tan945°；sin(540a)tan(a270)cos(sin(540a)tan(a270)cos(a270).cos(a180)tan(810a)sin(a360)4．化簡：參考答案：1．D 2．A3〔〕2〔2-．4．-tana．B教學(xué)目標(biāo)一、學(xué)問與技能牢記誘導(dǎo)公式.理解和把握公式的內(nèi)涵及構(gòu)造特征，會(huì)初步運(yùn)用誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)的值，并進(jìn)展簡潔三角函數(shù)式的化簡和證明.二、過程與方法通過誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)，培育學(xué)生的觀看力、分析歸納力量，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的歸納轉(zhuǎn)化思想方法.通過誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)、分析公式的構(gòu)造特征，使學(xué)生體驗(yàn)和理解從特別到一般的數(shù)學(xué)歸納推理思維方式.通過根底訓(xùn)練題和力量訓(xùn)練題的練習(xí)，提高學(xué)生分析問題和解決問題的實(shí)踐能力.三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀通過誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)，培育學(xué)生主動(dòng)探究、勇于覺察的科學(xué)精神，培育學(xué)生的創(chuàng)意識和創(chuàng)精神.通過歸納思維的訓(xùn)練，培育學(xué)生踏實(shí)細(xì)致、嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)的學(xué)習(xí)習(xí)慣，滲透從特別到一般、把未知轉(zhuǎn)化為的辨證唯物主義思想.教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：用聯(lián)系的觀點(diǎn)，覺察并證明誘導(dǎo)公式，進(jìn)而運(yùn)用誘導(dǎo)公式解決問題．教學(xué)難點(diǎn)：如何引導(dǎo)學(xué)生從單位圓的對稱性和任意角終邊的對稱性中，覺察問題，提出爭論方法．學(xué)法與教學(xué)用具學(xué)法：在教師的組織和引導(dǎo)下學(xué)生以自主探究、動(dòng)手實(shí)踐、合作溝通的方式進(jìn)展學(xué)習(xí)．在學(xué)習(xí)中了解和體驗(yàn)公式的發(fā)生、進(jìn)展過程，讓學(xué)生領(lǐng)悟到誘導(dǎo)公式是前面三角函數(shù)定義、單位圓對稱性等學(xué)問的連續(xù)和拓展，應(yīng)用遷移規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想、類比、歸6納推導(dǎo)公式．教學(xué)用具：電腦、投影機(jī)、三角板．教學(xué)設(shè)想：一、創(chuàng)設(shè)情境在前面的學(xué)習(xí)中，我們知道終邊一樣的角的同名三角函數(shù)值相等，即公式一，并且利用公式一可以把確定值較大的角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為0°360°(02π)內(nèi)的角的三角函π數(shù)值，求銳角三角函數(shù)值，我們可以通過查表求得，對于90°360°(22π)范圍內(nèi)的角的三角函數(shù)怎樣求解，能不能有像公式一那樣的公式把它們轉(zhuǎn)化到銳角范圍內(nèi)來求解，這一節(jié)就來探討這個(gè)問題．二、探究知誘導(dǎo)公式二：1〕銳角的終邊與180的終邊位置關(guān)系如何？〔2〕寫出的終邊與180的終邊與單位圓交點(diǎn)PP的坐標(biāo)．〔3〕任意角與180呢？

P(x,yP”(xy，由正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義可知：siny， cosx；sin(180

y， cos(180

x．)))))sin(180

sin；cos(180

cos．說明：①公式中的指任意角；②假設(shè)是弧度制，即有sin(π)sincos(π)cos；③公式特點(diǎn)：函數(shù)名不變，符號看象限；)④可以導(dǎo)出正切：)用弧度制可表示如下：

sinsin(180sin(180)cos(180)

tan．sin(πsin(π〕-sin；cos(π〕-cos；tan(π〕tan．誘導(dǎo)公式三：1〕360的終邊與的終邊位置關(guān)系如何？從而得出應(yīng)先爭論；7教師備課系統(tǒng)──多媒體教案〔2〕任意角與的終邊位置關(guān)系如何？結(jié)論：同誘導(dǎo)公式二推導(dǎo)可得：誘導(dǎo)公式三：sin()sin；cos()cos．說明：①公式中的指任意角；②在角度制和弧度制下，公式都成立；③公式特點(diǎn)：函數(shù)名不變，符號看象限；tan()tan．誘導(dǎo)公式四：sin(180)sin；cos(180)cos．說明：①公式四中的指任意角；②在角度制和弧度制下，公式都成立；③公式特點(diǎn)：函數(shù)名不變，符號看象限；tan(180)tan．用弧度制可表示如下：sin(πsin；cos(π；tan(πtan．終邊與角y=x對稱的角有何數(shù)量關(guān)系．的終邊與單位圓π的交點(diǎn)P12的終邊與角y=xπ的終邊與單位2P2P1y=xP2的坐標(biāo)是，，于是我們有sin=y，cos=x；π πsin(2)=x，cos(2)=y．從而得到誘導(dǎo)公式五：πsin(2)=cos，πcos(2)=sin．π π由于2+=-(2，由公式四及五可得8公式六πsin(2+)=cos，πcos(2+)=sin．公式五和公式六可以概括如下：π2±的正弦〔余弦〕函數(shù)值，分別等于的余弦〔正弦〕函數(shù)值，前面加上一個(gè)把看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號.利用公式五或公式六，可以實(shí)現(xiàn)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的相互轉(zhuǎn)化.公式一～六都叫做誘導(dǎo)公式.三、例題講解例1求以下三角函數(shù)值〔〕sin960；〔2〕cos(4)．6sin(960720)sin(960720)sin240sin(18060)sin60 3．2〔2〕cos(43π)cos43πcos(7π6π)cos7π6 6 6 63cos(ππ)cosπ ．36 6 22tan32cos(π)3sin(π)的值.4cos()sin(2π)tan3，∴原式

23tan

7．4cossin 4tan3化簡sin(nπsin(nπ(nZ．sin(nπ)cos(nπ)解：①當(dāng)n2k，kZ時(shí)，原式sin(2kπ)sin(2kπ) 2 ．sin(2kπ)cos(2kπ) cos②當(dāng)n2k1,kZ時(shí)，9教師備課系統(tǒng)──多媒體教案原式

sin[(2k1)π]sin[(2k1)π] 2sin[(2k1)π]cos[(2k1)π] cos4π2π

cos(πm(m0)，求tan(2π)的值．6 3 3 33 2ππ(π