2023-2024學(xué)年天津市靜海一中高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）

一、選擇題：每小題0分，共30分.1．在空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz中，點(diǎn)（3，12）關(guān)于xOz平面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為()2．直線l1：ax+y﹣1＝0，l2a﹣1）x﹣2y+1＝0，則“a=﹣1”是“l(fā)1⊥l2”的條件.A．必要不充分B．充分不必要C．充要D．既不充分也不必要3．若直線l的一個方向向量為，則它的傾斜角為()4．如圖，空間四邊形OABC中，不麗飛，點(diǎn)M是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)N在BC上，且麗=2麗，設(shè)麗＝x+y+z飛，則x，y，z的5．已知空間內(nèi)三點(diǎn)A（1，1，2B(﹣1，2，0C（0，3，1則點(diǎn)A到直線BC的距離是()6．點(diǎn)P(﹣21）到直線l1+3λ)x+（1+λ)y﹣2﹣4λ=0，(λ∈R）的距離最大時，其最大值以及此時的直線l方程分別為()Ax+y﹣2＝0B3x+y﹣4＝0C3x+2y﹣5＝0D2x﹣3y+1＝0二、填空題：每小題0分，共30分.7．經(jīng)過兩點(diǎn)A（2，1）、B（1，m2）的直線l的傾斜角為銳角，則m的取值范圍是.8．設(shè)x，y∈R，向量?=(x,1,1),飛=(1,y,1),元=(2,-4,2)且，則=.9．若直線l1：ax+（a+2）y+2＝0與l2：x+ay+1＝0平行，則實(shí)數(shù)a的值為；l1與l2間的距離10．如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面邊長和側(cè)棱長都相等，∠BAA1=∠CAA1＝60°,則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為.11．已知直線kx﹣y﹣k﹣1＝0和以M(﹣3，1N（3，2）端點(diǎn)的線段相交，則實(shí)數(shù)k的取值范圍12．下面命題中正確的有.①直線Ax+By+C＝0的斜率為；②直線l1與l2垂直的充要條件是斜率滿足k1k2=﹣1；③截距相等的直線都可以用方程表示；④若，則四點(diǎn)P，A，B，C必共面；⑤△ABC為直角三角形的充要條件是；⑥若為空間的一個基底，則構(gòu)成空間的另一基底；⑦在空間中，直線l的方向向量，平面α的一個法向量，若，則l∥α.三、解答題本大題共5小題，共54分）13．根據(jù)下列條件分別寫出直線的方程，并化為一般式方程．已知直線l1：x﹣2y+3＝0，l2：2x+3y﹣8＝0.（1）經(jīng)過點(diǎn)A（1，4）且與直線l1平行的直線；（2）經(jīng)過點(diǎn)A（1，4）且與直線l2垂直的直線；（3）經(jīng)過直線l1與l2的交點(diǎn)，且與坐標(biāo)原點(diǎn)O距離為1的直線；（4）一入射光線經(jīng)過點(diǎn)M（2，5被直線l1反射，反射光線經(jīng)過點(diǎn)N(﹣2，4求反射光線所在直線方程.14．如圖，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2，.（1）求證：BF∥平面ADE；（2）求點(diǎn)F到平面BDE的距離；（3）求直線CE與平面BDE所成角的正弦值.15．如圖，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點(diǎn).（1）求AB與A1D所成角的余弦值；（2）求證：AB1⊥平面A1BD；（3）求平面A1BD與平面A1DC1的夾角的余弦值.16．已知直線l：ax+y+2a+1＝0，a∈R.（1）證明直線l過定點(diǎn)A，并求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）在（1）的條件下，若直線l′過點(diǎn)A，且在y軸上的截距是在x軸上的截距的，求直線l′的方程；（3）若直線l不經(jīng)過第二象限，求a的取值范圍；（4）在（1）的條件下，若直線l交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)M，交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)N，求|AM|?|AN|的最小值并求出此時直線l的方程.（1）求平面BDE與平面BDC夾角的正弦值；（2）在線段AD上是否存在一點(diǎn)N，使直線MD與平面BEN所成的角正弦值為，若存在求出AN的長，若不存在說明理由.一、選擇題：每小題0分，共30分.1．在空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz中，點(diǎn)（3，12）關(guān)于xOz平面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為()【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合空間點(diǎn)坐標(biāo)的性質(zhì)，即可求解.【解答】解：點(diǎn)（3，12）關(guān)于xOz平面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（312）.故選：D.【點(diǎn)評】本題主要考查空間中的點(diǎn)的坐標(biāo)，屬于基礎(chǔ)題.2．直線l1：ax+y﹣1＝0，l2a﹣1）x﹣2y+1＝0，則“a=﹣1”是“l(fā)1⊥l2”的條件.A．必要不充分B．充分不必要C．充要D．既不充分也不必要【分析】根據(jù)充分條件、必要條件、充要條件的定義，先求出兩直線垂直時a的值，進(jìn)而可判斷充分必要條件.【解答】解：直線l1：ax+y﹣1＝0，l2a﹣1）x﹣2y+1＝0，）﹣所以“a=﹣1”時“l(fā)1⊥l2”成立，“l(fā)1⊥l則“a=﹣1”是“l(fā)1⊥l2”的充分不必要條件.故選：B.【點(diǎn)評】本題主要考查充分條件、必要條件、充要條件的定義，兩直線垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.3．若直線l的一個方向向量為，則它的傾斜角為()【分析】根據(jù)直線的方向向量求出斜率，進(jìn)而可求得傾斜角.【解答】解：因為直線l的一個方向向量為，所以直線l的斜率，故選：D.【點(diǎn)評】本題考查了直線的方向向量，考查直線的傾斜角問題，是基礎(chǔ)題.=4．如圖，空間四邊形OABC中，不麗=,2，設(shè)麗＝x+y飛+z飛，則x，y，z的值為(=,點(diǎn)M是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)N在BC上，且=【分析】利用向量的加法，麗-麗麗麗，利用中點(diǎn)公式代入.【解答】解：麗-麗麗麗，所以麗=,故選：C.【點(diǎn)評】考查向量的加法原理，向量共線等，基礎(chǔ)題.5．已知空間內(nèi)三點(diǎn)A（1，1，2B(﹣1，2，0C（0，3，1則點(diǎn)A到直線BC的距離是()【分析】借助于空間向量解決空間中距離問題.因為配=(1,1,1),函=(2,-1,2)，所以點(diǎn)A到直線BC的距離.故選：A.【點(diǎn)評】本題主要考查空間中點(diǎn)，線，面之間的位置關(guān)系，屬于中檔題.6．點(diǎn)P(﹣21）到直線l1+3λ)x+（1+λ)y﹣2﹣4λ=0，(λ∈R）的距離最大時，其最大值以及此時的直線l方程分別為()Ax+y﹣2＝0B3x+y﹣4＝0C3x+2y﹣5＝0D2x﹣3y+1＝0【分析】先求出直線l所過定點(diǎn)A，由幾何性質(zhì)可知|PA|即為點(diǎn)P(﹣21）到直線l的距離最大值，求出|PA|，得到此時直線PA的斜率，進(jìn)一步得到方程.【解答】解：l1+3λ)x+（1+λ)y﹣2﹣4λ=0，(λ∈R）變形為x+y﹣2+（3x+y﹣4）λ=0，故，解得，所以直線l過定點(diǎn)A（1，1故|PA|為點(diǎn)P(﹣21）到直線l1+3λ)x+（1+λ)y﹣2﹣4λ=0，(λ∈R）的距離最大值，所以直線l的斜率為，故此時直線l的方程為，即3x+2y﹣5＝0；故選：C.【點(diǎn)評】本題主要考查兩點(diǎn)之間的距離公式，以及直線的斜率公式，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：每小題0分，共30分.7．經(jīng)過兩點(diǎn)A（2，1）、B（1，m2）的直線l的傾斜角為銳角，則m的取值范圍是(﹣1，1）.【分析】利用斜率計算公式可得kAB，根據(jù)已知條件：經(jīng)過兩點(diǎn)A（2，1）、B（1，m2）的直線l的傾斜角為銳角，可得kAB＞0，即可得出m的取值范圍.【解答】解：kAB1﹣m2，∵經(jīng)過兩點(diǎn)A（2，1）、B（1，m2）的直線l的傾斜角為銳【點(diǎn)評】本題考查了直線的斜率與傾斜角之間的關(guān)系、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.8．設(shè)x，y∈R，向量?=(x,1,1),飛=(1,y,1),元=(2,-4,2)且，則=3.【分析】利用空間向量的垂直與共線，列出方程組求解即可【解答】解：∵?-(x,1,1),飛=(1,y,1),飛=(2,-4,2》且，∴x+y+1＝0且=,∴x＝1，y=﹣2，∴==3，故答案為：3.【點(diǎn)評】本題考查空間向量的垂直與共線，向量的模的求法，是基礎(chǔ)題.9．若直線l1：ax+（a+2）y+2＝0與l2：x+ay+1＝0平行，則實(shí)數(shù)a的值為﹣1；l1與l2間的距離為 .【分析】根據(jù)兩直線平行的公式求解a，再根據(jù)平行線間的距離公式即可得解.【解答】解：因為直線l1：ax+（a+2）y+2＝0與l2：x+ay+1＝0平行，所以a2﹣（a+2）＝0，解得a＝2或a=﹣1，經(jīng)檢驗，當(dāng)a＝2時，兩直線重合，所以a=﹣1，故l1x+y+2＝0，l2x+y﹣1＝0，：﹣【點(diǎn)評】本題主要考查平行線間的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.10．如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面邊長和側(cè)棱長都相等，∠BAA1=∠CAA1＝60°,則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為【分析】設(shè)，,棱長均為1，利用向量加法和減法的三角形法則和平行四邊形法則將兩條異面直線的方向向量用基底表示，然后利用夾角公式求異面直線AB1與BC1所成角的余弦值【解答】解：如圖，設(shè)棱長均為1，∵麗＝，＝＝，＜＞＝，異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查空間向量在解決立體幾何問題中的應(yīng)用，考查空間向量基本定理，向量的數(shù)量積公式及應(yīng)用，考查學(xué)生的計算能力，是基礎(chǔ)題．11．已知直線kx﹣y﹣k﹣1＝0和以M3，1N（3，2）端點(diǎn)的線段相交，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為k﹣．【分析】由題意先求出直線AN和直線AM的斜率，從而求得實(shí)數(shù)k（直線的斜率）的取值范圍【解答】解：∵直線kx﹣y﹣k﹣1＝0，即k（x﹣1y﹣1＝0，和它經(jīng)過定點(diǎn)A（11它與以M3，1N（3，2）端點(diǎn)的線段相交，直線AN的斜率為直線AM的斜率為則直線的斜率，即實(shí)數(shù)k的取值范圍為：k≥，或k≤故答案為：k≥【點(diǎn)評】本題主要考查直線的斜率公式，屬于基礎(chǔ)題.12．下面命題中正確的有④⑥.①直線Ax+By+C＝0的斜率為；②直線l1與l2垂直的充要條件是斜率滿足k1k2=﹣1；③截距相等的直線都可以用方程表示；④若，則四點(diǎn)P，A，B，C必共面；⑤△ABC為直角三角形的充要條件是；⑥若石,飛,為空間的一個基底，則構(gòu)成空間的另一基底；⑦在空間中，直線l的方向向量，平面α的一個法向量，若，則l∥α.【分析】根據(jù)直線一般式得斜率即可判斷①;根據(jù)直線垂直的充要條件即可判斷②;根據(jù)直線的截距式的限制條件即可判斷③;根據(jù)空間向量共面定理即可判斷④;舉出反例即可判斷⑤;根據(jù)基底的定義即可判斷⑥;利用向量法判斷線面之間的位置關(guān)系即可判斷⑦.【解答】解：對于①,當(dāng)B＝0時，直線的斜率不存在，故①錯誤；則k1k2=﹣1或一條直線斜率不存在另一條直線斜率為0，故②錯誤；對于③,當(dāng)直線過原點(diǎn)時，直線方程不能用截距式表示，所以截距相等的直線不都可以用方程表示；故③錯誤；所以顧,麗,死共面，又顧,麗,死有公共始點(diǎn)P，所以P，A，B，C四點(diǎn)共面，故④正確；對于⑤,當(dāng)Rt△ABC的直角為角B時，麗-麗>0，故⑤錯誤；則存在唯一實(shí)數(shù)對（x，y使得，若為空間的一個基底，則司,下,飛不共面，所以，方程組無解，所以構(gòu)成空間的另一基底，故⑥正確；對于⑦,由題意可得lcα或l∥α,故⑦錯誤.故答案為：④⑥.【點(diǎn)評】本題主要考查命題的真假判斷與應(yīng)用，屬于中檔題.三、解答題本大題共5小題，共54分）13．根據(jù)下列條件分別寫出直線的方程，并化為一般式方程．已知直線l1：x﹣2y+3＝0，l2：2x+3y﹣8＝0.（1）經(jīng)過點(diǎn)A（1，4）且與直線l1平行的直線；（2）經(jīng)過點(diǎn)A（1，4）且與直線l2垂直的直線；（3）經(jīng)過直線l1與l2的交點(diǎn)，且與坐標(biāo)原點(diǎn)O距離為1的直線；（4）一入射光線經(jīng)過點(diǎn)M（2，5被直線l1反射，反射光線經(jīng)過點(diǎn)N(﹣2，4求反射光線所在直線方程.【分析】（1）設(shè)所求直線的方程為x﹣2y+C1＝0，求出C1即可；（2）設(shè)所求直線方程為3x﹣2y+C2＝0，求出C2即可；（3）先求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再分直線斜率存在和不存在兩種情況討論，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公司即可得解；（4）求出點(diǎn)M（2，5）關(guān)于直線l1的對稱點(diǎn)M′，則直線M′N的方程即為所求.【解答】解1）設(shè)所求直線的方程為x﹣2y+C1＝0，所以所求直線方程為x﹣2y+7＝0；（2）設(shè)所求直線方程為3x﹣2y+C2＝0，所以所求直線方程為3x﹣2y+5＝0；（3）聯(lián)立，解得，當(dāng)所求直線的斜率不存在時，所求直線方程為x＝1，符合題意，當(dāng)所求直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為y﹣2＝k（x﹣1即kx﹣y﹣k+2＝0，則，解得，所以直線方程為3x﹣4y+5＝0，綜上所述，所求直線方程為x＝1或3x﹣4y+5＝0；（4）設(shè)點(diǎn)M（2，5）關(guān)于直線l1的對稱點(diǎn)為M′（a，b則，解得，則直線M′N的方程為，即x+2y﹣6＝0，即反射光線所在直線方程為x+2y﹣6＝0.【點(diǎn)評】本題考查了直線關(guān)于點(diǎn)、直線對稱的直線方程，考查了運(yùn)算求解能力，是中檔題.14．如圖，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2，.（1）求證：BF∥平面ADE；（2）求點(diǎn)F到平面BDE的距離；（3）求直線CE與平面BDE所成角的正弦值.【分析】（1）證明平面ADE∥平面BCF，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)即可得證；（2）以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可；（3）利用向量法求解即可.【解答】解1）證明：因為CF∥AE，CF?平面ADE，AEc平面ADE，所以CF∥平面ADE，因為AD∥BC，BC?平面ADE，ADc平面ADE，所以BC∥平面ADE，又BC∩CF＝C，BC，CF?平面BCF，所以平面ADE∥平面BCF，又BF?平面BCF，所以BF∥平面ADE；（2）如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面BDE的法向量為，則有，可取，所以點(diǎn)F到平面BDE的距離為；（3）C（1，2，0則=(-1,-2,2》，所以直線CE與平面BDE所成角的正弦值為.【點(diǎn)評】本題主要考查了線面平行的判定定理，考查了利用空間向量求點(diǎn)到平面的距離，以及直線與平面的夾角，屬于中檔題.15．如圖，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點(diǎn).（1）求AB與A1D所成角的余弦值；（2）求證：AB1⊥平面A1BD；（3）求平面A1BD與平面A1DC1的夾角的余弦值.【分析】（1）連接B1D，由AB∥A1B1，知∠DA1B1或其補(bǔ)角即為所求，再結(jié)合勾股定理與余弦定理，求解即可；（2）設(shè)AB1∩A1B＝F，連接DE，DA，DB1，先證AB1⊥A1B和AB1⊥DF，再由線面垂直的判定定理，即可得證；（3）取BC的中點(diǎn)O，B1C1的中點(diǎn)E，連接AO，OE，先證OB，OE，OA兩兩垂直，再以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建系，利用向量法求平面與平面的夾角，即可得解.∵AB∥A1B1，∴AB與A1D所成角為∠DA1B1或其補(bǔ)角，而A1D＝B1D=,在△A1B1D中，由余弦定理知，cos∠DA1B1===,故AB與A1D所成角的余弦值為.（2）證明：設(shè)AB1∩A1B＝F，連接DE，DA，DB1，由題意知，四邊形ABB1A1為正方形，∴AB1⊥A1B，在Rt△ACD中在Rt△B1C1D中∵F是AB1的中點(diǎn)，∴AB1⊥DF，∵A1B∩DF＝F，且A1B，DF?平面A1BD，∴AB1⊥平面A1BD.（3）解：取BC的中點(diǎn)O，B1C1的中點(diǎn)E，連接AO，OE，則AO⊥BC，OE⊥BC，∵平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，∴AO⊥平面BCC1B1，又OE?平面BCC1B1，∴AO⊥OE，故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OE，OA所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由（2）知平面A1BD的一個法向量為麗-(1,2,-F)，設(shè)平面A1DC1的法向量為元=(x,y,z)，則，設(shè)平面A1BD與平面A1DC1的夾角為α,則cosα=,∴平面A1BD與平面A1DC1的夾角的余弦值為.【點(diǎn)評】本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，熟練掌握線面垂直的判定與性質(zhì)定理，面面垂直的性質(zhì)定理，異面直線夾角的求法，以及利用向量法求平面與平面的夾角是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.16．已知直線l：ax+y+2a+1＝0，a∈R.（1）證明直線l過定點(diǎn)A，并求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）在（1）的條件下，若直線l′過點(diǎn)A，且在y軸上的截距是在x軸上的截距的，求直線l′的方程；（3）若直線l不經(jīng)過第二象限，求a的取值范圍；（4）在（1）的條件下，若直線l交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)M，交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)N，求|AM|?|AN|的最小值并求出此時直線l的方程.【分析】（1）化簡方程為a（x+2）+（y+1）＝0，聯(lián)立方程組，即可求解；（2）根據(jù)題意，設(shè)所求直線l′的方程為，將點(diǎn)A(﹣21）代入直線方程，求得a的值，即可求解；（3）得到直線l的斜率為k=﹣a，根據(jù)題意，得到0≤k≤kOA，即可求解；（4）設(shè)∠ONM=θ,且，可得∠FAM=θ,化簡得到，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【解答】解1）由直線ax+y+2a+1＝0，可化為a（x+2）+（y+10，由方程組，解得x=﹣2，y=﹣1，所以直線l恒過定點(diǎn)A(﹣21（2）由（1）知，直線l恒過定點(diǎn)A(﹣21因為直線l′過點(diǎn)A，且在y軸上的截距是在x軸上的截距的，設(shè)所求直線l′的方程為，將點(diǎn)A(﹣21）代入直線方程，可得，可得a=﹣2，所以所求直線的方程為，即x+2y+4＝0；（3）由（1）知，直線l恒過定點(diǎn)A(﹣21可得直線l的斜率為k=﹣a，因為，要使得直線l不經(jīng)過第二象限，則滿足0≤k≤kOA，即實(shí)數(shù)a的取值范圍；（4）因為直線ax+y+2a+1＝0，由直線l交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)M，交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)N