2023–2024學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊單元速記與巧練（人教版）第六章 實數(shù)知識突破（解析版）

第六章實數(shù)（知識歸納+題型突破）1.了解算術(shù)平方根、平方根、立方根的概念，會用根號表示數(shù)的平方根、立方根.2.了解開方與乘方互為逆運算，會用平方運算求某些非負(fù)數(shù)的平方根，會用立方運算求某些數(shù)的立方根，會用計算器求平方根和立方根.3.了解無理數(shù)和實數(shù)的概念，知道實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，有序?qū)崝?shù)對與平面上的點一一對應(yīng)；了解數(shù)的范圍由有理數(shù)擴大為實數(shù)后，概念、運算等的一致性及其發(fā)展變化.4.能用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍.知識點一：平方根和立方根類型項目平方根立方根被開方數(shù)非負(fù)數(shù)任意實數(shù)符號表示性質(zhì)一個正數(shù)有兩個平方根，且互為相反數(shù)；零的平方根為零；負(fù)數(shù)沒有平方根；一個正數(shù)有一個正的立方根；一個負(fù)數(shù)有一個負(fù)的立方根；零的立方根是零；重要結(jié)論知識點二：實數(shù)有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).

1.實數(shù)的分類按定義分：按與0的大小關(guān)系分：實數(shù)實數(shù)特別說明：（1）所有的實數(shù)分成三類：有限小數(shù)，無限循環(huán)小數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)．其中有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)．（2）無理數(shù)分成三類：①開方開不盡的數(shù)，如，等；②有特殊意義的數(shù)，如π；③有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001…（3）凡能寫成無限不循環(huán)小數(shù)的數(shù)都是無理數(shù)，并且無理數(shù)不能寫成分?jǐn)?shù)形式.（4）實數(shù)和數(shù)軸上點是一一對應(yīng)的.2.實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng).數(shù)軸上的任何一個點都對應(yīng)一個實數(shù)，反之任何一個實數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個點與之對應(yīng).3.實數(shù)的三個非負(fù)性及性質(zhì)：

在實數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)。我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過的非負(fù)數(shù)有如下三種形式：

（1）任何一個實數(shù)的絕對值是非負(fù)數(shù)，即||≥0；

（2）任何一個實數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)，即≥0；

（3）任何非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即().

非負(fù)數(shù)具有以下性質(zhì)：

（1）非負(fù)數(shù)有最小值零；

（2）有限個非負(fù)數(shù)之和仍是非負(fù)數(shù)；

（3）幾個非負(fù)數(shù)之和等于0，則每個非負(fù)數(shù)都等于0.4.實數(shù)的運算：數(shù)的相反數(shù)是－；一個正實數(shù)的絕對值是它本身；一個負(fù)實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0.有理數(shù)的運算法則和運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.實數(shù)混合運算的運算順序：先乘方、開方、再乘除，最后算加減.同級運算按從左到右順序進(jìn)行，有括號先算括號里.5.實數(shù)的大小的比較：

有理數(shù)大小的比較法則在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.法則1.實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；法則2．正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個負(fù)數(shù)比較，絕對值大的反而小；法則3.兩個數(shù)比較大小常見的方法有：求差法，求商法，倒數(shù)法，估算法，平方法.【題型一無理數(shù)的識別】例題：在實數(shù)0、、、、、（相鄰兩個1之間有1個0）中，無理數(shù)的個數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)無理數(shù)、有理數(shù)的定義即可判定選擇項．【詳解】解：∵∴，是無理數(shù)，共2個，故選：B．【點睛】此題主要考查了無理數(shù)的定義，立方根，注意帶根號的要開不盡方才是無理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù)．【變式訓(xùn)練】1．在實數(shù)（每兩個1之間多一個0）中，無理數(shù)的個數(shù)有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【解析】【分析】無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)，根據(jù)無理數(shù)的概念進(jìn)行判斷即可．【詳解】由無理數(shù)的概念知：π，，0.010010001…（每兩個1之間多一個0）這三個數(shù)是無理數(shù)．故選：B．【點睛】本題考查了無理數(shù)的概念，一般地：π與有理數(shù)的和、差、積（0除外）、商（0除外）的運算結(jié)果仍是無理數(shù)；開不盡方的數(shù)是無理數(shù)；形如0.010010001…（每兩個1之間多一個0）的一類數(shù)也是無理數(shù)．2．在，，，，，，，，（兩個“”之間依次多一個“”）中，無理數(shù)的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)．理解無理數(shù)的概念，一定要同時理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．由此即可判定選擇項．【詳解】解：在，，，，，，，，（兩個“”之間依次多一個“”）中，，，，，，是有理數(shù)，，，（兩個“”之間依次多一個“”）是無理數(shù)，共3個，故選：C．【點睛】本題考查了有理數(shù)、無理數(shù)的概念，求一個數(shù)的立方根．以下幾類無理數(shù)應(yīng)知道：或含有的式子；開不盡方的數(shù)以及它們與有理數(shù)的和、差、積、商也都是無理數(shù)；還有如（每兩個之間依次多一個）這樣的數(shù)也是無理數(shù)．【題型二實數(shù)的分類】例題：把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合里：，0，，，，，，有理數(shù)集合：{_____________________}；無理數(shù)集合：{______________________}；負(fù)實數(shù)集合：{______________________}．【答案】見解析．【分析】根據(jù)有理數(shù)、無理數(shù)、負(fù)實數(shù)的定義解答．【詳解】解∶在，0，，，，，，中，，，，有理數(shù)集合∶；無理數(shù)集合∶；負(fù)實數(shù)集合∶．【點睛】本題考查了實數(shù)的定義，掌握實數(shù)的范圍以及分類方法是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合內(nèi)：，，，，，0，（相鄰兩個2之間的1的個數(shù)逐次加1）【答案】無理數(shù)集合：，，（相鄰兩個2之間的1的個數(shù)逐次加1）；正實數(shù)集合：，，【分析】先化簡，，再根據(jù)實數(shù)的分類方法把各數(shù)據(jù)填入表格即可．【詳解】解：∵，，再把各數(shù)填入表格如下圖：【點睛】本題考查的是算術(shù)平方根與立方根的含義，實數(shù)的分類，無理數(shù)的含義，掌握“實數(shù)的分類”是解本題的關(guān)鍵．2．把下列各數(shù)填到相應(yīng)的集合內(nèi)只填序號：；；；：；；；；；（相鄰兩個之間的個數(shù)逐次加一）有理數(shù)集合：___________________________．無理數(shù)集合：___________________________．正實數(shù)集合：___________________________．負(fù)實數(shù)集合：__________________________．【答案】；；；【分析】運用實數(shù)的概念進(jìn)行逐一分類、辨別．【詳解】解：；；：；；；是有理數(shù)，；；是無理數(shù)，；：；；；是正實數(shù)，；；是負(fù)實數(shù)，有理數(shù)集合：．無理數(shù)集合：．正實數(shù)集合：．負(fù)實數(shù)集合：．故答案為：，，，．【點睛】此題考查了對實數(shù)進(jìn)行正確地分類，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運用以上知識．【題型三求一個數(shù)的算術(shù)平方根、平方根、立方根】例題：1的平方根為______，8的立方根為______，9的算術(shù)平方根為______．【答案】

±1

2

3【解析】【分析】根據(jù)平方根、立方根、算術(shù)平方根的定義進(jìn)行解答即可．【詳解】解：1的平方根為，8的立方根為2，9的算術(shù)平方根為3．故答案為：；2；3．【點睛】本題主要考查了平方根、算術(shù)平方根和立方根的定義，熟練掌握平方根、立方根、算術(shù)平方根的定義是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．的平方根是__________，的算術(shù)平方根是__________．【答案】

2

【解析】【分析】先將計算出來，再求平方根；先計算，再求的算術(shù)平方根．【詳解】解：∵，∴的平方根是；∵，∴的算術(shù)平方根是．故答案為：；．【點睛】本題考查平方根和算術(shù)平方根．一個正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)，零的平方根是零，負(fù)數(shù)沒有平方根；一個正數(shù)的正的平方根是這個數(shù)的算術(shù)平方根，零的算術(shù)平方根是零，負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根．正確理解和掌握平方根和算術(shù)平方根的定義是解題的關(guān)鍵．2．25的平方根是_______，的算術(shù)平方根是_______，的立方根是_________．【答案】

2

-3【解析】【分析】根據(jù)平方根、算術(shù)平方根和立方根的定義進(jìn)行解答即可．【詳解】解：25的平方根是，的算術(shù)平方根是2，的立方根是-3．故答案為：；2；-3．【點睛】本題主要考查了平方根，算術(shù)平方根和立方根的定義，注意求的算術(shù)平方根時，要先求出，即求4的算術(shù)平方根．【題型四利用算術(shù)平方根的非負(fù)性解題】例題：若+（b﹣2）2＝0，則a+b＝_____．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)算術(shù)平方根和偶次方的非負(fù)數(shù)性質(zhì)可得、的值，相加即可．【詳解】解：，而，，，，解得，，．故答案為：1．【點睛】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握兩個非負(fù)數(shù)的和為0，這兩個非負(fù)數(shù)均為0．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·浙江杭州·七年級?？计谥校┤?，則的值是（

）A． B．1 C． D．2024【答案】A【分析】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，代數(shù)式求值．掌握算術(shù)平方根和絕對值的非負(fù)性是解題關(guān)鍵．根據(jù)算術(shù)平方根和絕對值的非負(fù)性可求出，，再代入中求值即可．【詳解】解：∵，∴，，解得：，，∴．故選A．2．（2023下·江蘇·八年級專題練習(xí)）已知，則．【答案】4【分析】本題考查的是非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，掌握幾個非負(fù)數(shù)的和為0時，這幾個非負(fù)數(shù)都為0是解題的關(guān)鍵．根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a、b的值，代入所求的式子計算即可．【詳解】解：∵，，，∴，解得，∴．故答案為：4．3．（2023下·七年級課時練習(xí)）已知，則的算術(shù)平方根是.【答案】2【解析】略【題型五利用平方根、立方根解方程】例題：求出下列x的值：(1)4x2-9=0(2)8（x+1）3=125【答案】(1)x1，x2(2)x＝1.5【解析】【分析】（1）移項，把二次項系數(shù)化為1，開平方求出x；（2）根據(jù)立方根的定義，開立方求出x．(1)解：4x2﹣9＝0，4x2＝9，x2，x1，x2；(2)8（x+1）3＝125，（x+1）3，x+1，x＝1.5．【點睛】本題主要考查了平方根、立方根，熟練掌握其定義及性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．求的值：(1)；(2)．【答案】(1)或(2)【解析】【分析】（1）通過系數(shù)化為1、開平方進(jìn)行求解；（2）通過系數(shù)化為1、開立方進(jìn)行求解．(1)系數(shù)化為1，得，開平方，得，解得或；(2)系數(shù)化為1，得，開立方，得，解得．【點睛】此題考查了運用開平方、開立方解方程的能力，關(guān)鍵是能通過方程的特殊結(jié)構(gòu)選擇解方程的方法求解．2．解方程：(1)3x2﹣27＝0；(2)（x﹣1）2(3)8（x﹣1）3【答案】(1)或(2)或(3)【解析】【分析】（1）根據(jù)平方根的定義解方程;（2）根據(jù)平方根的定義解方程；（3）根據(jù)立方根的定義解方程(1)或(2)（x﹣1）2或(3)8（x﹣1）3【點睛】本題考查了根據(jù)平方根與立方根解方程，掌握平方根與立方根是解題的關(guān)鍵．【題型六算術(shù)平方根和立方根的綜合應(yīng)用】例題：（2023上·貴州貴陽·八年級?？茧A段練習(xí)）已知的立方根是的算術(shù)平方根為．(1)分別求的值；(2)求的平方根．【答案】(1)，，(2)或【分析】本題考查立方根，算術(shù)平方根，平方根．熟練掌握相關(guān)概念，是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)立方根，平方根和算術(shù)平方根的定義進(jìn)行求解即可；（2）先求出3a?b+c的值，再計算平方根即可．【詳解】（1）解：∵的立方根是，的算術(shù)平方根為，∴，，解得：，，∵，∴；（2）當(dāng)時，∴，∴的平方根是．當(dāng)時，∴，∴的平方根是．綜上所述，的平方根是或．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·山東濟南·八年級統(tǒng)考期中）已知：的立方根是的算術(shù)平方根3．(1)求的值；(2)求的平方根．【答案】(1)(2)【分析】本題考查立方根與平方根的運用，涉及立方根和平方根的定義、算術(shù)平方根定義、立方根與平方根的運算、解方程和代數(shù)式求值等知識，熟記立方根與平方根的運算是解決問題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)立方根與算術(shù)平方根運算列方程求解即可得到答案；（2）將的值代入代數(shù)式求值，再由平方根運算求解即可得到答案．【詳解】（1）解：的立方根是的算術(shù)平方根3，，解得；（2）解：將代入得到，的平方根是，的平方根．2．（2023上·甘肅定西·七年級校考期末）已知的兩個平方根分別是，的立方根為2．(1)求的平方根；(2)若的算術(shù)平方根是3，求的立方根．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)平方根和立方根的意義求出字母的值，再求的平方根即可；（2）求出的值，再求的立方根即可．【詳解】（1）解：∵的兩個平方根分別是，的立方根為2．∴，，解得，，，，∵，∴的平方根是．（2）解：∵的算術(shù)平方根是3，∴，

∵，∴，，∵，∴的立方根是．【點睛】本題考查了平方根和立方根，解題關(guān)鍵是根據(jù)平方根和立方根的意義求出字母的值，會熟練求一個數(shù)的平方根和立方根．【題型七實數(shù)與數(shù)軸】例題：如圖，正方形的面積為7.頂點A在數(shù)軸上表示的數(shù)為1，點E在數(shù)軸上，且，則點E表示的數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】因為面積為7的正方形邊長為，所以，而，得，點的坐標(biāo)為1，故點的坐標(biāo)為．【詳解】解：正方形的面積為7，即，，，，點表示的數(shù)為1，點表示的數(shù)為，故選：C．【點睛】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸有關(guān)的問題，算術(shù)平方根，關(guān)鍵是結(jié)合題意求出．【變式訓(xùn)練】1．如圖所示，面積為5的正方形的頂點A在數(shù)軸上，且點A表示的數(shù)為1，若點在數(shù)軸上（點在點A左側(cè)），且，則點所表示的數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根據(jù)正方形的面積為5，即可求得它的邊長為，再根據(jù)點A表示的數(shù)為1，，即可求解．【詳解】解：正方形的面積為5，它的邊長為，點A表示的數(shù)為1，，點所表示的數(shù)為：，故選：D．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，求數(shù)軸上的點所表示的數(shù)，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解決此類題的關(guān)鍵．2．如圖，在數(shù)軸上，兩點表示的數(shù)分別為1，，，則點所表示的數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出，再根據(jù)數(shù)軸上兩點距離公式進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵在數(shù)軸上，兩點表示的數(shù)分別為1，，，∴，又∵點C在點A的左邊，∴點C表示的數(shù)為，故選B．【點睛】本題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸，實數(shù)的混合計算，熟知數(shù)軸上兩點距離公式是解題的關(guān)鍵．【題型八實數(shù)的大小比較】例題：比較大?。篲_____．【答案】【分析】先求出兩者的差，根據(jù)差的正負(fù)即可比較大小.【詳解】解：，，，∴，∴，∴，∴故答案為：【點睛】本題考查了實數(shù)的大小比較，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū容^兩個數(shù)的大小是解此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．比較大?。篲_____．【答案】【分析】先估算出的范圍，再求出以及的范圍，然后比較大小即可；【詳解】解：∵∴，∴，∴，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了無理數(shù)的估算以及實數(shù)的大小比較，能估算出的范圍是解此題的關(guān)鍵．2．比較大?。海?）_____；（2）_____（3）_____；（4）_____．【答案】

【分析】（1）先把和分別平方，然后再進(jìn)行大小比較．（2）先把和分別平方，然后再進(jìn)行大小比較．（3）先把和分別平方，然后再進(jìn)行大小比較．（4）先求出和的倒數(shù)，然后進(jìn)行大小比較．【詳解】解：（1），，，（2），，，（3），，，（4），，而，，故答案為：，，，．【點睛】本題考查了實數(shù)的大小比較，利用平方法或倒數(shù)法進(jìn)行比較大?。绢}型九實數(shù)的混合運算】例題：計算：．【答案】【分析】先計算立方根、化簡絕對值、計算算術(shù)平方根，然后進(jìn)行合并即可．【詳解】解：．【點睛】本題考查了實數(shù)的運算，熟記法則和運算順序是解決此題的關(guān)鍵．注意引入無理數(shù)后有理數(shù)的一些運算法則和性質(zhì)仍然適用．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·江蘇常州·八年級?？茧A段練習(xí)）計算：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)．【分析】本題考查實數(shù)的運算，熟練掌握算術(shù)平方根和立方根性質(zhì)以及負(fù)指數(shù)冪的運算法則，乘方、二次根式以及去絕對值的運算規(guī)則是解題的關(guān)鍵．（1）由題意根據(jù)算術(shù)平方根和立方根性質(zhì)以及乘方的運算法則進(jìn)行計算即可；（2）由題意根據(jù)乘方、算術(shù)平方根、負(fù)指數(shù)冪以及去絕對值的運算規(guī)則進(jìn)行計算即可．【詳解】（1）解：（2）解：．2．（2023上·陜西西安·八年級?？茧A段練習(xí)）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】此題考查實數(shù)的運算，解題關(guān)鍵在于掌握運算法則．（1）原式利用平方根，立方根進(jìn)行化簡，計算即可解答；（2）原式利用平方根，立方根，絕對值進(jìn)行化簡，計算即可解答．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．3．（2023上·江蘇常州·八年級校考期中）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】此題主要考查了實數(shù)的混合運算；（1）首先計算零指數(shù)冪、乘方和絕對值，然后從左向右依次計算，求出算式的值即可；（2）首先計算乘方、開平方和開立方，然后從左向右依