2023–2024學年七年級數(shù)學下冊單元速記與巧練（人教版）第七章 平面直角坐標系壓軸專練（解析版）

第七章平面直角坐標系（壓軸題專練）目錄TOC\o"1-3"\h\u【類型一直接利用面積公式求圖形的面積】 1【類型二利用補形法或分割法求圖形的面積】 8【類型三與圖形面積相關(guān)的點的存在性問題】 11【類型四平面直角坐標系中動點移動問題】 15【類型五平面直角坐標系中圖形翻轉(zhuǎn)問題】 19【類型六平面直角坐標系中新定義型問題】 22【類型一直接利用面積公式求圖形的面積】例題：（2023春·吉林松原·七年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標系中，點、的坐標分別為，，且，滿足，點的坐標為．

(1)求，的值；(2)求的面積．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）根據(jù)絕對值和算術(shù)平方根的非負性，即可求得，的值；（2）根據(jù)，的值可以確定點、的坐標，進而求得，的距離，即可求得的面積．【詳解】（1）解：∵，∴，，∴，，（2）解：∵，，∴點，點，又∵點，∴，，∴．【點睛】本題考查了坐標與圖形的性質(zhì)、絕對值、算術(shù)平方根的非負性以及三角形的面積公式，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)絕對值、算術(shù)平方根的非負性求出，的值．【變式訓練】1．（2023春·天津濱海新·七年級校考期中）在直角坐標系中，三角形的頂點，，．

(1)求三角形的面積．(2)若P是x軸上一動點，若三角形的面積等于三角形面積的一半，求點P的坐標．【答案】(1)(2)或【分析】（1）過點B作軸于點H，由得到，由及得到，利用三角形面積公式即可得到三角形的面積；（2）設(shè)點P的坐標為，則，根據(jù)題意得到，解得或，即可得到點P的坐標．【詳解】（1）解：過點B作軸于點H，

∵，∴，∵三角形的頂點，．∴，∴三角形的面積，即三角形的面積為；（2）設(shè)點P的坐標為，則，∵三角形的面積等于三角形面積的一半，∴，解得或，∴點P的坐標為或．【點睛】此題主要考查了圖形與坐標、絕對值方程、三角形面積公式等知識，數(shù)形結(jié)合和準確計算是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·河南商丘·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，三角形的邊在軸上，且，頂點的坐標為，頂點的坐標為．

(1)畫出所有符合條件的三角形，并寫出點的坐標；(2)求三角形的面積．【答案】(1)點或，圖見解析；(2)【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)點，再根據(jù)數(shù)軸上兩點之間的距離公式即可解答；（2）根據(jù)點的縱坐標為，即可解答．【詳解】（1）解：∵三角形的邊在軸上∴設(shè)點，∵，頂點的坐標為，∴，∴，，∴點或，∵頂點的坐標為，∴如圖所示：

（2）解：∵頂點的坐標為，∴點的縱坐標為，∵，∴，即的面積為．【點睛】本題考查了平面直角坐標系內(nèi)點的坐標特征，數(shù)軸上兩點之間的距離公式，利用網(wǎng)格求三角形的面積，掌握平面直角坐標系內(nèi)點的坐標特征是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·河北廊坊·七年級校考期中）如圖在平面直角坐標系中，已知，，，其中a、b滿足．

(1)求a、b的值；(2)求的面積；(3)在x軸上求一點P，使得的面積與的面積相等．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）根據(jù)絕對值和平方的非負性求解即可；（2）由（1）可知點A、B的坐標，從而可求出，再根據(jù)三角形的面積公式計算即可；（3）設(shè)，則，根據(jù)三角形的面積公式可求出，結(jié)合題意可列出關(guān)于x的等式，解出x的值即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴，，解得：，；（2）解：∵，，∴，，∴，∴；（3）解：設(shè)，∴，∴．∵的面積與的面積相等，∴，解得：或，∴點P的坐標為或．當點P的坐標為時點B與點P重合，∴點P的坐標為．【點睛】本題考查非負數(shù)的性質(zhì)，坐標與圖形，絕對值方程的應用等知識．掌握絕對值和平方的非負性，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．4．（2023春·遼寧大連·七年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標系中，已知點，，，．

(1)求三角形的面積；(2)設(shè)點是軸上一點，若，試求點坐標；(3)若點在線段上，求用含的式子表示．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式解答即可；（2）根據(jù)三角形的面積公式和坐標特點得出方程解答即可；（3）根據(jù)，進行計算即可解答．【詳解】（1）解：，，，，，；（2）解：設(shè)點是軸上一點，坐標為，，，，，即，解得：或，或；（3）解：如圖，連接，

，，，，，，，，，點在第三象限，，，，整理得：．【點睛】本題主要考查了坐標與圖形，三角形的面積公式，熟練掌握三角形的面積公式是解題的關(guān)鍵．【類型二利用補形法或分割法求圖形的面積】例題：（2023春·江西南昌·七年級校聯(lián)考期中）如圖，已知點，，，求三角形的面積．【答案】18【分析】方法一：如圖，作長方形，由可得答案；方法二：如圖，過點B作軸，并分別過點A和點C作的垂線，垂足分別為點E，F(xiàn)，由可得答案；方法三：如圖，過點A作軸，并分別過點C和點B作的垂線，垂足分別為點D，E，由可得答案．【詳解】解：方法一：如圖，作長方形，則．方法二：如圖，過點B作軸，并分別過點A和點C作的垂線，垂足分別為點E，F(xiàn)．∴，，，，，∴．方法三：如圖，過點A作軸，并分別過點C和點B作的垂線，垂足分別為點D，E．∴，，，，，∴．【點睛】本題考查的是網(wǎng)格三角形的面積，坐標與圖形，熟練的構(gòu)建與網(wǎng)格三角形面積相關(guān)的長方形與梯形是解本題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2023春·湖北恩施·七年級校聯(lián)考期中）如圖，有一塊不規(guī)則的四邊形地皮，各個頂點的坐標分別為，，，圖上一個單位長度表示米，求這個四邊形的面積．【答案】這個四邊形的面積為【分析】過點作軸于點，過點作軸于點，如圖，先計算出相關(guān)線段的長，再根據(jù)求解即可【詳解】解：過點作軸于點，過點作軸于點，如圖，，，，，，，，，，，，．答：這個四邊形的面積為．【點睛】本題考查了坐標與圖形，正確得到相關(guān)線段的長度、掌握割補法求解的方法是關(guān)鍵．2．（2023春·黑龍江綏化·七年級?？计谥校┰谌鐖D所示的直角坐標系中，多邊形的各頂點的坐標分別是，，確定這個多邊形的面積，你是怎樣做的?【答案】25，見解析【分析】根據(jù)矩形、三角形和梯形面積公式以及進行計算．【詳解】解：如圖所示，多邊形的面積．【點睛】本題主要考查了坐標與圖形性質(zhì)，一些不規(guī)則圖形可以轉(zhuǎn)化為一些易求面積的圖形的和或差來計算．【類型三與圖形面積相關(guān)的點的存在性問題】例題：（2023春·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期中）如圖1，在坐標系中，已知，，，連接交軸于點，，．(1)請直接寫出點，的坐標，______，______；(2)如圖2，、分別表示三角形、三角形的面積，點在軸上，使，點若存在，求點縱坐標、若不存在，說朋理由；(3)如圖3，若是軸上方一點，當三角形的面積為20時，求出的值．【答案】(1)，；(2)存在，12或；(3)或．【分析】（1）根據(jù)立方根的性質(zhì)，算術(shù)平方根的性質(zhì)可得a，b的值，即可求解；（2）設(shè)P點縱坐標為，然后分兩種情況討論：當在上方時，當在下方時，結(jié)合，即可求解；（3）分兩種情況討論：當在右側(cè)時，當在左側(cè)時，即可求解．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴，；故答案為：，（2）解：存在，設(shè)P點縱坐標為．當在上方時，，，，，∴，解得：；當在下方時，，，，，，∴，解得：．綜上：點縱坐標為12或．（3）解：當在右側(cè)時，，過左軸于，連接，∴，∵三角形的面積為20，∴，；當在左側(cè)時，，過左軸于，連接，，∵三角形的面積為20，∴，；綜上所述，的值為12或．【點睛】本題主要考查了立方根的性質(zhì)，算術(shù)平方根的性質(zhì)，坐標與圖形，利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2023春·廣東湛江·七年級校考期中）如圖所示，，，點在軸上，且．(1)求點的坐標；(2)求三角形的面積；(3)在軸上是否存在點，使以、、三點為頂點的三角形的面積為？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)或；(2)；(3)存在，或【分析】（1）分點在點的左邊和右邊兩種情況解答；（2）利用三角形的面積公式列式計算即可得解；（3）利用三角形的面積公式列式求出點到軸的距離，然后分兩種情況寫出點的坐標即可．【詳解】（1）如圖，當點在點的右邊時，，當點在點的左邊時，，所以的坐標為或；（2）的面積，答：的面積為；（3）設(shè)點到軸的距離為，則，解得，當點在軸正半軸時，，當點在軸負半軸時，，綜上所述，點的坐標為或【點睛】本題考查了點的坐標的確定，三角形的面積公式，分類討論，坐標軸上兩點間的距離公式等有關(guān)知識；能求出符合條件的點的坐標是解此題的關(guān)鍵．【類型四平面直角坐標系中動點移動問題】例題：（2023秋·遼寧盤錦·九年級?？奸_學考試）如圖，在平面直角坐標系中，一動點沿箭頭所示的方向，依次得到點，，，，，…，則的坐標是．

【答案】【分析】由圖可得，，，，，…，當n能夠被3整除時，點坐標為，根據(jù)得，點按“上→右→下→下→右→上”6次一循環(huán)，則，根據(jù)點在點的上方，即可得．【詳解】解：由圖可得，，，，，…當n能夠被3整除時，點坐標為，∵，∴，∵按“上→右→下→下→右→上”6次一循環(huán)，∴，∵點在點的上方，∴故答案為：．【點睛】本題主要考查了點的坐標變化規(guī)律，解決問題的關(guān)鍵找出圖形的變化規(guī)律．【變式訓練】1．（2023春·江蘇·七年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標系中，動點A從出發(fā)，向上運動1個單位長度到達點B，分裂為兩個點，分別向左、右運動到點C，D，此時稱動點A完成第一次跳躍；再分別從C，D點出發(fā)，每個點重復上面的運動，到達點G，H，I，此時稱動點A完成第二次跳躍；依此規(guī)律跳躍下去，動點A完成第2023次跳躍時，最右邊一個點的坐標是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)題意找到點坐標變化的規(guī)律即可．【詳解】解：由題意可得：A、D、I．．．每完成一次跳躍，最右邊一個點的縱坐標增加2，到達點的橫坐標增加1，則動點A完成第2023次跳躍時，最右邊一個點縱坐標為，橫坐標為：故選：C．【點睛】本題考查了點坐標規(guī)律的探索．根據(jù)題意尋找變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．2．（2023春·重慶·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，有若干個整數(shù)點，其順序按圖中方向排列，如，，，，，，…，根據(jù)規(guī)律探索可得，第40個點的坐標為(

)

A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意知，把第一個點作為第一列，，作為第二列，，，作為第三列，進而可推導一般性規(guī)律為：第列有個數(shù)，則列共有個數(shù)，且奇數(shù)列的點的順序由上到下，偶數(shù)列點的順序由下到上，由，可知第40個點的坐標在第9列，從上往下第4個點，進而可求點坐標．【詳解】解：由題意知，把第一個點作為第一列，，作為第二列，，，作為第三列，進而可推導一般性規(guī)律為：第列有個數(shù)，則列共有個數(shù)，且奇數(shù)列的點的順序由上到下，偶數(shù)列點的順序由下到上，∵，∴第40個點的坐標在第9列，從上往下第4個點，坐標為，故選：D．【點睛】本題考查了點規(guī)律的探究．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意推導出一般性規(guī)律．3．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標系中，動點P從原點O出發(fā)，水平向左平移1個單位長度，再豎直向下平移1個單位長度得點；接著水平向右平移2個單位長度，再豎直向上平移2個單位長度得到點；接著水平向左平移3個單位長度，再豎直向下平移3個單位長度得到點；接著水平向右平移4個單位長度，再豎直向上平移4個單位長度得到點，…，按此作法進行下去，則點的坐標為．

【答案】【分析】對奇數(shù)點，偶數(shù)點分開討論，找出點坐標與序數(shù)的關(guān)系，總結(jié)規(guī)律求解．【詳解】解：，；，；，；，；……當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時，；∴，即．故答案為：．【點睛】本題考查點坐標規(guī)律探索，由開始的幾個點坐標總結(jié)規(guī)律是解題的關(guān)鍵，注意分開討論．4．（2023春·四川內(nèi)江·八年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標系中，把一條長為a個單位長度且沒有彈性的細線（線的粗細忽略不計）的一端固定在點A處，并按的規(guī)律緊繞在四邊形的邊上．（1）當時，細線另一端所在位置的點的坐標是；（2）當時，細線另一端所在位置的點的坐標是．

【答案】【分析】根據(jù)點的坐標，求出四邊形的周長，然后求出另一端是繞第幾圈后的第幾個單位長度，從而確定答案．【詳解】解：∵，∴，∴四邊形的周長為，∴細線繞一圈的長度為10，∵，∴當時，細線另一端所在位置的點與點重合，坐標為：；∵，∴當時，細線另一端所在位置的點在點下方1個單位長度處，即為：；故答案為：，；【點睛】本題考查坐標與圖形，點的規(guī)律探究，解題的關(guān)鍵是求出四邊形的周長?！绢愋臀迤矫嬷苯亲鴺讼抵袌D形翻轉(zhuǎn)問題】例題：（2023秋·浙江·九年級專題練習）如圖所示，長方形的兩邊分別在x軸、y軸上，點C與原點重合，點，將長方形沿x軸無滑動向右翻滾，經(jīng)過一次翻滾，點A的對應點記為，經(jīng)過第二次翻滾，點A的對應點記為；……，依次類推，經(jīng)過第2023次翻滾，點A的對應點的坐標為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】觀察圖形即可得到經(jīng)過4次翻滾后點A對應點一個循環(huán)，求出的商，從而解答本題．【詳解】解：觀察圖形得，，，，，經(jīng)過4次翻滾后點A對應點一個循環(huán)，，∵點，長方形的周長為：，∴經(jīng)過505次翻滾后點A對應點的坐標為，即．∴的坐標為．故選：B．【點睛】此題考查探究點的坐標的問題，解題的關(guān)鍵是找到點的變化規(guī)律．【變式訓練】1．（2023春·重慶九龍坡·七年級重慶實驗外國語學校校考階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，是直角三角形，點O為直角頂點，已知點，，，將按如圖方式在x軸負半軸上向左連續(xù)翻滾，依次得到、、、…，則的直角頂點的橫坐標是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】觀察圖形，從到經(jīng)過的路程恰好為的周長，據(jù)此即可求解．【詳解】解：由題意得：從到經(jīng)過的路程恰好為的周長：故的直角頂點的橫坐標為：；的直角頂點的橫坐標為：同理：從到經(jīng)過的路程恰好為：故的直角頂點的橫坐標為：；的直角頂點的橫坐標為：…∴、、、…、的直角頂點的橫坐標為：∵∴的直角頂點的橫坐標為：∵與的直角頂點的橫坐標相同故的直角頂點的橫坐標是故選：B【點睛】本題考查坐標與規(guī)律．根據(jù)題意確定坐標變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．2．（2022·黑龍江大慶·大慶外國語學校?？寄M預測）如圖，將邊長為1的正方形OAPB沿x軸正方向連續(xù)翻轉(zhuǎn)2019次，點P依次落在點的位置，則的橫坐標為（

）

A．2019 B．2018 C．2017 D．2016【答案】B【分析】觀察圖形和各點坐標可知：點到要翻轉(zhuǎn)4次為一個循環(huán)，到橫坐標剛好加4，到處橫坐標加3，按照此規(guī)律，求出的橫坐標，進而求出答案．【詳解】解：由題意可知：點到要翻轉(zhuǎn)4次為一個循環(huán)，，，，，，，到橫坐標剛好加4，到處橫坐標加3，，，，的橫坐標，故選：B．【點睛】本題主要考查了規(guī)律型：點的坐標，解題關(guān)鍵是根據(jù)各點坐標和題意，找出坐標規(guī)律．【類型六平面直角坐標系中新定義型問題】例題：（2022秋·湖南常德·八年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，對于點，我們把點叫做點P伴隨點．已知點的伴隨點為，點的伴隨點為，點的伴隨點為，…，這樣依次得到點，，，…，，…．若點的坐標為，點坐標為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)“伴隨點”的定義依次求出各點，不難發(fā)現(xiàn)，每4個點為一個循環(huán)組依次循環(huán)，用2022除以4，根據(jù)商和余數(shù)的情況確定點的坐標即可．【詳解】解：∵的坐標為，∴，，，，…．依此類推，每4個點為一個循環(huán)依次循環(huán)，∵,∴點的坐標與的坐標相同，為．故選：B．【點睛】本題考查了點的變化規(guī)律，讀懂題目信息，理解“伴隨點”的定義并求出每4個點為一個循序組依次循環(huán)是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2023春·河南漯河·七年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，對于點，我們把點叫做點P的友好點，已知點的友好點為點，點的友好點為點，點的友好點為點．……以此類推，當點的坐標為時，點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)的坐標為和友好點的定義，順次寫出點、、、的坐標，發(fā)現(xiàn)循環(huán)規(guī)律，即可求解．【詳解】解：當點的坐標為時，點的友好點的坐標為，點的友好點的坐標是，點的友好點的坐標是，點的友好點的坐標是，……以此類推，∴，，，（n為自然數(shù)），∵，∴點的坐標為，故選：C【點睛】此題考查了點的坐標變化規(guī)律，從已知條件得出循環(huán)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·河北張家口·七年級統(tǒng)考期末）已知點，，點是線段的中點，則，．在平面直角坐標系中有三個點，，，點關(guān)于的對稱點為（即，，三點共線，且），關(guān)于的對稱點為，關(guān)于的對稱點為，按此規(guī)律繼續(xù)以，，為對稱點重復前面的操作，依次得到，，，則點的坐標是．【答案】【分析】根據(jù)題意，可求得點至點的坐標，觀察各點坐標，可知每個點循環(huán)一次，即可求得點的坐標與已知某個點的坐標相同．【詳解】設(shè)點的坐標為．根據(jù)題意，得解得所以，點的坐標為．同理可得，，，，．觀察各點坐標可知，點至點為一個循環(huán)，即每個點循環(huán)一次．∵，∴點的坐標與點的坐標相同．∴點的坐標是．故答案為：．【點睛】本題主要考查平面直角坐標系，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意求得某點的對稱點的坐標．3．（2023上·陜西西安·八年級西安市第二十六中學校聯(lián)考期中）在平面直角坐標系中，對于兩點給出如下定義：若點到軸、軸的距離之差的絕對值等于點到軸、軸的距離之差的絕對值，則稱兩點互為“等差點”．例如．點與點到軸、軸的距離之差的絕對值都