5.1.1變化率問題課件高二數(shù)學(xué)人教A版選擇性

第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用5.1.1變化率問題人教A版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第二冊課程標(biāo)準(zhǔn)1.理解平均速度和瞬時速度的關(guān)系,并會求解平均速度和瞬時速度.2.體會拋物線上割線與切線的關(guān)系,會求解拋物線上某點(diǎn)處的切線斜率.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識全過關(guān)知識點(diǎn)1

平均速度與瞬時速度1.平均速度:物體的位移與所用時間的比值,通常指物體在某一時間段的速度.若物體運(yùn)動的位移與時間的關(guān)系式是s=f(t),函數(shù)f(t)在t0與t0+Δt之間的平均速度是2.瞬時速度:在物理中,做變速運(yùn)動的物體在不同的時刻,速度是不同的,我們把物體在某一時刻的速度稱為

.

若物體運(yùn)動的位移與時間的關(guān)系式是s=f(t),當(dāng)Δt趨近于0時,平均速度變速運(yùn)動物體在不同時刻瞬時速度不同

瞬時速度

名師點(diǎn)睛從物理的角度看,瞬時速度就是將平均速度的時間段改為時間點(diǎn),即讓時間段[t,t+Δt](Δt>0)或者[t+Δt,t](Δt<0)中的時間間隔|Δt|無限趨近于0,此時時間段[t,t+Δt](Δt>0)或者[t+Δt,t](Δt<0)內(nèi)的平均速度就無限趨近于t時刻的瞬時速度.過關(guān)自診1.已知拋物線y=3x-x2在x0=2處的增量為Δx=0.1,則

的值為(

)A.-0.11 B.-1.1C.3.89 D.0.29B解析

令y=f(x)=3x-x2.∵Δy=f(2+0.1)-f(2)=(3×2.1-2.12)-(3×2-22)=-0.11,2.[北師大版教材習(xí)題]某物體走過的路程s(單位:m)與時間t(單位:s)的函數(shù)關(guān)系為s=t2-1,通過平均速度估計物體在下列各時刻的瞬時速度:(1)t=0;(2)t=2;(3)t=4.估計當(dāng)t=0時,瞬時速度為0

m/s;(2)當(dāng)t=2,Δt無限趨近于0時,無限趨近于4,估計當(dāng)t=2時,瞬時速度為4

m/s;

知識點(diǎn)2

割線斜率與切線斜率1.割線與切線的關(guān)系如圖所示,當(dāng)點(diǎn)Pn(xn,f(xn))沿著曲線無限趨近于點(diǎn)P0(x0,f(x0))時,割線P0Pn無限趨近于一個確定的位置.這個確定位置的直線P0T稱為曲線在點(diǎn)P0處的

.

切線

2.割線斜率與切線斜率的關(guān)系

f(x0+Δx)-f(x0)可記為Δy,并且Δy可為正數(shù),可為負(fù)數(shù),可為零

過關(guān)自診1.如圖,我們把一條曲線上的任意一點(diǎn)P附近的圖象不斷放大,觀察有何現(xiàn)象出現(xiàn)?提示

當(dāng)不斷放大時,曲線在點(diǎn)P附近的圖象逼近一條確定的直線,即在很小的范圍內(nèi),曲線可以看作直線,這就是以直代曲的思想.2.已知曲線y=2x2上一點(diǎn)A(2,8),則在點(diǎn)A處的切線斜率為(

)A.4 B.16

C.8

D.2C重難探究·能力素養(yǎng)全提升重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一求物體運(yùn)動的平均速度及瞬時速度角度1.平均速度【例1】

某質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的位移s與時間t之間的關(guān)系為s(t)=-2t2+1,則該質(zhì)點(diǎn)從t=1到t=2的平均速度為(

)A.-4 B.-8C.6 D.-6D規(guī)律方法

求物體運(yùn)動的平均速度的三個步驟第一步:求時間的改變量x2-x1;第二步:求位移的改變量f(x2)-f(x1);變式訓(xùn)練1[人教B版教材例題]已知某物體運(yùn)動的位移xm是時間ts的函數(shù),而且t=0.1時,x=0.25;t=0.5時,x=2.25.求這個物體在時間段[0.1,0.5]內(nèi)的平均速度.角度2.瞬時速度【例2】

某物體的運(yùn)動位移s(單位:m)與時間t(單位:s)的關(guān)系可用函數(shù)s(t)=t2+t+1表示,求物體在t=1s時的瞬時速度.分析

變式探究1在本例條件不變的前提下,試求物體的初速度.解

求物體的初速度,即求物體在t=0時的瞬時速度.∴物體的初速度為1

m/s.變式探究2在本例條件不變的前提下,試問物體在哪一時刻的瞬時速度為9m/s.解

設(shè)物體在t0時刻的瞬時速度為9

m/s.則2t0+1=9,∴t0=4.則物體在4

s時的瞬時速度為9

m/s.規(guī)律方法

求運(yùn)動物體在t=t0時的瞬時速度的三個步驟(1)求時間改變量Δt和位移改變量s(t0+Δt)-s(t0).探究點(diǎn)二求解曲線在某點(diǎn)處的割線、切線斜率【例3】

設(shè)函數(shù)f(x)=x(x-6),則此函數(shù)圖象在x=0處的切線斜率為(

)A.0 B.-1 C.3

D.-6 D規(guī)律方法

求曲線上某點(diǎn)(x0,f(x0))處的割線或切線斜率的步驟

變式訓(xùn)練2曲線y=在點(diǎn)(1,1)處切線的斜率為(

)A.-1 B.0 C.1 D.2A本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識清單:(1)平均速度與瞬時速度的概念和計算.(2)曲線的割線與切線及其求解.2.方法歸納:局部以直代曲法,極限的無限逼近思想,數(shù)形結(jié)合思想.3.常見誤區(qū):(1)不會用極限的思想理解瞬時速度;(2)容易忽視函數(shù)平均變化率的符號.重難探究·能力素養(yǎng)全提升成果驗收·課堂達(dá)標(biāo)檢測123456789101112A級必備知識基礎(chǔ)練1.[探究點(diǎn)一(角度1)]一運(yùn)動物體的位移s與時間t之間的關(guān)系為s(t)=t2+3,則從t=3到t=3.3內(nèi),該物體運(yùn)動的平均速度為(

)A.6.3 A解析

s(3)=12,s(3.3)=13.89,1234567891011122.[探究點(diǎn)一(角度2)]一個物體做直線運(yùn)動,位移s與時間t之間的函數(shù)關(guān)系為s(t)=t2+2t+3,則該物體在t=2時的瞬時速度為(

)A.4 B.5 C.6 D.7C1234567891011123.[探究點(diǎn)一](多選題)已知某沿直線運(yùn)動的物體走過的路程s與時間t的函數(shù)關(guān)系為s(t)=7t2+8(0≤t≤5),則下列說法正確的是(

)A.該物體在1≤t≤3內(nèi)的平均速度是28B.該物體在t=4時的瞬時速度是56C.該物體位移的最大值為43D.該物體在t=5時的瞬時速度是70ABD1234567891011121234567891011124.[探究點(diǎn)二]已知曲線y=上一點(diǎn)P(1,1),則曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率為

.

-21234567891011125.[探究點(diǎn)一(角度1)]一個物體做直線運(yùn)動,位移s(單位:m)與時間t(單位:s)之間的函數(shù)關(guān)系為s(t)=5t2+mt,且這一物體在2≤t≤3這段時間內(nèi)的平均速度為26m/s,則實(shí)數(shù)m的值為

.

11234567891011126.[探究點(diǎn)一]一個做直線運(yùn)動的物體,其位移s與時間t的關(guān)系是s(t)=3t-t2(s的單位:m,t的單位:s).(1)求此物體的初速度;(2)求此物體在t=2s時的瞬時速度;(3)求t=0s到t=2s的平均速度.123456789101112B級關(guān)鍵能力提升練1234567891011127.設(shè)曲線y=ax2在點(diǎn)(1,a)處的切線與直線2x-y-6=0平行,則a等于(

)A123456789101112B1234567891011129.(多選題)一運(yùn)動物體的位移s與時間t之間的關(guān)系為

C.此物體在t0=1時的瞬時速度為6D.此物體在t0=1時的瞬時速度為28BC12345678910111210.將半徑為R的球加熱,若半徑從R=1到R=m時球的體積膨脹率為,則m的值為

.

212345678910111211.曲線f(x)=x2+1上哪一點(diǎn)處的切線滿足下列條件?(1)平行于直線y=4x-5;(2)垂直于直線2x-6y+5=0;(3)傾斜角為135°.解

設(shè)P(x0,y0)是滿足條件的點(diǎn),曲線f(x)=x2+1在點(diǎn)P(x0,y0)處的切線的斜率(1)∵切線與直線y=4x-5平行,∴2x0=4,得x0=2,y0=5,