1.5.2全稱量詞命題與存在量詞命題的否定（教學(xué)課件）高一數(shù)學(xué)考試滿分全備考（人教A版2019必修一）

人教A版2019高一數(shù)學(xué)（必修一）第一章集合與常用邏輯用語1.5.2全稱量詞命題與存在量詞命題的否定目錄/CONTENTS新知探究情景導(dǎo)入學(xué)習(xí)目標(biāo)課堂小結(jié)分層練習(xí)錯(cuò)因分析學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能寫出命題的否定，并會(huì)判斷真假；會(huì)正確的對(duì)全稱量詞命題和存在量詞命題進(jìn)行否定（重點(diǎn)）2.理解全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，存在量詞命題的否定是全稱量詞命題（難點(diǎn)）情景導(dǎo)入

一位農(nóng)夫請(qǐng)來了物理學(xué)家、工程師和數(shù)學(xué)家，想用最少的籬笆圍出最大的面積．工程師用籬笆圍出一個(gè)圓，宣稱這是最優(yōu)設(shè)計(jì)．物理學(xué)家將籬笆拉成一條直線，假設(shè)籬笆有無限長(zhǎng)，認(rèn)為圍起半個(gè)地球總夠大了．?dāng)?shù)學(xué)家一聲不響地用很少的籬笆把自己圍起來，說道：“我現(xiàn)在是在外面”．【問題】在數(shù)學(xué)解題時(shí)，人們的思維習(xí)慣大多是正面的、順向的.但是，有些數(shù)學(xué)問題正面或順向進(jìn)行難以解決．從上面的故事，你能受到什么啟發(fā)呢？

一個(gè)命題和它的否定不能同時(shí)為真命題，也不能同時(shí)為假命題，只能一真一假.全稱量詞命題和存在量詞命題的否定新知探究

否定結(jié)論概念歸納

典例剖析

否定結(jié)論概念歸納

典例剖析

典例剖析常見詞語的否定形式原詞語否定詞語原詞語否定詞語是不是至少有一個(gè)一個(gè)也沒有都是不都是至多有一個(gè)至少有兩個(gè)大于不大于至少有n個(gè)至多有(n－1)個(gè)小于不小于至多有n個(gè)至少有(n＋1)個(gè)任意的某個(gè)能不能所有的某些等于不等于總結(jié)歸納總結(jié)起來八個(gè)字“改變量詞，否定結(jié)論”，從集合的角度來看，x的范圍沒有變，只是對(duì)結(jié)論進(jìn)行了否定.一個(gè)命題和它的否定不能同時(shí)為真，也不能同時(shí)為假，只能一真一假.注意點(diǎn)：總結(jié)歸納【例1】

寫出下列全稱量詞命題的否定,并判斷其真假.(1)所有矩形的對(duì)角線相等;(2)不論m取什么實(shí)數(shù),x2+x-m=0必有實(shí)數(shù)根;(3)等圓的面積相等,周長(zhǎng)相等.解:(1)該命題的否定:有的矩形對(duì)角線不相等.是假命題.(2)該命題的否定:存在實(shí)數(shù)m,使得x2+x-m=0沒有實(shí)數(shù)根.當(dāng)Δ=1+4m<0,即

時(shí),方程沒有實(shí)數(shù)根,故為真命題.(3)該命題的否定:存在一對(duì)等圓,其面積不相等或周長(zhǎng)不相等.是假命題.題型一全稱量詞命題的否定與真假判斷典例剖析若題(2)變?yōu)椤安徽搈取什么實(shí)數(shù),關(guān)于x的方程x2+2mx+m2+1=0都無實(shí)數(shù)根”,試寫出其否定,并判斷其真假.解:該命題的否定:存在實(shí)數(shù)m,使關(guān)于x的方程x2+2mx+m2+1=0有實(shí)數(shù)根.由于Δ=(2m)2-4(m2+1)=-4<0,故方程無實(shí)數(shù)根.所以其否定為假命題.典例剖析全稱量詞命題的否定形式與判斷真假的方法(1)全稱量詞命題的形式是:“?x∈M,p(x)”,其否定形式應(yīng)該是先把全稱量詞改為存在量詞,再對(duì)命題p(x)進(jìn)行否定,即“?x∈M,p(x)”.所以全稱量詞命題的否定是存在量詞命題.(2)若全稱量詞命題為真命題,則其否定命題就是假命題;若全稱量詞命題為假命題,則其否定命題就是真命題.概念歸納命題“?x∈R,|x|+x2≥0”的否定是(

)A.?x∈R,|x|+x2<0 B.?x∈R,|x|+x2≤0C.?x∈R,|x|+x2<0 D.?x∈R,|x|+x2≥0解析:根據(jù)全稱量詞命題的否定形式知,命題“?x∈R,|x|+x2≥0”的否定為“?x∈R,|x|+x2<0”.故選C.練一練C【例2】

寫出下列存在量詞命題的否定并判斷真假:(1)?x>1,使x2-2x-3=0;(2)存在一個(gè)實(shí)數(shù)x,使得x2+x+1≤0;(3)至少有一個(gè)點(diǎn)(x,y),滿足y=2x+1.解:(1)該命題的否定:?x>1,x2-2x-3≠0.是假命題.(2)該命題的否定:對(duì)所有實(shí)數(shù)x,都有x2+x+1>0.利用配方法可得其否定為真命題.(3)該命題的否定:對(duì)所有的點(diǎn)(x,y),都不滿足y=2x+1.是假命題.典例剖析題型二存在量詞命題的否定與真假判斷存在量詞命題的否定形式與判斷真假的方法(1)存在量詞命題的形式是:“?x∈M,p(x)”,其否定形式是先把存在量詞改為全稱量詞,再對(duì)命題p(x)進(jìn)行否定,即“?x∈M,

?p(x)”,所以存在量詞命題的否定是全稱量詞命題.(2)存在量詞命題的否定的真假性與存在量詞命題相反;要說明一個(gè)存在量詞命題是真命題,只需要找到一個(gè)實(shí)例即可.概念歸納寫出下列存在量詞命題的否定,并判斷其真假.(1)有些被5整除的整數(shù)末位是0;(2)存在x∈R,x>2;(3)存在x∈R,x2<0.解:(1)該命題的否定:所有被5整除的整數(shù)末位都不是0.是假命題.(2)該命題的否定:任意x∈R,有x≤2,是假命題.(3)該命題的否定:任意x∈R,x2≥0,是真命題.練一練隨堂練隨堂練隨堂練隨堂練隨堂練6.命題“存在x∈R,2x≤0”的否定是(

)A.不存在x∈R,2x>0 B.存在x∈R,2x≥0C.對(duì)任意的x∈R,2x≤0 D.對(duì)任意的x∈R,2x>0D隨堂練7.命題“所有能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)”的否定是(

)A.所有不能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)B.所有能被2整除的整數(shù)都不是偶數(shù)C.存在一個(gè)不能被2整除的整數(shù)是偶數(shù)D.存在一個(gè)能被2整除的整數(shù)不是偶數(shù)D隨堂練8.存在量詞命題“有些奇數(shù)是合數(shù)”的否定是

,這是

命題.(填“真”或“假”)

解析:存在量詞命題“有些奇數(shù)是合數(shù)”的否定是“任何一個(gè)奇數(shù)都不是合數(shù)”,這是假命題.9.命題“正多邊形的內(nèi)角都相等”的否定是

.解析:原命題為全稱量詞命題,可以改寫為“所有的正多邊形的內(nèi)角都相等”,故否定為“有的正多邊形的內(nèi)角不都相等”.任何一個(gè)奇數(shù)都不是合數(shù)假有的正多邊形的內(nèi)角不都相等隨堂練10.寫出下列命題的否定.(1)所有的矩形都是平行四邊形;(2)?x∈R,x2-2x+1≤0;(3)有些實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù);(4)?x∈R,x2+1<0.解:(1)否定:有的矩形不是平行四邊形.(2)否定:?x∈R,x2-2x+1>0.(3)否定:任意實(shí)數(shù)的絕對(duì)值都不是正數(shù).(4)否定:?x∈R,x2+1≥0.隨堂練1.寫出下列命題的否定：(1)?n∈Z，n∈Q；?n∈Z，n?Q.(2)任意奇數(shù)的平方還是奇數(shù)；存在一個(gè)奇數(shù)的平方不是奇數(shù).存在一個(gè)平行四邊形不是中心對(duì)稱圖形.課本練習(xí)2.寫出下列命題的否定(1)有些三角形是直角三角形；

否定：所有三角形都不是直角三角形(2)有些梯形是等腰梯形；

否定：每個(gè)梯形都不是等腰梯形(3)存在一個(gè)實(shí)數(shù)，它的絕對(duì)值不是正數(shù)．

否定：所有實(shí)數(shù)的絕對(duì)值都是正數(shù)課本練習(xí)習(xí)題1.5復(fù)習(xí)鞏固1.判斷下列全稱量詞命題的真假：（1）每一個(gè)末位是0的整數(shù)都是5的倍數(shù)；（2）線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等。（3）對(duì)任意負(fù)數(shù)x，x的平方是正數(shù)；（4）梯形的對(duì)角線相等.解：（1）真.（2）真.（3）真.（4）假.2.判斷下列存在量詞命題的真假：（1）有些實(shí)數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)；（2）存在一個(gè)三角形不是等腰三角形；（3）有些菱形是正方形；（4）至少有一個(gè)整數(shù)n，n2+1是4的倍數(shù).復(fù)習(xí)鞏固解：若n=2k，k∈Z，則n2+1=4k2+1不是4的倍數(shù)；若n=2k-1，k∈Z，則n2+1=4k2-4k+2不是4的倍數(shù)，故命題為假命題.真.真真3．寫出下列命題的否定．

(1)?x∈Z，|x|∈N；

?p：?x∈Z，|x|?N

(2)所有可以被5整除的整數(shù)，末位數(shù)字都是0；

?p：存在一個(gè)可以被5整除的整數(shù),末位數(shù)字不是0

(3)?x∈R，x＋1≥0．

?p：?x∈R，x＋1<0

(4)存在一個(gè)四邊形，它的對(duì)角線互相垂直．

?p：所有四邊形的對(duì)角線都不互相垂直復(fù)習(xí)鞏固4.判斷下列命題的真假，并寫出這些命題的否定：（1）平面直角坐標(biāo)系下每條直線都與x軸相交；（2）每個(gè)二次函數(shù)的圖象都是軸對(duì)稱圖形；（3）存在一個(gè)三角形，它的內(nèi)角和小于180°；（4）存在一個(gè)四邊形，它的四個(gè)頂點(diǎn)不在同一個(gè)圓上.綜合運(yùn)用解：（1）假.平面直角坐標(biāo)系下，有些直線不與x軸相交.（2）真.有些二次函數(shù)的圖象不是軸對(duì)稱圖形.（3）假.任意一個(gè)三角形的內(nèi)角和都不小于180°.（4）真.任意一個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上.綜合運(yùn)用5.將下列命題改寫成含有一個(gè)量詞的全稱量詞命題或存在量詞命題的形式，并寫出它們的否定：（1）平行四邊形的對(duì)角線互相平分；（2）三個(gè)連續(xù)整數(shù)的乘積是6的倍數(shù)；（3）三角形不都是中心對(duì)稱圖形；（4）一元二次方程不總有實(shí)數(shù)根.綜合運(yùn)用解：（1）所有的平行四邊形的對(duì)角線互相平分.否定：有的平行四邊形的對(duì)角線不互相平分.（2）任意三個(gè)連續(xù)整數(shù)的乘積是6的倍數(shù).否定：存在三個(gè)連續(xù)整數(shù)的乘積不是6的倍數(shù).（3）至少有一個(gè)三角形不是中心對(duì)稱圖形.否定：所有的三角形都是中心對(duì)稱圖形.（4）有些一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根.否定：任意一個(gè)一元二次方程都有實(shí)數(shù)根.綜合運(yùn)用拓廣探索6.在本節(jié)，我們介紹了命題的否定的概念，知道一個(gè)命題的否定仍是一個(gè)命題，它和原先的命題只能一真一假，不能同真或同假.在數(shù)學(xué)中，有很多“若p，則q”形式的命題，有的是真命題，有的是假命題.例如：①若x>1，則2x+1>5；（假命題）②若四邊形為等腰梯形，則這個(gè)四邊形的對(duì)角線相等.（真命題）這里，命題①②都是省略了量詞的全稱量詞命題.（1）有人認(rèn)為，①的否定是“若x>1，則2x+1≤5”，②的否定是“若四邊形為等腰梯形，則這個(gè)四邊形的對(duì)角線不相等”.你認(rèn)為對(duì)嗎？如果不對(duì)，請(qǐng)你正確地寫出命題①②的否定.（2）請(qǐng)你列舉幾個(gè)“若p，則q”形式的省略了量詞的全程量詞命題，分別寫出它們的否定，并判斷真假.拓廣探索解：（1）不對(duì).①的否定：?x>1，2x+1≤5.（真命題）②的否定：至少有一個(gè)等腰梯形的對(duì)角線不相等.（假命題）（2）“若p，則q”形式的省略了量詞的全稱量詞命題，1°“若四邊形為菱形，則它的四條邊相等”為真命題，命題的否定是：“?一個(gè)四邊形是菱形，它的四條邊不相等”，為假命題；2°“若三角形是等邊三角形，則它的三內(nèi)角相等”為真命題，其否定為：“?一個(gè)三角形是等邊三角形，則它的三內(nèi)角不相等”，為假命題。拓廣探索易錯(cuò)點(diǎn)忽略隱含量詞致錯(cuò)寫出下列命題的否定.(1)有理數(shù)是實(shí)數(shù);(2)能被8整除的數(shù)都能被4整除.錯(cuò)解:(1)該命題的否定:有理數(shù)不是實(shí)數(shù).(2)該命題的否定:能被8整除的數(shù)不能被4整除.以上解答過程中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何改正?你如何防范?錯(cuò)因分析提示:由于有些全稱量詞命題或存在量詞命題隱含了量詞,從而導(dǎo)致未變化量詞而直接否定結(jié)論出現(xiàn)錯(cuò)誤.正解:(1)原命題省略了全稱量詞“所有的”,可以改寫為“所有的有理數(shù)都是實(shí)數(shù)”,故原命題的否定為:至少存在一個(gè)有理數(shù)不是實(shí)數(shù).(2)原命題省略了全稱量詞“每一個(gè)”,可以改寫為“每一個(gè)能被8整除的數(shù)都能被4整除”,故原命題的否定為:有些能被8整除的數(shù)不能被4整除.錯(cuò)因分析防范措施1.對(duì)于隱含了量詞的命題的否定,先補(bǔ)全量詞再進(jìn)行否定.要注意對(duì)其進(jìn)行改寫進(jìn)而找出量詞,同時(shí)應(yīng)把握每一個(gè)命題的含義,寫出否定形式后最好結(jié)合它們的真假性(一真一假)進(jìn)行驗(yàn)證.2.注意對(duì)全稱量詞命題和存在量詞命題的否定形式的理解,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).錯(cuò)因分析分層練習(xí)-基礎(chǔ)D分層練習(xí)-基礎(chǔ)C分層練習(xí)-基礎(chǔ)C分層練習(xí)-基礎(chǔ)A分層練習(xí)-基礎(chǔ)D分層練習(xí)-基礎(chǔ)C分層練習(xí)-基礎(chǔ)ABD二、填空題(每小題5分，共15分)8．【多空題】命題“存在實(shí)數(shù)x，y，使得x＋y>1”，用符號(hào)表示為

；此命題的否定是

(用符號(hào)表示)，是________命題(填“真”或“假”)．

分層練習(xí)-基礎(chǔ)?x，y∈R，x＋y>1

?x，y∈R，x＋y≤1假分層練習(xí)-基礎(chǔ)?x∈R，|x|＋x2<0分層練習(xí)-基礎(chǔ)?x∈R，x2＋2(a－1)x＋2a＋6≠0分層練習(xí)-基礎(chǔ)分層練習(xí)-基礎(chǔ)分層練習(xí)-基礎(chǔ)分層練習(xí)-鞏固D分層練習(xí)-鞏固有的同位角不相等所有的三角形都不是直角三角形分層練習(xí)-鞏固1．寫出下列命題的否定：(1)可以被5整除的數(shù)，末位數(shù)是0.(2)能被3整除的數(shù)，也能被4整除．以下是小明和小紅的解答過程，你能找出錯(cuò)誤之處嗎？小明：(1)可以被5整除的數(shù)，末位數(shù)不是0.(2)能被3整除的數(shù)，不能被4整除．