2023屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第3講 二次函數(shù)、冪函數(shù)

第3講二次函數(shù)、募函數(shù)

考向預(yù)測核心素養(yǎng)

二次函數(shù)一般與其他知識綜合考查，辱函數(shù)的

直觀想象、邏輯推理、

考查以圖象、性質(zhì)為主，題型一般為選擇題、

數(shù)學(xué)抽象

填空題，中檔難度.

基礎(chǔ)知識0畫顧

[學(xué)生用書P43])

一、知識梳理

1.常見的五種尋函數(shù)的圖象

2.塞函數(shù)》=片的性質(zhì)

(1)累函數(shù)在(0,+8)上都有定義；

(2)當(dāng)公＞0時，幕函數(shù)的圖象都過點(1,1)和(0,0),且在(0,+8)上單調(diào)遞

增；

(3)當(dāng)avO時，幕函數(shù)的圖象都過點(1,1),且在(0,+8)上單調(diào)遞減.

3.二次函數(shù)解析式的三種形式

一般式：?￥)=加+加；+?。#0)；

頂點式：fix)=a(x—h)2

兩根式：fix)=a(x-xi)(x—X2)(t?0).

4.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

fix)=ax2-\~bxJ(x)=cur-\-bx

解析式

+c(a>0)+c(a〈O)

◎常用結(jié)論

1.二次函數(shù)的單調(diào)性、最值與拋物線的開口方向和對稱軸及給定區(qū)間的范

圍有關(guān).

2.（1）寨函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會出現(xiàn)在第四象限；

（2）零函數(shù)的圖象過定點（1,1）,如果早函數(shù)的圖象與坐標軸相交，則交點一

定是原點.

（3）若氟函數(shù)），=^在（0,+8）上單調(diào)遞增，則。>0；若在（0,+8）上單調(diào)遞

減,則a<0.

二、教材衍化

1.（人A必修第一冊P58T6改編）己知函數(shù)外）=加+1+5的圖象在X軸上方,

則。的取值范圍是（）

A.（0,B.（-8,一4

端+8）D.（一0）

。>0,

解析：選C.由題意知，即.

[21<0,ll-20tz<0,

解得a>20,

2.（人A必修第一冊P9i練習(xí)Ti改編）已知幕函數(shù)fix）=k^的圖象過點

&孝）,則k+a=-

解析：因為函數(shù)犬%）=房是寐函數(shù)，所以左=1,又函數(shù)NO的圖象過點

國1所以、歷13

團=2?解得'a=2f則A+a=1

答案：|3

一、思考辨析

判斷正誤（正確的打“V”，錯誤的打“X”）

（1?=或是基函數(shù).（）

（2）根據(jù)二次函數(shù)的兩個零點就可以確定函數(shù)的解析式.（）

（3）二次函數(shù)），=加+云+戊工￡k,一）的最值是4a?（）

答案：（1）X（2）X（3）X

二、易錯糾偏

1.（二次函數(shù)性質(zhì)不明致誤）已知函數(shù)yCx）=f+4”在區(qū)間（一8,6）內(nèi)單調(diào)

遞減，則。的取值范圍是（）

A.[3,+8）B.（—8,3]

C.（—8,—3）D.（—8,—3]

解析：選D.函數(shù)氏￥）=9+4ox的圖象是開口向上的拋物線，其對稱軸是x

=—2〃，由函數(shù)在區(qū)間（一8,6）內(nèi)單調(diào)遞減可知，區(qū)間（一8,6）應(yīng)在直線x=一

2〃的左側(cè)，所以一2〃26,解得〃＜—3,故選D.

2.（二次函數(shù)圖景特征不清致誤）設(shè)二次函數(shù)-x+a（〃＞0）,若?團）＜0,

則j[m-1）0.（填fy”或“=”）

解析g）=f—圖象的對稱軸為直線工=/且川）＞0,10）＞0,而加7）＜0,

所以相￡（0,1）,所以"l1＜0,所以其m-1）＞0.

答案：〉

3.（察函數(shù)概念不清致誤）已知基函數(shù)），=/6的圖象過點12,書，則此函數(shù)

的解析式為；在區(qū)間上單調(diào)遞減.

解析：設(shè)＞=?=/,因為圖象過點（2,陰，代入解析式得。=一看則y

=X-2,由性質(zhì)可知函數(shù)y=/E在（0,+8）上單調(diào)遞減.

答案：y=x~^（0,+8）

g核心考點—共研

［學(xué)生用書P441）

考點一幕函數(shù)的圖象及性質(zhì)（自主練透）

復(fù)習(xí)指導(dǎo)：通過實例，了解暴函數(shù)的概（念；結(jié)合函數(shù)），=x,y=x\y

=：，），=?的圖象，了解它們的變化情況.

1.已知點（坐，?。┰诩魏瘮?shù)次X）的圖象上，則迷幻是（）

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)

C.定義域內(nèi)的減函數(shù)D.定義域內(nèi)的增函數(shù)

解析：選A.設(shè)?r）=/，由已知得已3'=小，解得。=-1,

因此/U）=x「，易知該函數(shù)為奇函數(shù).

2

2.（鏈接常用結(jié)論2）己知函數(shù)J（x）=（雨2一加一1>/一2〃廠3是累函數(shù)，且在（0,

+8）上單調(diào)遞減，則實數(shù)加=（）

A.2B.-1

C.4D.2或一1

解析：選A.由題意知/一加一1=1,解得機=-1或加=2,當(dāng)機=—1時，

汴一2機一3=0,則/U）在（0,+8）上為常數(shù)，不合題意.

當(dāng)〃2=2時，加2—2加-3=—3,則在（0,+8）上單調(diào)遞減，符合

題意.所以m=2.

b

3.若四個幕函數(shù)曠=/，y=xty=xSy=/在同一平面直角坐標系中的圖象

如圖所示，則小b,c,d的大小關(guān)系是（）

A.d>c>b>aB.a>b>c>d

C.d>c>a>bD.a>b>d>c

解析：選B.由寐函數(shù)的圖象可知，在(0,1)上寐函數(shù)的指數(shù)越大，函數(shù)圖象

越接近x軸，由題圖知G>b>c>d,故選B.

4.己知幕函數(shù)凡x)=/"2+⑼-i(m￡N")的圖象經(jīng)過點Q,啦)，則m=,

滿足條件共2—垃次。一1)的實數(shù)〃的取值范圍為.

解析：因為危)的圖象過點(2,&),所以啦=2城+川)一|,

所以相2+m=2,又“[WN*,所以〃2=1.

即兀0=1，其定義域為Wx20},且在定義域上函數(shù)為增函數(shù)，

3

所以由旭一次。-1)得0W〃-1<2—〃，解得

3

答案：1

績后感悟---------------------------------

鬲函數(shù)的性質(zhì)與圖象特征的關(guān)系

(1)福函數(shù)的形式是)，=f(a￡R),其中只有一個參數(shù)a,因此只需一個條件

即可確定其解析式.

(2)判斷嘉函數(shù)y=K(a￡R)的奇偶性時，當(dāng)。是分數(shù)時，一般將其先化為根

式，再判斷.

考點二二次函數(shù)的解析式(綜合研析)

復(fù)習(xí)指導(dǎo)：埋解二次函數(shù)的定義，能夠根據(jù)已知條件求二次函數(shù)的解析式.

解m已知二次函數(shù)人?滿足/2)=-1,五-1)=-1,且兀0的最大值是8,

求二次函數(shù)/(X)的解析式.

【解】設(shè)於)=加+后+(?(4#0).

由題意得<"i+'=T'解得]。=4,

4ac-b2_

—;—=8,〔c=7.

I4。

故所求二次函數(shù)為段)=-4f+4x+7.

因題技巧---------------------------------

求二次函數(shù)解析式的策略

I跟蹤訓(xùn)練I

已知二次函數(shù)人處的圖象經(jīng)過點(4,3),在x軸上截得的線段長為2,并且對

任意;v￡R,都有/(2一/)=a2+幻，求/(x)的解析式.

解：因為12—1)=/(2+/對x￡R恒成立，

所以y=，/(x)的圖象關(guān)于x=2對稱.

又y=/U)的圖象在X軸上截得的線段長為2,

22

所以兀0=0的兩根為2—2=1,2+5=3.

所以二次函數(shù)與x軸的兩交點坐標為(1,0)和(3,0).

因此設(shè)/(x)=a(x—l)(x—3).

又點(4,3)在)，=/(x)的圖象上，

所以3。=3,則。=1.

故兀0=(%-l)(x—3)=f—4x+3.

考點三二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)(多維探究)

復(fù)習(xí)指導(dǎo)：理解二次函數(shù)的定義，能夠根據(jù)二次函數(shù)的圖象討論性質(zhì)，從數(shù)

形結(jié)合的觀點研究和二次函數(shù)有關(guān)的問題.

角度1二次函數(shù)的圖象

麗

(1)(多選)(2022?濟南月考)如圖是二次函數(shù)了=加+區(qū)+以白工。)圖象的一部

分，圖象過點4(-3,0),對稱軸為工=-1,貝ij()

A.b2＞4acB.2a-b=l

C.a—b+c=OD.5aV6

（2）設(shè)函數(shù)兀￥）=/+工+。@＞0）,若yo）vo,則（）

A.犬加+1）20By（m+l）＜0

c.y（w+i）＞oDy（加+i）＜o

【解析】（1）因為圖象與x軸交于兩點，所以4〃c＞0,即序＞4ac,A

正確；對稱軸為x=-1,即一卷=一L2a-b=OfB錯誤；結(jié)合圖象，當(dāng)x=

—1時，）＞0,即a—b+c＞0,C錯誤；由對稱軸為l=—1知，/?=2a根據(jù)拋物

線開口向下，知々V0,所以5〃V2a,即5aV。，D正確.

（2）因為兀0的對稱軸為x=—8））=〃＞（）,所以危）的大致圖象如圖所示.

由70%）＜0，得一1＜m＜0,

所以機+1＞0,所以y（6+i）?o）＞o.

【答案】（1）AD（2）C

11題技巧---------------------------------

識別二次函數(shù)圖象應(yīng)學(xué)會“三看”

一看：看二次項系數(shù)的符號，它確定了二次

[符當(dāng);函數(shù)圖象的開口方向

I1_:一著前斯加和最&:…它3》了三友函數(shù)

[對稱軸廠:圖象的具體位置

rvL]；看函數(shù)圖象上的一些特殊點，如函數(shù)

圖象與￥軸的交點、與*軸的交點、

IJ:函數(shù)圖象的最高點或最低點等

角度2二次函數(shù)的單調(diào)性與最值

倒同（1）若函數(shù)兀0=加+（。-3）x+l在區(qū)間[-1,+8）上單調(diào)遞減，則實

數(shù)〃的取值范圍是（）

A.[-3,0）B.（—8,-3]

C.[-2,0]D.[-3,0]

(2)若函數(shù)式外=加+2辦+1在區(qū)間［1,2］上有最大值4,則。的值為.

【解析】(1)當(dāng)。=0時，<x)=-3x+l在［-1,+8)上單調(diào)遞減，滿足題

3—a

當(dāng)時，?x)的對稱軸為x=W，

。＜0,

由於)在［―1,+8)上單調(diào)遞減，知"

解得一3Wa〈O.綜上，。的取值范圍為［-3,0］.

(2次r)=a(x+l)2+l—a

①當(dāng)。=0時，函數(shù)/U)在區(qū)間［1,2］上的值為常數(shù)1,不符合題意，舍去；

②當(dāng)〃>0時，函數(shù)兀0在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞增，最大值為42)=8〃+1=4,

3

解得a=g:

③當(dāng)〃<0時，函數(shù)代r)在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞減，最大值為41)=3〃+1=4,

解得。=1,不符合題意，舍去.

3

為

例

綜上可知,6一

3

DQ年

【答案】

■思維發(fā)散

若本例(1)中函數(shù)/(工)=加+(。-3)x+l的單調(diào)遞減區(qū)間是［―1,+°°),則〃

解析：由題意知人幻必為二次函數(shù)且。<0,

3-a“

又丁=一1,所以”=-3.

答案：一3

陶題技巧---------------------------------

(1)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定區(qū)間定、軸動區(qū)間定、

軸定區(qū)間動.不論哪種類型，解題的關(guān)鍵都是對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，當(dāng)含有

參數(shù)時，要依據(jù)對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進行分類討論.

(2)二次函數(shù)的單調(diào)性問題主要依據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱軸進行分類討論求

解.

I跟蹤訓(xùn)練I

1.已知函數(shù)若a>b>c,且a+Z?+c=O,則函數(shù)於）的圖

象可能是（）

解析：選D.由心比>。且4+/2+。=（）,得〃>（）,c<0,所以函數(shù)圖象開口向上,

排除A,C;又#0）=c<0,排除B,故選D.

2.若函數(shù)y=f—3x+4的定義域為［0,汨，值域為猿，4,則血的取值范

圍為（）

3

4

A.(0,4]2

3

33

2+0°

C.2

7

+彳的定義域為［0,m］,顯然，在x=0時,

-7

--43

y=4,又值域為,根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性知

一4,

3.（多選）（2022?邯鄲九校聯(lián)盟期中）若函數(shù)段）=小一。|在［0,2］上的最大值

為2,則。的取值可以為（）

A.1B.3

C.2^2D.4^2-4

解析：選AC.若〃<0時，於）在［0,2］上單調(diào)遞增，

Xx）max=y（2）=2|2-6Z|=2,解得〃=1（舍去）或。=3（舍去）.

-X（X-4），

若A0時，段）=）（、

lx\x-a）,x>af

當(dāng)方>2即a>4時，?max=?2）=—2（2—/=2,解得。=3（舍去）.

當(dāng)時，令<x）=/g）,解得x=（也J負值舍去）.

當(dāng)封2W“即4(鏡一l)WaW4時，/(x)max=^=^-=2,解得a=

2^2.

當(dāng)2>（娘夕1）“即。<4（陋一1）時,兀*恤=犬2）=2（2—〃）=2.解得4=1.

課后達標檢測

［學(xué)生用書P323（單獨成冊）］）

［A基礎(chǔ)達標］

1.若基函數(shù)的圖象經(jīng)過點（2,則它的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

A.（0,+8）B.［0,+8）

C.（—8,H-OO）D.（—8,0）

解析：選D.設(shè)yu）=f,則2"=1,a=-2,即人。=/2,它是偶函數(shù)，單

調(diào)遞增區(qū)間是（一8,0）.

2.若哥函數(shù)?x）=（〃22—4〃2+4%父'一6皿+8在（0,十8）上為增函數(shù)，則加的值

為（）

A.1或3B.1

C.3D.2

解析：選B.由題意得加-4m+4=1,病-6〃?+8>0,解得m=1.

3.（2022?濰坊模擬）已知a,b,c￡R,函數(shù)氏0=加+歷+c.若式0）=/⑷Ml）,

則（）

A.。>0,4〃+b=0B.〃<0,4a+b=0

C.a>0,2a+b=0D.〃<0,2a+d=0

解析：選A.由負0）=，*4）,得段）=爾+法+。圖象的對稱軸為x=-5=2,

所以4〃+匕=0,又｛0）/1）,.火4）：次1）,所以/（x）先減后增，于是。>0.

4.（多選）（2022?淄博模擬）設(shè)函數(shù)段）=加+云+必#0）,對任意實數(shù)/都有

14+。=大一。成立，則函數(shù)值五一1），/I）,7（2）,15）中，最小的可能是（)

A.A-l）B川）

（：次2）D.X5）

解析：選ACD.因為對任意實數(shù)f都有44+f）=?—f）成立，所以函數(shù)段）=

o^+bx+caWO）的對稱軸是x=2,當(dāng)?>0時，函數(shù)值式-1）,/I）,X2）,次5）

中，最小的是12）;當(dāng)aVO時,函數(shù)值八一1），7U），12）,穴5）中，最小的是4一

1）和?

5.己知幕函數(shù)70）=（川+2〃-2）/3〃（〃金工）的圖象關(guān)于y軸對稱，且在（0,

+8）上是減函數(shù)，則〃的值為（）

A.13B.1

C.2D.1或2

解析：選B.由于?r）為冢函數(shù)，所以〃?+2〃-2=1,解得〃=1或〃=—3,

經(jīng)檢險只有〃=1符合題意.

6.（多選）由于被墨水污染，一道數(shù)學(xué)題僅能見到如下文字：“已知一次函

數(shù)）=加+法+c的圖象過點［1,0）,…，求證：這個二次函數(shù)的圖象關(guān)于直線x

=2對稱.”根據(jù)現(xiàn)有信息，題中的二次函數(shù)可能具有的性質(zhì)是（）

A.在x軸上截得的線段的長度是2

B.與），軸交于點（0,3）

C.頂點是（-2,-2）

D.過點（3,0）

a+h+c=0,

解析：選ABD.由已知得｛b解得人=-4小c=3m所以二次函

「五=2,

數(shù)為41+3）,其頂點的橫坐標為2,所以頂點一定不是（一2,—2）,故

選ABD.

7.（2022?山東煙臺模擬）若二次函數(shù)）=8f—（〃Ll）x+機一7的值域為［0,+

8）,則m=.

解析：），=8（彳一〃；61I+〃?一7—82

2

因為值域為［0,+oo）,所以機-7—8=0,

解得m=9或m=25.

答案：9或25

￡1

8.若（3—2〃。2>（加+1）2,則實數(shù)機的取值范圍為.

解析：因為y=x'在定義域,［0,+8）上是增函數(shù)，

’3—2加20,

2

所以j/n+120,解得一iWmvg.

、3—27n>/n+1,

故實數(shù)機的取值范圍為一1,亨）.

答案：［一1，|）

f+x,-2WxWc,

9.（2022?濰坊質(zhì)檢）己知函數(shù)/U）={1,若c=0,則危）的值

~9c<xW3.

4

域是;若?幻的值域是一；，2,則實數(shù)c的取值范圍是

解析:

所以ZU）的值域為一：，+8）.作出y=f+x和）,=（的圖象如圖所示，當(dāng)“r）=

一；時，X=-I；當(dāng)f+/=2時，x=l或X=—2;當(dāng)（=2時，x=^,由圖象可

1

-2

知當(dāng)兀0的值域為4時，需滿足gWcWl.

答案：一1+8）1

10.已知值域為［-1,+8）的二次函數(shù)兀r）滿足y（—1+力=?—1一X）,且方

程?r）=0的兩個實根XI，X2滿足如一闋=2.

（1）求凡0的表達式；

（2）函數(shù)8（幻=段）一依在區(qū)間［―1,2］上的最大值為負2）,最小值為八一1）,

求實數(shù)2的取值范圍.

解：（1）由八一1+外=大-1一x）可得7U）的圖象關(guān)于直線人=-1對稱，設(shè)?r）

=a（x+l）2+/2=av24-2ar4-?-l-/?（a^:0）,

由函數(shù)兀0的值域為[―1,+°°）,可得力=-1,

h

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得X|4-X2=-2,X1X2=1+-,

所以|xi—X2\=yj（X]+X2）2—4xM2=q—^=2,

解得a=I,所以?x）=f+2x.

（2）由題意得函數(shù)g（x）在區(qū)間[-1,2]上單調(diào)遞增，

又^（x）=j{x）—kx=jr—（k—2）x.

^2

所以g（x）的對稱軸方程為x=9,

k—2

則三一《一1,即4W0,故左的取值范圍為（-8,01.

[B綜合應(yīng)用]

11.（多選）（2022?濰坊模擬）已知函數(shù)兀0是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x20時，

2

j（x）=x-xf則下列說法正確的是（）

A./U）的最大值為:

B.火x）在（一1,0）上是增函數(shù)

C.火工）＞0的解集為（一1,1）

D.?x）+2x20的解集為[0,3]

解析：選AD.由題意，得當(dāng)彳20時，?%）=1—/=一（第一02+/當(dāng)工＜0時，

2

y（x）=-A2—X=—（x+,+:,凡￥）的最大值為:，A正確；

於）在（一/0）上是減函數(shù)，B錯誤；

/U）＞o的解集為（-1,o）u（o,1）,c錯誤；

當(dāng)x20時，?x）+2E=3x-f20的解集為[0,3],

當(dāng)x＜0時，y（x）+2x=x—/20無解，故D正確.

12.（2022?合肥質(zhì)檢）已知函數(shù)/）=一泊+bx+c,不等式."）＞0的解集為（一

1,3）.若對任意的工￡[-1,0],恒成立，則團的取值范圍是（）

A.(一8,2]B.[4,+8)

C.[2,+8)D.(—8,4]

解析：選B.因為於)>0的解集為(一1,3),故一2?+-+c=0的兩個根分

別為一1,3,所以彳，即1令g(x)=/(x)+m,則g(x)=—2x1

[|=-1+3,八

+4尤+6+〃?=-2(x—1)2+8+m，由[―1,0]可得g(x)min=〃7，又g(x)24在[一

1,0]上恒成立，故機24.

13.(多選)(2022?黃澤模擬)已知函數(shù)/U)=*—2〃/+b|a￡R),給出下列命

題，其中是真命題的是()

A.若H-hWO,則.危)在區(qū)間[〃，+8)上單調(diào)遞增

B.存在a￡R,使得Ax)為偶函數(shù)

c.若10)=42),則共幻的圖象關(guān)于x=i對稱

D.若々2—6—2>0,則函數(shù)〃(幻=/口)-2有.2個零點

解析：選AB.對于選項A,若/—6W0,則?￥)=|(工-”y+b—〃2|=?！?。)2

+6一〃2在區(qū)間[〃，+8)上單調(diào)遞增，正確；對于選項B,當(dāng)〃=()時，兀0=!?

+"顯然是偶函數(shù)，正確；對于選項C,取〃=0,b=-2,

函數(shù)人B=|「一2依~1■切化為於)=*一2],滿足<0)=/(2),但於)的圖象不關(guān)

于x=l對稱，錯