2022屆重慶市名校聯(lián)盟高三下學期仿真數(shù)學理試題解析版

2022屆重慶市名校聯(lián)盟高三下學期仿真數(shù)學（理）試題一、單選題1．已知集合，，則中元素的個數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】解不等式求出，從而得到不等式組，求出的值，進而得到中的元素，求出答案.【詳解】由得：，所以，又，令，解得：，，當時，，當時，，當時，，故中元素的個數(shù)為3.故選：B2．若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】先求出，再求出共軛復(fù)數(shù)，判斷出在第一象限.【詳解】，則，對應(yīng)的點在第一象限.故選：A.3．已知向量，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由向量垂直的坐標關(guān)系得，進而，再求模即可得答案.【詳解】解：因為，，，所以，解得.所以所以.故選：C4．若，，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)對數(shù)的運算公式，結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行判斷即可.【詳解】，，因為，所以，因為，所以，因此，故選：B5．下列函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)的為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由反比例函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可判斷ABD，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可判斷C【詳解】選項A，函數(shù)在分別單調(diào)遞增，但在定義域內(nèi)不是增函數(shù)，故A錯誤；選項B，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故B錯誤；選項C，令，，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故C錯誤；選項D，由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，函數(shù)在定義域R上單調(diào)遞增，故D正確故選：D6．已知點滿足，點是圓上一動點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】畫出可行域，利用幾何意義及數(shù)形結(jié)合求出最大值與最小值，求出取值范圍.【詳解】畫出可行域，如圖所示，其中，，點N為與圓的交點（靠近A的交點），點M與點A重合時，取得最小值，此時，連接OB并延長，交圓于點，且點B與M重合時，取得最大值，此時，故的取值范圍是.故選：B7．2018年平昌冬季奧運會于2月9日~2月25日舉行，為了解奧運會五環(huán)所占面積與單獨五個環(huán)面積和的比例P，某學生設(shè)計了如下的計算機模擬，通過計算機模擬長為8，寬為5的長方形內(nèi)隨機取了N個點，經(jīng)統(tǒng)計落入五環(huán)及其內(nèi)部的點數(shù)為，圓環(huán)半徑為1，如圖，則比值的近似值為A． B．C． D．【答案】C【詳解】設(shè)奧運五環(huán)所占的面積為，矩形的面積為，由在長方形內(nèi)隨機取了個點，經(jīng)統(tǒng)計落入五環(huán)及其內(nèi)部的點數(shù)為，得，則，又單獨五個圓環(huán)的面積為，所以奧運會五環(huán)所占面積與單獨五個環(huán)面積和的比例為，故選C．8．已知函數(shù)，其圖象與直線相鄰兩個交點的距離為，若恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可得函數(shù)的周期為求得．再根據(jù)當時，恒成立，即，再結(jié)合求得的取值范圍．【詳解】解：函數(shù)，其圖象與直線相鄰兩個交點的距離為，故函數(shù)的周期為，故，若對恒成立，即當時，恒成立，所以，解得因為，所以.故選：D．9．我國古代名著《莊子?天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，其意思為：一尺的木棍，每天截取一半，永遠都截不完．現(xiàn)將該木棍依此規(guī)律截取，如圖所示的程序框圖的功能就是計算截取7天后所剩木棍的長度（單位：尺），則①②③處可分別填入的是A． B．C． D．【答案】D【分析】此算法為循環(huán)結(jié)構(gòu)，共循環(huán)7次，故①處填判斷語句，②填取半計算，③填循環(huán)控制變量的變化方式.【詳解】算法為循環(huán)結(jié)構(gòu)，循環(huán)7次，每次對長度折半計算，也就是，因此②填，又①填判斷語句，需填，③填.故選D.【點睛】本題考察算法中的循環(huán)結(jié)構(gòu)，屬于基礎(chǔ)題.此類問題，注意循環(huán)的次數(shù)，如本題7天后木棍的長度為尺，故需執(zhí)行7次，由此判斷出循環(huán)所需次數(shù).10．已知雙曲線的右焦點到其一條漸近線的距離為1，拋物線的準線過雙曲線的左焦點，則拋物線上的動點到點距離的最小值是A．5 B．4 C． D．【答案】D【詳解】雙曲線的右焦點到其一條漸近線的距離為1，可得到，，拋物線設(shè)拋物線上的點為當x=1時，有最小值.故答案為D．11．三棱錐的體積為，底面，且的面積為4，三邊的乘積為16，則三棱錐的外接球的表面積為A． B． C． D．【答案】B【詳解】∵三棱錐的體積為且的面積為4，∴，由底面，所以球心到底面的外接圓圓心的距離為1，另，，兩式相除，由正弦定理知底面的外接圓半徑為1，所以三棱錐的外接球的半徑為，表面積為，故選B.點睛：本題考查三棱錐的外接球體積以及正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查學生的計算能力，確定三棱錐的外接球的半徑是關(guān)鍵；首先根據(jù)三棱錐的體積可得球心到底面的距離為1，由正弦定理可得底面的外接圓半徑為1，故而通過勾股定理可求得球的半徑.12．若存在兩個正數(shù)，使得不等式成立，其中，為自然對數(shù)的底數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題知存在兩個正數(shù)，，令，則，進而轉(zhuǎn)化為存在，使得成立，再研究函數(shù)的最小值進而得答案.【詳解】解：因為存在兩個正數(shù)，使得，所以，不等式兩邊同得：存在兩個正數(shù)，，故設(shè)，則，則原問題等價于，存在，使得，因為，所以，存在，使得成立，設(shè)，，恒成立，所以為增函數(shù)，因為，故當時,，當時,，即當時,函數(shù)取得極小值也是最小值為：，即，存在，使得成立，則，解得所以，實數(shù)的取值范圍是.故選：C二、填空題13．的展開式中，的系數(shù)是__________．【答案】16【詳解】分析：展開式中的系數(shù)取決于展開式中的和的系數(shù)，后者可以利用二項展開式的通項求得.詳解：的展開式中，，故的系數(shù)分別為，從而的展開式中的系數(shù)為.點睛：本題考慮二項展開式中特定項的系數(shù)的計算，這類問題可利用多項式的乘法和二項展開式的通項來處理.14．甲、乙、丙三名同學參加某高校組織的自主招生考試的初試，考試成績采用等級制（分為三個層次），得的同學直接進入第二輪考試．從評委處得知，三名同學中只有一人獲得．三名同學預(yù)測誰能直接進入第二輪比賽如下：甲說：看丙的狀態(tài)，他只能得或；乙說：我肯定得；丙說：今天我的確沒有發(fā)揮好，我贊同甲的預(yù)測．事實證明：在這三名同學中，只有一人的預(yù)測不準確，那么得的同學是_____．【答案】甲.【詳解】若得的同學是甲，則甲、丙預(yù)測都準確，乙預(yù)測不準確，符合題意；若得的同學是乙，則甲、乙、丙預(yù)測都準確，不符合題意；若得的同學是丙，則甲、乙、丙預(yù)測都不準確，不符合題意．綜上，得的同學是甲.15．已知函數(shù)，則不等式的解集為___________.【答案】【分析】分析出函數(shù)為偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)，將所求不等式變形為，可得出關(guān)于的不等式，解之即可.【詳解】函數(shù)的定義域為，，所以，函數(shù)為偶函數(shù)，當時，為增函數(shù)，因為，則，所以，，所以，，所以，，因為，故恒成立，由可得，解得.因此，原不等式的解集為.故答案為：.16．在中，，為的中點，，則面積的最大值為______.【答案】【分析】首先利用余弦定理得到邊長的關(guān)系式，然后結(jié)合勾股定理和基本不等式即可求得面積的最大值．【詳解】設(shè)，，由于，在和中應(yīng)用余弦定理可得：，整理可得：，結(jié)合勾股定理可得的面積：，當且僅當時等號成立．則面積的最大值為．故答案為：三、解答題17．已知數(shù)列的前項和為，其中，，數(shù)列滿足(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）按照退位相減求出的通項，再結(jié)合求出的通項公式；（2）按照等差數(shù)列的前項和公式和裂項相消求和即可.【詳解】(1)因為，所以，兩式相減得：，又因為，所以，，滿足，所以為首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，因為，所以.(2)因為所.18．某市在對高三學生的4月理科數(shù)學調(diào)研測試的數(shù)據(jù)統(tǒng)計顯示，全市10000名學生的成績服從正態(tài)分布，現(xiàn)從甲校100分以上的200份試卷中用系統(tǒng)抽樣的方法抽取了20份試卷來分析，統(tǒng)計如下表：（表中試卷編號）試卷編號試卷得分109118112114126128127124126120試卷編號試卷得分135138135137135139142144148150(1)列出表中試卷得分為126分的試卷編號（寫出具體數(shù)據(jù)）；(2)該市又從乙校中也用系統(tǒng)抽樣的方法抽取了20份試卷，將甲乙兩校這40份試卷的得分制作了莖葉圖（如圖），從甲校20份試卷中任取1份，從乙校20份試卷中任取1份，求甲校試卷得分低于120分，乙校試卷得分不低于120分的概率；(3)在第（2）問的前提下，從甲乙兩校這40份試卷中，從成績在140分以上（含140分）的試卷中任意抽取3份，該3份成績在全市前15名的份數(shù)記為ξ，求ξ的分布列和期望.（附：若隨機變量X服從正態(tài)分布則P（μ-σ<X<μ+σ）=68.3%，P（μ-2σ<X<μ+2σ）=95.4%，P（μ-3σ<X<μ+3σ）=99.7%）【答案】(1)46，86(2)(3)分布列答案見解析，數(shù)學期望：【分析】（1）根據(jù)系統(tǒng)抽樣得其間隔為10，再結(jié)合分別求，即可；（2）分別計算甲校和乙校試卷得分低于120的概率，再結(jié)合獨立事件的概率公式求解即可；（3）由正態(tài)分布得前15名的成績?nèi)吭?46分以上（含146分），進而根據(jù)超幾何分布求解即可.【詳解】(1)解：由題知，系統(tǒng)抽樣的間隔為，，所以再第一組中抽取的試卷編號是，即，因為126分的試卷編號為分別為，，所以，，所以試卷得分為126分的試卷編號，.(2)解：設(shè)“甲校試卷得分低于120分”為事件，“乙校試卷得分不低于120分”為事件，則，，所以甲校試卷得分低于120分，乙校試卷得分不低于120分的概率(3)解：，根據(jù)正態(tài)分布可知：，，即前15名的成績?nèi)吭?46分以上（含146分）.根據(jù)莖葉圖可知這40份成績中在146分以上（含146分）的有3份，而成績在140分以上（含140分）的有8份.的取值為.所以的分布列為：0123因此.19．如圖一，等腰直角三角形的底邊，點在線段上，于，現(xiàn)將沿折起到的位置（如圖2）.(1)求證：；(2)若，直線與平面所成的角為，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由題意可得，則由線面垂直的判定可得平面，再利用線面垂直的性質(zhì)可得結(jié)論，（2）由，所以以為坐標原點，所在直線為軸?軸?軸建立空間直角坐標系，設(shè)，然后由與平面所成的角為，利用空間向量可求出，再利用空間向量可求得結(jié)果【詳解】(1)依題意，，因為，所以平面，又因為平面，所以(2)因為，所以以為坐標原點，所在直線為軸?軸?軸建立空間直角坐標系設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為得，則所以，得或（舍去）又平面的法向量為，平面的法向量為，設(shè)平面與平面的銳二面角為，所以20．已知，，曲線上的任意一點滿足：.（1）求點的軌跡方程；（2）過點的直線與曲線交于，兩點，交軸于點，設(shè)，，試問是否為定值？如果是定值，請求出這個定值，如果不是定值，請說明理由.【答案】（1）;（2）.【詳解】試題分析：（Ⅰ）求出向量的坐標，利用條件化簡，即可求點的軌跡方程；（Ⅱ）分類討論，利用，，結(jié)合韋達定理，即可得出結(jié)論．試題解析：（1）設(shè)，則，，，∵，∴，化簡得，為所求點的軌跡方程.（2）設(shè)，.①當直線與軸不重合時，設(shè)直線的方程為，則，從而，，由得，，，同理由得，∴.①由，得.∴，，代入①式得，∴.②當直線與軸重合時，，，.由，，得，，∴，綜上，為定值.點睛:定點、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的.定點、定值問題同證明問題類似，在求定點、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時應(yīng)設(shè)參數(shù)，運用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點、定值顯現(xiàn).21．已知函數(shù)(1)討論函數(shù)零點的個數(shù)；(2)對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）根據(jù)零點的個數(shù)可得函數(shù)最值的符號，結(jié)合零點存在定理可求參數(shù)的取值范圍；（2）分離參數(shù)得到，構(gòu)造函數(shù)，求導確定函數(shù)的最小值即可得到的取值范圍.【詳解】(1)函數(shù)的定義域為，，若時，，故在上為增函數(shù)，此時最多一個零點，舍.若，則，，故在上為增函數(shù)；，，故在上為減函數(shù)；故，故.當時，，而，故在上有一個零點；下證：當時成立.設(shè)，則，故在上為減函數(shù)，故，故當時成立即即，其中所以當時，有，故在上有一個零點，故當時，函數(shù)有2個零點.(2)因為，所以對任意的恒成立，等價于在上恒成立.令，則.再令，則，所以在上單調(diào)遞增.因為，所以有唯一零點，且.所以當時，，當時，.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因為，即，則.所以，即.又因為在上單調(diào)遞增，所以所以，則.所以的取值范圍為.【點睛】本題關(guān)鍵點在于對求導后，把導數(shù)構(gòu)造成新的函數(shù)再次求導，借助隱零點求出的最小值，進而借助恒成立的內(nèi)容進行解答.22．在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，點的極坐標為.(1)求曲線的極坐標方程；(2)若點在曲線上，，求的面積.【答案】(1)(2)或【分析】（1）將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，利用普通方程與極坐標方程之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可得出曲線的極坐標方程；（2）設(shè)，可得出，求出的值，可求得的值，再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】(1)解：曲線的普通方程為，即，所以曲線的極坐標方程為.(2)解：設(shè)的極坐標為，其中，因為，，且，所以，即，所以，，因為，，則，所以或，即或，當時，，所以；當時，，，所以.綜上所述，的面積為或.23．選修4-5：不等式選講已知函數(shù).（1）當時，解不等式；（2