4.2.2.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的性質(zhì)課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

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等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的性質(zhì)2.等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式；（兩個(gè)）復(fù)習(xí)引入1.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法——首尾相加法、倒序相加法；思考：我們發(fā)現(xiàn)，等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式可化簡(jiǎn)為

，

這個(gè)函數(shù)式與函數(shù)有什么關(guān)系？當(dāng)d=0時(shí)，Sn的圖象是一條直線上的均勻分布的點(diǎn).

當(dāng)d≠0時(shí)，

是二次函數(shù)當(dāng)x=n時(shí)的函數(shù)值.幾何意義：前n項(xiàng)和公式Sn的圖象是一條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的曲線上孤立的點(diǎn).常數(shù)列探究新知1.當(dāng)a1<0，d>0

時(shí)，Sn的圖象是一條開(kāi)口向上的過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線上孤立的點(diǎn).SnnO1

方法2:當(dāng)a1<0，d>0時(shí)，數(shù)列前面有若干項(xiàng)為負(fù),此時(shí)所有負(fù)項(xiàng)的和為Sn的最小值.

方法1:由利用二次函數(shù)的對(duì)稱軸，求得最值及取得最值時(shí)的n的值.此時(shí)由an≤0且an+1≥

0求n的值2.當(dāng)a1>0，d<0

時(shí)，Sn的圖象是一條開(kāi)口向下的過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線上孤立的點(diǎn).SnnO1

方法2:當(dāng)a1>0，d<0時(shí)，數(shù)列前面有若干項(xiàng)為正,此時(shí)所有正項(xiàng)的和為Sn的最大值.

此時(shí)由an≥0且an+1≤0求n的值方法1:由利用二次函數(shù)的對(duì)稱軸，求得最值及取得最值時(shí)的n的值.例題：

已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝10，公差d＝－2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值時(shí)n的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.典例分析通項(xiàng)公式法求最值解法1：注意：當(dāng)數(shù)列的項(xiàng)中有數(shù)值為0時(shí)，n應(yīng)有兩解.例題：

已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝10，公差d＝－2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值時(shí)n的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.前n項(xiàng)和公式法求最值解法2：【變式1】已知等差數(shù)列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值時(shí),Sn取最大值.解法1:由S3=S11,得∴

d=－2故當(dāng)n=7時(shí),Sn取最大值49.鞏固練習(xí)解法2:由

,得故當(dāng)n=7時(shí),Sn取最大值49.由S3=S11,得d=－2<0(1)當(dāng)a1>0，d<0時(shí)，數(shù)列前面有若干項(xiàng)為正,此時(shí)所有正項(xiàng)的和為Sn的最大值.此時(shí)由an≥0且an+1≤0求n的值；(2)當(dāng)a1<0，d>0時(shí)，數(shù)列前面有若干項(xiàng)為負(fù),此時(shí)所有負(fù)項(xiàng)的和為Sn的最小值.

此時(shí)由an≤0且an+1≥

0求n的值；注意：當(dāng)數(shù)列的項(xiàng)中有數(shù)值為0時(shí)，n應(yīng)有兩解.求等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的最值的方法1.前n項(xiàng)和公式法2.通項(xiàng)公式法

利用等差數(shù)列的增減性及an的符號(hào)變化探究一：如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=pn2+qn+r，其中p,q,r為常數(shù)，且p≠0，那么這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？若是，則它的首項(xiàng)與公差分別是什么？證：當(dāng)n≥2時(shí)，當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=p+q+r當(dāng)且僅當(dāng)r=0時(shí)，a1滿足an=2pn-p+q，此時(shí)該數(shù)列是等差數(shù)列.an=Sn-Sn-1=pn2+qn+r-p(n-1)2-q(n-1)-r=2pn-p+q當(dāng)r≠0時(shí)，a1不滿足an=2pn-p+q，此時(shí)數(shù)列不是等差數(shù)列.探究新知故只有當(dāng)r=0時(shí)該數(shù)列才是等差數(shù)列,其中首項(xiàng)a1=p+q,公差d=2p(p≠0).

例1：已知等差數(shù)列{an}的n項(xiàng)和為Sn,且S10＝310,S20＝1220,求S30.證明：探究二：性質(zhì)2【例1】已知等差數(shù)列{an}的n項(xiàng)和為Sn,且S10＝310,S20＝1220,求S30.【追問(wèn)】計(jì)算S10,S20-S10,S30-S20，三者有何關(guān)系？證明：探究三：性質(zhì)3變式：在等差數(shù)列{an}中，已知第1項(xiàng)到第10項(xiàng)的和為310，第11項(xiàng)到第20項(xiàng)的和為910，求第21項(xiàng)到第30項(xiàng)的和.解：∵數(shù)列S10,S20－S10,S30－S20構(gòu)成等差數(shù)列．∴2×910=310+

(S30－S20)∴S30－S20=1510故第21項(xiàng)到第30項(xiàng)的和為1510.探究四：性質(zhì)4【例2】一個(gè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)和為354，前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和之比為32∶27，則a6=_____,公差d=______.證明：探究五：性質(zhì)5證明：當(dāng)m=n時(shí)，公式變化？探究六：性質(zhì)6

課堂小結(jié)性質(zhì)3:若數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列,則數(shù)列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m構(gòu)成等差數(shù)列,且公差為m2