蘇科版2024-2025學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊1.9用一元二次方程解決問題(知識梳理與考點(diǎn)分類講解)(學(xué)生版+解析)（含答案解析）

專題1.9用一元二次方程解決問題（知識梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識點(diǎn)歸納】列一元二次方程解應(yīng)用題步驟：①審：審的目的找等量關(guān)系，注意找關(guān)鍵詞；②設(shè)：有直接設(shè)法與間接設(shè)法，注意要帶單位；③列：由等量關(guān)系列出方程，注意方程兩邊單位要一致；④解：用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠?；⑤檢：一是檢驗(yàn)是否解正確，二是結(jié)合實(shí)際是否有意義；⑥答：寫出實(shí)際問題的答案。常見實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系①傳播問題：傳染源+第一輪傳染+第二輪傳染=兩輪傳染總數(shù)；②增長（降低）率問題：平均增長率公式；（a起始量，b是終止量，x是平均增長率，n增長次數(shù)）平均降低率公式：（a起始量，b是終止量，x是平均降低率，n降低次數(shù)）③幾何問題：涉及到三角形全等，勾股定理，各種規(guī)則圖形面積公式，動點(diǎn)問題等等；④數(shù)字問題：主要與數(shù)字與位數(shù)的關(guān)系；比如：兩位烽=十位數(shù)字10+個位數(shù)字；⑤商品銷售問題：利潤=售價-進(jìn)價；售價=進(jìn)價（1+利潤率）；總利潤=總售價-總成本=單件利潤總銷量等等第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】傳播問題【例1】（23-24八年級下·山東威?！て谥校┙晔謾C(jī)微信上的垃圾短信泛濫成災(zāi)，嚴(yán)重影響了人們的生活，最近小王收到一條垃圾短信，此短信要求接到短信的人必須轉(zhuǎn)發(fā)給若干人，如果收到此短信的人都按要求轉(zhuǎn)發(fā)，從小王開始計(jì)算，轉(zhuǎn)發(fā)兩輪后共有91人有此短信．（1）請求出這個短信要求收到短信的人必須轉(zhuǎn)發(fā)給多少人？（2）如果收到短信的人都按要求轉(zhuǎn)發(fā)，從小王開始計(jì)算，三輪后會有多少人有此短信？【變式1】（2024·黑龍江哈爾濱·一模）某種電腦病毒傳播非?？欤绻慌_電腦被感染，經(jīng)過兩輪就會有臺電腦被感染．設(shè)每輪感染中平均一臺電腦可感染臺，下面所列方程正確的是（

）A． B．C． D．【變式2】（23-24九年級上·廣東廣州·階段練習(xí)）某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是43，則每個支干長出個小分支．【題型2】增長率問題【例2】（2024·山東聊城·二模）習(xí)近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然之氣”．某市圖書館為推廣全民閱讀活動，決定加大圖書購置經(jīng)費(fèi)的投入．一月份投入圖書購置經(jīng)費(fèi)50萬元，3月份投入72萬元．（1）求該市這兩個月投入圖書購置經(jīng)費(fèi)的平均增長率；（2）如果按（1）中經(jīng)費(fèi)投入的平均增長率計(jì)算，該市計(jì)劃4月份用不超過當(dāng)月圖書購置經(jīng)費(fèi)的購買電腦和實(shí)物投影儀共15臺，捐贈給鄉(xiāng)鎮(zhèn)學(xué)校閱覽室．若購買一臺電腦需3300元，一臺實(shí)物投影需2400元，則最多可購買電腦多少臺？【變式1】（2024·福建龍巖·模擬預(yù)測）某超市一月份的營業(yè)額為200萬元，已知第一季度的總營業(yè)額是700萬元，設(shè)第一季度平均每月增長率為，根據(jù)題意可列方程（

）A． B．C． D．【變式2】（23-24八年級下·上海嘉定·期末）一輛汽車的新車購買價為20萬元，每年的年折舊率為，如果在購買后的第二年年末，這輛車折舊后的價值為12.8萬元，那么這個x的值是．【題型3】圖形問題【例3】（2024八年級下·浙江·專題練習(xí)）禽流感病毒是一種傳染速度比較快的傳染性病毒，一般多發(fā)生在每年春、冬兩季．如圖，在出現(xiàn)禽流感前，某農(nóng)場主擬建了兩間矩形飼養(yǎng)室，飼養(yǎng)室的一面靠墻，墻長為米，中間用一道墻隔開，并在如圖所示的二處各留米寬的門，已知計(jì)劃中的建筑材料可建圍墻（不包括門）的總長為米．設(shè)邊長為米．（1）用含的代數(shù)式表示的長；（2）飼養(yǎng)室總占地面積可能為平方米嗎？若能，求出的長；若不能，請說明理由．【變式1】（23-24八年級下·浙江溫州·期中）如圖，一張長寬比為的長方形紙板，剪去四個邊長為的正方形，用它做一個無蓋的長方體包裝盒．要使包裝盒的容積為（紙板的厚度略去不計(jì)），問這張長方形紙板的長與寬分別為多少厘米？若設(shè)這張矩形紙板的長為厘米，則由題意可列出的方程是（

）A． B．C． D．【變式2】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，在長為28米，寬為10米的矩形空地上修建如圖所示的道路（圖中的陰影部分），余下部分鋪設(shè)草坪，要使得草坪的面積為243平方米，請列出關(guān)于x的方程，并化為一般式．

【題型4】營銷問題【例4】（23-24八年級下·浙江金華·期中）某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷售，增加利潤，盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出2件．（1）若每件襯衫降價5元，則商場平均每天可售出襯衫______件，每天獲得的利潤為______元．（2）若商場每天要獲得利潤1200元，請計(jì)算出每件襯衫應(yīng)降價多少元？（3）商場每天要獲得利潤有可能達(dá)到1400元嗎？若能，請求出此時每件襯衫的利潤；若不能，請說明理由．【變式1】（2024·浙江溫州·三模）某品牌店銷售一款進(jìn)價為每件50元的男士短袖，若按每件80元出售，每月可銷售200件．值此父親節(jié)來臨之際，該店實(shí)行降價促銷．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這款男士短袖的售價每下降1元，其銷售數(shù)量就增加20件．當(dāng)每件男士短袖降價多少元時，該店銷售這款男士短袖的利潤為8000元？設(shè)每件男士短袖降價x元，可列出方程為（

）A． B．C． D．【變式2】（2024·山東濰坊·三模）在過去的年，直播電商一詞，我們并不陌生．原本以內(nèi)容為主的視頻平臺在入局電商后，大力開拓直播帶貨模式，并實(shí)現(xiàn)高速增長．某電商在抖音上對一款成本價為元的小商品進(jìn)行直播銷售，如果按每件元銷售，每天可賣出件．通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件小商品售價每降低元，日銷售量增加件．若日利潤保持不變，商家想盡快銷售完該款商品，每件售價應(yīng)定為元．【題型5】動態(tài)幾何問題【例5】（23-24八年級下·浙江杭州·期中）如圖，在中，，，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向終點(diǎn)以的速度移動，與此同時，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向終點(diǎn)以的速度移動．如果，分別從，同時出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)時，兩點(diǎn)停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為．（1）填空：_____，_____；（用含t的代數(shù)式表示）（2）當(dāng)t為何值時，的長度等于？（3）是否存在t的值，使得四邊形的面積等于？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由．【變式1】（22-23九年級上·安徽·階段練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿邊向點(diǎn)B以的速度移動，同時點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)沿邊向點(diǎn)C以的速度移動．當(dāng)一個點(diǎn)先到達(dá)終點(diǎn)時，另一個點(diǎn)也停止運(yùn)動．當(dāng)?shù)拿娣e為時，運(yùn)動時間為（

）A． B． C． D．【變式2】（2024八年級下·浙江·專題練習(xí)）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，同時點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿以的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)后，P、Q兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動，則秒時，的面積是．【題型6】其他問題【例6】（2024八年級下·浙江·專題練習(xí)）某旅行社為吸引市民組團(tuán)去旅游，推出了如下收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：

某單位組織員工參加該旅行社旅游，共支付該旅行社旅游費(fèi)用元，請問：（1）該單位這次去旅游，員工有沒有超過人？（2）該單位這次共有多少員工去旅游？【變式1】（2024·天津和平·一模）如圖，在設(shè)計(jì)人體雕像時，使雕像的上部（腰以上）與下部（腰以下）的高度比，等于下部與全部（全身）的高度比，可以增加視覺美感．按此比例，如果雕像的高為，設(shè)雕像下部高，則下列結(jié)論不正確的是（）A．雕像的上部高度與下部高度的關(guān)系為：B．依題意可以列方程C．依題意可以列方程D．雕塑下部高度為【變式2】（2024·河南周口·二模）定義新運(yùn)算：規(guī)定例如若則x的值為．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2023·山東東營·中考真題）如圖，老李想用長為的柵欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長）圍成一個矩形羊圈，并在邊上留一個寬的門（建在處，另用其他材料）．

（1）當(dāng)羊圈的長和寬分別為多少米時，能圍成一個面積為640的羊圈？（2）羊圈的面積能達(dá)到嗎？如果能，請你給出設(shè)計(jì)方案；如果不能，請說明理由．【例2】（2023·湖南郴州·中考真題）隨旅游旺季的到來，某景區(qū)游客人數(shù)逐月增加，2月份游客人數(shù)為1.6萬人，4月份游客人數(shù)為2.5萬人．（1）求這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率；（2）預(yù)計(jì)5月份該景區(qū)游客人數(shù)會繼續(xù)增長，但增長率不會超過前兩個月的月平均增長率．已知該景區(qū)5月1日至5月21日已接待游客2.125萬人，則5月份后10天日均接待游客人數(shù)最多是多少萬人？2、拓展延伸【例】（23-24八年級下·吉林·階段練習(xí)）如圖，在中，，的面積為，是邊上的高，動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿勻速向終點(diǎn)A運(yùn)動，點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合，連接、．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t秒．（1）求的長；（2）用含t的代數(shù)式表示的長；（3）在點(diǎn)P運(yùn)動的過程中，不再添加其他輔助線的情況下，當(dāng)圖中存在等腰直角三角形時，求的面積；（4）點(diǎn)P在上運(yùn)動，不再添加其他輔助線的情況下，當(dāng)圖中存在以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的等腰三角形．且不是直角三角形時，直接寫出t的值．專題1.9用一元二次方程解決問題（知識梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識點(diǎn)歸納】列一元二次方程解應(yīng)用題步驟：①審：審的目的找等量關(guān)系，注意找關(guān)鍵詞；②設(shè)：有直接設(shè)法與間接設(shè)法，注意要帶單位；③列：由等量關(guān)系列出方程，注意方程兩邊單位要一致；④解：用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠?；⑤檢：一是檢驗(yàn)是否解正確，二是結(jié)合實(shí)際是否有意義；⑥答：寫出實(shí)際問題的答案。常見實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系①傳播問題：傳染源+第一輪傳染+第二輪傳染=兩輪傳染總數(shù)；②增長（降低）率問題：平均增長率公式；（a起始量，b是終止量，x是平均增長率，n增長次數(shù)）平均降低率公式：（a起始量，b是終止量，x是平均降低率，n降低次數(shù)）③幾何問題：涉及到三角形全等，勾股定理，各種規(guī)則圖形面積公式，動點(diǎn)問題等等；④數(shù)字問題：主要與數(shù)字與位數(shù)的關(guān)系；比如：兩位烽=十位數(shù)字10+個位數(shù)字；⑤商品銷售問題：利潤=售價-進(jìn)價；售價=進(jìn)價（1+利潤率）；總利潤=總售價-總成本=單件利潤總銷量等等第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】傳播問題【例1】（23-24八年級下·山東威?！て谥校┙晔謾C(jī)微信上的垃圾短信泛濫成災(zāi)，嚴(yán)重影響了人們的生活，最近小王收到一條垃圾短信，此短信要求接到短信的人必須轉(zhuǎn)發(fā)給若干人，如果收到此短信的人都按要求轉(zhuǎn)發(fā)，從小王開始計(jì)算，轉(zhuǎn)發(fā)兩輪后共有91人有此短信．（1）請求出這個短信要求收到短信的人必須轉(zhuǎn)發(fā)給多少人？（2）如果收到短信的人都按要求轉(zhuǎn)發(fā)，從小王開始計(jì)算，三輪后會有多少人有此短信？【答案】(1)這個短信要求收到短信的人必須轉(zhuǎn)發(fā)給9人；(2)從小王開始計(jì)算，三輪后會有820人有此短信．【分析】本題主要考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，含乘方的有理數(shù)混合計(jì)算的實(shí)際應(yīng)用：（1）設(shè)這個短信要求收到短信的人必須轉(zhuǎn)發(fā)給x人，則第一輪小王會發(fā)給x人，第一輪被轉(zhuǎn)發(fā)的x人每個人又要轉(zhuǎn)發(fā)x人，據(jù)此列出方程求解即可；（2）根據(jù)（1）所求列式求解即可．（1）解：設(shè)這個短信要求收到短信的人必須轉(zhuǎn)發(fā)給x人，由題意得，，整理得，解得或（舍去），答：這個短信要求收到短信的人必須轉(zhuǎn)發(fā)給9人；（2）解：人，答：從小王開始計(jì)算，三輪后會有820人有此短信．【變式1】（2024·黑龍江哈爾濱·一模）某種電腦病毒傳播非常快，如果一臺電腦被感染，經(jīng)過兩輪就會有臺電腦被感染．設(shè)每輪感染中平均一臺電腦可感染臺，下面所列方程正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用．根據(jù)題意正確的列方程是解題的關(guān)鍵．由題意知，第一輪后感染臺，第二輪后感染臺，然后列方程即可．解：依題意得，，故選：D．【變式2】（23-24九年級上·廣東廣州·階段練習(xí)）某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是43，則每個支干長出個小分支．【答案】6【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用；設(shè)每個支干長出個小分支，根據(jù)“每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是43”得出一元二次方程，解方程可得答案．解：設(shè)每個支干長出個小分支，由題意得：，解得：，（不合題意，舍去），所以每個支干長出6個小分支，故答案為：6．【題型2】增長率問題【例2】（2024·山東聊城·二模）習(xí)近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然之氣”．某市圖書館為推廣全民閱讀活動，決定加大圖書購置經(jīng)費(fèi)的投入．一月份投入圖書購置經(jīng)費(fèi)50萬元，3月份投入72萬元．（1）求該市這兩個月投入圖書購置經(jīng)費(fèi)的平均增長率；（2）如果按（1）中經(jīng)費(fèi)投入的平均增長率計(jì)算，該市計(jì)劃4月份用不超過當(dāng)月圖書購置經(jīng)費(fèi)的購買電腦和實(shí)物投影儀共15臺，捐贈給鄉(xiāng)鎮(zhèn)學(xué)校閱覽室．若購買一臺電腦需3300元，一臺實(shí)物投影需2400元，則最多可購買電腦多少臺？【答案】(1)該市這兩個月投入圖書購置經(jīng)費(fèi)的平均增長率為；(2)最多可購買電腦8臺【分析】本題考查了一元二次方程的增長率問題以及一元一次不等式的應(yīng)用，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)該市這兩個月投入圖書購置經(jīng)費(fèi)的平均增長率為，列式，進(jìn)行計(jì)算，即可作答．（2）設(shè)購買電腦臺，則購買實(shí)物投影儀臺，依題意，列式，進(jìn)行解不等式，即可作答．（1）解：設(shè)該市這兩個月投入圖書購置經(jīng)費(fèi)的平均增長率為，根據(jù)題意得：，解得：，（不合題意，舍去）．答：該市這兩個月投入圖書購置經(jīng)費(fèi)的平均增長率為；（2）解：4月份投入圖書購置經(jīng)費(fèi)為（萬元），設(shè)購買電腦臺，則購買實(shí)物投影儀臺，根據(jù)題意得：，解得：，答：最多可購買電腦8臺．【變式1】（2024·福建龍巖·模擬預(yù)測）某超市一月份的營業(yè)額為200萬元，已知第一季度的總營業(yè)額是700萬元，設(shè)第一季度平均每月增長率為，根據(jù)題意可列方程（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查由實(shí)際問題抽象出一元二次方程中求平均變化率的方法．掌握“設(shè)變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為”是解決本題的關(guān)鍵．先得到二月份的營業(yè)額，三月份的營業(yè)額，等量關(guān)系為：第一季度的總營業(yè)額是700萬元，把相關(guān)數(shù)值代入即可．解：∵一月份的營業(yè)額為200萬元，平均每月增長率為x，∴二月份的營業(yè)額為，∴三月份的營業(yè)額為，∴可列方程為，即故選：D．【變式2】（23-24八年級下·上海嘉定·期末）一輛汽車的新車購買價為20萬元，每年的年折舊率為，如果在購買后的第二年年末，這輛車折舊后的價值為12.8萬元，那么這個x的值是．【答案】0.2【分析】根據(jù)“新車購買價為20萬元，購買之后的第二年年末折舊后的價值為12.8萬元”列方程求解即可．本題考查一元二次方程的應(yīng)用，找出等量關(guān)系，列出方程是解題的關(guān)鍵．解：設(shè)每年的年折舊率為x，根據(jù)題意，得，解得：，（不符合題意，舍去），故答案為：0.2．【題型3】圖形問題【例3】（2024八年級下·浙江·專題練習(xí)）禽流感病毒是一種傳染速度比較快的傳染性病毒，一般多發(fā)生在每年春、冬兩季．如圖，在出現(xiàn)禽流感前，某農(nóng)場主擬建了兩間矩形飼養(yǎng)室，飼養(yǎng)室的一面靠墻，墻長為米，中間用一道墻隔開，并在如圖所示的二處各留米寬的門，已知計(jì)劃中的建筑材料可建圍墻（不包括門）的總長為米．設(shè)邊長為米．（1）用含的代數(shù)式表示的長；（2）飼養(yǎng)室總占地面積可能為平方米嗎？若能，求出的長；若不能，請說明理由．【答案】(1)(2)飼養(yǎng)室總占地面積能為平方米，此時的長為米【分析】本題考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，熟練運(yùn)用矩形的面積公式建立方程是解題的關(guān)鍵．（1）利用BC邊長可建圍墻的總長邊長，可用含的代數(shù)式表示的長；（2）根據(jù)飼養(yǎng)室總占地面積為平方米，可列出關(guān)于的一元二次方程，解之可得出的值，結(jié)合墻長為米，即可確定結(jié)論．（1）解：∵可建圍墻（不包括門）的總長為米，且邊長為米，∴邊長為：；（2）根據(jù)題意得：，整理得：，解得：，，當(dāng)時，，不符合題意，舍去；當(dāng)時，，符合題意．答：飼養(yǎng)室總占地面積能為平方米，此時的長為米．【變式1】（23-24八年級下·浙江溫州·期中）如圖，一張長寬比為的長方形紙板，剪去四個邊長為的正方形，用它做一個無蓋的長方體包裝盒．要使包裝盒的容積為（紙板的厚度略去不計(jì)），問這張長方形紙板的長與寬分別為多少厘米？若設(shè)這張矩形紙板的長為厘米，則由題意可列出的方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意正確表示出長方體的底面積是解題關(guān)鍵．根據(jù)題意設(shè)這張長方形紙板的長為，寬為，進(jìn)而表示出長方體的底面積，即可表示出長方體體積，進(jìn)而得出等式求出答案．解：設(shè)這張長方形紙板的長為，寬為，根據(jù)題意可得：．故選：D．【變式2】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，在長為28米，寬為10米的矩形空地上修建如圖所示的道路（圖中的陰影部分），余下部分鋪設(shè)草坪，要使得草坪的面積為243平方米，請列出關(guān)于x的方程，并化為一般式．

【答案】【分析】本題考查根據(jù)實(shí)際問題列一元二次方程，利用平移，得到草坪的長和寬分別為：米和米，根據(jù)草坪的面積為243平方米，列出方程即可．解：設(shè)草坪的長和寬分別為：米和米，由題意，得：，整理得：；故答案為：．【題型4】營銷問題【例4】（23-24八年級下·浙江金華·期中）某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷售，增加利潤，盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出2件．（1）若每件襯衫降價5元，則商場平均每天可售出襯衫______件，每天獲得的利潤為______元．（2）若商場每天要獲得利潤1200元，請計(jì)算出每件襯衫應(yīng)降價多少元？（3）商場每天要獲得利潤有可能達(dá)到1400元嗎？若能，請求出此時每件襯衫的利潤；若不能，請說明理由．【答案】(1)30，1050；(2)每件襯衫應(yīng)降價20元；(3)無法達(dá)到，理由見解析【分析】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，利用基本數(shù)量關(guān)系：平均每天售出的件數(shù)×每件盈利=每天銷售的利潤是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意得到每天的銷售量，然后由銷售量×每件盈利進(jìn)行解答．（2）設(shè)每件襯衫應(yīng)降價x元，利用襯衣平均每天售出的件數(shù)×每件盈利=每天銷售這種襯衣利潤列出方程解答即可．（3）同樣列出方程，若方程有實(shí)數(shù)根則可以，否則不可以．解：（1）根據(jù)題意可得：商場平均每天可售出襯衫（件），每天獲得的利潤為（元）．故答案為：30，1050；（2）設(shè)每件襯衫應(yīng)降價x元，根據(jù)題意，得，解得，，∵要盡快減少庫存，∴，答：每件襯衫應(yīng)降價20元；（3）設(shè)每件襯衫應(yīng)降價x元，化簡得，，∴方程無實(shí)根，∴1400元的利潤無法達(dá)到【變式1】（2024·浙江溫州·三模）某品牌店銷售一款進(jìn)價為每件50元的男士短袖，若按每件80元出售，每月可銷售200件．值此父親節(jié)來臨之際，該店實(shí)行降價促銷．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這款男士短袖的售價每下降1元，其銷售數(shù)量就增加20件．當(dāng)每件男士短袖降價多少元時，該店銷售這款男士短袖的利潤為8000元？設(shè)每件男士短袖降價x元，可列出方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是了解銷售量，利潤之間的關(guān)系．設(shè)每件男士短袖降價x元，則銷售量為件，每件的利潤為元，根據(jù)每件的利潤銷售量總利潤即可建立方程．解：設(shè)每件男士短袖降價x元，可列出方程為：，故選：D．【變式2】（2024·山東濰坊·三模）在過去的年，直播電商一詞，我們并不陌生．原本以內(nèi)容為主的視頻平臺在入局電商后，大力開拓直播帶貨模式，并實(shí)現(xiàn)高速增長．某電商在抖音上對一款成本價為元的小商品進(jìn)行直播銷售，如果按每件元銷售，每天可賣出件．通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件小商品售價每降低元，日銷售量增加件．若日利潤保持不變，商家想盡快銷售完該款商品，每件售價應(yīng)定為元．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)售價應(yīng)定為元，按每件元銷售，每天可賣出件，每件小商品售價每降低元，日銷售量增加件列出等式解答即可．解：設(shè)售價應(yīng)定為元，則每件的利潤為元，日銷售量為件，依題意，得：，整理，得：，解得：，．故商家想盡快銷售完該款商品，售價應(yīng)定為元．故答案為：．【題型5】動態(tài)幾何問題【例5】（23-24八年級下·浙江杭州·期中）如圖，在中，，，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向終點(diǎn)以的速度移動，與此同時，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向終點(diǎn)以的速度移動．如果，分別從，同時出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)時，兩點(diǎn)停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為．（1）填空：_____，_____；（用含t的代數(shù)式表示）（2）當(dāng)t為何值時，的長度等于？（3）是否存在t的值，使得四邊形的面積等于？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，；(2)，；(3)當(dāng)時，四邊形的面積等于．【分析】本題考查了行程問題的運(yùn)用，一元二次方程的解法，勾股定理的運(yùn)用，三角形面積公式的運(yùn)用，再解答時要注意所求的解使實(shí)際問題有意義．（1）根據(jù)路程速度時間就可以表示出，．再用就可以求出的值；（2）在中由（1）結(jié)論根據(jù)勾股定理就可以求出其值；（3）利用（1）的結(jié)論，根據(jù)三角形的面積公式建立方程就可以求出的值．（1）解：由題意，得，．故答案為：，；（2）解：在中，由勾股定理，得，解得：，；（3）解：由題意，得，解得：，（不符合題意，舍去），當(dāng)時，的面積等于．四邊形的面積．答：當(dāng)時，四邊形的面積等于．【變式1】（22-23九年級上·安徽·階段練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿邊向點(diǎn)B以的速度移動，同時點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)沿邊向點(diǎn)C以的速度移動．當(dāng)一個點(diǎn)先到達(dá)終點(diǎn)時，另一個點(diǎn)也停止運(yùn)動．當(dāng)?shù)拿娣e為時，運(yùn)動時間為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，在中，利用勾股定理可求出的長度，當(dāng)運(yùn)動時間為時，，，根據(jù)的面積為，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．解：在中，，，，∴．當(dāng)運(yùn)動時間為時，，，，依題意得：，即，整理得：，解得：，∴點(diǎn)，的運(yùn)動時間為．故選：A．【變式2】（2024八年級下·浙江·專題練習(xí)）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，同時點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿以的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)后，P、Q兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動，則秒時，的面積是．【答案】2或3【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)運(yùn)動時間為t秒，則，，利用三角形的面積計(jì)算公式，結(jié)合的面積是，即可得出關(guān)于t的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．解：設(shè)運(yùn)動時間為t秒，則，，∵，∴，整理得：，解得：，，∴2或3秒時，的面積是．故答案為：2或3．【題型6】其他問題【例6】（2024八年級下·浙江·專題練習(xí)）某旅行社為吸引市民組團(tuán)去旅游，推出了如下收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：

某單位組織員工參加該旅行社旅游，共支付該旅行社旅游費(fèi)用元，請問：（1）該單位這次去旅游，員工有沒有超過人？（2）該單位這次共有多少員工去旅游？【答案】(1)超過人；(2)該單位這次共有名員工去旅游【分析】本題考查了有理數(shù)的乘法和一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系．（1）先根據(jù)共支付給旅行社旅游費(fèi)用元，確定旅游的人數(shù)的范圍；（2）根據(jù)每人的旅游費(fèi)用人數(shù)總費(fèi)用，設(shè)該單位這次共有名員工去旅游列出方程求解即可．（1）解：∵人數(shù)不超過人，人均費(fèi)用為元，∴，∴員工人數(shù)一定超過人，∴該單位這次去旅游，員工超過了20人；（2）解：設(shè)該單位這次共有名員工去旅游，根據(jù)題意列方程得：，整理得，即，解得，，當(dāng)時，，故舍去；當(dāng)時，，符合題意．答：該單位這次共有35名員工去旅游．【變式1】（2024·天津和平·一模）如圖，在設(shè)計(jì)人體雕像時，使雕像的上部（腰以上）與下部（腰以下）的高度比，等于下部與全部（全身）的高度比，可以增加視覺美感．按此比例，如果雕像的高為，設(shè)雕像下部高，則下列結(jié)論不正確的是（）A．雕像的上部高度與下部高度的關(guān)系為：B．依題意可以列方程C．依題意可以列方程D．雕塑下部高度為【答案】B【分析】本題考查了黃金分割，一元二次方程的應(yīng)用，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．根據(jù)黃金分割的定義進(jìn)行計(jì)算，逐一判斷即可解答．解：由題意得：，，，，，，，整理得：，解得：或（舍去），，雕塑下部高度為，故A、C、D都正確，B不正確，故選：B【變式2】（2024·河南周口·二模）定義新運(yùn)算：規(guī)定例如若則x的值為．【答案】或本題考查一元二次方程的解法，借助于定義的新運(yùn)算把所給的條件轉(zhuǎn)化成一元二次方程，解方程即可求解．解：由題意可得：整理，得：解得：故答案為：或．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2023·山東東營·中考真題）如圖，老李想用長為的柵欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長）圍成一個矩形羊圈，并在邊上留一個寬的門（建在處，另用其他材料）．

（1）當(dāng)羊圈的長和寬分別為多少米時，能圍成一個面積為640的羊圈？（2）羊圈的面積能達(dá)到嗎？如果能，請你給出設(shè)計(jì)方案；如果不能，請說明理由．【答案】(1)當(dāng)羊圈的長為，寬為或長為，寬為時，能圍成一個面積為的羊圈；(2)不能，理由見解析．【分析】（1）設(shè)矩形的邊，則邊，根據(jù)題意列出一元二次方程，解方程即可求解；（2）同（1）的方法建立方程，根據(jù)方程無實(shí)根即可求解．（1）解：設(shè)矩形的邊，則邊．根據(jù)題意，得．化簡，得．解得，．當(dāng)時，；當(dāng)時，．答：當(dāng)羊圈的長為，寬為或長為，寬為時，能圍成一個面積為的羊圈．（2）解：不能，理由如下：由題意，得．化簡，得．∵，∴一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根．∴羊圈的面積不能達(dá)到．【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出一元二次方程，解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【例2】（2023·湖南郴州·中考真題）隨旅游旺季的到來，某景區(qū)游客人數(shù)逐月增加，2月份游客人數(shù)為1.6萬人，4月份游客人數(shù)為2.5萬人．（1）求這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率；（2）預(yù)計(jì)5月份該景區(qū)游客人數(shù)會繼續(xù)增長，但增長率不會超過前兩個月的月平均增長率．已知該景區(qū)5月1日至5月21日已接待游客2.125萬人，則5月份后10天日均接待游客人數(shù)最多是多少萬人？【答案】(1)這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率為(2)5月份后10天日均接待游客人數(shù)最多是0.1萬人【分析】（1）設(shè)這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率為，根據(jù)題意，列出一元二次方程，進(jìn)行求解即可；（