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專題1.1全等圖形與全等三角形(知識梳理與考點(diǎn)分類講解)第一部分【知識點(diǎn)歸納】【知識點(diǎn)一】全等圖形的概念與性質(zhì)(1)全等圖形的概念:能夠完全重合的圖形叫做全等圖形;(2)全等圖形的性質(zhì):兩個(gè)圖形全等,它們的形狀、大小相同.【要點(diǎn)提示】兩個(gè)全等圖形的周長和面積一定相等,但周長和面積相等的兩個(gè)圖形不一定全等?!局R點(diǎn)二】全等圖形的概念(1)全等三角形:兩個(gè)能夠完全重合的三角形叫做全等三角形;(2)全等三角形的對應(yīng)元素:對應(yīng)頂點(diǎn),對應(yīng)邊,對應(yīng)角;兩個(gè)全等三角形重合在一起,重合的頂點(diǎn)叫對應(yīng)頂點(diǎn),重合的邊叫對應(yīng)邊,重合的角叫對應(yīng)角.在寫兩個(gè)三角形全等時(shí),通常把對應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對應(yīng)位置上,這樣容易找出對應(yīng)邊、對應(yīng)角.如下圖,△ABC與△DEF全等,記作△ABC≌△DEF,其中點(diǎn)A和點(diǎn)D,點(diǎn)B和點(diǎn)E,點(diǎn)C和點(diǎn)F是對應(yīng)頂點(diǎn);AB和DE,BC和EF,AC和DF是對應(yīng)邊;∠A和∠D,∠B和∠E,∠C和∠F是對應(yīng)角.【知識點(diǎn)三】找對應(yīng)邊、對應(yīng)角的方法(1)全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊,兩個(gè)對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊;(2)全等三角形對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角,兩條對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角;(3)有公共邊的,公共邊是對應(yīng)邊;(4)有公共角的,公共角是對應(yīng)角;(5)有對頂角的,對頂角一定是對應(yīng)角;(6)兩個(gè)全等三角形中一對最長的邊(或最大的角)是對應(yīng)邊(或角),一對最短的邊(或最小的角)是對應(yīng)邊(或角),等等.【知識點(diǎn)四】全等三角形的性質(zhì)
全等三角形的對應(yīng)邊相等;全等三角形的對應(yīng)角相等.【要點(diǎn)提示】全等三角形對應(yīng)邊上的高相等,對應(yīng)邊上的中線相等,周長相等,面積相等.全等三角形的性質(zhì)是今后研究其它全等圖形的重要工具.
【知識點(diǎn)五】全等變換
(1)全等變換:只改變圖形的位置,而不改變其形狀、大小的變化叫全等變換.(2)幾種常見的全等幾何變換類型第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】已知圖形分割成幾個(gè)全等圖形與全等圖形的識別【例1】(22-23八年級上·湖北荊州·階段練習(xí))沿著圖中的虛線,用兩種方法將下面的圖形劃分為兩個(gè)全等的圖形.
【變式1】下圖所示的圖形分割成兩個(gè)全等的圖形,正確的是()A. B. C. D.【變式2】(20-21七年級下·福建寧德·期末)在如圖所示的網(wǎng)格圖中,每個(gè)小正方形的邊長都為1.沿著圖中的虛線,可以將該圖形分割成2個(gè)全等的圖形.在所有的分割方案中,最長分割線的長度等于.【題型2】利用全等圖形的性質(zhì)求邊或角【例2】如圖所示,兩個(gè)圖形是全等圖形,試根據(jù)所給的條件,求出兩個(gè)圖形中標(biāo)出的a,b,c,∠α,∠β的值.【變式1】(22-23八年級上·江蘇宿遷·期中)如圖所示的網(wǎng)格是由9個(gè)相同的小正方形拼成的,圖形的各個(gè)頂點(diǎn)均為格點(diǎn),則的度數(shù)為(
).A.30° B.45° C.55° D.60°【變式2】(23-24八年級上·福建福州·期中)如圖,四邊形與四邊形是全等四邊形,若,,,則.
【題型3】全等三角形及相關(guān)概念的認(rèn)識【例3】(2023八年級上·全國·專題練習(xí))如圖所示,已知,指出它們的對應(yīng)邊和對應(yīng)角.
【變式1】(23-24八年級上·廣西南寧·期中)如圖,,和,和是對應(yīng)邊,則的對應(yīng)角是(
)A. B. C. D.【變式2】(22-23八年級上·江蘇泰州·階段練習(xí))如圖,已知AB=AC,D為∠BAC的角平分線上的一點(diǎn),連接BD,CD;如圖2,已知AB=AC,D、E為∠BAC的角平分線上的兩點(diǎn),連接BD,CD,BE,CE;如圖3,已知AB=AC,D、E、F為∠BAC的角平分線上的三點(diǎn),連接BD,CD,BE,CE,BF,CF;…,依次規(guī)律,第5個(gè)圖形中有全等三角形的對數(shù)是.【題型4】利用全等三角形的性質(zhì)求線段或角度【例4】(23-24八年級上·江蘇宿遷·期末)如圖,已知,點(diǎn)在上,與相交于點(diǎn).
(1)當(dāng),時(shí),線段的長為________;(2)已知,,求的度數(shù).【變式1】(2024·山西呂梁·模擬預(yù)測)如圖,用兩對全等的三角形紙片拼成如圖所示的六邊形,,,則(
)A. B. C. D.【變式2】(23-24七年級下·陜西咸陽·階段練習(xí))如圖,,若,則BD的長為.【題型5】利用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明【例5】(23-24七年級下·全國·課后作業(yè))如圖,已知△,、、在同一直線上,試探究當(dāng)時(shí),與的位置關(guān)系,并證明.【變式1】(23-24七年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí))如圖,若,則下列結(jié)論中不一定成立的是(
)A. B.C. D.【變式2】(23-24七年級下·河北保定·期中)如圖,已知,點(diǎn)是上一點(diǎn),交于點(diǎn).(1)與CF的位置關(guān)系是;(2)若,,則的長為.第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】(2024·四川成都·中考真題)如圖,,若,,則的度數(shù)為.【例2】(2023·四川成都·中考真題)如圖,已知,點(diǎn)B,E,C,F(xiàn)依次在同一條直線上.若,則的長為.
2、拓展延伸(動(dòng)點(diǎn)問題、分類討論思想)【例1】(23-24七年級下·河南鄭州·期中)如圖,在中,,,,為邊上的高,直線上一點(diǎn)滿足,點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)在直線上以的速度移動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒,當(dāng)秒時(shí),能使與以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形全等.【例2】(23-24七年級下·江西萍鄉(xiāng)·階段練習(xí))如圖,在中,,,,點(diǎn)為的中點(diǎn),點(diǎn)在線段上以秒的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn)在線段上由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為時(shí),能夠在某一時(shí)刻使與全等.專題1.1全等圖形與全等三角形(知識梳理與考點(diǎn)分類講解)第一部分【知識點(diǎn)歸納】【知識點(diǎn)一】全等圖形的概念與性質(zhì)(1)全等圖形的概念:能夠完全重合的圖形叫做全等圖形;(2)全等圖形的性質(zhì):兩個(gè)圖形全等,它們的形狀、大小相同.【要點(diǎn)提示】兩個(gè)全等圖形的周長和面積一定相等,但周長和面積相等的兩個(gè)圖形不一定全等。【知識點(diǎn)二】全等圖形的概念(1)全等三角形:兩個(gè)能夠完全重合的三角形叫做全等三角形;(2)全等三角形的對應(yīng)元素:對應(yīng)頂點(diǎn),對應(yīng)邊,對應(yīng)角;兩個(gè)全等三角形重合在一起,重合的頂點(diǎn)叫對應(yīng)頂點(diǎn),重合的邊叫對應(yīng)邊,重合的角叫對應(yīng)角.在寫兩個(gè)三角形全等時(shí),通常把對應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對應(yīng)位置上,這樣容易找出對應(yīng)邊、對應(yīng)角.如下圖,△ABC與△DEF全等,記作△ABC≌△DEF,其中點(diǎn)A和點(diǎn)D,點(diǎn)B和點(diǎn)E,點(diǎn)C和點(diǎn)F是對應(yīng)頂點(diǎn);AB和DE,BC和EF,AC和DF是對應(yīng)邊;∠A和∠D,∠B和∠E,∠C和∠F是對應(yīng)角.【知識點(diǎn)三】找對應(yīng)邊、對應(yīng)角的方法(1)全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊,兩個(gè)對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊;(2)全等三角形對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角,兩條對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角;(3)有公共邊的,公共邊是對應(yīng)邊;(4)有公共角的,公共角是對應(yīng)角;(5)有對頂角的,對頂角一定是對應(yīng)角;(6)兩個(gè)全等三角形中一對最長的邊(或最大的角)是對應(yīng)邊(或角),一對最短的邊(或最小的角)是對應(yīng)邊(或角),等等.【知識點(diǎn)四】全等三角形的性質(zhì)
全等三角形的對應(yīng)邊相等;全等三角形的對應(yīng)角相等.【要點(diǎn)提示】全等三角形對應(yīng)邊上的高相等,對應(yīng)邊上的中線相等,周長相等,面積相等.全等三角形的性質(zhì)是今后研究其它全等圖形的重要工具.
【知識點(diǎn)五】全等變換
(1)全等變換:只改變圖形的位置,而不改變其形狀、大小的變化叫全等變換.(2)幾種常見的全等幾何變換類型第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】已知圖形分割成幾個(gè)全等圖形與全等圖形的識別【例1】(22-23八年級上·湖北荊州·階段練習(xí))沿著圖中的虛線,用兩種方法將下面的圖形劃分為兩個(gè)全等的圖形.
【分析】根據(jù)全等圖形的定義:對應(yīng)邊都相等,對應(yīng)角都相等的圖形進(jìn)行構(gòu)造即可.解:如圖所示(任意兩種方法,正確即可):
【點(diǎn)撥】本題考查全等圖形的定義,熟練掌握相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵.【變式1】下圖所示的圖形分割成兩個(gè)全等的圖形,正確的是()A. B. C. D.【答案】B【分析】直接利用全等圖形的概念進(jìn)而得出答案.解:圖形分割成兩個(gè)全等的圖形,如圖所示:故選B.【點(diǎn)撥】此題主要考查全等圖形的識別,解題的關(guān)鍵是熟知全等的性質(zhì).【變式2】(20-21七年級下·福建寧德·期末)在如圖所示的網(wǎng)格圖中,每個(gè)小正方形的邊長都為1.沿著圖中的虛線,可以將該圖形分割成2個(gè)全等的圖形.在所有的分割方案中,最長分割線的長度等于.【答案】7【分析】沿著圖中的虛線,可以將該圖形分割成2個(gè)全等的圖形,畫出所有的分割方案,即可得到最長分割線的長度.解:分割方案如圖所示:由圖可得,最長分割線的長度等于7.故答案為:7.【點(diǎn)撥】本題主要考查全等形的性質(zhì),解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握全等形的性質(zhì).【題型2】利用全等圖形的性質(zhì)求邊或角【例2】如圖所示,兩個(gè)圖形是全等圖形,試根據(jù)所給的條件,求出兩個(gè)圖形中標(biāo)出的a,b,c,∠α,∠β的值.【答案】a=3,b=5.4,c=7,∠α=105°,∠β=45°【分析】全等圖形的對應(yīng)邊及對應(yīng)角均相等,據(jù)此進(jìn)行解答.解:根據(jù)全等多邊形的對應(yīng)角相等有∠α=105°.又由四邊形的內(nèi)角和,得第四個(gè)角為360°-(120°+90°+105°)=45°,所以∠β=45°.根據(jù)全等多邊形的對應(yīng)邊相等有a=3,b=5.4,c=7.【點(diǎn)撥】本題考查了全等圖形的性質(zhì).【變式1】(22-23八年級上·江蘇宿遷·期中)如圖所示的網(wǎng)格是由9個(gè)相同的小正方形拼成的,圖形的各個(gè)頂點(diǎn)均為格點(diǎn),則的度數(shù)為(
).A.30° B.45° C.55° D.60°【答案】B【分析】根據(jù)網(wǎng)格特點(diǎn),可得出,,,進(jìn)而可求解.解:如圖,則,,,∴,故選:B.【點(diǎn)撥】本題考查網(wǎng)格中的全等圖形、三角形的外角性質(zhì),會利用全等圖形求正方形網(wǎng)格中角度之和是解答的關(guān)鍵.【變式2】(23-24八年級上·福建福州·期中)如圖,四邊形與四邊形是全等四邊形,若,,,則.
【答案】/60度【分析】本題考查了全等多邊形的性質(zhì)和四邊形的內(nèi)角和,先根據(jù)全等圖形的性質(zhì)求得和,再由四邊形的內(nèi)角和求得即可;解:∵全等多邊形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等,∴,,又∵四邊形的內(nèi)角和為,∴,故答案為:;【題型3】全等三角形及相關(guān)概念的認(rèn)識【例3】(2023八年級上·全國·專題練習(xí))如圖所示,已知,指出它們的對應(yīng)邊和對應(yīng)角.
【分析】根據(jù)全等三角形的概念,正確的確定對應(yīng)邊和對應(yīng)角即可.解:∵,∴的對應(yīng)邊是,的對應(yīng)邊是,的對應(yīng)邊是,的對應(yīng)角是,的對應(yīng)角是,的對應(yīng)角是.【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的概念.熟練掌握全等三角形對應(yīng)邊和對應(yīng)角的概念,是解題的關(guān)鍵.【變式1】(23-24八年級上·廣西南寧·期中)如圖,,和,和是對應(yīng)邊,則的對應(yīng)角是(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】本題主要考查全等三角形的概念,根據(jù)已知條件,和,和是對應(yīng)邊,點(diǎn)與點(diǎn)對應(yīng)點(diǎn),點(diǎn)與點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn),由此即可得到的對應(yīng)角,理解其概念是解題的關(guān)鍵.解:∵,∴∠的對應(yīng)角是,故選:.【變式2】(22-23八年級上·江蘇泰州·階段練習(xí))如圖,已知AB=AC,D為∠BAC的角平分線上的一點(diǎn),連接BD,CD;如圖2,已知AB=AC,D、E為∠BAC的角平分線上的兩點(diǎn),連接BD,CD,BE,CE;如圖3,已知AB=AC,D、E、F為∠BAC的角平分線上的三點(diǎn),連接BD,CD,BE,CE,BF,CF;…,依次規(guī)律,第5個(gè)圖形中有全等三角形的對數(shù)是.【答案】15【分析】根據(jù)圖形得出當(dāng)有1點(diǎn)D時(shí),有1對全等三角形;當(dāng)有2點(diǎn)D、E時(shí),有3對全等三角形;當(dāng)有3點(diǎn)D、E、F時(shí),有6對全等三角形;根據(jù)以上結(jié)果得出當(dāng)有n個(gè)點(diǎn)時(shí),圖中有個(gè)全等三角形,進(jìn)而即可求解.解:當(dāng)有1點(diǎn)D時(shí),有1對全等三角形;當(dāng)有2點(diǎn)D、E時(shí),有3對全等三角形;當(dāng)有3點(diǎn)D、E、F時(shí),有6對全等三角形;當(dāng)有4點(diǎn)時(shí),有10個(gè)全等三角形;…當(dāng)有n個(gè)點(diǎn)時(shí),圖中有個(gè)全等三角形.∴第5個(gè)圖形中有全等三角形的對數(shù)是:.故答案為:15.【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的概念,關(guān)鍵是根據(jù)已知圖形得出規(guī)律,題目比較典型,但有一定的難度.【題型4】利用全等三角形的性質(zhì)求線段或角度【例4】(23-24八年級上·江蘇宿遷·期末)如圖,已知,點(diǎn)在上,與相交于點(diǎn).
(1)當(dāng),時(shí),線段的長為________;(2)已知,,求的度數(shù).【答案】(1)4(2)【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì),三角形的內(nèi)角和定理,解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角的性質(zhì);(1)根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等,即可求解;(2)根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等,以及三角形的內(nèi)角和為,即可求解.(1)解:,≌,,故答案為:4;(2)解:,,,.【變式1】(2024·山西呂梁·模擬預(yù)測)如圖,用兩對全等的三角形紙片拼成如圖所示的六邊形,,,則(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】題目主要考查全等三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理,根據(jù)題意得出,然后進(jìn)行等量代換求解即可,熟練掌握全等三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理是解題關(guān)鍵解:∵,,∴,∴,故選:B【變式2】(23-24七年級下·陜西咸陽·階段練習(xí))如圖,,若,則BD的長為.【答案】【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì).根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出,再求出答案即可.解:∵,,∴,∵,∴,故答案為:.【題型5】利用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明【例5】(23-24七年級下·全國·課后作業(yè))如圖,已知△,、、在同一直線上,試探究當(dāng)時(shí),與的位置關(guān)系,并證明.【答案】,證明見解析【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì);根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得根據(jù)平行線的性質(zhì)可得,則,進(jìn)而根據(jù)平角的定義,即可得出,即可得證.解:.證明如下:,.,,.,,.【變式1】(23-24七年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí))如圖,若,則下列結(jié)論中不一定成立的是(
)A. B.C. D.【答案】D【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可,熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.解:、∵,∴,原選項(xiàng)成立,不符合題意;、∵,∴,原選項(xiàng)成立,不符合題意;、∵,∴,∴,∴,原選項(xiàng)成立,不符合題意;、∵,∴,原選項(xiàng)不一定成立,符合題意;故選:.【變式2】(23-24七年級下·河北保定·期中)如圖,已知,點(diǎn)是上一點(diǎn),交于點(diǎn).(1)與CF的位置關(guān)系是;(2)若,,則的長為.【答案】【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì),平行線的判定,掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.(1)由,得到,即可得出;(2)由,得到,即可求解.解:(1)∵,∴,∴,故答案為:;(2)∵,∴,∵,,∴,故答案為:.第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】(2024·四川成都·中考真題)如圖,,若,,則的度數(shù)為.【答案】/100度【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和全等三角形的性質(zhì),先利用全等三角形的性質(zhì),求出,再利用三角形內(nèi)角和求出的度數(shù)即可.解
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