第40講 空間幾何體

第七單元

立體幾何第40講

空間幾何體課前基礎(chǔ)鞏固課堂考點(diǎn)探究作業(yè)手冊(cè)教師備用習(xí)題1.利用實(shí)物、計(jì)算機(jī)軟件等觀察空間圖形,認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征,能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu).2.知道球、柱、錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式,能用公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.3.能用斜二測(cè)畫法畫出簡(jiǎn)單空間圖形（長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡(jiǎn)單組合）的直觀圖.◆

知識(shí)聚焦

◆1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征（1）

多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺(tái)圖形底面互相_______且_______多邊形互相_______平行全等平行名稱棱柱棱錐棱臺(tái)側(cè)棱______________相交于_______，但不一定相等延長(zhǎng)線交于_________側(cè)面形狀______________________________平行且相等一點(diǎn)平行四邊形三角形梯形續(xù)表一點(diǎn)（2）

旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形母線互相平行且相等，_______于底面相交于_______延長(zhǎng)線交于_____________垂直一點(diǎn)一點(diǎn)名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球軸截面全等的_______全等的___________________全等的_____________________側(cè)面展開圖_____________________矩形

等腰三角形

等腰梯形圓矩形扇形扇環(huán)續(xù)表2.斜二測(cè)畫法

平行于坐標(biāo)軸不變?cè)瓉淼囊话?.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式名稱圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開圖側(cè)面積公式

4.空間幾何體的表面積與體積公式名稱幾何體表面積體積柱體（棱柱和圓柱）錐體（棱錐和圓錐）臺(tái)體（棱臺(tái)和圓臺(tái)）球

◆

對(duì)點(diǎn)演練

◆題組一

常識(shí)題1.［教材改編］

下列說法中錯(cuò)誤的是____.①經(jīng)過不共面的四點(diǎn)的球有且僅有一個(gè)；②平行六面體的每個(gè)面都是平行四邊形；③正棱柱的每條側(cè)棱均與上下底面垂直；④棱臺(tái)的每條側(cè)棱均與上下底面不垂直.④[解析]

對(duì)于①，經(jīng)過不共面的四點(diǎn)的球，即為由這四個(gè)點(diǎn)組成的四面體的外接球，有且僅有一個(gè)，故①中說法正確；對(duì)于②，平行六面體的每個(gè)面都是平行四邊形，故②中說法正確；對(duì)于③，正棱柱的每條側(cè)棱均與上下底面垂直，故③中說法正確；對(duì)于④，棱臺(tái)的每條側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)，側(cè)棱有可能與底面垂直，故④中說法錯(cuò)誤.

3.［教材改編］

長(zhǎng)、寬、高分別為1，2，3的長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為______.

題組二

常錯(cuò)題◆

索引：對(duì)空間幾何體的相關(guān)公式掌握不牢致誤；對(duì)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征認(rèn)識(shí)不到位致誤;幾何體形狀不確定時(shí),不會(huì)分類討論致誤.

5.如圖所示，將一個(gè)長(zhǎng)方體用過同一頂點(diǎn)的三條棱中點(diǎn)的平面截出一個(gè)棱錐，則該棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比為______.

探究點(diǎn)一

基本立體圖形與直觀圖角度1

直觀圖

C

［思路點(diǎn)撥］

分析可知，原平面圖形為一個(gè)直角梯形,根據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則求出上底、下底、高,最后利用梯形的面積公式求解即可.

①②[總結(jié)反思]用斜二測(cè)畫法畫幾何體的直觀圖,掌握線段位置、長(zhǎng)度兩要素的變化規(guī)律即可.幾何體的直觀圖和原幾何體的關(guān)系（形狀和數(shù)量關(guān)系）是解題重點(diǎn).

D

AD

角度2

展開圖

B

［思路點(diǎn)撥］（1）根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖的特點(diǎn)即可得到方程，求出結(jié)果.

B

①②［思路點(diǎn)撥］（2）作出圖形,將原問題轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間的距離最短問題,進(jìn)而得解.[總結(jié)反思]利用空間幾何體的展開圖可以解決以下問題:（1）求幾何體的表面積或側(cè)面積;（2）求幾何體表面上任意兩個(gè)點(diǎn)的最短表面距離.

D

探究點(diǎn)二

簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積角度1

側(cè)面積與表面積

［思路點(diǎn)撥］（1）根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形求出圓錐的母線長(zhǎng)和底面半徑，即可求出圓錐的側(cè)面積．（2）

如圖，將正四面體沿相交于同一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱上的3個(gè)點(diǎn)截去一個(gè)正四面體，如此共截去4個(gè)全等的正四面體，得到一個(gè)由正三角形與正六邊形圍成的幾何體，且正六邊形的面積為2，則原正四面體的表面積為____.12

[總結(jié)反思]計(jì)算空間幾何體的表面積的一般步驟:（1）根據(jù)題目給出的背景，確定幾何體的形狀；（2）選擇正確的平面圖形的面積公式求解.注意表面積與底面積、側(cè)面積的區(qū)別.

C

D

角度2

體積

C

［思路點(diǎn)撥］（1）由展開圖的相關(guān)數(shù)據(jù)求出上下底面的半徑，進(jìn)而求出圓臺(tái)的母線、高，最后由圓臺(tái)的體積公式求解.（2）

[2023

·新課標(biāo)Ⅱ卷]

底面邊長(zhǎng)為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為____.28

［思路點(diǎn)撥］（2）思路一：由大正四棱錐的體積減去小正四棱錐的體積可解；思路二：分析得出正四棱臺(tái)的高與上、下底面的邊長(zhǎng)，再代入體積公式計(jì)算即可.

［思路點(diǎn)撥］（3）將四面體補(bǔ)成平行六面體，再用等體積法求解．

[總結(jié)反思]簡(jiǎn)單幾何體的體積可用體積公式直接求解,一些組合體的體積需用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解.

D

（2）

[2023·云南昆明一中一模]

沙漏也叫作沙鐘，是一種測(cè)量時(shí)間的裝置，它由兩個(gè)形狀完全相同的容器和一個(gè)狹窄的連接管道組成，開始時(shí)細(xì)沙全部在上部容器中，細(xì)沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時(shí)間稱為該沙漏的一個(gè)沙時(shí)．如圖，某沙漏由上下兩個(gè)相同的圓錐組成，B

AC

教師備用習(xí)題【備選理由】例1結(jié)合圓錐的側(cè)面展開圖考查最短路程問題;例2是圓臺(tái)的側(cè)面展開圖問題;

例3考查利用割補(bǔ)法求多面體的體積，涉及平面與平面的夾角和垂直關(guān)系，有比較強(qiáng)的綜合性.

A

C

C

作業(yè)手冊(cè)◆

基礎(chǔ)熱身

◆

DA.等腰三角形

B.鈍角三角形

C.等腰直角三角形

D.直角三角形

1234567891011121314151617

A

12345678910111213141516173.某種壺的壺體可以近似看成一個(gè)圓臺(tái)，如圖給出了一個(gè)此種壺的相關(guān)數(shù)據(jù)，那么一個(gè)此種壺的最大盛水量為(

)

B

1234567891011121314151617

BA.3

B.4

C.5

D.61234567891011121314151617

12345678910111213141516175.

[2024·九省聯(lián)考]已知軸截面為正三角形的圓錐MM'的高與球O的直徑相等,則圓錐MM'的體積與球O的體積的比值是

,圓錐MM'的表面積與球O的表面積的比值是

.

1234567891011121314151617

12345678910111213141516176.如圖，已知一個(gè)圓錐的底面半徑與高均為2，且在這個(gè)圓錐中有一個(gè)內(nèi)接圓柱．當(dāng)此圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，此圓柱的體積等于___.

1234567891011121314151617◆

綜合提升

◆

C

1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

B①②

1234567891011121314151617

1234567891011121314151617①②

B

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ABC

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1234567891011121314151617

AD

1234567891011121314151617

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CD

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51234567891011121314151617

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能力拓展

◆

BC

去這4個(gè)小四棱錐，得到一個(gè)新的幾何體（如圖②），則該幾何體(