第八章 突破4 圓錐曲線中的證明、探索性問題

第八章平面解析幾何突破4圓錐曲線中的證明、探索性問題

訓練2例1訓練1例2

①

M

在

AB

上；②

PQ

∥

AB

；③｜

MA

｜＝｜

MB

｜.訓練2例1訓練1例2

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訓練2例1訓練1例2方法技巧有關(guān)證明問題的解題策略圓錐曲線中的證明問題多涉及幾何量的證明，比如涉及線段或角相等以及位置關(guān)系

的證明，證明時，常把幾何量用坐標表示，建立關(guān)于某個變量的函數(shù)，用代數(shù)方法

證明.訓練2例1訓練1例2

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訓練2例1訓練1例2方法技巧探索性問題的解題策略此類問題一般分為探究條件、探究結(jié)論兩種.若探究條件，則可先假設(shè)條件成立，再

驗證結(jié)論是否成立，成立則存在，否則不存在；若探究結(jié)論，則應先求出結(jié)論的表

達式，再針對其表達式進行討論，往往涉及對參數(shù)的討論.訓練2例1訓練1例2

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(1)求

C

的方程.

12(2)斜率為－3的直線

l

與

C

交于

A

，

B

兩點，點

B

關(guān)于原點的對稱點為

D

.

若直線

PA

，

PD

的斜率存在且分別為

k

1，

k

2，證明：

k

1

k

2為定值.

12

12

12

12

1234

(2)過點

P

(4，0)作一條斜率不為0的直線與橢圓

C

交于

A

，

B

兩點(

A

在

B

，

P

之

間)，

直線

BF

與橢圓

C

的另一個交點為

D

，求證：點

A

，

D

關(guān)于

x

軸對稱.

1234

[解析]由橢圓

C

的焦距為2，得

c

＝1，則

b

2＝

a

2－1，①

1234(2)經(jīng)過橢圓右焦點

F

且斜率為

k

(

k

≠0)的動直線

l

與橢圓交于

A

，

B

兩點，試問

x

軸

上是否存在異于點

F

的定點

T

，使｜

AF

｜·｜

BT

｜＝｜

BF

｜·｜

AT

｜恒成立？若存

在，求出點

T

坐標；若不存在，請說明理由.

1234

解得

t

＝4，經(jīng)檢驗

t

＝4符合題意，即存在點

T

(4，0)滿足題意.1234

1234

1234

12344.[2024襄陽模擬]在平面直角坐標系

xOy

中，已知點

F

(0，2)，點

P

為平面內(nèi)一動

點，線段

PF

的中點為

M

，點

M

到

x

軸的距離等于｜

MF

｜，點

P

的軌跡為曲線

E

.

(1)求曲線

E

的方程；[解析]

解法一設(shè)點

P

的坐標為(

x

，

y

)，因為點

F

(0，2)在

y

軸正半軸，所以當點

M

位于

x

軸上或其下方時，點

M

到

x

軸的距

離小于｜

MF

｜，不滿足題意，所以點

M

位于

x

軸上方.

1234

1234(2)已知經(jīng)過點

F

的直線與

E

交于

A

，

B

兩點，過點

F

作與直線

AB

的傾斜角互補的直

線與

E

交于

C

，

D

兩點，且點

A

，

C

位于直線

y

＝2的下方，證明：直線

AD

與

BC

交

于定點.

1234

1234

同理得

b

2＝－2，所以直線

BC

過定點(0，－2).(另解：也可根據(jù)拋物線的對稱性直