第十章 第7講 二項分布、超幾何分布與正態(tài)分布

第十章計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布第7講二項分布、超幾何分布與正態(tài)分布

課標要求命題點五年考情命題分析預測1.了解伯努利試驗，掌握二項

分布及其數(shù)字特征，并能解決

簡單的實際問題.2.了解超幾何分布及其均值，

并能解決簡單的實際問題.二項分布2021天津T14；

2019天津T16本講常以生產生活實際

情境為載體考查二項分

布、超幾何分布及正態(tài)

分布的應用，解題時注

意對相關概念的理解及

相關公式的應用.超幾何

分布2021浙江T15課標要求命題點五年考情命題分析預測3.通過誤差模型，了解服從

正態(tài)分布的隨機變量.通過

具體實例，借助頻率分布直

方圖的幾何直觀，了解正態(tài)

分布的特征.4.了解正態(tài)分布的均值、方

差及其含義.正態(tài)分布及其

應用2022新高考卷

ⅡT13；2021新

高考卷ⅡT6在2025年高考備考

時注意對不同分布

模型的理解和應用.

學生用書P2431.

n

重伯努利試驗(1)定義：把只包含兩個可能結果的試驗叫做伯努利試驗.將一個伯努利試驗獨立地重

復進行

n

次所組成的隨機試驗稱為

n

重伯努利試驗.(2)特征：a.同一個伯努利試驗重復做

n

次；b.各次試驗的結果相互獨立.2.二項分布(1)定義：一般地，在

n

重伯努利試驗中，設每次試驗中事件

A

發(fā)生的概率為

p

(0＜

p

＜1)，用

X

表示事件

A

發(fā)生的次數(shù)，則

X

的分布列為

P

(

X

＝

k

)＝①

，

k

＝0，1，2，…，

n

.如果隨機變量

X

的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量

X

服從二項分布，記作②

.特別地，當

n

＝1時，此時的二項分布為兩點分布.(2)期望與方差：若

X

～

B

(

n

，

p

)，則

E

(

X

)＝③

，

D

(

X

)＝④

?.

X

～

B

(

n

，

p

)

np

np

(1－

p

)

3.超幾何分布(1)定義：一般地，假設一批產品共有

N

件，其中有

M

件次品.從

N

件產品中隨機抽

取

n

件(不放回)，用

X

表示抽取的

n

件產品中的次品數(shù)，則

X

的分布列為

P

(

X

＝

k

)＝

⑤

，

k

＝

m

，

m

＋1，

m

＋2，…，

r

.其中

n

，

N

，

M

∈N*，

M

≤

N

，

n

≤

N

，

m

＝max{0，

n

－

N

＋

M

}，

r

＝min{

n

，

M

}.如果隨機變量

X

的分布列具有

上式的形式，那么稱隨機變量

X

服從超幾何分布.(2)期望：

E

(

X

)＝⑥

?.注意

二項分布是有放回抽取問題，超幾何分布是不放回抽取問題.

X

～

N

(μ，σ2)

x

＝μ

x

＝μ

1

f.當μ取定值時，曲線的形狀由σ確定.σ越小，曲線越“?

”，表示總體的

分布越?

；σ越大，曲線越“?

”，表示總體的分布越?

?，如圖2所示.說明從圖1，圖2可以發(fā)現(xiàn)參數(shù)μ反映了正態(tài)分布的集中位置，σ反映了隨機變量的

分布相對于均值μ的離散程度.瘦高

集中

矮胖

分散

(3)正態(tài)分布三個常用數(shù)據(jù)

P

(μ－σ≤

X

≤μ＋σ)≈0.6827，

P

(μ－2σ≤

X

≤μ＋2σ)≈0.9545，

P

(μ－3σ≤

X

≤μ＋3σ)≈0.9973.說明

在實際應用中，通常認為服從正態(tài)分布

N

(μ，σ2)的隨機變量

X

只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，這在統(tǒng)計學中稱為3σ原則.(4)正態(tài)分布的期望與方差：若

X

～

N

(μ，σ2)，則

E

(

X

)＝?

，

D

(

X

)＝?

?.μ

σ2

1.下列說法錯誤的是

(

A

)A.某射手擊中目標的概率為0.9，從開始射擊到擊中目標所需的射擊次數(shù)X服從二項

分布B.從4名男演員和3名女演員中選出4人，其中女演員的人數(shù)X服從超幾何分布C.n重伯努利試驗中各次數(shù)試驗的結果相互獨立D.正態(tài)分布是對連續(xù)型隨機變量而言的A12342.[多選]若袋子中有2個白球，3個黑球(球除了顏色不同，沒有其他任何區(qū)別)，現(xiàn)從

袋子中有放回地隨機取球4次，每次取一個球，取到白球記1分，取到黑球記0分，

記4次取球的總分數(shù)為

X

，則(

BCD

)BCD

12343.已知隨機變量

X

服從正態(tài)分布

N

(3，1)，且

P

(

X

＞2

c

－1)＝

P

(

X

＜

c

＋3)，則

c

＝

?.

12344.[教材改編]生產方提供一批產品50箱，其中有2箱不合格產品.采購方接收該批產品

的準則是：從該批產品中任取5箱產品進行檢測，若至多有1箱不合格產品，便接收

該批產品.則該批產品被接收的概率是

?.

1234

A例1訓練1例2訓練2例3訓練3

例1訓練1例2訓練2例3訓練3(2)為了解觀眾對2023年央視春晚小品節(jié)目《坑》的評價，某機構隨機抽取10位觀眾

對其打分(滿分10分)，得到如下表格：觀眾序號12345678910評分7.88.98.67.48.58.59.59.98.39.1①求這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)；[解析]

①將這組數(shù)據(jù)從小到大排列，為7.4，7.8，8.3，8.5，8.5，8.6，8.9，9.1，

9.5，9.9，所以這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為9.1.例1訓練1例2訓練2例3訓練3

②將頻率視為概率，現(xiàn)從觀眾中隨機抽取3人對節(jié)目《坑》進行評價，記抽取的3人

中評分超過9.0的人數(shù)為

X

，求

X

的分布列、數(shù)學期望與方差.例1訓練1例2訓練2例3訓練3X0123P0.3430.4410.1890.027(注意根據(jù)分布列中所有可能取值的概率之和為1檢驗所求的分布列是否正確)所以

E

(

X

)＝3×0.3＝0.9，

D

(

X

)＝3×0.3×0.7＝0.63.所以

X

的分布列為例1訓練1例2訓練2例3訓練3方法技巧二項分布問題的解題關鍵1.定型(1)在每一次試驗中，事件發(fā)生的概率相同.(2)各次試驗中的事件是相互獨立的.(3)在每一次試驗中，試驗的結果只有兩個，即發(fā)生與不發(fā)生.2.定參：確定二項分布中的兩個參數(shù)

n

和

p

，即試驗發(fā)生的次數(shù)和試驗中事件發(fā)生

的概率.例1訓練1例2訓練2例3訓練3

例1訓練1例2訓練2例3訓練3X0123P所以隨機變量

X

的分布列為

例1訓練1例2訓練2例3訓練3

(2)設

M

為事件“上學期間的三天中，甲同學在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學在7：

30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件

M

發(fā)生的概率.例1訓練1例2訓練2例3訓練3

例1訓練1例2訓練2例3訓練3(2)若學生丙從8道備選題中隨機抽取2道作答，以

X

表示其中丙能答對的題數(shù)，求

X

的分布列及數(shù)學期望.

X012P

例1訓練1例2訓練2例3訓練3方法技巧1.超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù).2.超幾何分布的特征是：(1)考查對象分兩類；(2)已知各類對象的個數(shù)；(3)從中抽

取若干個個體，考查某類個體數(shù)

X

的概率分布.3.超幾何分布主要用于抽檢產品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質是古

典概型.例1訓練1例2訓練2例3訓練3訓練2[天津高考]已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為24，16，16.現(xiàn)

采用分層隨機抽樣的方法從中抽取7人，進行睡眠時間的調查.(1)應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人？[解析]

(1)由已知，甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)之比為3∶2∶2.由于采用分層

隨機抽樣的方法從中抽取7人，因此應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3

人，2人，2人.例1訓練1例2訓練2例3訓練3(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機抽取3人做進一

步的身體檢查.(i)用

X

表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機變量

X

的分布列與數(shù)學期望；(ii)設

A

為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求

事件

A

發(fā)生的概率.例1訓練1例2訓練2例3訓練3

X0123P

例1訓練1例2訓練2例3訓練3

例1訓練1例2訓練2例3訓練3命題點3

正態(tài)分布及其應用例3(1)[2021新高考卷Ⅱ]某物理量的測量結果服從正態(tài)分布

N

(10，σ2)，則下列結論

中不正確的是(

D

)A.σ越小，該物理量一次測量結果落在(9.9，10.1)內的概率越大B.該物理量一次測量結果大于10的概率為0.5C.該物理量一次測量結果小于9.99的概率與大于10.01的概率相等D.該物理量一次測量結果落在(9.9，10.2)內的概率與落在(10，10.3)內的概率相等D例1訓練1例2訓練2例3訓練3[解析]設該物理量一次測量結果為

X

，對于A，σ越小，說明數(shù)據(jù)越集中在10附

近，所以

X

落在(9.9，10.1)內的概率越大，所以選項A正確；對于B，根據(jù)正態(tài)曲線

的對稱性可得，

P

(

X

＞10)＝0.5，所以選項B正確；對于C，根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性

可得，

P

(

X

＞10.01)＝

P

(

X

＜9.99)，所以選項C正確；對于D，根據(jù)正態(tài)曲線的對稱

性可得，

P

(9.9＜

X

＜10.2)－

P

(10＜

X

＜10.3)＝

P

(9.9＜

X

＜10)－

P

(10.2＜

X

＜

10.3)，又

P

(9.9＜

X

＜10)＞

P

(10.2＜

X

＜10.3)，所以

P

(9.9＜

X

＜10.2)＞

P

(10＜

X＜10.3)，所以選項D錯誤.故選D.例1訓練1例2訓練2例3訓練3(2)某工廠制造的某種機器零件的尺寸

X

(單位：mm)近似服從正態(tài)分布

N

(100，

0.01)，現(xiàn)從中隨機抽取10000個零件，尺寸在[99.8，99.9]內的個數(shù)約為(附：若隨機

變量

X

～

N

(μ，σ2)，則

P

(μ－σ≤

X

≤μ＋σ)≈0.6827，

P

(μ－2σ≤

X

≤μ＋

2σ)≈0.9545)

(

B

)A.2718B.1359C.430D.215

B例1訓練1例2訓練2例3訓練3方法技巧解決正態(tài)分布問題的思路1.把給出的區(qū)間或范圍與參數(shù)μ，σ進行對比計算，確定它們屬于[μ－σ，μ＋σ]，[μ

－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]中的哪一個.2.利用正態(tài)曲線的對稱性轉化所求概率，常用結論如下：(1)

P

(

X

≥μ)＝

P

(

X

＜μ)＝0.5；(2)對任意的

a

，有

P

(

X

＜μ－

a

)＝

P

(

X

＞μ＋

a

)；(3)

P

(

X

＜

x

0)＝1－

P

(

X

≥

x

0)；(4)

P

(

a

＜

X

＜

b

)＝

P

(

X

＜

b

)－

P

(

X

≤

a

).例1訓練1例2訓練2例3訓練3訓練3(1)[2022新高考卷Ⅱ]已知隨機變量

X

服從正態(tài)分布

N

(2，σ2)，且

P

(2＜

X

≤2.5)

＝0.36，則

P

(

X

＞2.5)＝

?.[解析]因為

X

～

N

(2，σ2)，所以

P

(

X

＞2)＝0.5，所以

P

(

X

＞2.5)＝

P

(

X

＞2)－

P

(2＜

X

≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14.0.14

例1訓練1例2訓練2例3訓練3(2)[2023廣州市階段測試]某品牌手機的電池使用壽命

X

(單位：年)服從正態(tài)分布，

且使用壽命不少于1年的概率為0.9，使用壽命不少于9年的概率為0.1，則該品牌手

機的電池使用壽命不少于5年且不多于9年的概率為

?.

0.4

例1訓練1例2訓練2例3訓練3

123

123

(2)強基計劃規(guī)定每名考生只能報考一所試點高校，若以筆試過程中達到優(yōu)秀科目個

數(shù)的期望為依據(jù)作出決策，該考生更希望進入甲大學的面試環(huán)節(jié)，求

n

的范圍.123Y0123P

隨機變量

Y

的分布列為123

1

1233.[命題點3/2023四省聯(lián)考]某工廠生產的產品的質量指標服從正態(tài)分布

N

(100，σ2).

質量指標介于99至101之間的產品為良品，為使這種產品的良品率達到95.45％，則

需調整生產工藝，使得σ至多為

.(若

X

～

N

(μ，σ2)，則

P

(｜

X

－μ｜＜

2σ)≈0.9545)

0.5

123

學生用書·作業(yè)幫P393

B12345678910111213141516

B.E(3X＋1)＝4C.D(3X＋1)＝8

C123456789101112131415163.[2024貴州貴陽一中模擬]若隨機變量

X

～

N

(10，22)，則下列選項錯誤的是

(

D

)A.P(X≥10)＝0.5B.P(X≤8)＋P(X≤12)＝1C.P(8≤X≤12)＝2P(8≤X≤10)D.D(2X＋1)＝8[解析]根據(jù)隨機變量

X

～

N

(10，22)可知μ＝10，σ＝2，所以

P

(

X

≥10)＝0.5，故A

正確，

P

(

X

≤8)＋

P

(

X

≤12)＝

P

(

X

≥12)＋

P

(

X

≤12)＝1，故B正確，

P

(8≤

X≤12)＝2

P

(8≤

X

≤10)，C正確，

D

(2

X

＋1)＝4

D

(

X

)＝16，故D錯誤，故選D.D123456789101112131415164.[2024河北邢臺模擬]若

X

～

B

(16，

p

)(0＜

p

＜1)，且

D

(

aX

)＝16，則(

B

)A.a的最小值為4B.a2的最小值為4C.a的最大值為4D.a2的最大值為4

B123456789101112131415165.孿生素數(shù)猜想是希爾伯特在1900年提出的23個數(shù)學問題之一，該問題可以直觀描

述為：存在無窮多個素數(shù)

p

，使得

p

＋2是素數(shù).素數(shù)對(

p

，

p

＋2)稱為孿生素數(shù).從8

個數(shù)對(3，5)，(5，7)，(7，9)，(9，11)，(11，13)，(13，15)，(15，17)，(17，19)

中任取3個，設取出的孿生素數(shù)的個數(shù)為

X

，則

E

(

X

)＝(

C

)D.3C12345678910111213141516

12345678910111213141516

0.2

123456789101112131415167.已知某科技公司員工發(fā)表論文獲獎的概率都為

p

，且各員工發(fā)表論文是否獲獎相

互獨立.若

X

為該公司的6名員工發(fā)表論文獲獎的人數(shù)，

D

(

X

)＝0.96，

E

(

X

)＞2，則

p

＝

?.

12345678910111213141516

6或7

123456789101112131415169.[2024云南昆明模擬]某商場在周年慶活動期間為回饋新老顧客，采用抽獎的形式

領取購物卡.該商場在一個紙箱里放15個小球(除顏色外其余均相同)，包括3個紅球、

5個黃球和7個白球.每個顧客均不放回地從15個小球中拿3次，每次拿1個球，每拿到

一個紅球獲得一張

A

類購物卡，每拿到一個黃球獲得一張

B

類購物卡，每拿到一個

白球獲得一張

C

類購物卡.12345678910111213141516

[解析]

(1)記事件

A

為“在3次拿球中只有1次拿到白球”，事件

B

為“在3次拿球中

至多有1次拿到紅球”，則事件

AB

為“在3次拿球中只有1次拿到白球，其他兩次至

多1次拿到紅球”.(1)已知某顧客在3次拿球中只有1次拿到白球，求其至多有1次拿到紅球的概率；12345678910111213141516

X0123P(2)設某顧客抽獎獲得

A

類購物卡的數(shù)量為

X

，求

X

的分布列和數(shù)學期望.

1234567891011121314151610.[2024福建龍巖質檢]杭州第19屆亞運會于2023年9月23日至10月8日在杭州舉辦.為

了讓中學生了解亞運會，某市舉辦了一次亞運會知識競賽，分預賽和復賽兩個環(huán)

節(jié)，現(xiàn)從參加預賽的全體學生中隨機抽取100人的預賽成績作為樣本，得到頻率分

布表(見下表).分組(百分制)頻數(shù)頻率[0，20)100.1[20，40)200.2[40，60)300.3[60，80)250.25[80，100]150.15合計100112345678910111213141516(1)由頻率分布表可認為該市參加預賽的全體學生的預賽成績

X

服從正態(tài)分布

N

(μ，

σ2)(σ＞0)，其中μ可近似視為樣本中的100名學生預賽成績的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該

組區(qū)間的中點值代替)，且σ2＝342.利用該正態(tài)分布，求

P

(

X

≥90).

12345678910111213141516

12345678910111213141516所以

Y

的分布列為Y012P

12345678910111213141516

A.X服從二項分布AC12345678910111213141516

1234567891011121314151612.某同學騎自行車上學，第一條路線較短但擁擠，路途用時

X

1(單位：min)服從正

態(tài)分布

N

(5，1)；第二條路線較長但不擁擠，路途用時

X

2(單位：min)服從正態(tài)分布

N

(6，0.16).若有一天他出發(fā)時離上課時間還有7min，則

P

(

X

2≤7)－

P

(

X

1≤7)

＝

.(精確到0.0001)(參考數(shù)據(jù)：

P

(μ－σ＜

X

≤μ＋σ)≈0.6827，

P

(μ－

1.5σ＜

X

≤μ＋1.5σ)≈0.8664，

P

(μ－2σ＜

X

≤μ＋2σ)≈0.9545，

P

(μ－2.5σ＜

X

≤μ

＋2.5σ)≈0.9876，

P

(μ－3σ＜

X

≤μ＋3σ)≈0.9973)0.0166

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

附：若

X

～

N

(μ，σ2)，則

P

(｜

X

－μ｜≤σ)≈0.6827，

P

(｜

X

－μ｜≤2σ)≈0.954

5，

P

(｜

X

－μ｜≤3σ)≈0.9973.1234567891011121314151614.[2023昆明市模擬]已知某校的校排球隊中來自高一、高二、高三三個年級的學生

人數(shù)分別為7，6，2.(1)若從該校隊隨機抽取3人拍宣傳海報，求抽取的3人中恰有1人來自高三年級

的概率.

12345678910111213141516