第十章 突破3 概率、統(tǒng)計(jì)與其他知識(shí)的綜合

第十章計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布突破3概率、統(tǒng)計(jì)與其他知識(shí)的綜合學(xué)生用書(shū)P253命題點(diǎn)1

概率、統(tǒng)計(jì)與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的綜合例1[全國(guó)卷Ⅰ]某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶(hù)之前

要對(duì)產(chǎn)品做檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品.檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任

取20件做檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品做檢驗(yàn).設(shè)每件產(chǎn)品為不

合格品的概率都為

p

(0＜

p

＜1)，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立.

(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為

f

(

p

)，求

f

(

p

)的最大值點(diǎn)

p

0.

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2(2)現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(1)中確定的

p

0作為

p

的值.

已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶(hù)手中，則工廠要對(duì)每件不

合格品支付25元的賠償費(fèi)用.(i)若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品做檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為

X

，

求

E

(

X

)；[解析]

(2)由(1)知，

p

0＝0.1，所以

p

＝0.1.(i)令

Y

表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品的件數(shù)，依題意知

Y

～

B

(180，0.1)，

X

＝20×2＋25

Y

，即

X

＝40＋25

Y

.

所以

E

(

X

)＝

E

(40＋25

Y

)＝40＋25

E

(

Y

)＝40＋25×180×0.1＝490.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2(ii)如果對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品做檢驗(yàn)，那么這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元.由于

E

(

X

)＞400，因此應(yīng)該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品做檢驗(yàn).(ii)以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品做

檢驗(yàn)？例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2方法技巧概率、統(tǒng)計(jì)與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的綜合問(wèn)題的解題策略(1)讀懂題意，利用隨機(jī)變量的概率、均值與方差等的有關(guān)公式構(gòu)造函數(shù)；(2)結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)及概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)求解.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2訓(xùn)練1[2021新高考卷Ⅱ]一種微生物群體可以經(jīng)過(guò)自身繁殖不斷生存下來(lái)，設(shè)一個(gè)這

種微生物為第0代，經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第2代……該微

生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)

X

表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖

下一代的個(gè)數(shù)，

P

(

X

＝

i

)＝

pi

(

i

＝0，1，2，3).(1)已知

p

0＝0.4，

p

1＝0.3，

p

2＝0.2，

p

3＝0.1，求

E

(

X

).[解析]

(1)由題意，

P

(

X

＝0)＝0.4，

P

(

X

＝1)＝0.3，

P

(

X

＝2)＝0.2，

P

(

X

＝3)＝0.1，∴

X

的分布列為X0123P0.40.30.20.1∴

E

(

X

)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2[解析]

(2)記

f

(

x

)＝

p

3

x

3＋

p

2

x

2＋(

p

1－1)

x

＋

p

0，由題知，

p

為

f

(

x

)＝0的實(shí)根，由

p

0＝1－

p

1－

p

2－

p

3，得

f

(

x

)＝

p

3(

x

3－1)＋

p

2(

x

2－1)＋

p

1(

x

－1)－(

x

－1)＝(

x

－1)[

p

3

x

2＋(

p

3＋

p

2)

x

＋

p

3＋

p

2＋

p

1－1].記

g

(

x

)＝

p

3

x

2＋(

p

3＋

p

2)

x

＋

p

3＋

p

2＋

p

1－1，則

g

(1)＝3

p

3＋2

p

2＋

p

1－1＝

E

(

X

)－1，

g

(0)＝

p

3＋

p

2＋

p

1－1＝－

p

0＜0.(2)設(shè)

p

表示該種微生物經(jīng)過(guò)多代繁殖后臨近滅絕的概率，

p

是關(guān)于

x

的方程

p0＋

p1x

＋

p

2

x

2＋

p3x

3＝x

的一個(gè)最小正實(shí)根，求證：當(dāng)

E

(

X

)≤1時(shí)，

p

＝1，當(dāng)

E

(

X

)＞1時(shí)，

p＜1.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2當(dāng)

E

(

X

)≤1時(shí)，

g

(1)≤0，易知

g

(

x

)在(0，1)上單調(diào)遞增，∴當(dāng)

x

∈(0，1)時(shí)，

g

(

x

)＝0無(wú)實(shí)根.∴

f

(

x

)＝0在(0，1]上有且僅有一個(gè)實(shí)根，即

p

＝1，∴當(dāng)

E

(

X

)≤1時(shí)，

p

＝1.當(dāng)

E

(

X

)＞1時(shí)，

g

(1)＞0，又

g

(0)＜0，

g

(

x

)的圖象開(kāi)口向上，∴

g

(

x

)＝0在(0，1)上有唯一實(shí)根

p

'，∴

f

(

x

)＝0的最小正實(shí)根

p

＝

p

'∈(0，1)，∴當(dāng)

E

(

X

)＞1時(shí)，

p

＜1.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2[解析]

(3)

E

(

X

)≤1，表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)不超過(guò)自身個(gè)數(shù)，種群數(shù)量無(wú)法維持穩(wěn)定或正向增長(zhǎng)，多代繁殖后將面臨滅絕，所以

p

＝1.

E

(

X

)＞1，表示1個(gè)微生物個(gè)體可以繁殖下一代的個(gè)數(shù)超過(guò)自身個(gè)數(shù)，種群數(shù)量可

以正向增長(zhǎng)，所以面臨滅絕的可能性小于1.(3)根據(jù)你的理解說(shuō)明(2)問(wèn)結(jié)論的實(shí)際含義.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2命題點(diǎn)2

概率、統(tǒng)計(jì)與數(shù)列的綜合例2[2023新高考卷Ⅰ]甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則

此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對(duì)方投籃.無(wú)論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命

中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投

籃的人是甲、乙的概率各為0.5.(1)求第2次投籃的人是乙的概率.

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2(2)求第

i

次投籃的人是甲的概率.

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2方法技巧概率、統(tǒng)計(jì)與數(shù)列的綜合問(wèn)題的解題步驟(1)精準(zhǔn)定性，即明確所求概率的“事件屬性”，確定概率模型；(2)準(zhǔn)確建模，通過(guò)概率的求解，建立關(guān)于概率的遞推關(guān)系，轉(zhuǎn)化為數(shù)列模型問(wèn)題；(3)解決模型，利用數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決模型.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2訓(xùn)練2[全國(guó)卷Ⅰ]為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有

效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn).試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn).

對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后，再

安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止

試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問(wèn)題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若

施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得－1分；若施以

乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得－1分；若都治愈或

都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗(yàn)中甲藥

的得分記為

X

.

(1)求

X

的分布列.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2[解析]

(1)

X

的所有可能取值為－1，0，1.

P

(

X

＝－1)＝(1－α)β，

P

(

X

＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，

P

(

X

＝1)＝α(1－β).所以

X

的分布列為X－101P(1－α)βαβ＋(1－α)(1－β)α(1－β)例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開(kāi)始時(shí)都賦予4分，

pi

(

i

＝0，1，…，8)表示“甲藥的累計(jì)得

分為

i

時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則

p

0＝0，

p

8＝1，

pi

＝

api

－1＋

bpi

＋

cpi

＋1(

i

＝1，2，…，7)，其中

a

＝

P

(

X

＝－1)，

b

＝

P

(

X

＝0)，

c

＝

P

(

X

＝1).

假設(shè)α＝0.5，β＝0.8.(i)證明：{

pi

＋1－

pi

}(

i

＝0，1，2，…，7)為等比數(shù)列.[解析]

(2)(i)由(1)得

a

＝0.4，

b

＝0.5，

c

＝0.1.因此

pi

＝0.4

pi

－1＋0.5

pi

＋0.1

pi

＋1(

i

＝1，2，…，7)，故0.1(

pi

＋1－

pi

)＝0.4(

pi

－

pi

－1)，即

pi

＋1－

pi

＝4(

pi

－

pi

－1).又

p

1－

p

0＝

p

1≠0，所以{

pi

＋1－

pi

}(

i

＝0，1，2，…，7)是公比為4，首項(xiàng)為

p

1的等比數(shù)列.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2

(ii)求

p

4，并根據(jù)

p

4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2

1.[命題點(diǎn)1/2023石家莊市三檢]國(guó)家在《中小學(xué)生健康體檢管理辦法(2021年版)》中

規(guī)定：中小學(xué)校每年組織1次在校學(xué)生健康體檢.現(xiàn)某學(xué)校有4000名學(xué)生，假設(shè)攜帶

乙肝病毒的學(xué)生占

m

％，某體檢機(jī)構(gòu)通過(guò)抽血的方法篩查乙肝病毒攜帶者，如果對(duì)

每個(gè)人的血樣逐一化驗(yàn)，就需要化驗(yàn)4000次.為減輕化驗(yàn)工作量，統(tǒng)計(jì)專(zhuān)家給出了

一種化驗(yàn)方法：隨機(jī)按照

k

個(gè)人進(jìn)行分組，將各組

k

個(gè)人的血樣混合再化驗(yàn)，如果

混合血樣呈陰性，說(shuō)明這

k

個(gè)人全部陰性；如果混合血樣呈陽(yáng)性，說(shuō)明其中至少有

一人的血樣呈陽(yáng)性，就需對(duì)該組每個(gè)人的血樣再分別化驗(yàn)一次.假設(shè)每人血樣化驗(yàn)結(jié)

果呈陰性還是陽(yáng)性相互獨(dú)立.12

(1)若

m

＝0.4，記每人血樣化驗(yàn)次數(shù)為

X

，求當(dāng)

k

取何值時(shí)，

X

的數(shù)學(xué)期望最小，并

求此時(shí)化驗(yàn)總次數(shù).12

12[解析]

(2)設(shè)每組

k

人時(shí)，每組化驗(yàn)總費(fèi)用為

Y

元，若混合血樣呈陰性，則

Y

＝

k

＋4，若混合血樣為陽(yáng)性，則

Y

＝6

k

＋4，且

P

(

Y

＝

k

＋4)＝0.992

k

，

P

(

Y

＝6

k

＋4)＝1－0.992

k

，所以

E

(

Y

)＝(

k

＋4)×0.992

k

＋(6

k

＋4)(1－0.992

k

)＝6

k

－5

k

×0.992

k

＋4.

12

12

12

12

12

12

學(xué)生用書(shū)·作業(yè)幫P4011.[設(shè)問(wèn)創(chuàng)新]魯班鎖是中國(guó)一種古老的益智玩具，它與九連環(huán)、華容道、七巧板被

稱(chēng)為中國(guó)民間的四大傳統(tǒng)益智玩具.魯班鎖看似簡(jiǎn)單，卻凝結(jié)著不平凡的智慧，是榫

卯結(jié)構(gòu)的集中展現(xiàn)，一般由六根木條組成，三維拼插，內(nèi)部榫卯咬合，外觀嚴(yán)絲合

縫，十字立體，易拆難裝，十分巧妙.某玩具公司新開(kāi)發(fā)了

A

，

B

兩款魯班鎖玩具，

記

A

，

B

兩款魯班鎖玩具所獲利潤(rùn)分別為

X

萬(wàn)元、

Y

萬(wàn)元，根據(jù)銷(xiāo)售部市場(chǎng)調(diào)研分

析，得到相關(guān)數(shù)據(jù)如下表：(成本利潤(rùn)率＝利潤(rùn)÷成本×100％)1234

A

款魯班鎖玩具：

成本利潤(rùn)率4％8％10％概率P0.30.60.1

B

款魯班鎖玩具：成本利潤(rùn)率3％5.5％7.5％概率P0.20.30.51234[解析]

(1)

A

款魯班鎖玩具的利潤(rùn)：20×4％＝0.8，20×8％＝1.6，20×10％＝2，

B

款魯班鎖玩具的利潤(rùn)：20×3％＝0.6，20×5.5％＝1.1，20×7.5％＝1.5，則

X

的分布列為X0.81.62P0.30.60.1(1)若

A

，

B

兩款魯班鎖玩具的投資成本均為20萬(wàn)元，試求投資這兩款魯班鎖玩具所

獲利潤(rùn)的方差；1234Y0.61.11.5P0.20.30.5所以

E

(

X

)＝0.8×0.3＋1.6×0.6＋2×0.1＝1.4，

E

(

Y

)＝0.6×0.2＋1.1×0.3＋1.5×0.5＝1.2，則

D

(

X

)＝(0.8－1.4)2×0.3＋(1.6－1.4)2×0.6＋(2－1.4)2×0.1＝0.168.

D

(

Y

)＝(0.6－1.2)2×0.2＋(1.1－1.2)2×0.3＋(1.5－1.2)2×0.5＝0.12.

Y

的分布列為1234

(2)若

A

，

B

兩款魯班鎖玩具的投資成本共為20萬(wàn)元，試求投資這兩款魯班鎖玩具所

獲利潤(rùn)的方差之和的最小值.12342.[2024貴州六校聯(lián)考]為了豐富學(xué)生的課外活動(dòng)，某中學(xué)舉辦羽毛球比賽，經(jīng)過(guò)三

輪的篩選，最后剩下甲、乙兩人進(jìn)行最終決賽，決賽采用五局三勝制，即當(dāng)甲、乙

兩人中有一人先贏得三局比賽時(shí)，該選手獲