第四章 第5講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

第四章三角函數(shù)第5講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測三角函數(shù)的定義域本講每年必考，主要考查三角函數(shù)的定義域、值域(最值)、周期性、單調(diào)性、對(duì)稱性和奇偶性，有時(shí)與函數(shù)零點(diǎn)和極值點(diǎn)綜合命題，題型以選擇題和填空題為主，難度中等.預(yù)計(jì)2025年高考命題趨勢變化不大，備考時(shí)要注意區(qū)分正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，不要混淆，另應(yīng)關(guān)注新角度、新綜合問題.三角函數(shù)的值域(最值)2021全國卷乙T4

課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測三角函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用2023新高考卷ⅠT15；2023全國卷乙T6；2023天津T5；2022新高考卷ⅠT6；2022全國卷乙T15；2022全國卷甲T11；2022北京T5；2021新高考卷ⅠT4；2020全國卷ⅢT16；2019全國卷ⅠT11；2019全國卷ⅡT9本講每年必考，主要考查三角函數(shù)的定義域、值域(最值)、周期性、單調(diào)性、對(duì)稱性和奇偶性，有時(shí)與函數(shù)零點(diǎn)和極值點(diǎn)綜合命題，題型以選擇題和填空題為主，難度中等.預(yù)計(jì)2025年高考命題趨勢變化不大，備考時(shí)要注意區(qū)分正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，不要混淆，另應(yīng)關(guān)注新角度、新綜合問題.

(π，0)

(2π，0)

(π，－1)

(2π，1)

2.正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)三角函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象

定義域RR⑤

?值域⑥

?

?

⑦

?R

[－1，1]

[－1，1]

周期性周期是2kπ(k∈Z且

k≠0)，最小正周期

是⑧

?.周期是2kπ(k∈Z且

k≠0)，最小正周期

是⑨

?.周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小

正周期是⑩

?.對(duì)稱性對(duì)稱軸方程是

?

?

(k∈Z)，對(duì)稱中

心是?

?

(k∈Z).對(duì)稱軸方程是

?

?

(k∈Z)，對(duì)稱中心是?

?

(k∈Z).無對(duì)稱軸，對(duì)稱中心是?

(k∈Z).2π

2π

π

(kπ，0)

x＝kπ

奇偶性?

??

??

?單調(diào)性在?

?

?(k∈Z)上單調(diào)遞增，在??

(k∈Z)上單調(diào)遞減.在?

?

(k∈Z)上單調(diào)遞增，在?

?

(k∈Z)上單調(diào)遞減.在?

?

(k∈Z)上單調(diào)遞增.奇函數(shù)

偶函數(shù)

奇函數(shù)

[2kπ－π，2kπ]

[2kπ，2kπ＋π]

注意

y

＝tanx

在其定義域內(nèi)不單調(diào).

1.設(shè)

A

是△

ABC

最小的內(nèi)角，則sin

A

＋cos

A

的取值范圍是(

D

)

D123456

C.πD.2π

A123456

A.2C.1

A123456

C123456

A123456

123456

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3方法技巧求三角函數(shù)的定義域?qū)嵸|(zhì)上是解不等式或不等式組，常借助于三角函數(shù)的圖象解決.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3

B.3π和2D.6π和2

C例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3

C例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3方法技巧三角函數(shù)值域的不同求法1.把所給的三角函數(shù)式變換成

y

＝

A

sin(ω

x

＋φ)＋

b

的形式求值域.2.把sin

x

或cos

x

看作一個(gè)整體，轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域.3.利用sin

x

±cos

x

和sin

x

cos

x

的關(guān)系轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3

A.πA例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3(2)函數(shù)

y

＝sin

x

－cos

x

＋sin

x

cos

x

的值域?yàn)?/p>

?.

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3命題點(diǎn)3

三角函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用角度1

三角函數(shù)的周期性例3

(1)[2023天津高考]已知函數(shù)

f

(

x

)圖象的一條對(duì)稱軸為直線

x

＝2，

f

(

x

)的一個(gè)周

期為4，則

f

(

x

)的解析式可能為(

B

)B例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3

C.πD.2π

C例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3角度2

三角函數(shù)的單調(diào)性例4

(1)[2022北京高考]已知函數(shù)

f

(

x

)＝cos2

x

－sin2

x

，則(

C

)C例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3(2)[全國卷Ⅱ]若

f

(

x

)＝cos

x

－sin

x

在[－

a

，

a

]上是減函數(shù)，則

a

的最大值是

(

A

)D.π

A例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3方法技巧三角函數(shù)單調(diào)性問題的常見類型及求解策略常見類型求解策略已知三角函

數(shù)解析式求

單調(diào)區(qū)間(1)將函數(shù)化簡為“一角一函數(shù)”的形式，如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞

0，ω＞0)；(2)利用整體思想，視“ωx＋φ”為一個(gè)整體，根據(jù)y＝sinx的單調(diào)區(qū)

間列不等式求解.對(duì)于y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)，可以利用類似方法求解.注意求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋b的單調(diào)區(qū)間時(shí)要先看A和ω的符號(hào)，

盡量化成ω＞0的形式，避免出現(xiàn)增減區(qū)間的混淆.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3常見類型求解策略已知三角函數(shù)的

單調(diào)性求參數(shù)(1)求出原函數(shù)的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間，由已知區(qū)間是求出的單調(diào)區(qū)間

的子集，列不等式(組)求解.(2)由所給區(qū)間求出“ωx＋φ”的范圍，由該范圍是某相應(yīng)正、

余弦函數(shù)的某個(gè)單調(diào)區(qū)間的子集，列不等式(組)求解.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3角度3

三角函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性

C例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3

A.1D.3A例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3方法技巧

說明選擇題可以通過驗(yàn)證

f

(

x

0)的值進(jìn)行判斷，即

f

(

x

0)＝±

A

?

x

＝

x

0是函數(shù)

f

(

x

)圖象的對(duì)稱軸方程；

f

(

x

0)＝0?點(diǎn)(

x

0，0)是函數(shù)

f

(

x

)圖象的對(duì)稱中心.2.三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為

y

＝

A

sinω

x

或

y

＝

A

tanω

x

的形式，而偶函數(shù)一般

可化為

y

＝

A

cosω

x

＋

b

的形式.

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3

D例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3

A.①②③B.①③④C.②④D.①③

A例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3

1.[命題點(diǎn)2/2023福建模擬]若對(duì)任意

x

∈R都有

f

(sin

x

)＝－cos2

x

＋cos2

x

＋2sin

x

－3，則

f

(

x

)的值域?yàn)?/p>

?.[解析]易知

f

(sin

x

)＝2sin2

x

－1＋1－sin2

x

＋2sin

x

－3＝sin2

x

＋2sin

x

－3，所

以

f

(

x

)＝

x

2＋2

x

－3(－1≤

x

≤1)，曲線

y

＝

x

2＋2

x

－3的對(duì)稱軸為直線

x

＝－1，所

以函數(shù)

f

(

x

)在區(qū)間[－1，1]上單調(diào)遞增，所以

f

(－1)≤

f

(

x

)≤

f

(1)，即－4≤

f(

x

)≤0，所以

f

(

x

)的值域?yàn)閇－4，0].[－4，0]

12342.[命題點(diǎn)2/2023濰坊市高三統(tǒng)考]已知函數(shù)

f

(

x

)＝3sin

x

＋4cos

x

，且

f

(

x

)≤

f

(θ)對(duì)

任意

x

∈R恒成立，若角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)

P

(4，

m

)，則

m

＝

?.

3

12343.[命題點(diǎn)3角度1/多選/2023福建省福州市聯(lián)考]如圖所示，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在半徑為2的圓

O

上以點(diǎn)

P

為起始點(diǎn)，沿逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)，每3s轉(zhuǎn)一圈.該質(zhì)點(diǎn)到

x

軸的距離關(guān)于時(shí)

間

t

的函數(shù)記為

f

(

t

).下列說法正確的是(

AC

)D.f(t)的最小正周期為3AC1234

1234

A.ω＝2B.f(x)的值域是[－2，2]AC1234

1234

1234

C123456789101112131415161718192.[2023天津新華中學(xué)統(tǒng)練]下列函數(shù)中，最小正周期為π的奇函數(shù)是(

D

)B.y＝tan2xC.y＝2sin(π－x)D.y＝tan(x＋π)

D12345678910111213141516171819

A.f(x)＝｜c(diǎn)os2x｜B.f(x)＝｜sin2x｜C.f(x)＝cos｜x｜D.f(x)＝sin｜x｜

A12345678910111213141516171819

A.0

B12345678910111213141516171819

B12345678910111213141516171819

D12345678910111213141516171819

12345678910111213141516171819

C12345678910111213141516171819

12345678910111213141516171819

12345678910111213141516171819

D.－1

A12345678910111213141516171819

C.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(π，0)中心對(duì)稱ABD12345678910111213141516171819

12345678910111213141516171819

12345678910111213141516171819

12345678910111213141516171819

12345678910111213141516171819

12345678910111213141516171819

B.πC.2πD.4π

C12345678910111213141516171819

B1234567891011121314151617181915.[2023福建龍巖模擬]已知函數(shù)

f

(

x

)＝2｜sin

x

｜＋cos

x

，則

f

(

x

)的最小值為

(

C

)B.－2C.－1D.0C12345678910111213141516171819[解析]

解法一

f

(

x

)＝2｜sin

x

｜＋cos

x

，分別作出

y

＝2｜sin

x

｜(圖1)與

y

＝

cos

x

(圖2)的部分圖象，如圖所示.圖1

圖2從圖中可以看出，當(dāng)

x

＝π時(shí)，兩個(gè)函數(shù)同時(shí)取得最小值，此時(shí)

f

(π)＝2｜sinπ｜＋

cosπ＝－1最小.12345678910111213141516171819解法二因?yàn)?/p>

f

(－

x

)＝2｜sin(－

x

)｜＋cos(－

x

)＝2｜sin

x

｜＋cos

x

＝

f

(

x

)，所

以

f

(

x

)＝2｜sin

x

｜＋cos

x

為偶函數(shù)，又

f

(

x

＋2π)＝2｜sin(

x

＋2π)｜＋cos(

x

＋2π)＝2｜sin

x

｜＋cos

x

＝

f

(

x

)，

當(dāng)

x

∈[0，

x

0)時(shí)，

f

'(

x

)＞0，

f