4.3 對數（解析版）-高中數學教學資料

.3對數知識點一對數的概念【【解題思路】對數的概念底數大于0且不等于1真數大于0【例1】（23-24高一上·貴州貴陽·階段練習）使式子有意義的的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．，【答案】C【解析】由式子有意義，則滿足，解得且.故選：C.【變式】1．（2023高一·全國·專題練習）在中，實數的取值范圍是（

）A．或 B．或C． D．【答案】B【解析】由對數的定義可知，解得，且，故選：B．2．（24-25高一上·上海·隨堂練習）若對數有意義，則的取值范圍是．【答案】【解析】依題意，，解得且，所以的取值范圍是.故答案為：3．（23-24高一上·上海徐匯·期中）若對于任意實數，代數式均有意義，則實數的取值范圍是．【答案】【解析】對任意的，代數式有意義，則對任意的，且，當時，則且，解得且，不合乎題意；當時，由題意可知，必有，由二次函數的基本性質可知，對任意的，，則，所以，，解得.因此，實數的取值范圍是.故答案為：.知識點二指數式與對數式的互化【【解題思路】指數式與對數式互化的思路(1)指數式化為對數式：將指數式的冪作為真數，指數作為對數，底數不變，寫出對數式．(2)對數式化為指數式：將對數式的真數作為冪，對數作為指數，底數不變，寫出指數式【例2-1】（22-23高一·全國·隨堂練習）將下列指數式改寫為對數式：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】（1）（且）化為對數式是，所以化為對數式是；（2），對數式是；（3），對數式是；（4），對數式是.【例2-2】（22-23高一·全國·隨堂練習）將下列對數式改寫為指數式：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】（1）由得.（2）由得.（3）由得.（4）由得.【變式】1．（2023高一·全國·專題練習）將下列指數式與對數式互化．(1)；(2)；(3)；(4).(5)；(6)；(7)；(8)．(9)；(10)；(11)；(12)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)【解析】（1）因為，所以；（2）因為，所以；（3）因為，所以；（4）因為，所以.（5），可得.（6），可得.（7），可得.（8），可得.（9）（10）（11）（12）知識點三對數的計算【【解題思路】1.對數求值（1）將對數式化為指數式，構建方程轉化為指數問題．（2）利用冪的運算性質和指數的性質計算．2.利用對數的性質求值的方法(1)求解此類問題時，應根據對數的兩個結論loga1＝0和logaa＝1(a>0且a≠1)，進行變形求解，若已知對數值求真數，則可將其化為指數式運算．(2)已知多重對數式的值，求變量值，應從外到內求，逐步脫去“l(fā)og”后再求解．【例3-1】（2024湖北）求值：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．【答案】(1)2(2)(3)(4)4(5)2(6)(7)(8)【解析】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）【例3-2】（24-25高一上·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）求下列各式中的值：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】（1）.（2）.（3）.（4）.【例3-3】（23-24高一·江蘇·假期作業(yè)）求下列各式中x的值．(1)；(2)；(3).【答案】(1)；(2)；(3).【解析】（1）∵，∴，∴；（2）∵，∴，∴；（3）由可得，，故，所以.【變式】1．（2024湖南·課后作業(yè)）求下列各式中的值：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)125(2)(3)(4)【解析】（1）解：因為，所以；（2）解：因為，所以，解得（3）解：因為，所以，所以；（4）解：因為，所以，所以.2．（24-25高一上·上?！ふn堂例題）求下列各式中的值：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)1000.【解析】（1）∵，∴，即，∴，解得．（2）∵，∴，∴．（3）∵，∴，∴．（4）∵，∴，∴．3．（23-24高一·江蘇·假期作業(yè)）求下列各式中x的值．(1)(2)【答案】(1)；(2).【解析】（1）由可得，，則，所以.（2）由可得，，故，所以.重難點一對數運算性質的應用【【解題思路】對數式化簡與求值的基本原則和方法(1)基本原則：對數的化簡求值一般是正用或逆用公式，對真數進行處理，選哪種策略化簡，取決于問題的實際情況，一般本著便于真數化簡的原則進行．(2)兩種常用的方法：①“收”，將同底的兩對數的和(差)收成積(商)的對數；②“拆”，將積(商)的對數拆成同底的兩對數的和(差)．【例4】（24-25高一上·上?！るS堂練習）計算下列各式的值：(1)；(2)．【答案】(1)2(2)1【解析】（1）原式．（2）原式．【變式】1.（24-25高一上·全國·課堂例題）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)2；(2)；(3)；(4)-4.【解析】（1）原式．（2）（方法一）原式．（方法二）原式．（3）分子；分母．原式．（4）原式．2．（24-25高一上·全國·課堂例題）求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)0；(2)2；(3)2；(4)4.【解析】（1）原式．（2）原式．（3）原式．（4）原式．重難點二換底公式的應用【【解題思路】利用換底公式進行化簡求值的原則和技巧1.原則：化異底為同底2.技巧（1）先利用對數的運算性質進行部分運算，再換成同底（2）借助換底公式一次性同一換成常用對數或自然對數，再化簡通分求值（3）借助對數恒等式或常用結論，提高解題效率【例5】（24-25高一上·上?！るS堂練習）已知，，求：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)；(2)；(3).【解析】（1）因為，．所以．（2）．（3）．【變式】1．（2024·四川·模擬預測）若實數，，滿足且，則（

）A． B．12 C． D．【答案】D【解析】因為且，易知且，所以，，所以，，所以，則.故選：D．2．（2024·廣東佛山）已知，，，則（

）A． B． C． D． E．均不是【答案】D【解析】由題意知，，，，因為，，所以由換底公式可得，，又因為（），所以，所以由換底公式可得.故選：D.3．（24-25高一上·上?！ふn堂例題）（1）設，求的值；（2）已知，且，求的值．【答案】（1）1；（2）【解析】（1）因為，則，則所以；（2）因為，則，，可得，，則．由題意可得，則，且，所以．重難點三對數運算性質的綜合應用【【解題思路】利用對數式與指數式互化求值的方法(1)在對數式、指數式的互化運算中，要注意靈活運用定義、性質和運算法則，尤其要注意條件和結論之間的關系，進行正確的相互轉化．(2)對于連等式可令其等于k(k>0)，然后將指數式用對數式表示，再由換底公式可將指數的倒數化為同底的對數，從而使問題得解．【例6】（2024山東）求下列各式的值．(1)．(2)(3)．(4)(5)(6)；【答案】(1)(2)(3)1(4)1(5)(6)2【解析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）【變式】（2024河北）計算化簡：(1)(2)(3)；(4)．(5)．(6)；(7)；(8)；【答案】(1)(2)8(3)0(4)2(5)(6)(7)0(8)1【解析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）單選題1．（2023高一·上?！ｎ}練習）在對數式中，實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】要使對數式有意義，需滿足，解得或，所以實數的取值范圍是．故選:D.2．（2023·湖南）下列指數式與對數式互化不正確的一組是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】B【解析】由對數的概念可知：可轉化為，故A正確；由對數的概念可知：可轉化為，故B錯誤；由對數的概念可知：可轉化為，故C正確；由對數的概念可知：可轉化為，故D正確；故選：B3．（23-24高一下·江蘇鹽城·期末）若，，則用，表示（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由對數運算性質可得，故選：D.4．（2024廣東）化簡的值為（

）A． B． C． D．-1【答案】A【解析】故選：A.5．（2023秋·浙江）已知，，且，則的最小值是（

）A．18 B．16 C．10 D．4【答案】B【解析】因為，，且，所以，所以，所以，當且僅當即時，等號成立，所以的最小值是16.故選：B6．（2024云南）已知，則下列能化簡為的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】對于A，，A錯誤；對于B，，B正確；對于C，，C錯誤；對于D，，D錯誤.故選：B.7（2023·全國·高一專題練習）17世紀，法國數學家馬林·梅森在歐幾里得?費馬等人研究的基礎上，對（為素數）型的數作了大量的研算，他在著作《物理數學隨感》中斷言：在的素數中，當，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257時，是素數，其它都是合數.除了和兩個數被后人證明不是素數外，其余都已被證實.人們?yōu)榱思o念梅森在型素數研究中所做的開創(chuàng)性工作，就把型的素數稱為“梅森素數”，記為.幾個年來，人類僅發(fā)現51個梅森素數，由于這種素數珍奇而迷人，因此被人們答為“數海明珠”.已知第7個梅森素數，第8個梅森素數，則約等于（參考數據：）（

）A．17.1 B．8.4 C．6.6 D．3.6【答案】D【解析】由已知可得.故選：D8．（23-24高一上·浙江寧波·期末）若，則說法錯誤的是（

）A．的最小值是B．的最小值是C．的最大值是0D．的最大值是【答案】A【解析】若，則，，，即.對于A，，當且僅當，即，時，等號成立，可得，故A錯誤；對于B，由，可得，所以，當且僅當，即，時，等號成立，故B正確；對于C，由，可得，所以，當且僅當，時，等號成立，故C正確；對于D，由，可得，可知，故，令，可知，，故，當且僅當，即，時，等號成立，故的最大值是，故D正確.故選：A多選題9．（23-24高一上·全國·課后作業(yè)）下列指數式與對數式的互化，正確的一組是（）A．與B．與C．與D．與【答案】ABD【解析】根據指數式與對數式的互化公式且可知，ABD正確；對于C，，故C錯誤.故選：ABD10．（23-24高三上·河南焦作·階段練習）下列等式成立的是（）A． B．C． D．【答案】AC【解析】，A成立；，B不成立；，C成立；，D不成立.故選：AC11．（23-24高一上·山東棗莊·期末）以下運算中正確的有（

）A．若，則B．C．D．【答案】AC【解析】對于A：，故A正確；對于B：，故B錯誤；對于C：，故C正確；對于D：，故D錯誤，故選：AC．填空題12．（24-25高一上·上?！ふn后作業(yè)）求下列各式中的值：（1）若，則；（2）若，則；（3）若，則；（4）若，則．【答案】9984或【解析】（1）；（2）；（3）；（4）.故答案為：；998；4或；.13．（24-25高一上·上?！るS堂練習）下列式子中正確的是．（填序號）①；②；③；④．【答案】④【解析】對于①，當為負數時沒有意義，不成立，錯誤；對于②，時，左邊等于1，右邊等于2，等式不成立，錯誤；對于③，當為負數時沒有意義，不成立，錯誤；對于④，時，成立，正確.故答案為：④.14．（2024四川?。┮阎?，若，則的最大值為．【答案】/【解析】因為，所以，所以，，解得或，因為，所以，所以，所以，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最大值為.故答案為：解答題15．（2023高一·全國·專題練習）將下列指數式與對數式進行互化．(1)(2)(3).(4)；(5)；(6)；(7).【答案】(1)(2)(3)(4)；(5)；(6)；(7).【解析】（1）由可得.（2）由，可得.（3）由，可得.（4）由，可得；（5）由，可得；（6）由，可得；（7）由，可得.16．（24-25高一上·上?！るS堂練習）（1）利用關系式證明換底公式：；（2）利用（1）中的換底公式求值：；（3）利用（1）中的換底公式證明：．【答案】（1）證明見解析；（2）8；（3）證明見解析；【解析】（1）證明：設，則，化為，又，所以；（2）解：；（3）證明：．所以．17．（22-23高一·全國·隨堂練習）求值：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)【解析】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.18．（23-24高一上·上海靜安·期中）（1）已知，用a、b表示;（2）已知求b的值；（3）已知，試用表示；（4）已知，試用表示求.【答案】（1）；（2）或；（3）（4）【解析】（1）因為，則，所以；（2），設則則即或即或或.（3），則.，，則（4），19.（2024廣東潮州）求下列各式子的值：(1)；(2)；(3)；(4).(5)2log32－log3＋log38－；(6)(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258).(7)lg25＋lg2＋lg＋lg(0.01)－1；(8)(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25；(9)(log32＋log92)·(log43＋log83)；(10)2log32－log3＋log38－3log55；【答案】(1)(2)-1(3)1(4)2(5)－1(6)13(