第63講　全概率公式及應(yīng)用

第63講全概率公式及應(yīng)用【備選理由】例1考查全概率公式的直接計(jì)算,體現(xiàn)方程思想的應(yīng)用;例2考查全概率公式的簡單應(yīng)用;例3考查貝葉斯公式的應(yīng)用,考查邏輯思維能力及公式變形應(yīng)用能力;例4考查全概率公式與數(shù)列綜合,考查邏輯思維能力及運(yùn)算能力,以及綜合分析與解決問題的能力.例1[配探究點(diǎn)一使用]設(shè)A,B是一個隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個事件,且P(B)=13,P(B|A)=56,P(B|A)=12A.P(A)=13 B.P(AB)=C.P(A+B)=34 D.P(A|B)=[解析]因?yàn)镻(B)=13,P(B|A)=56,P(B|A)=12,所以P(B|A)=16,P(B|A)=12,又P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A),所以13=16P(A)+12P(A)=16P(A)+12[1-P(A)],所以P(A)=12,故A錯誤;由P(B|A)=P(AB)P(A)=16,可得P(AB)=112,故B錯誤;P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=12+13-112=34,故C正確;P(A|B)=例2有一位老師叫他的學(xué)生到麥田里摘一顆全麥田里最大的麥穗,期間只能摘一次,并且只可以向前走,不能回頭.結(jié)果,他的學(xué)生兩手空空走出麥田,因?yàn)樗恢懊媸欠裼懈玫?所以沒有摘,走到前面時(shí),又發(fā)覺總不及之前見到的,最后什么也沒摘到.假設(shè)該學(xué)生在麥田中一共會遇到n顆麥穗,且這n顆麥穗的大小均不相同,最大的那顆麥穗出現(xiàn)在各個位置上的概率均相等,為了使他能在這些麥穗中摘到那顆最大的麥穗,現(xiàn)有如下策略:不摘前k(1≤k<n)顆麥穗,自第k+1顆開始,只要發(fā)現(xiàn)比他前面見過的麥穗都大的,就摘這顆麥穗,否則就摘最后一顆.設(shè)k=tn,該學(xué)生摘到那顆最大的麥穗的概率為P.取(1)若n=4,k=2,求P;(2)若n取無窮大,從理論的角度,求P的最大值及P取最大值時(shí)t的值.解:(1)這4顆麥穗的位置從第1顆到第4顆排序,有A44=24(種)情況.要摘到那顆最大的麥穗,①最大的麥穗是第3顆,其他的麥穗隨意在哪個位置,有A33=6(種)②最大的麥穗是最后1顆,第二大的麥穗是第1顆或第2顆,其他的麥穗隨意在哪個位置,有2A22=4(種)情況,故所求概率為6+424(2)記事件A表示最大的麥穗被摘到,事件Bj表示最大的麥穗在麥穗中排在第j顆.因?yàn)樽畲蟮哪穷w麥穗出現(xiàn)在各個位置上的概率均相等,所以P(Bj)=1n,j=1,2,3,…,n,則P(A)=若1≤j≤k,則最大的麥穗在前k顆麥穗之中,不會被摘到,此時(shí)P(A|Bj)=0.若k+1≤j≤n,則當(dāng)且僅當(dāng)前j-1顆麥穗中的最大的一顆麥穗在前k顆麥穗中時(shí),最大的麥穗被摘到,此時(shí)P(A|Bj)=kj則P(A)=1令函數(shù)g(x)=xnlnnx(1≤x<n),則g'(x)=1nlnn令g'(x)=0,則x=ne當(dāng)x∈1,ne時(shí),g'(x)>0,當(dāng)x∈ne,n時(shí),所以g(x)在1,ne上單調(diào)遞增,在所以g(x)max=gne=1所以當(dāng)k=ne時(shí),P(A)=knlnnk取得最大值,最大值為1e,例3[配例2使用][2023·昆明模擬]隨機(jī)化回答技術(shù)是為調(diào)查敏感性問題特別設(shè)計(jì)的問卷調(diào)查技術(shù),其基本特征是被調(diào)查者對所調(diào)查的問題采取隨機(jī)回答的方式,避免在沒有任何保護(hù)的情況下直接回答敏感性問題,從而既對被調(diào)查者的隱私和秘密加以保護(hù),又能獲得所需要的真實(shí)信息.某公司為提升員工的工作效率,規(guī)范管理,決定出臺新的員工考勤管理方案,方案起草后,為了解員工對新方案是否滿意,決定采取如下隨機(jī)化回答技術(shù)進(jìn)行問卷調(diào)查:所有員工每人拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次,約定“若結(jié)果為一次正面朝上一次反面朝上,則按①回答問卷,否則按②回答問卷”.①若第一次拋擲硬幣出現(xiàn)正面朝上,則在問卷中畫“√”,否則畫“×”;②若你對新考勤管理方案滿意,則在問卷中畫“√”,否則畫“×”.當(dāng)所有員工完成問卷調(diào)查后,統(tǒng)計(jì)畫√,畫×的比例為3∶2,用頻率估計(jì)概率,則該公司員工對考勤管理方案的滿意率為 (C)A.50% B.60% C.70% D.80%[解析]設(shè)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次,其中結(jié)果為一次正面朝上一次反面朝上為事件A,則P(A)=12,P(A)=1-12=12.設(shè)回答①且畫“√”為事件B,則P(B|A)=12,則P(A)·P(B|A)=12×12=14.設(shè)回答②且畫“√”為事件C,則P(C)=33+2-P(例4[配例3使用][2024·廣州天河區(qū)一模]某商場擬在周末進(jìn)行促銷活動,為吸引消費(fèi)者,特別推出“玩游戲,送禮券”的活動,游戲規(guī)則如下:該游戲進(jìn)行10輪,若在10輪游戲中,參與者獲勝5次就送2000元禮券,并且游戲結(jié)束;否則繼續(xù)游戲,直至10輪結(jié)束.已知該游戲第一輪獲勝的概率是12,若上一輪獲勝則下一輪獲勝的概率是12,若上一輪失敗則下一輪獲勝的概率是23.記消費(fèi)者甲第n輪獲勝的概率為pn,數(shù)列{pn}的前n項(xiàng)和∑i=1np(1)求消費(fèi)者甲第2輪獲勝的概率p2;(2)證明pn-47為等比數(shù)列,解:(1)由題得p2=p1×12+(1-p1)×23=12×12+12(2)∵pn=pn-1×12+(1-pn-1)×2∴pn=23-16pn-∴pn-47=-1又p1-47=-1∴pn-47是首項(xiàng)為-114,公比為-16的等比數(shù)列,∴pn-∴pn=-114×-16Tn=∑i