2021年廣西柳州市(初三學業(yè)水平考試)中考數學真題試卷含詳解

2021年柳州市初中學業(yè)水平考試與高中階段學校招生考試

數學

（考試時間：120分鐘滿分：120分）

第I卷

一、選擇題（共12小題，每小題3分，共36分.在每小題給出的四個選項中只有一項是符合要求的）

1.在實數3,0,一2中，最大的數為（）

2

A.3B.—C.0

2

2.如下擺放的幾何體中，主視圖為圓的是（）

3.柳州市大力發(fā)展新能源汽車業(yè)，僅今年二月宏光M/N/EV銷量就達17000輛，用科學記數法將數據17000表示為

A.0.17X105B.17x10,C.1.7xl04D.1.7xl05

4.以下四個標志，每個標志都有圖案和文字說明，其中的圖案是軸對稱圖形是（）

綠色環(huán)保

?

綠色食品e

5.以下調查中，最適合用來全面調查的是（）

A.調查柳江流域水質情況B.了解全國中學生的心理健康狀況

C.了解全班學生的身高情況D.調查春節(jié)聯(lián)歡晚會收視率

6.如圖，在菱形A8CD中，對角線AC=8,BD=10,則△A8的面積為（）

D

A.9B.10C.11D.12

7.如圖，有4張形狀大小質地均相同的卡片，正面印有速度滑冰、冰球、單板滑雪、冰壺四種不同的圖案，背面完

全相同，現(xiàn)將這4張卡片洗勻后正面向下放在桌子上，從中隨機抽取一張，抽出的卡片正面怡好是冰壺項目圖案的

3

D.-

c74

8.下列計算正確的是（）

A.V3+V7=VioB.3+近=3bc.V3xV7=V21D.2幣-2=手

9.某校九年級進行了3次數學模擬考試，甲、乙、丙三名同學的平均分為及方差S?如右表所示，那么這三名同學

數學成績最穩(wěn)定的是（）

甲乙丙

X919191

S262454

A.甲B,乙C.丙D.無法確定

10.若一次函數＞=入+）圖像如圖所示，則下列說法正確的是（）

A.k>QB.b=2C.y隨x的增大而增大D.x=3時，y=0

11.往水平放置的半徑為13cm的圓柱形容器內裝入一些水以后，截面圖如圖所示,若水面寬度=24cm,則水

的最大深度為（）

A.5cmB.8cmC.10cmD.12cm

12.如圖所示，點A,B,C對應刻度分別為1,3,5,將線段C4繞點C按順時針方向旋轉，當點4首次落在矩

形8co七的邊上時，記為點A,則此時線段C4掃過的圖形的面積為（）

一48

A.46B.6c.一乃D.—71

33

第n卷

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分.）

13.如圖，直線?！ǔ餤l=60。，則N2的度數是。.

15.如圖，在數軸上表示x的取值范圍是

1??廠??.

-101234

16.若長度分別為3,4,〃的三條線段能組成一個三角形，則整數a的值可以是.（寫出一個即可）

17.在x軸，），軸上分別截取。4=。6,再分別以點4B為圓心，以大于;A3長為半徑畫弧，兩弧交于點P,若

點P的坐標為（a,2）,則a的值是.

b

18.如圖，一次函數y=2x與反比例數仇＞0）的圖像交于4B兩點，點M在以C（2,o）為圓心，半徑為1

的。上，N是40的中點，已知ON長的最大值為士3，則k的值是

2

三、解答題（本大題共8小題，共66分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

19.計算：|—3|—-^9+1

17

20.解分式方程：一=-----

xx+3

21.如圖，有一池塘，要測池塘兩端A、8的距離，可先在平地上取一個點C,從點C不經過池塘可以直接到達點A

和8,連接AC并延長到點。，使CQ=C4,連接8C并延長到點￡使CE=C6,連接DE,那么量出。E的

長就是A、B的距離，為什么？請結合解題過程，完成本題的證明.

證明：OEC和ABC中,

CD=______

V

CE=______

A.DECW.ABC(SAS)

22.如今，柳州螺獅粉已經成為名副其實的“國民小吃”，螺蜥粉小鎮(zhèn)對A、B

兩種品牌的螺獅粉舉行展銷活動.若購買20箱A品牌螺獅粉和30箱B品牌螺獅粉共需要4400元，購買10箱A品

牌螺蝴粉和40箱B品牌螺蝴粉則需要4200元.

(1)求4、B品牌螺獅粉每箱售價各多少元？

(2)小李計劃購買A、B品牌螺獅粉共100箱，預算總費用不超過9200元，則A品牌螺蝴粉最多購買多少箱？

23.為迎接中國共產黨建黨100周年，某校開展了以“不忘初心，緬懷先烈”為主題的讀書活動，學校政教處對本

校七年級學生五月份“閱讀該主題相關書籍的讀書量”(下面簡稱“讀書量”)進行了隨機抽樣調查，并對所有隨

機抽取學生的“讀書量”(單位：本)進行了統(tǒng)計，如下圖所示.

(1)補全下面圖1的統(tǒng)計圖；

(2)本次所抽取學生五月份“讀書量”的眾數為

(3)已知該校七年級有1200名學生，請你估計該校七年級學生中，五月份“讀書量”不少于4本的學生人數.

24.在一次海上救援中，兩艘專業(yè)救助船同時收到某事故漁船的求救訊息，已知此時救助船8在A的正北方向,

事故漁船P在救助船A的北偏西30。方向上，在救助船B的西南方向上，且事故漁船P與救助船A相距120海里.

(1)求收到求救訊息時事故漁船P與救助船3之間距離；

(2)若救助船A,3分別以40海里〃卜時、30海里〃卜時的速度同時出發(fā)，勻速直線前往事故漁船P處搜救，試通

過計算判斷哪艘船先到達.

25.如圖，四邊形ABCO中，AD//BC,AD1AB,AD=AB=\,DC=45,以A為圓心，AO為半徑作圓，延長

C。交，A于點尸，延長ZM交A于點E,連結6/，交OE于點G.

(1)求證：BC為，A的切線；

(2)求cosNEC不的值；

(3)求線段BG的長.

26.在平面直角坐標系中，已知拋物線：,=℃2+辰+,交方軸于4(一1,0),8(3,())兩點，與y軸交于點

圖1

(1)求拋物線的函數解析式；

(2)如圖1,點。為第四象限拋物線上一點，連接。。,過點8作垂足為E,若BE=2OE,求點。

的坐標；

(3)如圖2,點M為第四象限拋物線上一動點，連接交3c于點N,連接8",記的面積為5，

S.

二ABN的面程為其，求，的最大值.

32

2021年柳州市初中學業(yè)水平考試與高中階段學校招生考試

數學

（考試時間：120分鐘滿分：120分）

第I卷

一、選擇題（共12小題，每小題3分，共36分.在每小題給出的四個選項中只有一項是符合要求的）

1.在實數3,0,—2中，最大的數為（）

2

A.3B.—C.0D.-2

2

【答案】A

【分析】根據正數大于零，負數小于零，正數大于一切負數，兩個負數比較大小，絕對值大的反而小，兩個正數比

較大小，絕對值大數就大，據此判斷即可.

【詳解】根據有理數的比較大小方法，可得：

-2<0<-<3,

2

因此最大的數是：3,

故選：A.

【點睛】本題考查了實數的比較大小，解答此題的關鍵在于明確：正數>0>負數.

2.如下擺放的幾何體中，主視圖為圓的是（）

【答案】D

【分析】逐項分析，根據三視圖的定義，找出主視圖為圓的選項.

【詳解】A.主視圖為三角形，不符合題意；

B.主視圖為矩形，不符合題意；

C.主視圖為正方形，不符合題意；

D.主視圖為圓，符合題意.

故選D.

【點睛】本題考查了三視圖的知識點，熟知主視圖的定義和畫三視圖的規(guī)則是解題的關鍵.

3.柳州市大力發(fā)展新能源汽車業(yè)，僅今年二月宏光M/N/EV銷量就達17000輛，用科學記數法將數據17000表示為

A.0.17X105B.17x103C.1.7xl04D.1.7xl05

【答案】C

【分析】用科學計數法表示出即可.

【詳解】17000=1.7xlO4.

故選C.

【點睛】本題考查了科學計數法，科學記數法的表示形式為“xlO”的形式，其中修同＜10,”為整數.確定〃的值

時，要看把原來的數變成“時，小數點移動了多少位，”的絕對值與小數點移動的位數相同.

4.以下四個標志，每個標志都有圖案和文字說明，其中的圖案是軸對稱圖形是（）

A.8B

綠色環(huán)保

綠色食品“

【答案】D

【分析】根據軸對稱圖形的定義判斷即可

【詳解】???A.&C都不是軸對稱圖形，

.??都不符合題意;

。是軸對稱圖形，符合題意,

故選D.

【點睛】本題考查了軸對稱圖形定義,準確理解軸對稱圖形的定義是解題的關鍵.

5.以下調查中，最適合用來全面調查的是（）

A.調查柳江流域水質情況B.了解全國中學生的心理健康狀況

C.了解全班學生的身高情況D.調查春節(jié)聯(lián)歡晚會收視率

【答案】C

【分析】逐項分析，找出適合全面調查的選項即可.

【詳解】A.調查柳江流域水質情況，普查不切實際，適用采用抽樣調查，不符合題意；

B.了解全國中學生的心理健康狀況，調查范圍廣，適合抽樣調查，不符合題意；

C.了解全班學生的身高情況，適合普查，符合題意；

D.調查春節(jié)聯(lián)歡晚會收視率，調查范圍廣，適合抽樣調查，不符合題意.

故選C.

【點睛】本題考查的是全面調查與抽樣調查；在調查實際生活中的相關問題時，要靈活處理，既要考慮問題本身的

需要，又要考慮實現(xiàn)的可能性和所付出代價的大小.理解全面調查與抽樣調查的適用范圍是解題的關鍵.

6.如圖，在菱形A3CO中，對角線AC=8,8。=10,則△40。的面積為（）

A.9B.10C.11D.12

【答案】B

【分析】菱形的對角線互相垂直平分，故人。。的面積為對角線的一半的乘積的!.

2

【詳解】A88是菱形

AC1BD,AO=OC,BO=OD

△AOD的面積=L4。x。。

2

-x-ACx-BD

22

lxlx8x

=-xlO

222

=10

故選B.

【點睛】本題考查了菱形的性質及三角形面積，理解八40。是直角三角形是解題的關鍵.

7.如圖，有4張形狀大小質地均相同的卡片，正面印有速度滑冰、冰球、單板滑雪、冰壺四種不同的圖案，背面完

全相同，現(xiàn)將這4張卡片洗勻后正面向下放在桌子上，從中隨機抽取一張，抽出的卡片正面怡好是冰壺項目圖案的

概率是（）

【答案】A

【分析】事件所有可能的結果有4種，抽出的卡片正面恰好是冰壺項目圖案的結果有1種，據此利用概率公式求解

即可.

【詳解】事件所有可能結果有4種，抽出的卡片正面恰好是冰壺項目圖案的結果有1種，所以抽出的卡片正面怡

好是冰壺項目圖案的概率是L.

4

故選：A.

【點睛】本題考查了等可能事件的概率，根據概率計算公式，必須知道所有可能的結果及事件發(fā)生的結果.

8.下列計算正確的是（）

A.V3+V7=VioB.3+V7=377C.乖,乂幣=標D.2幣-2=幣

【答案】C

【分析】根據二次根式的運算性質求解，逐項分析即可

【詳解】A.6+J7,不是同類二次根式，不能合并，不符合題意；

B.3+幣、不是同類二次根式，不能合并，不符合題意；

C.x=J3x7=符合題意；

D.2近-2,不是同類二次根式，不能合并，不符合題意.

故選C.

【點睛】本題主要考查二次根式的混合運算，掌握二次根式的乘法法則，是解題的關鍵.

9.某校九年級進行了3次數學模擬考試，甲、乙、丙三名同學的平均分為及方差S?如右表所示，那么這三名同學

數學成績最穩(wěn)定的是（）

甲乙丙

X919191

S262454

A.甲B.乙C.丙D.無法確定

【答案】A

【分析】先比較平均成績，當平均成績一致時，比較方差，方差小的波動小，成績更穩(wěn)定.

【詳解】甲、乙、丙的成績的平均分嚏都是91,故比較它們的方差，甲、乙、丙三名同學的方差分別為6,24,54；

故甲的方差是最小的，則甲的成績是最穩(wěn)定的.

故選A.

【點睛】本題考查了方差的意義，若兩組數據的平均數相同，則方差小的更穩(wěn)定，理解方差的意義是解題的關鍵.

10.若一次函數>=依+6的圖像如圖所示，則下列說法正確的是（）

C.y隨x的增大而增大D.x=3時，y=0

【答案】B

【分析】首先根據圖像中過兩點(0,2),(4,0),求出一次函數的解析式，然后根據函數的性質進行判斷即可

【詳解】首先將(0,2),(4,0)代入一次函數解析式y(tǒng)=+"得

4=2

'4k+b=。'

解得J2,

b=2

所以解析式為y=-gx+2；

A、左>0,由求出的z=—,，可知此選項錯誤；

2

B、b=2,由求出的〃=2,可知此選項正確；

C、因為k<0,所以y隨x增大而減小，故此選項錯誤；

D、將尸3代入，y=--x3+2=-,故此選項錯誤；

22

故選：B.

【點睛】本題考查一次函數了=丘+伙人力0)圖像的性質和求一次函數解析式，熟練掌握函數圖像與函數解析式中

系數k,b的關系是解題關鍵.

11.往水平放置的半徑為13cm的圓柱形容器內裝入一些水以后，截面圖如圖所示，若水面寬度AB=24cm,貝詠

的最大深度為()

A.5cmB.8cmC.10cmD.12cm

【答案】B

【分析】連接04過點。作ODLAB交AB于點C交。。于再根據勾股定理求出AC的長，進而可得出CO的

長.

【詳解】解：連接。A,過點。作OQLA8交AB于點C交。。于D

?：OC±AB,由垂徑定理可知，

：.AC=CB=-AB=12,

2

在RtaAOC中，由勾股定理可知：

?*-OC=-AC2=7132-122=5，

C￡>=O0-OC=13-5=8即），

故選：B.

【點睛】本題考查了垂徑定理及勾股定理的應用，屬于基礎題，關鍵是過。點作4B的垂線，由此即可求解.

12.如圖所示，點A,B,C對應的刻度分別為1,3,5,將線段C4繞點C按順時針方向旋轉，當點A

首次落在矩形BCDE的邊BE上時，記為點A,則此時線段C4掃過的圖形的面積為（）

48

A.4A/3B.6C.171D.—71

33

【答案】D

【分析】由題意可知，AC掃過的圖形為一個扇形,，半徑為4,求出？84'C30,?BCA'60,再根據扇形面積

公式求解即可.

【詳解】解：由圖可知：AC=/C=4,BC=2,

BC_2_\

...sin?BA'C

TC~4~2

BA'C30,?BCA'60.

線段CA掃過的圖形為扇形，此扇形的半徑為C4=4,

?S-60P-42-8P

扇形4比一而P4V

故選：D.

【點睛】本題考查了扇形的面積公式，讀懂題目明確AC掃過的圖形為一個扇形，且扇形的半徑為4是解決本題的

關鍵.

第n卷

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分.）

13.如圖，直線a〃伍4=60。，則N2的度數是

1

b

【答案】60

【分析】根據平行線的性質可得/1=/3,根據對頂角相等即可求得N2的度數.

【詳解】,：a//b,如圖

.-.Z3=Z1=6O°

VZ2=Z3

/.Z2=60°

故答案為：60

【點睛】本題考查了平行線的性質、對頂角的性質，掌握這兩個性質并熟練運用是關鍵.

14.因式分%2-1=.

【答案】.

【詳解】原式=(x+l)(x-l).故答案為(x+l)(x—l).

考點：1.因式分解-運用公式法；2.因式分解.

15.如圖，在數軸上表示x的取值范圍是.

-101234

【答案】x>2

【分析】根據數軸可知，表示x的數在數2的右邊，且不等于2,因此即可判斷x的取值范圍.

【詳解】由數軸知：x>2,

故答案為：x>2.

【點睛】本題考查用不等式表示數軸上的數的范圍，體現(xiàn)了數與形的結合，要注意是實心點還是空心圓圈.

16.若長度分別為3,4,。的三條線段能組成一個三角形，則整數。的值可以是.（寫出一個即可）

【答案】5（答案不唯一）

【分析】根據三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊進行求解即可.

【詳解】解：由題意知：4-3<“<4+3,即1<“<7,

整數“可取2、3、4、5、6中的一個，

故答案為：5（答案不唯一）.

【點睛】本題考查三角形的三邊關系，能根據三角形的三邊關系求出第三邊。的取值范圍是解答的關鍵.

17.在x軸，），軸上分別截取。4=03,再分別以點A,B為圓心，以大于‘A8長為半徑畫弧，兩弧交于點P,若

2

點P的坐標為（?,2）,則a的值是.

【答案】2或-2

【分析】分P點在第一象限和第二象限分類討論，由尺規(guī)作圖痕跡可知，P為/A0B的角平分線，由此得到橫坐標

與縱坐標相等或互為相反數.

【詳解】解：當P點位于第一象限時，如下圖所示：

y

由尺規(guī)作圖痕跡可知，0P為N40B角平分線，此時P點橫坐標與縱坐標相等,

故〃=2；

當P點位于第二象限時，如下圖所示：

由尺規(guī)作圖痕跡可知，。尸為/A08角平分線，此時P點橫坐標與縱坐標互為相反數，

故a--2；

二。的值是2或-2.

【點睛】本題考查了角平分線的尺規(guī)作圖，屬于基礎題，本題要注意考慮P點在第一象限和第二象限這兩種情況.

18.如圖，一次函數y=2x與反比例數y=3Z>0）的圖像交于48兩點，點M在以C（2,0）為圓心，半徑為1

3

的C±,N是A"的中點，已知QN長的最大值為則攵的值是.

32

【答案】王

【分析】根據題意得出ON是,A6M的中位線，所以ON取到最大值時，也取到最大值，就轉化為研究也

取到最大值時攵的值，根據8,C,M三點共線時，取得最大值，解出8的坐標代入反比例函數即可求解.

【詳解】解：連接8W,如下圖：

在.ABM中,

O,N分別是AB,AM的中點,

：.ON是43M的中位線，

：.ON=-BM,

2

3

已知ON長的最大值為巳，

2

此時的氏0=3,

顯然當民CM三點共線時，取到最大值：18M=3,

BM=BC+CM=BC+1=3,

BC-2,

設B(/,2r),由兩點間的距離公式：BC=J"+4產=2,

—2尸+4產=4,

4

解得：4=《山=0（取舍），

畤|），

4Xk

將8（m字代入丁=［（A>0），

32

解得：k=梳,

25

32

故答案是：-

【點睛】本題考查了一次函數、反比例函數、三角形的中位線、圓，研究動點問題中線段最大值問題，解題的關鍵

是：根據中位線的性質，利用轉化思想，研究取最大值時上的值.

三、解答題（本大題共8小題，共66分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟J

19.計算:|—3|—-^9+1

【答案】1

【分析】根據絕對值的定義及算術平方根的定義即可解決.

【詳解】原式=3-3+1

=1

【點睛】本題考查了絕對值的定義、算術平方根的定義及實數的運算，關鍵是掌握絕對值和算術平方根的定義.

12

20.解分式方程：一=----

xx+3

【答案】x=3

【分析】兩邊同乘以x(x+3),轉化為一元一次方程求解即可

【詳解】解：去分母得：

x+3-2x

解得x-3

檢驗：將x=3代入原方程的分母，不為0

x=3為原方程的解.

【點睛】本題考查了分式方程的解法，熟練掌握分式方程的求解方法是解題的關鍵.

21.如圖，有一池塘，要測池塘兩端A、2的距離，可先在平地上取一個點C,從點C不經過池塘可以直接到達點A

和8,連接AC并延長到點。使CD=C4,連接8c并延長到點E,使CE=C3,連接OE,那么量出。￡的

長就是4、B的距離，為什么？請結合解題過程，完成本題的證明.

證明：在OEC和.A5c中，

CD=_______

V

CE=_______

A.DEC^ABC(SAS)

【答案】CA,NDCE=ZACB,AB,ED=AB

【分析】根據證明步驟填寫缺少的部分，從證明三角形全等的過程分析，利用了“邊角邊”，缺少角相等，填上一

對對頂角，最后證明結論，依題意是要證明E￡>=AB.

【詳解】證明：在OEC和ABC

CD=CA

<NDCE=ZACB

CE=AB

DEgABC(SAS)

:.ED=AB

【點睛】本題考查了三角形全等的證明過程，“邊角邊”兩邊夾角證明三角形全等，熟悉三角形全等的證明方法是

解題的關鍵.

22.如今，柳州螺獅粉已經成為名副其實的“國民小吃”，螺獅粉小鎮(zhèn)對A、B兩種品牌的螺獅粉舉行展銷活動.若

購買20箱4品牌螺蝴粉和30箱B品牌螺蝴粉共需要4400元，購買10箱A品牌螺獅粉和40箱B品牌螺獅粉則需

要4200元.

（1）求A、8品牌螺獅粉每箱售價各為多少元？

（2）小李計劃購買A、B品牌螺獅粉共100箱，預算總費用不超過9200元，則A品牌螺蝴粉最多購買多少箱？

【答案】⑴4品牌螺獅粉每箱售價為100元，B品牌螺獅粉每箱售價為80元；（2）60箱

【分析】（1）設A品牌螺獅粉每箱售價為x元，3品牌螺獅粉每箱售價為丁元，根據兩種購買方式建立方程組，解

方程組即可得；

（2）設購買A品牌螺蝴粉為。箱，從而可得購買3品牌螺獅粉為（100-。）箱，再根據“預算總費用不超過9200

元”建立不等式，解不等式，結合”為正整數即可得.

【詳解】解：（1）設A品牌螺蜘粉每箱售價為x元，B品牌螺獅粉每箱售價為y元,

20%+30y=4400

由題意得：<

10x+40y=4200

x=100

解得

y=80

答：A品牌螺蛔粉每箱售價為100元，B品牌螺蜥粉每箱售價為80元；

（2）設購買A品牌螺獅粉為。箱，則購買8品牌螺蜘粉為（100-。）箱,

由題意得：100a+80(100—a)<9200,

解得a<60,

答：A品牌螺蝴粉最多購買60箱.

【點睛】

本題考查了二元一次方程組的應用、一元一次不等式的應用，正確建立方程組和不等式是解題關鍵.

23.為迎接中國共產黨建黨100周年，某校開展了以“不忘初心，緬懷先烈”為主題的讀書活動，學校政教處對本

校七年級學生五月份“閱讀該主題相關書籍的讀書量”（下面簡稱''讀書量”）進行了隨機抽樣調查，并對所有隨

機抽取學生的“讀書量”（單位：本）進行了統(tǒng)計，如下圖所示.

（1）補全下面圖1的統(tǒng)計圖；

（2）本次所抽取學生五月份“讀書量”的眾數為；

（3）已知該校七年級有1200名學生，請你估計該校七年級學生中，五月份“讀書量”不少于4本的學生人數.

【答案】（1）見解析；（2）3本；（3）360人

【分析】（1）求出抽取的總人數，即可算出讀書量為4本的人數，從而能夠將條形圖補充完整；

（2）從補全的條形圖中即可解決；

（3）求出樣本中讀書量不少于4本的人數占抽取人數的百分比，從而估計出總體中讀書量不少于4本的人數占總

體的百分比，進而問題可解.

【詳解】（1）???讀書量1本的人數為5人，占抽取人數的10%,

抽取人數為：5+10%=50（人）.

.??讀書量為4本的人數為：

50-（5+10+20+5）=50-40=10（人）.

.?.圖1補充完整如下：

人數

(2)；讀書量為3本的人數最多，

...抽取學生五月份讀書量的眾數為3本.

故答案為：3本

(3)???樣本中讀書量不少于4本的人數的百分比為：U要x100%=30%,

???1200x30%=360(人).

答：估計七年級學生中讀書量不少于4本的學生人數為360人.

【點睛】本題考查了條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、簡單隨機抽樣、用樣本估計總體等知識點，從不同的統(tǒng)計圖中提取

相對應的信息是解題的基礎，熟知用樣本估計總體的數學思想方法是關鍵.

24.在一次海上救援中，兩艘專業(yè)救助船A,8同時收到某事故漁船的求救訊息，已知此時救助船3在A的正北方向,

事故漁船P在救助船A的北偏西30。方向上，在救助船6的西南方向上，且事故漁船P與救助船A相距120海里.

(1)求收到求救訊息時事故漁船P與救助船8之間的距離；

(2)若救助船A,3分別以40海里/小時、30海里/小時的速度同時出發(fā)，勻速直線前往事故漁船P處搜救，試通

過計算判斷哪艘船先到達.

【答案】（2）收到求救訊息時事故漁船P與救助船8之間的距離為60及海里；（2）救助船8先到達.

【分析】（1）如圖，作于C,在aPAC中先求出PC的長，繼而在APBC中求出BP的長即可；

（2）根據“時間=路程+速度”分別求出救助船A和救助船B所需的時間，進行比較即可.

【詳解】（1）如圖，作于C,

則NPC4=ZPC8=90,

由題意得：R4=120海里，NA=30,NBPC15,

???尸。=,尸4=60海里，ABCP是等腰直角三角形，

2

；?BC=PC=60海里，PB=[PC?+BC?=60逝海里，

答：收到求救訊息時事故漁船P與救助船6之間的距離為60底海里；

（2）：PA=120海里，）3=600海里，救助船A,6分別以40海里/小時、30海里/小時的速度同時出發(fā)，

120

.??救助船A所用的時間為r=3（小時），

40

救助船8所用時間為竺正=2啦（小時），

30

；3>2萬

.??救助船3先到達.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，涉及了含30度角的直角三角形的性質，等腰直角三角形的判定，勾股

定理的應用等，熟練正確添加輔助線構建直角三角形是解題的關鍵.

25.如圖，四邊形ABC。中，AD〃BC,A。，=AB=1,OC=百，以A為圓心，AD

為半徑作圓，延長8交OA于點￡延長D4交A于點￡連結8尸，交DE于煎G.

(1)求證：BC為A的切線；

(2)求cosNEC小的值；

(3)求線段8G的長.

【答案】(1)見解析；(2)型；(3)叵

53

【分析】(1)根據平行線的性質，證明乙4BC=90。即可；

(2)根據平行線的性質，得/EDF=NBCD,過點。作垂足為H在直角三角形中，根據三角函

數的定義計算即可；

(3)過A作A/_LRC于點J,證明FGD^FBC,后利用勾股定理計算即可

【詳解】⑴證明：；AD〃8C,AD_LAB,

:.ZCBA=ZBAD=90°

,/AB=AD=1

二CB是A的切線

(2)過。作OH_LBC于H,

AB±BC,DH±BC

；?AB//DH

四邊形ABHD為平行四邊形

在Rf/XDHC中,ZDHC=90°,DH=l,DC=y/5

HC=y/CD2-DH2=75^1=2，

二BC=BH+HC=3,

HC22/-

/.cosZEDF=cosZC==—==—^5

DC亞5

(3)過A作A/_LR?于點J,

在R/A/D中，NA/￡>=90°,AO=1

JD=AD-cosZADJ=1--75=乙#>

55

FD=2JD，6

FD:FC=FD:(FD+DC)=4:9

：ED//BC

VFGD^FBC

.GDFD4

"^C~~FC~9

4

；.GD=一,

3

：.AG=GO-AO=1

3

RjGAB中，ZGAB^9Q°,AGAB=I

3

/.BG=ylAG2+AB2=

【點睛】本題考查了切線的判定，垂徑定理，三角形相似，勾股定理，熟練掌握切線的判定，靈活運用勾股定理,

垂徑定理，三角形相似是解題的關鍵.

26.在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線：＞=0?+法+。交》軸于4(—1,0),3(3,0)兩點，與)'軸交于點

圖1

(1)求拋物線的函數解析式；

(2)如圖1,點。為第四象限拋物線上一點，連接?！?,過點B作BELOD,垂足為￡若BE=2OE,求點。

的坐標；

(3)如圖2,點M為第四象限拋物線上一動點，連接40,交8C于點N,連接BM,記ABMN

s.

的面積為ABN的面程為邑，求寸的最大值.

32

1QQ

【答案】⑴y=-x2—X——;(2)￡)(1,—2);(3)—

2216

【分析】(1)利用待定系數法求解拋物線的函數解析式即可；

(2)先根據BE=20七和勾股定理求得0E=±5,BE;還,過點E做7萬平行于08交y軸于T,易證

55

ETC"OEB、利用相似三角形的性質求得TE=|,0T=,=三,進而求得點E坐標，求得直線0E的解析

式，和拋物線聯(lián)立方程組，解之即可求得點。坐