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專題07遞推數(shù)列及數(shù)列求和的綜合問題一、單項選擇題1.〔2021·海南模擬〕數(shù)列的前項和為,且,那么等于〔〕A.

B.

0

C.

2

D.

4【答案】C【考點】數(shù)列的概念及簡單表示法,數(shù)列遞推式【解析】【解答】因為,所以當時,,兩式相減得,令,得.應選:C.【分析】由,,兩式相減得,,令,即可得到此題答案.2.〔2021·安陽模擬〕各項都是正數(shù)的數(shù)列滿足,假設當且僅當時,取得最小值,那么〔〕A.

B.

C.

D.

【答案】B【考點】數(shù)列的函數(shù)特性,數(shù)列遞推式【解析】【解答】由題意得當時,,,累加得,故,當時,該式也成立,那么因為當且僅當時,取得最小值,,所以由“對勾兩數(shù)〞的單調(diào)性可知且,∴且,解得.故答案為:B.【分析】根據(jù)遞推關系,利用累加法求出,進而得到,再利用對勾函數(shù)的單調(diào)性,即可得答案.3.〔2021高三上·瀘縣期末〕在數(shù)列中,,那么的值為〔〕A.

B.

C.

D.

【答案】C【考點】等比數(shù)列的前n項和,等比關系確實定,數(shù)列遞推式【解析】【解答】因為,所以,故答案為:C【分析】依題意知,又,利用累加法即可求得的值.4.〔2021高二上·無錫期末〕設為數(shù)列的前項和,滿足,那么〔〕A.

B.

C.

D.

【答案】D【考點】等比關系確實定,數(shù)列遞推式【解析】【解答】解:當時,,解得,當時,,,故是以,的等比數(shù)列,故答案為:【分析】根據(jù)可求數(shù)列的通項公式,利用等比數(shù)列的前項和求.5.〔2021高二上·集寧月考〕數(shù)列滿足,那么〔〕A.

B.

5

C.

D.

【答案】D【考點】數(shù)列遞推式【解析】【解答】解:,,.因此數(shù)列是周期為的數(shù)列..故答案為:D【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前項,得出數(shù)列是周期為的數(shù)列,可得的值.6.〔2021高三上·漢中月考〕定義在R上的函數(shù)f〔x〕是奇函數(shù),且滿足f〔3-x〕=f〔x〕,f〔-1〕=3,數(shù)列{an}滿足a1=1且an=n〔an+1-an〕〔n∈N*〕,那么f〔a36〕+f〔a37〕=〔〕A.

B.

C.

2

D.

3【答案】A【考點】奇函數(shù),函數(shù)的周期性,數(shù)列遞推式【解析】【解答】∵函數(shù)f〔x〕是奇函數(shù),且滿足f〔3-x〕=f〔x〕,f〔-1〕=3,∴f〔x〕=f〔3-x〕=-f〔x-3〕,即f〔x+3〕=-f〔x〕,那么f〔x+6〕=-f〔x+3〕=f〔x〕,即函數(shù)f〔x〕是周期為6的周期函數(shù),由數(shù)列{an}滿足a1=1且an=n〔an+1-an〕〔n∈N*〕,那么an=nan+1-nan,即〔1+n〕an=nan+1,那么,等式兩邊同時相乘得,即=n,即an=na1=n,即數(shù)列{an}的通項公式為an=n,那么f〔a36〕+f〔a37〕=f〔36〕+f〔37〕=f〔0〕+f〔1〕,∵f〔x〕是奇函數(shù),∴f〔0〕=0,∵f〔-1〕=3,∴-f〔1〕=3,即f〔1〕=-3,那么f〔a36〕+f〔a37〕=f〔36〕+f〔37〕=f〔0〕+f〔1〕=0-3=-3,故答案為:A.【分析】根據(jù)條件判斷函數(shù)的周期是6,利用數(shù)列的遞推關系求出數(shù)列的通項公式,結合數(shù)列的通項公式以及函數(shù)的周期性進行轉(zhuǎn)化求解即可.7.〔2021高二上·榆林期中〕數(shù)列{an}的前項和,那么這個數(shù)列的通項公式為〔〕A.

B.

C.

D.

【答案】D【考點】等差數(shù)列的通項公式,數(shù)列遞推式【解析】【解答】當時,當時,不滿足故答案為:【分析】當時,由求得;當時,由求得;驗證后可知數(shù)列為分段數(shù)列,從而得到結果.8.〔2021高二上·溫州期中〕數(shù)列的前項和為,那么=(

)A.

B.

C.

D.

【答案】B【考點】數(shù)列遞推式【解析】【解答】由得,即,而,所以.故答案為:B.【分析】利用公式計算得到,得到答案.9.〔2021高三上·長治月考〕數(shù)列滿足,令,那么滿足的最小值為〔〕A.

9

B.

10

C.

11

D.

12【答案】B【考點】數(shù)列的函數(shù)特性,等比關系確實定,數(shù)列遞推式【解析】【解答】,,故是首項為,公比為的等比數(shù)列,故,那么,即,當時,;當時,,顯然當時,成立,故的最小值為10.故答案為:B?!痉治觥坑蛇f推式求出與之間的關系,即的遞推關系,從而知數(shù)列是等比數(shù)列,由此可求得其通項公式,由通項公式知其是遞減的等比數(shù)列,從而可通過解不等式得出結論。10.〔2021高二上·延吉期中〕設為等差數(shù)列的前項和,.假設,那么〔〕A.

的最大值為B.

的最小值為C.

的最大值為D.

的最小值為【答案】C【考點】數(shù)列與函數(shù)的綜合【解析】【解答】∵〔n+1〕Sn<nSn+1,∴Sn<nSn+1﹣nSn=nan+1即na1na1+n2d,整理得〔n2﹣n〕d<2n2d∵n2﹣n﹣2n2=﹣n2﹣n<0∴d>0∵1<0∴a7<0,a8>0數(shù)列的前7項為負,故數(shù)列{Sn}中最小值是S7故答案為:C.【分析】由條件推導出〔n2﹣n〕d<2n2d,從而得到d>0,所以a7<0,a8>0,由此求出數(shù)列{Sn}中最小值是S7.11.〔2021高三上·佳木斯月考〕正項數(shù)列的前項和為,且,,設數(shù)列的前項和為,那么的取值范圍為〔〕A.

B.

C.

D.

【答案】D【考點】數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式【解析】【解答】因為,所以,因此,即,又為正項數(shù)列,所以,故數(shù)列是以1為首項,1為公差的等差數(shù)列,所以,因此,所以,因為,所以.故答案為:D【分析】利用條件,,結合與的關系式,用等差數(shù)列的定義和正項數(shù)列的定義推出數(shù)列的通項公式,再利用裂項相消法求出數(shù)列的前項和,再利用放縮法求出數(shù)列的前項和的取值范圍。12.〔2021高三上·建平期中〕數(shù)列為1、1、2、1、1、2、4、1、1、2、1、1、2、4、8、...,首先給出,接著復制該項后,再添加其后繼數(shù)2,于是,,然后再復制前面的所有項1、1、2,再添加2的后繼數(shù)4,于是,,,,接下來再復制前面的所有項1、1、2、1、1、2、4,再添加8,...,如此繼續(xù),那么〔〕A.

16

B.

4

C.

2

D.

1【答案】D【考點】數(shù)列遞推式【解析】【解答】由數(shù)列的構造方法可知,,,,可得,所以數(shù)首次出現(xiàn)于第項,所以當時,有,故.故答案為:D.【分析】利用條件,推出,及時,有,再求解的值即可.二、填空題13.〔2021高三上·渭南期末〕數(shù)列{an}的前n項和Sn=n(n+1)+2,其中,那么an=________.【答案】【考點】數(shù)列的概念及簡單表示法,數(shù)列遞推式【解析】【解答】當n=1時,S1=a1=4,當n≥2時,由Sn=n(n+1)+2,①得Sn﹣1=(n﹣1)n+2,②①﹣②,得an=2n,其中n≥2,所以數(shù)列{an}的通項公式an=.故答案為:.【分析】當n=1時,S1=a1=4,當n≥2時,由題意,得Sn=n(n+1)+2,Sn﹣1=(n﹣1)n+2,相減即可得出.14.〔2021·遼寧模擬〕數(shù)列滿足,〔,〕,那么________.【答案】【考點】數(shù)列的概念及簡單表示法,等差關系確實定,數(shù)列遞推式【解析】【解答】由于,即故是以為首項,為公差的等差數(shù)列由于故答案為:【分析】利用項和轉(zhuǎn)換,得到,故是以為首項,為公差的等差數(shù)列,可得,再借助,即得解.15.〔2021高二上·黃陵期中〕假設數(shù)列滿足,,那么________;前8項的和________.〔用數(shù)字作答〕【答案】16;255【考點】等比數(shù)列的前n項和,數(shù)列遞推式【解析】【解答】由知是以1為首項,2為公比的等比數(shù)列,由通項公式及前項和公式知【分析】利用遞推式推導出數(shù)列為等比數(shù)列,利用通項公式和求和公式,代入即可求解,屬于根底題.16.〔2021高三上·上海期中〕數(shù)列的通項公式和為,,現(xiàn)從前項:中抽出一項〔不是也不是〕,余下各項的算術平均數(shù)為40,那么抽出的是第________項【答案】6【考點】等差數(shù)列的性質(zhì),數(shù)列遞推式【解析】【解答】由得,〔驗證當時也符合〕故,令,得,即,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),,由題可知,余下各項的算術平均數(shù)是40,說明余下每兩項的算數(shù)平均數(shù)只要滿足前式性質(zhì)即可,根據(jù)得算數(shù)平均數(shù)為,那么,抽出的是數(shù)列的第6項故答案為:6【分析】由可先算出,先令,算出,再結合等差數(shù)列的性質(zhì)進一步判斷17.〔2021高三上·長春月考〕以區(qū)間上的整數(shù)為分子,以為分母的數(shù)組成集合,其所有元素的和為;以區(qū)間上的整數(shù)為分子,以為分母組成不屬于集合的數(shù)組成集合,其所有元素的和為;……依此類推以區(qū)間上的整數(shù)為分子,以為分母組成不屬于,…的數(shù)組成集合,其所有元素的和為,假設數(shù)列前項和為,那么________.【答案】【考點】數(shù)列與函數(shù)的綜合【解析】【解答】解:據(jù)題意,得,,,…,,∴,∴,∴.故答案為:.【分析】根據(jù)題意可得,從而得到,然后求出-即可.三、解答題18.〔2021·晉城模擬〕等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=2n2+kn+k,〔1〕求{an}的通項公式;〔2〕假設bn=,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.【答案】〔1〕解:當時,當時,又數(shù)列為等差數(shù)列,故當時,,解得故.〔2〕解:由〔1〕可知,故

.故數(shù)列{bn}的前n項和.【考點】等差數(shù)列的通項公式,數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式【解析】【分析】〔1〕由數(shù)列是等差數(shù)列,利用與之間的關系,即可求得;〔2〕利用裂項求和求解即可得到.19.〔2021·長春模擬〕數(shù)列中,,,設.〔Ⅰ〕求證:數(shù)列是等差數(shù)列;〔Ⅱ〕求數(shù)列的前項和.【答案】解:〔Ⅰ〕證明:當時,,所以是以為首項,為公差的等差數(shù)列.〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可知,,所以,所以【考點】等差關系確實定,數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式【解析】【分析】〔1〕證明〔為常數(shù)〕即可;〔2〕將采用裂項的方式先拆開,然后利用裂項相消的求和方法求解.20.〔2021高二上·吳起期末〕為等差數(shù)列,其前項和為,為等比數(shù)列,滿足:,,,〔1〕求和;〔2〕設,求數(shù)列的前項和.【答案】〔1〕解:設等差數(shù)列的公差為d,等比數(shù)列公比為q,因為,,,所以,所以,所以,,〔2〕解:由(1)知,,,所以,所以【考點】數(shù)列的求和,等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合【解析】【分析】(1)根據(jù)條件列出關于公差d和公比q的方程,解方程可得d和q,進一步得到和;(2)根據(jù)(1)求出數(shù)列的通項公式,然后利用分組求和法求出其前n項和.21.〔2021·海南模擬〕數(shù)列的前項和為,且.〔1〕證明:數(shù)列為常數(shù)列.〔2〕求數(shù)列的前項和.【答案】〔1〕證明:當時,,所以;當時,由①,得②,①-②得,,所以,因為,所以,所以,故數(shù)列為常數(shù)列;〔2〕解:由〔1〕知,,所以,所以.【考點】數(shù)列的概念及簡單表示法,數(shù)列的求

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