2023人教版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)同步練習(xí)-第一章 空間向量與立體幾何

2023人教版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)

第一章空間向量與立體幾何

（滿分150分，考試用時(shí)120分鐘）

一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，點(diǎn)M（x,y,2022）（xER,y￡R）構(gòu)成的集合是（）

A.一條直線B.平行于平面Oxy的平面

C.兩條直線D.平行于平面Oxz的平面

2.已知u=（2,2,1）是平面a的法向量,a=（3,4,2）是直線1的方向向量，則直線

1與平面a的位置關(guān)系是（）

A.平行或直線在平面內(nèi)B.垂直

C.相交但不垂直D.不能確定

3.在四面體OABC中,OB=b,OC=c,OM=2AM,前+麗=0,用向量a,b,c表示

麗，則而等于（）

.12,.12.1..1

A.-a--b+-coB.--a+-b+-c

乙D乙。乙乙

1,l12,2,1

Cr.-a+-ub--cnD,y+§b-5c

4.已知空間向量a,b,c兩兩夾角均為60°,其模均為1,則|a+b-2cl二

()

A.A/2B.V3C.2D.V5

5.已知a=(2,-l,3),b=(T,4,-2),c=(l,3,入)，若向量a,b,c共面,則實(shí)數(shù)人等于

6.已知空間向量&二(2,-2,1),及(3,0,4),則向量b在向量a上的投影向量是

()

A學(xué)30,4)B.；(3,0,4)

C.a2,-2,l)D.^(2,-2,1)

7.如圖，圓錐SO的軸截面SAC是等邊三角形，點(diǎn)B是底面圓周上一點(diǎn)，且

NB0C=60°,點(diǎn)M是SA的中點(diǎn)，則異面直線AB與CM所成角的余弦值為()

8.在棱長為2的正四面體ABCD中，點(diǎn)M滿足祠二x而+y冠-(x+y-l)而，點(diǎn)N滿足

BN=入瓦?+(1-入)豆？，當(dāng)AM,BN最短時(shí),AM?而二()

二、多項(xiàng)選擇題(本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求,全部選對(duì)的得5分,有選錯(cuò)的得0分,部分選對(duì)的得2分)

9.已知向量a=（l,-l,m）,b=（-2,m-1,2）,則下列結(jié)論中正確的是（）

A.若|a|=2,則m=±V2

B.若a±b,則m=-l

C.不存在實(shí)數(shù)入，使得a二入b

D.若a?b=-l,則a+b=（-l,-2,-2）

10.在正方體ABCD-ABCD中，下列結(jié)論正確的是（）

A.四邊形ABCD的面積為|希||反

B.何與碰的夾角為60°

C.（曲+41。；+218；）2二348：

D.^C?041瓦-4也〉二0

11.將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角，下列結(jié)論正確的有（）

A.AD與BC所成的角為30°

B.AC與BD所成的角為90°

C.BC與平面ACD所成角的正弦值為日

D.平面ABC與平面BCD的夾角的正切值是四

12.在正三棱柱ABC-ABG中，AB=AA尸1,點(diǎn)P滿足加二人配+u西，其中

入￡[0,1],口￡[0,1],則（）

A.當(dāng)入二1時(shí)，,AAB.P的周長為定值

B.當(dāng)U=1時(shí),三棱錐P-A.BC的體積為定值

C.當(dāng)人時(shí),有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得AFJLBP

D.當(dāng)U時(shí),有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得ABUL平面ABF

三、填空題（本題共4小題,每小題5分，共20分）

13.已知空間向量a=(X+1,2X,1),b=(6,2,2m-l),若a〃b,貝ij入.

14.已知A(l,2,0),B(0,1,T),P是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)|兩|二|麗|時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)

為；當(dāng)前?前取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

15.在棱長為a的正方體ABCD-ARCD中，點(diǎn)M是線段DG上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線

AD距離的最小值為.

16?點(diǎn)P是底面邊長為2V3,高為2的正三棱柱表面上的動(dòng)點(diǎn),MN是該棱柱內(nèi)切球

的一條直徑，則麗?西的取值范圍是.

四、解答題(本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(10分)如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線長都等于1,點(diǎn)E,G

分別是AB,CD的中點(diǎn).

⑴求證：EG_LAB;

⑵求異面直線AG和CE所成角的余弦值.

18.(12分)如圖,在平行六面體ABCD-ABCD中，以A為端點(diǎn)的三條棱的長都是1,

且它們彼此的夾角都是60°,M為A￡與BD的交點(diǎn).若福二a,而二b,京二c,平面

ABCD的法向量n=a+yb+zc.

(1)用a,b,c表示由；

⑵求n及|n|;

⑶求點(diǎn)M到平面ABCD的距離d.

19.（12分）條件①:圖1中，tanNABD=2;條件②:圖1中,3而=2荏+的;條件③:

圖2中,CD>BD,SABCD=1.從以上三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在問題中的橫線上,并加

以解答.

如圖1所示,在aABC中，ZACB=45°,BC=3,過點(diǎn)A作AD±BC,垂足D在線段BC上,

沿AD將Z\ABD折起，使NBDC=90°（如圖2）.已知點(diǎn)M為棱AC的中點(diǎn),

在棱CD上取一點(diǎn)N,使得CN=3DN,求平面BNM與平面BNC的夾角的余弦值.

注:如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.

20.(12分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為梯形,AB〃CD,棱AB,AD,AP兩兩

垂直,長度分別為1,2,2,且向量定與前的夾角的余弦值為誓.

(1)求CD的長度；

(2)求直線PC與平面PBD所成角的正弦值.

21.(12分)如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=2V2,PA=PB=PC=AC=4,0為AC的中點(diǎn).

(1)證明:P0J_平面ABC;

(2)若點(diǎn)M在棱BC上,且二面角M-PA-C的大小為30°,求PC與平面PAM所成角的

正弦值.

22.（12分）如圖，已知三棱柱ABC-AB6中，AA」平面

ABC,AC1BC,AC=V2BC,CM1AB于點(diǎn)M,點(diǎn)N在棱CG上，滿足*二人（0<X<1）.

CCj

⑴若入4求證:CM〃平面RAN;

⑵設(shè)平面BiAN與平面BM所成的角為。，若AiBLBC試判斷命題

母￡（。,1），々”的真假，并說明理由.

答案全解全析

1.B由題意知，點(diǎn)M在平面Oxy的上方,且到平面Oxy的距離始終為2022,故選

B.

2.A因?yàn)榭?3=2乂(-3)+2*4-(-1)乂2=0,所以11，%所以直線1〃平面a或直

線lu平面a.故選A.

3.B9：BN+CN=0,AN為BC的中點(diǎn).連接AN,則

J4N=MA+AN=^OA+-(AC+AB)=-OA+-(AO+OC+AO+OB)=--OA+-OB+-OC=-b+-c

323232222

-|a.故選B.

4.B|a+b-2c|=J(a4-b-2c)2=ya24-b24-4c24-2a?b-4a?c-4b?c

=/H-l+4+2xlxlxi-4xlxlxi-4xlxlx二翼.故選B.

7222

5.A若向量a,b,c共面,則存在x,y￡R,使c=xa+yb,

則有(1,3,X)=x(2,-1,3)+y(-1,4,-2),

(2x-y=1,(x=1,

所以卜％+4y=3,解得y=1,故選A.

{3x~2y=A,Q=1.

6.C因?yàn)閍=(2,-2,l),b=(3,0,4),所以a?b=2X3+1X4=10,|a|=

J22+(一2)2+12=3,所以向量3在向量a上的投影向量是|b|cos〈a,b>

?9二”為《(2,-2,1).故選C.

a\\a\9

7.B連接OS.以過點(diǎn)0且垂直于平面SAC的直線為x軸,0C,0S所在直線分別y

軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

設(shè)002,則0S=2V3,所以A(0,-2,0),B(V3,1,0),C(0,2,0),M(0,

-1,圾,所以荏=(V3,3,0),由二(0,-3,V3).

設(shè)異面直線AB與CM所成角為0,

則cosO=|cos<AB,CM>-x二故選

1'曰翌、"B

V3+9XV9+34

8.A由共面向量定理和共線向量定理可知,平面BCD,N￡直線AC.當(dāng)AM,BN最

短時(shí),AM,平面BCD,BN±AC,

所以M為4BCD的中心,N為AC的中點(diǎn)，

此時(shí)|就|=X2Xsin600總色.

33

?.?AM_L平面BCD,MCu平面BCD,AAM1MC,

???IMA|二J近12-1祝2小甯2爭

又M/VgMC+M/),

：.AM?MN=^(AM?MC+AM?AM)|AM1故選A.

9.AC由|a|=2得J/+(-1)2+瓶2=2,解得m=±短故A選項(xiàng)正確；由a±b得

-2F+1+2IH=0,解得m=l,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；若存在實(shí)數(shù)入，使得a二入b,則

1=-2X,-1=X(mT),m=2入，顯然人無解，即不存在實(shí)數(shù)入，使得a二入b,故C選項(xiàng)

正確;若a?b=-l,則-2-m+l+2m=T,解得m=0,于是a+b=(T,-2,2),故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

10.ACD易知AB_L平面BBCC,.\AB_LBG,???四邊形ABGD的面積為|荏|跖|,

故A中結(jié)論正確；

連接AC,CDb易知AACDi是等邊三角形，

???NAD￡=60°,?.?A】B〃DC???異面直線AD1與A】B所成角為NAD?=60°,???向量

砧與碰的夾角為120。，故B中結(jié)論錯(cuò)誤；

連接A3,由向量加法的運(yùn)算法則得丙+硒*+川瓦=溫，易知

|溫12=31不瓦|:???(麗*+京耳+硒)2=3硒：故c中結(jié)論正確；

連接BD,A￡,不瓦-匚目二畸，易知DA」平面

AACC,??.DB_LAC，碇?瓦瓦=0,???布?(不瓦-不萬＞二0,故D中結(jié)論正確.

故選ACD.

11.BD取BD的中點(diǎn)0,連接AO,CO.易得OA,0C,0D兩兩垂直，工以0為坐標(biāo)原

點(diǎn),0C,0D,0A所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)OOI,則A(0,0,1),B(O,-1,O),C(1,O,0),D(0,1,0),1,1),

而二(0,1,T),BC=(1,1,0),福(1,0,-1),~BD=(0,2,0).

Vcos<^4D,密一J5?吃—i」

\AD\?\BC\V2xv22

???異面直線AD與BC所成的角為60。，故A中結(jié)論錯(cuò)誤.

9：AC?50=0,AAC1BD,故B中結(jié)論正確.

設(shè)平面ACD的法向量為t=(x,y,z),

則卜?可=x-z=0,

取z=1,得x=l,y=1,，t二(1,1,1),

(t?AD=y-z=0,

設(shè)BC與平面ACD所成角為0,

貝ljsin0=|cos<FC,t>|二/,2二4~^二￡故C中結(jié)論錯(cuò)誤.

IBC|?11|V2XV33

易知平面BCD的一個(gè)法向量為n=(0,0,1),

設(shè)平面ABC的法向量為(x'，y',z'),

m?BA=+z二0

則'取x，=l,得y*=-1,z=1,Am=(l,-1,1),

jn?阮=x'+y'=0,

設(shè)兩個(gè)平面的夾角為。，則cosa=|cos<m,設(shè)|二2汨g

ml?|n|3

Asina：?tanQ=V2,

???平面ABC與平面BCD的夾角的正切值是企,故D中結(jié)論正確.

故選BD.

12.BD當(dāng)人=1時(shí)，點(diǎn)P在線段CG上,設(shè)CP=x(OWxWl),若x=0,則△ABF即為

△ABC此時(shí)4ABF的周長為2近+1;若x=l,則AABF即為△ABC,此時(shí)AABF的

周長為2/+1;若（Kx〈l,則PC尸l-x,在RtAPCA中，PA=五+*在RtAB^P

中，PB尸Jl+（I-%）2=Vx2-2x+2,又AB尸魚，所以z\ABF的周長為

V2+Vx2-2x4-2+V1+x2,不是定值,故A中說法錯(cuò)誤.

當(dāng)口二1時(shí)，點(diǎn)P在線段B￡上，

因?yàn)锽￡〃BC,B￡Q平面ABC,BCu平面ABC,

所以B￡〃平面ABC,

所以BC上的任何一點(diǎn)到平面ABC的距離均相等，

所以三棱錐P-A.BC的體積為定值,故B中說法正確.

分別取BC,BC的中點(diǎn)0,0b連接00bA0,易知分i_L平面ABC,AO±BC,以O(shè)B,0A,001

所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則

B（i,0,0）,A（0,-y,0）,A.（0,-^,l）.

^P=（0,y,z-1）,5P=（-|，0,z）,AFLBP,貝ij中?前=0,即z（z—l）=0,解得

z=0或z=lf故當(dāng)X3時(shí),存在兩個(gè)點(diǎn)P,使得A.P1BP,故C中說法錯(cuò)誤.

當(dāng)口號(hào)時(shí)，點(diǎn)P在線段MN上（M,N分別是線段BB?CG的中點(diǎn)），設(shè)P（x,0,|）（-1<

x<1）,則方二（x,y,若AiBd.平面AB.P,則A.B1AP,即砸?AP=Of又

砸二G，/，T），所以&今一1）?（%，今5）亨+淆力，解得x=T所以

p(-；,o,I),易驗(yàn)證此時(shí)滿足AB,平面ABR所以當(dāng)口三吐有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,

使得AB,平面AB.P,故D中說法正確.故選BD.

13.答案三

O

解析因?yàn)閍〃b，所以華丹二士,解得X=im=3,故人+小丹.

622m-l55

14.答案(1,0,0);(1,0,0)

解析因?yàn)镻在x軸上,所以設(shè)P(x,0,0).

由|瓦？|二|而|,得(X-1)2+4+0=XS+1+1,解得x=|.

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(|,0,0),

2

易知而二(x-1,-2,0),前二(x,-1,1),所以前?前二x(xT)+2二卜-3

+：,所以當(dāng)x=1時(shí),AP?并取得最小值;此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為%0,0).

15.答案與a

解析以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AD,AB,AA,所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角

坐標(biāo)系，如圖所示,則A(0,0,0),D(a,0,0),Ct(a,a,a),

Di(a,0,a),DC]=(0,a,a),AD^=(a,0,a).

點(diǎn)M到直線AD1距離的最小值為兩異面直線A?和DC間的距離.

設(shè)直線AD和DG的公垂線的方向向量為n=(x,y,z),

則『?匹=ay+az=0,令,,則曰？一，..皿⑴一]),

ji?AD1=ax+az=0,

又前二(a,0,0),J兩異面直線AL和D3間的距離為上回二令二”a.

\n\v33

???點(diǎn)M到直線AD.距離的最小值為爭.

16.答案[0,4]

解析由題意知內(nèi)切球的半徑為L設(shè)球心為0,連接P0,0M,0N,則

~PM?麗二(而+而)?(PO+OW)=PO2+PO?(OM+O/V)+OM?ON=

\PO\2-1.V1^|PO|^V5,：.~PM?麗e[o,4].

17.解析⑴證明：露?荏二(瓦5+萬)?荏=(--AB+-AC+

\22

-AD)?AB^--AB2+-AC?AB-^-AD?荏二二X①人1X1X卓X1X]xj,(2

2722222222

分)

所以前，前,所以EG1AB.(4分)

(2)易知|庶|二|無|二冬萬?CE=^(AC+AD)?|(C4+C5)=

士?(-AC2+AC?CB+AD?&4+/D?。8)二，一心+4。?CBMD?C4+Q4C+CD)?

44

CB]=ixL-12+1X1X(-1)+1X1X(-1)+1X1X(-1)+1

XlxJT（7分）

22

設(shè)異面直線AG和CE所成角為6（0<0<=）,

-

MILA\AG-CE\|1|2

貝"COS0=-="~

\AG\?\CE\旦出3'

所以異面直線AG和CE所成角的余弦值為|.（10分）

18.解析（1）連接AB,AC,如圖.

7?

R

前二兩+砧二標(biāo)一荏+三前二標(biāo)一荏+三（而+而）二標(biāo)_三荏+二而二―2a+%b+c.（3

11121212222

分）

（2）由題意得|a|二|b|=|c|=l,a?b=a?c=b?c=1.（5分）

._n（1+-y+-z=0,

由n是平面ABCD的法向量，得rr廠7n;U'即，2J解得

E?b=0,|J+y+*o,

y=l,z=-3,An=a+b-3c.（7分）

/.In|=Va2+b2+9c2+2a?b-6a?c~6b?c=V6.（9分）

⑶?「AM〃平面ABCD,???點(diǎn)M到平面ABCD的距離等于點(diǎn)Ai到平面ABCD的距離，（10

分）

.~忖?nl|c?（a+匕-3c）||c?c+c?b-3c2|假+［一3|區(qū)（］2分）

'\n\|n|Inix/63,

19.解析以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.（1分）

選條件①.

在題圖1所示的4ABC中，設(shè)AD=CD=a,則在RtAABD中，tanNABD=生*=2,解得

BD3-a

a=2,ABD=1.（3分）

???B（l,0,0）,N（0,i,0）,M（0,1,1）,

，麗二（一1,（5分）

設(shè)平面BNM的法向量為n=（x,y,z）,

(n?BN=0,ZH(-x+=0,Aimoc1

由(一>得<2,令x=l,則y=2,z=T,

(n?BM=0,+y+z=0,

An=(l,2,-1).(7分)

取平面BNC的一個(gè)法向量m=（0,0,1）,（8分）

1

則cos<m,I：——(10分)

1m|ln|4+22+(一1)26

???平面BNM與平面BNC的夾角的余弦值為R（12分）

6

選條件②.

在題圖1所示的AABC中，由3而二2荏+前，得2(AD-AB)=AC-ADfB|J

2BD=DC,ADC=2BD.VBC=3,ACD=2,BD=1.(3分)

AB(1,0,0),N(0,i,0),M(0,1,1),

???麗二(-1,|,0),FM=(-l,1,1).(5分)

設(shè)平面BNM的法向量為n=(x,y,z),

fn?BN=0,z(~x+7y=0,人-,.

由(―>得H｛2)令x=l,則miy=2,oz二T,

ji?BM=0,1-％+y+z=0,

.\n=(l,2,-l).(7分)

取平面BNC的一個(gè)法向量m二（0,0,1）,（8分）

則cos<m,n>~m*n]TY(10分)

mln\1XJ12+22+(-1)2

???平面BNM與平面BNC的夾角的余弦值為當(dāng)（12分）

o

選條件③.

在題圖2所示的4BCD中，設(shè)BD=b(0〈b所)，則CD=3-b,

.e?S△Bco=1b(3-b)=l,解得b=l或b=2.

又CD>BD,.\CD=2,BD=1.(3分)

AB(1,0,0),N(0,1,0),M(0,1,1),

?,?麗=(一1,(5分)

設(shè)平面BNM的法向量為n=(x,y,z),

由卜?%=°,得卜+1=°,令x=l,則尸2,z=-l,

jt?BM=0,1-%+y+z=0,

An=(l,2,-1).(7分)

取平面BNC的一個(gè)法向量m=（0,0,D,（8分）

m,n-1V6

則cos<m,n>=-■I__)-(10分)

m\n1XJ12+22+(-1)26

???平面BNM與平面BNC的夾角的余弦值為（12分）

O

20.解析（1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線分別為x軸,y軸,軸建立如圖

所示的空間直角坐標(biāo)系,

則B(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),A(0,0,0),

A^B=(l,0,0),BD=(-1,2,0).(1分)

由AB〃CD,可設(shè)反二X^B(X>0),AC(X,2,0),APC=(入,2,—2),

(2分)

Acos<PC,前示45?前廠"(入<4),

\PC\\BD\"2+8.V515

...入2—12入+20=0,解得入=2或人=10(舍去),...CD=2AB=2.(5分)

(2)由(1)易得麗二易0,-2),PD=(0,2,-2),PC=(2,2,-2).(6分)

n?PB=x_2z=0,

設(shè)平面PBD的法向量為n=（x,y,z）,則

n?PD=2y-2z=0,

令z=l,則x=2,y，???平面PBD的一個(gè)法向量為n=（2,1,1）.（8分）

設(shè)直線PC與平面PBD所成角為0,0e[o,4（9分）

則sin0=|cos<PC,n>|上,1二/產(chǎn)烏

11|PC||n|2V3xV63

???直線PC與平面PBD所成角的正弦值為唱（12分）

21.解析（1）證明：因?yàn)镻A=PC=AC=4,。為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)PJLAC,且0P=2>/3.（1

分）

連接OB.因?yàn)锳B=BC=2V2,0為AC的中點(diǎn),所以O(shè)B±AC,且0B=2.（2分）

易知OP2+OB2=PB2,所以O(shè)P1OB.(3分)

由OP±OB,OP±AC,OBAAC=O,知POJ_平面ABC.(4分)

⑵以0為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz,

則0(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,2V3).

設(shè)M(a,2-a,0)(0<a^2),易得祠二(a,4-a,0),AP=(0,2,2>/3),

OB=(2,0,0),PC=(0,2,-2V3).(6分)

設(shè)平面PAM的法向量為n=（x,y,z）.

?幾=°，得.2y+2V3z=0,

?n=0,ax+(4-Q)y=0,

令z二-a,貝ljy=V3a,x=V3a_4V3,

所以n二（V3a-4V3,V3a,-a）.（8分）

易知平面PAC的一個(gè)法向量為赤二（2,0,0）.（9分）

2

由已知可得|cos<OB,n>I=26（a-4）當(dāng),所以3a+8a-16=0,解得a=-4（舍去）

2j3（a-4）2+3a2+a22

或a4所以n=［增增-）（11分）

oXOOO/

設(shè)PC與平面PAM所成角為。，則sin0=|cos<PC,n>|~3~—.

4x—164

3

所以PC與平面PAM所成角的正弦值為（12分）

4

22.解析⑴證明:設(shè)BC=a,因?yàn)锳C=V2BC,CM±AB,AC±BC,所以AC二缶,AB二商,

又CM?AB=AC?BC,所以CM=ya.設(shè)AA尸b,以M為坐標(biāo)原點(diǎn),BA所在直線為x軸，

過M且和BBi平行的直線為y軸,MC所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系，（1分）

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